黑龍江省哈爾濱第九中學(xué)2022屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

黑龍江省哈爾濱第九中學(xué)2022屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合A={x|x=2"+l,〃eZ},B=1.r|Vx-l<3^,則4口8=（）

A.{1,3}B.{3,5,7,9}

C.{3,5,7}D.{1,3,5,7,9}

2.已知某公交車(chē)早晨5點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)營(yíng)，每20分鐘發(fā)一班車(chē)，小張去首發(fā)站坐車(chē)，等車(chē)時(shí)間少于5分

鐘的概率為（）

A.-B.-C.D.-

3423

'x+y<3

3.若x，V滿(mǎn)足約束條件,x-y4T,則z=2x+y的最小值為（）

x>0

A.1B.2C.3D.4

4.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是凡點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,-2a）.若歸尸|=6,則a的值是（）

A.4B.3C.4或一4D.3或一3

5.已知數(shù)列{%}滿(mǎn)足6=15,?2=y,且2a向=a.+a“+2.若則正整數(shù)k=

A.21B.22C.23D.24

6.2019年1月3日，嫦娥四號(hào)探測(cè)器在月球背面預(yù)選著陸區(qū)成功軟著陸，并通過(guò)鵲橋中繼衛(wèi)星傳

回了世界第一張近距離拍攝的月背影像圖，揭開(kāi)了古老月背的神秘面紗.如圖所示，地球「和月球

。都繞地月系質(zhì)心。做圓周運(yùn)動(dòng)，PO=rt,OQ=r2,設(shè)地球質(zhì)量為“，月球質(zhì)量為機(jī)，地月距離

PQ為R,萬(wàn)有引力常數(shù)為G,月球繞。做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為口，且空?

二M①",則

()

B.CD=

v-亡

D.rx=-^—R

M+m

7.有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)競(jìng)選班長(zhǎng)，其中只有一位當(dāng)選.有人走訪了四位同學(xué)，甲說(shuō)：“是乙

或丙當(dāng)選“，乙說(shuō)：“甲、丙都未當(dāng)選“，丙說(shuō)：“我當(dāng)選了”，丁說(shuō)：“是乙當(dāng)選了“，若四位同學(xué)的話(huà)

只有兩句是對(duì)的，則當(dāng)選的同學(xué)是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7T

8.函數(shù)/（x）=cosy（x-l）在區(qū)間［-3,5］上的所有零點(diǎn)之和等于（）

A.-2B.0C.3D.2

9.習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)教育大會(huì)上發(fā)表重要講話(huà)，稱(chēng)教育是國(guó)之大計(jì)，黨之大計(jì).哈九中落實(shí)講

話(huà)內(nèi)容，組織研究性學(xué)習(xí).在研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有A、B、C、D、E、F共6項(xiàng)成果要匯

報(bào)，如果B成果不能最先匯報(bào)，而月、C、。按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰），那么不同的匯報(bào)安排

種數(shù)為（）

A.100B.120C.300D.600

10.窗的運(yùn)用是中式園林設(shè)計(jì)的重要組成部分，在表現(xiàn)方式上常常運(yùn)用象征、隱喻、借景等手法，

將民族文化與哲理融入其中，營(yíng)造出廣闊的審美意境.從窗的外形看，常見(jiàn)的有圓形、菱形、正六

邊形、正八邊形等.已知圓。是某窗的平面圖，O為圓心，點(diǎn)A在圓。的圓周上，點(diǎn)尸是圓。內(nèi)

部一點(diǎn)，若網(wǎng)=2,且麗麗=_2,則|西+國(guó)的最小值是（）

A.3B.4C.9D.16

11.偶函數(shù)滿(mǎn)足〃4+X）=/（4—x）,當(dāng)x?0,4］時(shí),〃x）=￥，不等式/（x）+）（x）＞0在

［-200,200］上有且只有100個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.I--In3,-ln2B.--In3,--ln21

（32」L32J

C.（--In3,--ln2D.|--In3,-ln2|

（32」I32）

12.在鈍角AABC中，。,瓦。分別是的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，點(diǎn)G是AABC的重心，若AGJ.3G,

則cosC的取值范圍是（）

二、填空題

13.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足zi=2-i（其中i為虛數(shù)單位），則忖=.

14.在1和9之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于.

