《隨機事件及其運算》課件

隨機事件及其運算目錄CONTENTS隨機事件的定義與性質(zhì)隨機事件的運算條件概率與獨立性概率的加法定理全概率公式與貝葉斯公式隨機變量的概念與性質(zhì)01CHAPTER隨機事件的定義與性質(zhì)在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。隨機事件隨機試驗中所有可能結(jié)果組成的集合。樣本空間樣本空間中的元素。樣本點隨機事件的定義03完備性樣本空間中至少包含一個事件。01互斥性兩個事件不能同時發(fā)生。02對立性一個事件發(fā)生，另一個事件就不發(fā)生。隨機事件的性質(zhì)必然事件在一定條件下，一定會發(fā)生的事件。不可能事件在一定條件下，一定不會發(fā)生的事件。必然事件與不可能事件02CHAPTER隨機事件的運算123如果事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A。包含關(guān)系如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，則稱事件A與事件B為互斥事件?；コ怅P(guān)系如果事件A與事件B是互斥的，且它們的并集是全集，則稱事件A與事件B為對立事件。對立事件事件的包含關(guān)系并事件（和事件）并事件若某事件發(fā)生，只要事件A或事件B發(fā)生，該事件就發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）。并事件的概率記作P(A∪B)，簡記為P(A+B)，計算公式為P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。若某事件發(fā)生，只有當事件A和事件B同時發(fā)生時，該事件才發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件）。記作P(A∩B)，簡記為P(AB)，計算公式為P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)。交事件（積事件）交事件的概率交事件差事件在某一試驗中，若某事件發(fā)生，只有當在事件A發(fā)生的條件下，事件B不發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的差事件。差事件的概率記作P(A-B)，計算公式為P(A-B)=P(A)-P(A∩B)。差事件對于任意兩個樣本點a和b屬于基本空間S，由樣本點a出現(xiàn)或樣本點b出現(xiàn)所構(gòu)成的事件稱為對偶事件。對偶事件記作P(a+b)，計算公式為P(a+b)=1-P(a)-P(b)+P(ab)。對偶事件的概率對偶事件03CHAPTER條件概率與獨立性條件概率是指在某個已知事件B發(fā)生的情況下，另一個事件A發(fā)生的概率。數(shù)學上表示為P(A|B)，讀作“在B的條件下A的概率”。條件概率的定義公式為：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同時發(fā)生的概率，P(B)表示事件B發(fā)生的概率。條件概率的定義P(A|B)≥0。非負性規(guī)范性遞推性全概率公式當事件B為必然事件時，P(A|B)=P(A)。如果事件A和事件B是相互獨立的，那么P(A|B)=P(A)。如果事件B是n個互斥事件B1,B2,...,Bn的并集，則P(A|B)=ΣP(A|Bi)*P(Bi)/P(B)。條件概率的性質(zhì)ABCD事件獨立性的定義如果兩個事件A和B相互獨立，則P(A∩B)=P(A)*P(B)。獨立事件的運算性質(zhì)如果事件A和事件B相互獨立，則它們的并集、交集等運算后的事件也相互獨立。獨立事件的實例擲一枚骰子出現(xiàn)偶數(shù)點和出現(xiàn)點數(shù)大于等于4點是兩個獨立事件。因為一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生。獨立性的性質(zhì)如果事件A和事件B相互獨立，則它們的任何子事件也相互獨立。事件的獨立性04CHAPTER概率的加法定理互斥事件兩個事件不能同時發(fā)生，即$AcapB=emptyset$。概率加法定理對于任意兩個互斥事件$A$和$B$，有$P(AcupB)=P(A)+P(B)$。應用場景在概率論中，互斥事件常常用于描述兩個不可能同時發(fā)生的事件，例如拋擲一枚骰子出現(xiàn)奇數(shù)和出現(xiàn)偶數(shù)。互斥事件的概率加法定理一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生，即$P(AcapB)=P(A)timesP(B)$。獨立事件對于任意兩個獨立事件$A$和$B$，有$P(AcupB)=P(A)+P(B)-P(AcapB)$。概率加法定理在概率論中，獨立事件常常用于描述兩個事件之間沒有相互影響的情況，例如拋擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)。應用場景獨立事件的概率加法定理概率加法定理對于任意兩個完備事件$A$和$Omega$，有$P(AcupOmega)=P(A)+1-P(A)$。應用場景在概率論中，完備事件常常用于描述樣本空間中所有可能的結(jié)果，例如擲一枚骰子出現(xiàn)的所有可能結(jié)果。完備事件樣本空間中包含所有可能結(jié)果的集合，即樣本空間$Omega$。完備事件的概率加法定理05CHAPTER全概率公式與貝葉斯公式全概率公式01全概率公式用于計算一個復雜事件發(fā)生的概率，通過將復雜事件分解為若干個互斥且完備的簡單事件，并分別計算這些簡單事件的概率，最后將這些概率相加得到復雜事件的概率。公式形式02如果事件A可以分解為n個互斥且完備的事件B1,B2,...,Bn，則事件A發(fā)生的概率為P(A)=P(B1)+P(B2)+...+P(Bn)。應用場景03全概率公式在概率論和統(tǒng)計學中有著廣泛的應用，例如在風險評估、決策分析、可靠性工程等領(lǐng)域。全概率公式貝葉斯公式用于計算在給定一些信息條件下某個事件發(fā)生的概率，通過將先驗概率與新信息結(jié)合，得到后驗概率。貝葉斯公式如果事件A的先驗概率為P(A)，事件B為新信息，那么事件A的后驗概率為P(A|B)=(P(B|A)*P(A))/P(B)。公式形式貝葉斯公式在許多領(lǐng)域都有應用，例如在機器學習、統(tǒng)計推斷、決策分析等領(lǐng)域中用于更新和調(diào)整事件的概率。應用場景貝葉斯公式06CHAPTER隨機變量的概念與性質(zhì)離散隨機變量其值可以一一列舉出來，或者其值個數(shù)是有限的。連續(xù)隨機變量其值充滿在一個區(qū)間內(nèi)，無法一一列舉出來。隨機變量在隨機試驗中，將試驗結(jié)果與實數(shù)之間建立的一個對應關(guān)系。隨機變量的定義確定性對于任意一個實數(shù)，要么隨機變量取到該值，要么不取?？蓴?shù)性隨機變量可以與自然數(shù)之間建立一一對應關(guān)系。可測性對于任意一個區(qū)間，事件的發(fā)生與否是可知的。隨機變量的性質(zhì)ABCD離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量離散型隨