人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊（第十八章 平行四邊形）18.1 平行四邊形（學(xué)習(xí)、上課資料）

18.1平行四邊形第18章平行四邊形18.1.1平行四邊形的性質(zhì)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2平行四邊形平行四邊形的邊、角性質(zhì)兩條平行線之間的距離平行四邊形的對角線性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)平行四邊形知1－講感悟新知11.平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.知1－講感悟新知特別提醒●平行四邊形的定義有兩個(gè)要素：1.是四邊形；2.兩組對邊分別平行.作為四邊形，平行四邊形具有一般四邊形的一切性質(zhì)，如有四條邊，四個(gè)內(nèi)角，兩條對角線，內(nèi)角和為360°，外角和為360°等.作為平行四邊形，它區(qū)別于其他一般四邊形的特殊性質(zhì)為：平行四邊形的兩組對邊分別平行.●平行四邊形的定義既是它的一個(gè)性質(zhì)，又是它的一種判定方法：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，反過來，∴四邊形ABCD

是平行四邊形.知1－講感悟新知2.平行四邊形的表示方法平行四邊形用“

”表示，如圖18.1-1，平行四邊形ABCD

記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.知1－講感悟新知注意：(1)平行四邊形的表示一定要按順時(shí)針或逆時(shí)針方向依次寫出各頂點(diǎn)的字母，不能打亂順序；(2)“”作為表示平行四邊形的符號(hào)，不可單獨(dú)使用它來代替“平行四邊形”.知1－講感悟新知3.平行四邊形的基本元素基本元素主要內(nèi)容圖示邊鄰邊AD

和AB，AD

和DC，DC

和BC，BC和AB，共有四對對邊AB

和DC，AD

和BC，共有兩對知1－講感悟新知角鄰角∠BAD

和∠

ADC，∠ADC

和∠DCB，∠

DCB和∠ABC，∠DAB

和∠

ABC，共有四對對角∠BAD和∠

BCD，∠ADC

和∠ABC，共有兩對對角線AC

和BD，共有兩條感悟新知知1－練如圖18.1-2，在ABCD

中，過點(diǎn)P

作直線EF，GH

分別平行于AB，BC，那么圖中共有________個(gè)平行四邊形.例19解題秘方：緊扣平行四邊形定義中的“兩要素”進(jìn)行識(shí)別.感悟新知知1－練解：在ABCD

中，∵

EF∥AB，GH∥BC，∴EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC.∴單獨(dú)一個(gè)四邊形是平行四邊形的有4個(gè)：DEPH，EAGP，HPFC，PGBF；由兩個(gè)四邊形組成的平行四邊形有4個(gè)：DEFC，EABF，DAGH，

HGBC；由四個(gè)四邊形組成的平行四邊形有1個(gè)：ABCD.∴圖中共有9個(gè)平行四邊形.感悟新知知1－練1-1.如圖，分別過△

ABC的頂點(diǎn)A，B，C

作對邊BC，AC，AB

的平行線，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，D.請找出圖中所有的平行四邊形，并表示出來.解：平行四邊形有?ABCD，?AEBC，?ABFC.知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的邊、角性質(zhì)知2－講感悟新知21.邊的性質(zhì)平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相等.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖18.1-3所示.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC.知2－講感悟新知2.角的性質(zhì)平行四邊形的對角相等；平行四邊形的鄰角互補(bǔ).數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖18.1-3所示.∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠A+∠

D=180°知2－講感悟新知特別提醒由于平行四邊形的基本元素有邊和角，因此討論其性質(zhì)也應(yīng)從邊和角這兩個(gè)方面去看.1.從邊看：平行四邊形的對邊平行且相等；2.從角看：平行四邊形的對角相等、鄰角互補(bǔ).感悟新知知2－練如圖18.1-4，在

ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，則ABCD

的周長為_______

cm.例2解題秘方：緊扣“平行四邊形邊的性質(zhì)”進(jìn)行解答.18知2－講感悟新知解：∵平行四邊形的對邊相等，∴CD=AB=5cm，AD=BC=4cm.∴ABCD