22

15.雙曲線(xiàn)C:=-2=1（。＞0力＞0）,尸為雙曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)，若點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)的

h-

距離之積為1,則雙曲線(xiàn)的半焦距C的取值范圍.

16.在梯形ABC。中，ZABC=ZBAD=90.AB=BC=-AD=\,M為AC的中點(diǎn)，將AABC沿

2

直線(xiàn)AC翻折成VA8C，當(dāng)三棱錐瓦-AC。的體積最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐4-AC。的外

接球所得截面面積的最小值為.

三、解答題

17.2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征2F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟

十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓

滿(mǎn)成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要

零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛.該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)4型材料進(jìn)行應(yīng)用

改造、根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x(億元)與產(chǎn)品的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

序號(hào)123456789101112

X2346810132122232425

y1522274048546068.56867.56665

當(dāng)0<xW17時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：P=4.1x+10.9,模型②：y=2l.3^-14.4；

當(dāng)x>17時(shí)，確定y與x滿(mǎn)足的線(xiàn)性回歸方程為y=-0.7x+?.

(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x417時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)2的大小，并選擇擬合精度

更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益；

回歸模型模型①模型②

回歸方程9=4.1x+10.97=21.3^-14.4

79.1320.2

/=1

(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方

程為預(yù)測(cè)依據(jù)，根據(jù)(1)中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時(shí)公司

收益(直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼)的大小.

>(M_y.y

附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=l-蕓一二，且當(dāng)心越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好.用

Z(x-y)2

1=1

最小二乘法求線(xiàn)性回歸方程》=九+15的截距：a=y-hx.J萬(wàn)=4.1

18.己知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4%…=2-2。,,，〃eN*.

(I)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵記"=就弓-求也｝的前“項(xiàng)和s”

19.三棱錐尸一ABC中，AC_L8C,平面PAC平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,尸分別

為PC和尸B的中點(diǎn)，平面ABCn平面=

P

(1)證明：直線(xiàn)/〃BC；

(2)設(shè)M是直線(xiàn)/上一點(diǎn),且直線(xiàn)PB與平面4EF所成的角為a，直線(xiàn)PM與直線(xiàn)EF所成的角為夕，

滿(mǎn)足a+尸=],求|AM|的值.

尤2y

20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓之=1(。>匕>0)的左、右頂點(diǎn)分別為小B,右焦點(diǎn)凡

且橢圓「過(guò)點(diǎn)(0,6)、(2,|),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)/與橢圓「交于P、。兩點(diǎn)(點(diǎn)P在x軸的上方).

(1)求橢圓廠的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)AP、8。的斜率分別為&、k2,是否存在常數(shù)2,使得仁+4&=。？若存在，請(qǐng)求出4的

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)〃x)=(x+3(e'-a)”>0)在(-lj(-l))處的切線(xiàn)方程為(e-l)x+ey+e-l=0.

⑴求a,。的值；

(2)若方程=機(jī)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和三，

①證明：m>--；

2

②當(dāng)機(jī)<0時(shí)，|七一不|>2加+1是否成立？如果成立，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

?尤,—3x

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)6&2+丁=1經(jīng)過(guò)伸縮變換，一；后得到曲線(xiàn)G，以原點(diǎn)。為

[y=2y

極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)/的極坐標(biāo)方程為：psin^+^=-2V2.

(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C,的參數(shù)方程和直線(xiàn)/的直角坐標(biāo)方程；

(2)在曲線(xiàn)G上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)尸到直線(xiàn)/的距離最小.

23.已知函數(shù)/。)=|2犬-"|-|2*+3|，8(犬)=|》一2].

⑴當(dāng)。=1時(shí)，解不等式f(x)*0；

⑵若/(x)4g(x)在xe[l,2]時(shí)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案:

1.D

【解析】

【分析】

根據(jù)集合交集運(yùn)算直接求解可得.

【詳解】

由得14XC10,則An8={1,3,5,7,9}.

故選：D

2.B

【解析】

【分析】

利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

若小張等車(chē)時(shí)間少于5分鐘，則他至多在發(fā)車(chē)前5分鐘到達(dá)車(chē)站即可，

由幾何概型的概率公式可知，小張等車(chē)時(shí)間少于5分鐘的概率為?=

204

故選：B.

