人教版 垂徑定理及其推論【十大題型】

PAGE1專題24.2垂徑定理及其推論【十大題型】【人教版】 【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】 1【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】 2【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】 3【題型4在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】 5【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】 6【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】 7【題型7垂徑定理的實際應用】 8【題型8垂徑定理在格點中的運用】 9【題型9利用垂徑定理求整點】 11【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】 12【知識點1垂徑定理及其推論】（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】【例1】（2023春·九年級單元測試）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，連接BC、BD，下列結論中不一定正確的是（）A．AE=BE B．AD=BD C．OE=DE 【變式1-1】（2023春·北京海淀·九年級人大附中?？茧A段練習）在學習了《圓》這一章節(jié)之后,甲、乙兩位同學分別整理了一個命題:甲:相等的弦所對的圓心角相等;乙:平分弦的直徑垂直于這條弦.下面對這兩個命題的判斷,正確的是A．甲對乙錯 B．甲錯乙對 C．甲乙都對 D．甲乙都錯【變式1-2】（2023春·全國·九年級專題練習）下列命題正確的是（

）A．垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧 B．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心C．平分弦的直徑垂直于弦 D．平分弦所對的兩條弧的直線垂直于弦【變式1-3】（2023·福建三明·泰安模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則下列結論正確的是（）A．DE=BE B．BCC．△BOC是等邊三角形 D．四邊形ODBC是菱形【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】【例2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）在半徑為r的圓中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，則r的值是（

）

A．3 B．33 C．23 【變式2-1】（2023春·浙江·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，點E在AB上運動，連結OE，過點E作EF⊥OE交⊙O于點F，當EF最大時，OE+EF的值為．【變式2-2】（2023·湖北孝感·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC內接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E點，已知⊙O的半徑為1，則AE2+CA．1 B．2 C．3 D．4【變式2-3】（2023春·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，在⊙O中，AB是直徑，P為AB上一點，過點P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的長；（2）若MP=3，NP=5，求AB的長；（3）當P在AB上運動時（∠NPB=45°不變），PM【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】【例3】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點E為垂足，連接OE．若AE＝1，AB=CD=6，則

A．22 B．32 C．42【變式3-1】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內，弦AD與弦BC交于點G,AD=CB,M,N分別是CB和AD的中點，聯(lián)結MN,OG．（1）求證：OG⊥MN；（2）聯(lián)結AC,AM,CN，當CN//OG時，求證：四邊形ACNM為矩形．【變式3-3】（2023春·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）按要求作圖(1)如圖1，已知AB是⊙O的直徑，四邊形ACDE為平行四邊形，請你用無刻度的直尺作出∠AOD的角平分線OP；(2)如圖2，已知AB是⊙O的直徑，點C是BD的中點，AB∥CD，請你用無刻度的直尺在射線DC上找一點P，使四邊形ABPD是平行四邊形．【題型4在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】【例4】（2023春·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是(3,a)(a>3)，半徑為3，函數(shù)y=x的圖像被⊙P截得的弦AB的長為42，則aA．4 B．3+2 C．32 【變式4-1】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(10,0)，點B的坐標是(8,0)，點C，D在以OA為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點C的坐標．【變式4-2】（2023·江蘇南京·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點D的坐標為．【變式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，⊙O經(jīng)過點0,10，直線y=kx+2k?4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的最小值是（