的周長=AB+BC+CD+AD=5+4+5+4=18(cm).感悟新知知2－練2-1.[中考.內(nèi)江]如圖，在ABCD已知AB=12，AD=8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點(diǎn)M的，則DM的長為()A.2B.4C.6D.8B知識(shí)點(diǎn)兩條平行線之間的距離知3－講感悟新知31.定義兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.特別提醒●距離是指垂線段的長度，它是正值.●當(dāng)兩條平行線確定后，它們之間的距離是一個(gè)定值.●平行線間的距離處處相等，因此在作平行四邊形的高時(shí)，可根據(jù)需要靈活選擇位置.●任何兩條平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是兩條平行線間最短線段的長度.知3－講感悟新知三種距離之間的區(qū)別與聯(lián)系類別兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行線間的距離區(qū)別連接兩點(diǎn)的線段的長度點(diǎn)到直線的垂線段的長度兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的垂線段的長度聯(lián)系都?xì)w結(jié)為兩點(diǎn)間的一條線段的長度知3－講感悟新知2.性質(zhì)如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都相等，即平行線間的距離處處相等.3.拓展(1)夾在兩條平行線間的任何平行線段都相等.(2)等底等高的平行四邊形的面積相等.知3－講感悟新知(3)平行四邊形的面積=底×高=ah(其中a是平行四邊形的任意一條邊長，h必須是這條邊與它的對邊之間的距離)，如圖18.1-5所示，在?ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，則S

?ABCD=

BC·AE=AB·CF.感悟新知知3－練如圖18.1-6，直線a∥b，點(diǎn)A，E，F(xiàn)在直線a

上，點(diǎn)B，C，D

在直線b

上，BC=EF.△ABC

與△DEF

的面積相等嗎？為什么？例3解題秘方：緊扣等底等高的三角形面積相等作三角形的高進(jìn)行說明.感悟新知知3－練解：△ABC與△

DEF的面積相等.理由如下：如圖18.1-6，過點(diǎn)A

作AH1⊥直線b，垂足為點(diǎn)H1，過點(diǎn)D

作DH2⊥直線a，垂足為點(diǎn)H2.設(shè)△

ABC和△DEF

的面積分別為S1

和S2，∴S1=BC·AH1，S2=EF·DH2.感悟新知知3－練∵直線a∥b，AH1⊥直線b，DH2⊥直線a，∴AH1=DH2.又∵

BC=EF，∴S1=S2，即△ABC

與△DEF

的面積相等.感悟新知知3－練3-1.如圖，在平行四邊形ABCD

中，若∠A=45°，AD=，則AB

與CD之間的距離為()B知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的對角線性質(zhì)知4－講感悟新知41.對角線的性質(zhì)平行四邊形的對角線互相平分.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖18.1-7，∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴

OA=OC=AC，OB=OD=BD.知4－講感悟新知2.拓展性質(zhì)(1)平行四邊形的一條對角線將平行四邊形分成面積相等的兩部分，兩條對角線將平行四邊形分成面積相等的四部分.知4－講感悟新知(2)若一條直線過平行四邊形兩條對角線的交點(diǎn)，則該直線平分平行四邊形的周長和面積.圖示如圖18.1-8，直線EF

過平行四邊形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)O，則△AOE≌△COF，△DOE≌△

BOF.感悟新知知4－練如圖18.1-9，已知ABCD

的周長是60，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若△AOB

的周長比△BOC的周長長8，求這個(gè)平行四邊形各邊的長.解題秘方：緊扣平行四邊形對角線、邊的性質(zhì)進(jìn)行解答.例4周長之差轉(zhuǎn)化為鄰邊之差.感悟新知知4－練解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC.∵AB+BC+CD+DA=60，OA+AB+OB－(OB+BC+OC)=8，∴AB+BC=30，AB－BC=8.∴AB=CD=19，BC=AD=11.即這個(gè)平行四邊形各邊的長分別為19，11，19，11.感悟新知知4－練4-1.如圖，

ABCD的對角線交于點(diǎn)O，且AC⊥AB，OC=3cm，OB=6cm.求AB

的長及ABCD

的面積.感悟新知知4－練感悟新知知4－練如圖18.1-10，在ABCD

中，對角線AC，BD

相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O

作直線EF，分別交AD，BC

于點(diǎn)E，F(xiàn).判斷四邊形ABFE的面積與四邊形FCDE

的面積有何關(guān)系？試說明理由.解題秘方：緊扣平行四邊形的對角線性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.例5感悟新知知4－練解：S