3.A

【解析】

【分析】

作出不等式組所表示的可行域，求出8點(diǎn)的坐標(biāo)，將z=2x+y轉(zhuǎn)化為y=-2x+z,結(jié)合圖像求出z

的最小值.

【詳解】

根據(jù)題中所給的約束條件，畫(huà)出相應(yīng)的可行域如陰影部分，可以看出當(dāng)z=2x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)2時(shí)，目

標(biāo)函數(shù)取得最小值,則8(0,1),此時(shí)Zmm=2x0+1=1.

故選：A.

4.D

【解析】

【分析】

求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，利用距離公式可得答案

【詳解】

由題意知尸（。,0）,則|PF|=|2《=6,所以“=±3.

故選：D.

5.C

【解析】

【詳解】

由山=a〃+〃“+2知，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)是q=15,公差是"=電一4=453—15=-（2，所以

2247?472

%=15_§（〃_1）=_§〃+可，所以4,%+[<0可化為（一§4+?。╛§4+]5）<0,解得k=23,故選

C.

6.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題干中的等式結(jié)合R=4+乃可求得。、小G,可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】

?.GMm2〃)一r㈤GmGM

對(duì)于AB選項(xiàng),R=%+G,由———=marr?=Mco-n可得彳=,,

R-co~R~釬訴'

所以，R=/；+4=T￡),所以，JG(7"),A錯(cuò)B對(duì);

對(duì)于c選項(xiàng)，由。=歸絲㈤可得G=Q),C錯(cuò);

vR3M+機(jī)

GMr./;

對(duì)于D選項(xiàng)，由釬西，釬即可露T/'

m

所以，“7M得/；=R,D錯(cuò).

M+tn

尺=4+弓

故選：B.

7.C

【解析】

【分析】

根據(jù)“四位同學(xué)的話(huà)只有兩句是對(duì)的“，假設(shè)某一個(gè)人說(shuō)的是真話(huà)，如果與條件不符，說(shuō)明假設(shè)不成

立，如果與條件相符，則假設(shè)成立，從而解決問(wèn)題.

【詳解】

若甲當(dāng)選，則都說(shuō)假話(huà)，不合題意；

若乙當(dāng)選，則甲、乙、丁都說(shuō)真話(huà)，丙說(shuō)假話(huà)，不符合題意；

若丁當(dāng)選，則甲、丁、丙都說(shuō)假話(huà)，乙說(shuō)真話(huà)，不符合題意；

故當(dāng)選是丙.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是推理的應(yīng)用，主要考查邏輯思維和推理能力，解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法是假設(shè)法，屬

于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

【分析】

直接求出所以零點(diǎn)，然后求和即可.

【詳解】

令cos-(x-1)=0,則々x-l)=工+br,%eZ,得x=』+3k?eZ,因?yàn)閤ef-3,5],所以x=」,3,

L3J32222

所以所有零點(diǎn)之和為=

故選：D

9.A

【解析】

【分析】

優(yōu)先排B元素，然后根據(jù)4、C、。順序確定用除法可得.

【詳解】

先排B元素，有5種排法，然后排剩余5個(gè)元素共父=120,由于4、C、。順序確定，所以不同

的排法共有力黑=100.

故選：A

10.A

【解析】

【分析】

利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積3.而=-2,可求得|麗卜一^―,確定其取值范圍，再根

11cosZAOP

據(jù)I函+而I平方后的式子，即可求得答案.

【詳解】

因?yàn)辂?麗-礪，所以亦存=麗?（而-礪）=礪?麗-加=-2,

所以麗.麗=2,即阿?畫(huà)cosNAOP=2,則同二（二op.

因?yàn)辄c(diǎn)P是圓。內(nèi)部一點(diǎn)，所以|。耳=----—＜2,所以《＜cosZAOP41,

11cosZAOP2

2

則回+9『=而+2OAOP+OP=8+.2；40Pz9,

當(dāng)且僅當(dāng)cosNAOP=l時(shí)，等號(hào)成立，故|麗+麗|的最小值是3,

故選：A.