）A．62 B．103 C．8【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】【例5】（2023·全國·九年級專題練習）在半徑為10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是【變式5-1】（2023春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【變式5-2】（2023春·九年級課時練習）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上任意一點，則PA＋PC的最小值為．【變式5-3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD經(jīng)過圓心O的線段EF⊥AB于點F，與CD交于點E，已知⊙O半徑為5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的長；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】【例6】（2023春·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，兩個圓都是以O為圓心．（1）求證：AC=BD；（2）若AB=10，BD=2，小圓的半徑為5，求大圓的半徑R的值．【變式6-1】（2023春·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【變式6-2】（2023春·九年級課時練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【變式6-3】（2023·浙江杭州·九年級）如圖，兩個同心圓的半徑分別為2和4，矩形ABCD的邊AB和CD分別是兩圓的弦，則矩形ABCD面積的最大值是．【題型7垂徑定理的實際應用】【例7】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）如圖，是某隧道的入口，它的截面如圖所示，是由APB和直角∠ACB圍成，且點C也在APB所在的圓上，已知AC=4m，隧道的最高點P離路面BC的距離DP=7m，則該道路的路面寬BC=m；在APB上，離地面相同高度的兩點E，F(xiàn)裝有兩排照明燈，若E是AP的中點，則這兩排照明燈離地面的高度是【變式7-1】（2023春·浙江嘉興·九年級平湖市林埭中學校聯(lián)考期中）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)請你用直尺和圓規(guī)補全這個輸水管道的圓形截面（保留作圖痕跡）；(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=8cm，水面最深地方的高度為2【變式7-2】（2023春·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）“筒車”是一種以水流作動力，取水灌田的工具．如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方．且當圓被水面截得的弦AB為6米時，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點距離水面的最大距離）．

(1)求該圓的半徑；(2)若水面上漲導致圓被水面截得的弦AB從原來的6米變?yōu)?米時，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？【變式7-3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時120秒．問題設置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設筒車半徑為2米．當t=0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM=30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數(shù)據(jù)，2≈1.414

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉到B處時，∠BOM的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉至B處時，它到水面的距離．（結果精確到0.1米）【題型8垂徑定理在格點中的運用】【例8】（2023春·湖北武漢·九年級校聯(lián)考期末）如圖是由小正方形組成的7×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．(1)在圖（1）中，A，B，C三點是格點，畫經(jīng)過這三點的圓的圓心O，并在該圓上畫點D，使AD=BC；(2)在圖（2）中，A，E，F(xiàn)三點是格點，⊙I經(jīng)過點A．先過點F畫AE的平行線交⊙I于M，N兩點，再畫弦MN的中點G．【變式8-1】（2023春·遼寧盤錦·九年級?？茧A段練習）如圖，平面直角坐標系中有一段弧經(jīng)過格點（正方形網(wǎng)格交點）A、B、C，其中B2,3，則圓弧所在圓的圓心坐標為【變式8-2】（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）小英家的圓形鏡子被打碎了，她拿了如圖（網(wǎng)格中的每個小正方形邊長為1）的一塊碎片到玻璃店，配制成形狀、大小與原來一致的鏡面，則這個鏡面的半徑是．【變式8-3】（2023·北京·九年級專題練習）如圖，在每個小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，畫出了一個過格點A，B的圓，通過測量、計算，求得該圓的周長是cm．（結果保留一位小數(shù)）【題型9利用垂徑定理求整點】【例9】（2023春·九年級課時練習）如圖，AB是⊙C的弦，直徑MN⊥AB于點O，MN=10，AB=8，如圖以O為原點建立坐標系．我們把橫縱坐標都是整數(shù)的點叫做整數(shù)點，則線段OC長是，⊙C上的整數(shù)點有個．【變式9-1】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期中）⊙O的直徑為10，弦AB=6，P是弦AB上一動點，滿足線段OP的長為整數(shù)的點P有處不同的位置．【變式9-2】（2023春·九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，A(0,4),B(4,4),C(6,2)．注：把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點(latticepoint（1）若經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在的圓心為M，則點M的坐標為；（2）若畫出該圓弧所在的圓，則在整個平面坐標系網(wǎng)格中該圓共經(jīng)過格點．【變式9-3】（2023·湖南邵陽·校聯(lián)考一模）⊙O的直徑為10，弦AB=8，點P為AB上一動點，若OP的值為整數(shù)，則滿足條件的P點有個．【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】【例10】（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，矩形ABCD的頂點A，C在半徑為5的⊙O上，D2,1，當點A在⊙O上運動時，點C也隨之運動，則矩形ABCD的對角線AC的最小值為（

A．25 B．10?5 C．10+5【變式10-1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動