四邊形ABFE=S

四邊形FCDE.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

OA=OC，AD∥BC.∴∠1=∠2.又∵∠3=∠4，∴△AOE≌△COF(ASA).∴S△

AOE=S△

COF.感悟新知知4－練又由ABCD

得AB=CD，BC=DA，∠

ABC=∠CDA，∴△ABC≌△CDA(SAS).∴S△

ABC=S

△

CDA.∵S

四邊形ABFE=S

△

ABC－S

△

COF+S

△

AOE=S

△ABC，S

四邊形FCDE=S

△

CDA－S△AOE+S

△

COF=S

△

CDA，∴S四邊形ABFE=S

四邊形FCDE.感悟新知知4－練5-1.[中考.樂山]如圖，在?ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為F，若AB=6，AC=8，DE=4，則BF的長為()A.4B.3C.D.2B課堂小結(jié)平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形性質(zhì)平行線間的距離定義表示方法18.1平行四邊形第18章平行四邊形18.1.2平行四邊形的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2平行四邊形的判定三角形的中位線知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的判定知1－講感悟新知11.判定定理判定平行四邊形可以從對邊、對角和對角線三個(gè)方面進(jìn)行.如圖18.1-24，在四邊形ABCD

中，AC，BD

相交于點(diǎn)O，具體方法如下表所示.知1－講感悟新知特別提醒●平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是互逆定理，解題時(shí)要注意區(qū)別，不能混淆.●一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.●兩組鄰邊分別相等的四邊形不一定是平行四邊形.知1－講感悟新知條件類型判定定理數(shù)學(xué)表達(dá)式對邊關(guān)系兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD

是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形∵AD=BC，AB=CD，∴四邊形ABCD

是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵ADBC(或ABCD)，∴四邊形ABCD

是平行四邊形知1－講感悟新知對角關(guān)系兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形∵∠DAB=∠DCB，∠ABC=∠ADC，∴四邊形ABCD

是平行四邊形對角線關(guān)系對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD

是平行四邊形知1－講感悟新知2.靈活選擇平行四邊形判定定理的方法(1)已知一組對邊平行，可證明該組對邊相等或證明另一組對邊平行.(2)已知一組對邊相等，可證明該組對邊平行或證明另一組對邊相等.(3)已知條件與對角線有關(guān)，可證明對角線互相平分.(4)已知條件與角有關(guān)，可證明兩組對角分別相等.感悟新知知1－練如圖18.1-25，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE.求證：四邊形DEBF

是平行四邊形.例1解題秘方：緊扣“條件BE∥DF”需證明“BE=DF”或“DE∥BF”即可得到四邊形DEBF

是平行四邊形.感悟新知知1－練證明：∵BE∥DF，∴∠AFD=∠CEB.又∵∠ADF=∠CBE，AF=CE，∴△ADF≌△CBE(AAS).∴DF=BE.又∵BE∥DF，∴四邊形DEBF

是平行四邊形.感悟新知知1－練1-1.如圖，已知△ABC，分別以△ABC

的三邊為邊，在△ABC

的同側(cè)作三個(gè)等邊三角形：△ABE，△BCD，△ACF.求證：四邊形DEAF

是平行四邊形.感悟新知知1－練證明：∵△ABE，△BDC都是等邊三角形，∴BE＝AB＝AE，BD＝BC，∠EBA＝∠DBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠DBA，∠ABC＝60°－∠DBA.∴∠DBE＝∠ABC.感悟新知知1－練∵△ACF是等邊三角形，∴AC＝AF.∴DE＝AF.同理可得△ABC≌△FDC，∴DF＝AB＝AE.∵DE＝AF，EA＝DF，∴四邊形DEAF為平行四邊形．感悟新知知1－練如圖18.1-26，在ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)E，DF平分∠

ADC，交BC

于點(diǎn)F.四邊形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？解題秘方：針對條件中與角有關(guān)的條件居多這一特點(diǎn)，緊扣“兩組對角相等”來證明平行四邊形.例2感悟新知知1－練解：四邊形BFDE是平行四邊形.理由如下：在ABCD中，∠ABC=∠ADC，∠