11.C

【解析】

【分析】

由題意得到/（X）是周期函數(shù)，且周期為8,且“X）關(guān)于X=4對(duì)稱(chēng)，轉(zhuǎn)化為不等式/（無(wú)）+4（6＞0

在（0,4］上有且只有1個(gè)整數(shù)解，根據(jù)。＜0時(shí)，得到/（x）＞-a在（0,4］上有一個(gè)整數(shù)解，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)

算及性質(zhì)，列出不等式，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)”X)為偶函數(shù)，所以〃4+x)=〃4-x)=/(x-4),

所以J'(8+x)=〃x),所以〃x)是周期函數(shù)，且周期為8,且“X)關(guān)于x=4對(duì)稱(chēng),

又由在［-200,200］上含有50個(gè)周期，且在每個(gè)周期內(nèi)都是對(duì)稱(chēng)圖形，

關(guān)于x的不等式/(x)+4(x)>。在［-200,200］上有且只有100個(gè)整數(shù)解，

所以關(guān)于x不等式r(x)+4(x)>0在(0,4］上有且只有1個(gè)整數(shù)解，

當(dāng)x?0,4］時(shí)，/(》)=手，則/(工)=上等(》>0),令廣(*)=0,解得x=e,

所以當(dāng)X?0,e)時(shí),尸(力>0,“X)為增函數(shù)，

當(dāng)xe(e,4］時(shí)，r(x)<0,為減函數(shù),

因?yàn)楫?dāng)xf0時(shí)，“X)—,且/⑴=0,62)=等=〃4),〃3)=*〃4)=殍>0,所

以當(dāng)x=A(=2,3,4)時(shí)，可得〃x)>0,

當(dāng)“20時(shí)，r(x)+4(x)>0在(0,4］上有且只有3個(gè)整數(shù)解，不合題意；

所以avO,

由r(x)+4(*)>。，可得"力<0或f(x)>-a,

因?yàn)閒(x)=(,當(dāng)xe(0,4］時(shí),令,f(x)=O,可得x=l,

當(dāng)XG(1,4］時(shí),/(x)>0,且f(x)在(O,e)為增函數(shù)，

所以/(X)<0在(0,4］上無(wú)整數(shù)解，所以〃x)>f在(0,4J上有一個(gè)整數(shù)解,

In4In2221n2In2

因?yàn)椤?----=-----=——，

4442

所以/'⑴>-。在(0,4］上有一個(gè)整數(shù)解，這個(gè)整數(shù)解只能為1=3,

..工七In3口、ln2&力/口In3,In2

從而有一〃<—S.~a>——解得——<a<——

3x32

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是［Jn3,-；ln2

故選：C

12.C

【解析】

【分析】

3

延長(zhǎng)CG交A3于。，由重心性質(zhì)和直角三角形特點(diǎn)可求得CZ)=Gc,由cosZBZ)C=-cosNADC,

利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到標(biāo)+從=5/,由此確定C為銳角，則可假設(shè)A為鈍角，得到

b2+c2<a2,a2+c2>b2,a>b,由此可構(gòu)造不等式組求得夕的取值范圍，在AABC利用余弦定理可

a

得cosC=K?+2l利用2的范圍，結(jié)合C為銳角可求得cosC的取值范圍.

5\ba)a

【詳解】

延長(zhǎng)CG交A3于。，如下圖所示:

■：C為^ABC的重心，.。為AB中點(diǎn)且8=3DG,

133

AG_LBG,DG=—AB,CD=—AB——c；

222

522

Cbi22

AD2+CD2-AC22'~'5c-2b

在AAOC中cosZADC-

2ADCD

2

BD、CD2-BC25c2-2a2

在△BDC中,cosNBDC=

2BDCD3c2

,/ABDC+ZADC-7i,cosZ.BDC=-cosZADC,

即5c2=-51一2"2,整理可得：/+/=5°2>C2,；c為銳角;

3c23c2

設(shè)A為鈍角，貝4+/>/?2,a>b,

a2+b2

a2>b2+

5。丫2

解得:B<3

a2+b2

b2<a2+

5

\-a>b>090<—<x--------f

a3

a2+b2-c22a2+b22ab23

由余弦定理得：cosC=>—x3+土“廠3'

2ab5ab5ba5

又C為銳角，，曰<cosC<l,即cosC的取值范圍為［乎,1).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形中的取值范圍問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠由兩角互補(bǔ)得到余弦值

互為相反數(shù)，由余弦定理得到這+加=5c"確定C為銳角，從而得到三邊之間的不等關(guān)系，求得

a

的范圍.

13.0

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算方法即可求解.

【詳解】

zi=2-i,|zi|=|2-i|=>|z||i|=>/5=>|z|=>/5.

另解：zi=2-i=i>z=-^-^-=-l-2i=>|z|=>/5.

故答案為：非.

14.27

【解析】

【分析】

設(shè)公比為4,利用已知條件求出爐,然后根據(jù)通項(xiàng)公式可求得答案

【詳解】

設(shè)公比為夕，插入的三個(gè)數(shù)分別為%，%，/，

因?yàn)閝=l,%=9,所以/=9,得/=3,

所以外,巴,見(jiàn)=qq,=a\(/丫=33=27,

故答案為：27

15.[2,+oo)

【解析】

【分析】

伽一，3|,_\bx+ay\

分別求得尸到兩條漸近線(xiàn)的距離分別為根據(jù)題意列出方程，結(jié)合雙曲

4=+b2''y!a2+b2

線(xiàn)的方程及基本不等式得到/?e，即可求解.

4

【詳解】

V-2V2

由題意，雙曲線(xiàn)C:=-2=l,可得其漸近線(xiàn)方程為法土緲=0,

ab

設(shè)P*,y),可得點(diǎn)p到兩條漸近線(xiàn)的距離分別為4=

yja2+h2十及

因?yàn)辄c(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)的距離之積為1,

帆一肛||/?x+ay|\b2x2-?2y2|

可得4d2=

J/+/y/a2+h2+"2

又由《一耳=1,可得從/一“2,2=/〃，所以坐\=i,

aba+b-

&\ia2+b2=a2b2<^h]BPc2<—,所以c、N2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,

44

所以雙曲線(xiàn)的半焦距c的取值范圍[2,+a>).

故答案為：⑵+8).

【解析】

【分析】

分析出當(dāng)平面與ACJ.平面AC。時(shí)，三棱錐與-48的體積最大，取AO的中點(diǎn)。，分析出點(diǎn)。為

三棱錐4-ACD的外接球的球心，求出球的半徑，計(jì)算出截面圓半徑為最小值，結(jié)合圓的面積公

式可得結(jié)果.

【詳解】

如下圖所示，連接瓦M(jìn),則與/_LAC,

Bi

則加2。。，故的二臂=冷去

設(shè)二面角片-AC-。的平面角為a,設(shè)三棱錐與-AC。的高為〃，則力=gMsina=#sina,

,,_1c,1cV2.〈隊(duì)

5—ACD=SAACD.力=§SjCD,—Sina<-S^ACD

當(dāng)且僅當(dāng)a=90時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)平面用AC，平面ACO時(shí)，三棱錐片-AC。的體積最大,

?:AC=6AB=BC=\,XABC=90,故A4?C為等腰直角三角形，且ZACB=45。，

在梯形A8C￡>中，ZABC=ZBAD=90,則BC〃A￡>,所以，ZCAD=ZACB=45,

在AAC￡>中，AC=&，AD=2,ZC4D-45",

由余弦定理可得C￡>=jACZ+AZ^—ZAC.ADcosdS。=及，故AC?+8?=A。?，,C￡>_LAC,

因?yàn)槠矫嫱逜C1平面AC。，平面4ACn平面ACD=AC,CDVAC,CDu平面AC。，\CD>

平面及AC,

u平面B.AC,則AB1±CD,

因?yàn)锳81_LB|C,B[CcCD=C,二J"平面,

?.?81力匚平面8。。，所以，AB|_LBQ,

記AZ）中點(diǎn)為。，由。用=04=OC=0。得。為三棱錐B.-ACD的外接球的球心,

且球的半徑為OC=；A￡>=1,

設(shè)QM與過(guò)點(diǎn)M的平面所成的角為，，設(shè)點(diǎn)。到截面的距離為"，則”=0Msin6=，?sine,

2

故截面圓的半徑為r=Vi二7=1-冬in?邛，

當(dāng)且僅當(dāng)。=90時(shí)，過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐外接球O所得截面面積最小，

所以截面圓面積的最小值為%=￡.