A=∠C.∵BE平分∠ABC，DF平分∠

ADC，∴∠

ABE=∠CBE=∠ABC，∠

CDF=∠ADF=∠ADC.∴∠CDF=∠ADF=∠ABE=∠CBE.∵∠DFB=∠C+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠A，∴∠

DFB=∠BED.∴四邊形BFDE

是平行四邊形.感悟新知知1－練2-1.如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD

于點(diǎn)E，CF⊥BD

于點(diǎn)F，AE=CF，BF=DE.四邊形ABCD是不是平行四邊形？為什么？(請用三種不同的方法說明)感悟新知知1－練解：四邊形ABCD是平行四邊形．理由如下：方法一：兩組對邊平行法(定義法)．∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴∠ABE＝∠CDF.∴AB∥CD.感悟新知知1－練感悟新知知1－練方法二：兩組對邊相等法．由方法一知△ABE≌△CDF，∴AB＝CD.由方法一知△AED≌△CFB，∴AD＝CB.∴四邊形ABCD是平行四邊形．感悟新知知1－練方法三：兩組對角相等法．由方法一知△ABE≌△CDF，∴∠ABE＝∠CDF，∠BAE＝∠DCF.由方法一知△AED≌△CFB，∴∠CBF＝∠ADE，∠DAE＝∠BCF.∴∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠DCB.∴四邊形ABCD是平行四邊形．(方法不唯一)感悟新知知1－練[中考·徐州]已知：如圖18.1-27，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)

在AC

上，且AE=CF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.例3解題秘方：由于條件都與四邊形的對角線相關(guān)，因此需緊扣對角線關(guān)系判定平行四邊形.感悟新知知1－練證明：如圖18.1-27，連接BD，設(shè)對角線AC，BD

交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.又∵AE=CF，∴OA－AE=OC－CF，即OE=OF.∴四邊形BEDF

是平行四邊形.感悟新知知1－練3-1.如圖，AC，BD

相交于點(diǎn)O，AB∥CD，AD∥BC，E，F(xiàn)

分別是OB，OD

的中點(diǎn).求證：四邊形AFCE是平行四邊形.感悟新知知1－練知識(shí)點(diǎn)三角形的中位線知2－講感悟新知21.三角形的中位線的定義連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.數(shù)學(xué)語言：如圖18.1-28所示.∵AD=BD，AE=EC，∴

DE是△ABC

的中位線.知2－講感悟新知2.三角形的中位線定理三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖18.1-28所示.∵AD=BD，AE=EC，∴

DE∥BC，且DE=BC.知2－講感悟新知3.三角形的中位線的應(yīng)用(1)三角形的中位線定理反映了三角形的中位線與第三邊的雙重關(guān)系：一是位置關(guān)系，可以用來證兩直線平行；二是數(shù)量關(guān)系，可以用來證線段的倍分關(guān)系.知2－講感悟新知(2)中位線具有平移角、倍分轉(zhuǎn)化線段的功能，因此當(dāng)遇到中點(diǎn)或中線時(shí)，應(yīng)考慮構(gòu)造中位線，即我們常說的“遇到中點(diǎn)想中位線”；相應(yīng)地，若知道了三角形的中位線，則三角形兩邊的中點(diǎn)即可找到.知2－講感悟新知特別解讀●一個(gè)三角形有三條中位線.●三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形.●三角形的中位線與三角形的中線的區(qū)別：三角形的中線是連接一頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段，而三角形的中位線則是連接兩邊中點(diǎn)的線段.●三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.感悟新知知2－練如圖18.1-29，已知E為平行四邊形ABCD

中DC

邊延長線上一點(diǎn)，且CE=DC，連接AE，分別交BC，BD于點(diǎn)F，G，連接AC

交BD

于點(diǎn)O，連接OF.求證AB=2OF.例4解題秘方：緊扣“三角形中位線定理”的數(shù)量關(guān)系，將證明線段的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明OF

是△ABC的中位線.知2－講感悟新知證明：如圖18.1-29，連接BE.∵四邊形ABCD

為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，點(diǎn)O

是AC

的中點(diǎn).∵E為平行四邊形ABCD

中DC

邊延長線上一點(diǎn)，且CE=DC，∴

AB∥CE，AB=CE.∴四邊形ABEC