7[

故答案為：

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題

求解，其解題思維流程如下：

(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)

的距離相等且為半徑；

(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及

體現(xiàn)這些元素的關(guān)系),達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

17.(1)對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為72.93(億元)；

(2)投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)模型和相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算比較即可，然后將x=17代入較好的模型即可預(yù)測(cè)直接收益；

(2)根據(jù)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)(7J)求出4,再令x=20算出預(yù)測(cè)的直接收益，即可算出投入20億

元時(shí)的總收益，與(1)中的投入17億元的直接收益比較即可.

(1)

對(duì)于模型①，對(duì)應(yīng)的亍=15+22+27+40+48+54+60=38,

7

77

故對(duì)應(yīng)的2(%一寸==1750,

、7913

故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)/?；=1-后■=0.955,

對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)電=1-1^=0.988,

故模型②擬合精度更高、更可靠.

故對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益為5，=21.3xJ萬(wàn)-14.4土72.93(億元).

另解：本題也可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式，直接比較79.13和20.2的大小，從而說(shuō)明模型②擬合精度

更高、更可靠.

(2)

當(dāng)x>170寸，

匚丁出“-21+22+23+24+252-68.5+68+67.5+66+655

后五組的x=-----------------=23,y=--------------------=67,

由最小二乘法可得a=67-(-0.7)x23=83.1,

故當(dāng)投入20億元時(shí)公司收益(直接收益+國(guó)家補(bǔ)貼)的大小為：

-0.7x20+83.1+5=74.1>72.93,

故投入17億元比投入20億元時(shí)收益小.

18.(1)證明見(jiàn)解析，a?=-^(neN*)

774-2v7

031(2〃+3)

⑵S'=15(〃+l)(〃+2)

【解析】

【分析】

(1)由“見(jiàn)…”“=2-2%,4見(jiàn)…%T=2-2《I兩式相除可得數(shù)列｛4｝的遞推公式，然后由遞推公

式變形可證，再由［占］是等差數(shù)列可得數(shù)列｛勺｝的通項(xiàng)公式；

(2)由裂項(xiàng)相消法可得.

(1)

2

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2-2〃］,得4=1,

當(dāng)〃22時(shí)，有…q=2-2?！?，4%…=2—2a,

相除得

整理為：丁’-=7^一=7^一一1(“22),

1-4-1-4,「a”

即11-—-'一=1(?>2),

1-41一《I

???］」一［為等差數(shù)列，公差d=l,首項(xiàng)為」=3；

所以9-=3+(〃-1)=〃+2,整理為：4=土N(〃eN*).

l-a?M+2V'

⑵

1111

b“=

〃(九+1)〃(〃+2)2\n〃+2

111111111---1-

s”=3—?-----------1-----------F…H-----------------------1-------------------

32435n-\〃+ln〃+2212n+1〃+2

c31(2〃+3)

=

升74-2(〃.+l—)(〃—+2)

19.(1)證明見(jiàn)解析

(2)1

【解析】

【分析】

(1)由線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)定理證明

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解

(1)

證明：YE、產(chǎn)分別為PB、PC的中點(diǎn)，.8C〃E/,

又面EfA,BCU面EFA,二8C〃面EE4,

又：8Cu面ABC,面EE4c面45C=/,8C〃/,

(2)

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線(xiàn)為x軸，CA所在直線(xiàn)為y軸，過(guò)C垂直于面A8C的直線(xiàn)為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

1

則4(020),8(4,0,0),P(0,l,V3)Jo⑥設(shè)M(g2,0),

P月=1,一1,-6),前=(2,0,0),黑=3

°'~2'TJ

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為”=(x,y,z)

2x=0

有則平面AEF的一個(gè)法向量為日=(0,1,6)

——y+——z=0n

22

時(shí)。s例林蔭前弱卷

戶(hù)而=(〃］」,-⑹,

而萬(wàn)后端京

乃\m\1

■:a+B=—，*,?coscc=sinP,―/.?=—^=-/H=i1

2J*+4V5

即存在M滿(mǎn)足題意，此時(shí)M"|=l

22

20.（1）—+^-=1

95

⑵存在，A---

【解析】

【分析】

（1）由題意將點(diǎn)（0,石）、（2,|）的坐標(biāo)代入橢圓方程可求出的值，從而可求得橢圓方程，

（2）由題意設(shè)直線(xiàn)/的方程為x=my+2,點(diǎn)PQ，x）,。（七,必），將直線(xiàn)方程代入橢圓方程中消

%

去x,整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，-力=3=邛3=坐二2，由于P，。在橢圓上，所以可得

k2丫2%（石+3）

工2—3

白=一坐±2,代入上式結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)可得結(jié)果

X2-39y2

（1）

/b=y/5，Q=3

因?yàn)闄E圓r過(guò)點(diǎn)倒,6）、［《J,則有.色+亙J解得，=

所以橢圓r的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匯=1.

95

⑵

設(shè)存在常數(shù);I,使得占+/1履=0.由題意可設(shè)直線(xiàn)/的方程為尢=沖+2,點(diǎn)P（x「yJ,。伍,必），

x=my+2,

又由得(5病+9)y?+20my-25=0,A=900(w2+l)>0,

20m25

S.y+y=~

l25m2+9W+9

兀二%=3+3乂(與-3)

h%%(%+3)

%—3

又因?yàn)榛?支=1即孝^5(電+3)

95X?-99%

所以一丸=-_爺__-=-....安------

5（Xj+3）（/+3）5。孫+5）（沖2+5）

_________-9y-_________

即一2=5[病y%+5制y+%)+25]

1

5tn2\---—j+5m\-5x產(chǎn)5

I5m2+915m~+9

即/l=1,所以存在常數(shù)使得勺+〃2=0

21.(1)(2=1,b=1

（2）①證明見(jiàn)解析，②成立，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切點(diǎn)即在切線(xiàn)上又再曲線(xiàn)上，解出方程，解之即可;

（2）①，由（1）求得函數(shù)的解析式及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函

數(shù)/（x）的最值，再根據(jù)方程/（》）=加有兩個(gè)實(shí)數(shù)根占,蒞，可得函數(shù)/（x）的最值機(jī)的關(guān)系，即可得

證；

②，分別求出當(dāng)直線(xiàn)過(guò)（T0）,&j（/））時(shí)和直線(xiàn)過(guò)（0,0）,■，〃天））時(shí)割線(xiàn)方程，從而得

■一天〉/一天結(jié)合①即可得出結(jié)論.

(1)

解：/'(x)=(x+b+l)e*-a,

因?yàn)楹瘮?shù)在(T/(-l))處的切線(xiàn)方程為(e-l)x+e)，+e-l=O,

所以=/(-l)=(^-l)^-?Uo,

.,.<7=1,。=1或a=Lb=2-e(舍)，

e

所以a=l,b=l；

(2)

①證明：由⑴可知f(x)=(x+l乂r(x)=(x+2)e'-l,

令g(x)=/'(x)=(x+2)e、—l,

則g〈x)=(x+3)e",令g'(x)=O,得x=-3,

所以函數(shù)g(x)在(9,-3)上遞減，在(-3,抬)上遞增，

所以g(x)向=g(-3),

即raL=r(—3)=—屋―i<o,

又xf+oo,r(x)->+co,x<-3,r(x)<o,

且r(o)=i>o,r(-i)=i-i<o,

e

.,.HxnG(-l,O),使得r(x°)=0,即(/+2)e*-l=0,即e"=-^,

當(dāng)x<Xo時(shí)，r(x)<0,當(dāng)X>x0時(shí)，r(x)>0，

所以函數(shù)/(x)在(Y?,%)上遞減，在(%,木?)上遞增，

所以〃x)mM=〃Xo)=(Xo+D(eJ)=(Xo+l)*7-11

=(%+1)=[(X()+2)T]=/?C)?12

-(/+2)-(%+2)-[(。)/+2上

1,0),/.4-2G(1,2),

令/?(X)=X+_,X￡(1,2),

則”(x)=1--j>0,xe(l,2),

所以函數(shù)〃(x)在(1,2)上遞增,

故

所以-(xo+2)+-l--2

工0+Z

即八%“>三,

.、1

..m>——；

2

②解：成立，理由如下:

當(dāng)直線(xiàn)過(guò)(TO),(毛,〃/))時(shí)割線(xiàn)方程為尸一戶(hù)?(x+l)=a,

得▼毛廿

當(dāng)直線(xiàn)過(guò)(0,0),(荀,/(七))時(shí)割線(xiàn)方程為),=-()+?』,

%(%+2)

得寸”9

(%+1)

..J_&l>7+1=-----------------F1>2m+1

X