人教版九年級數(shù)學下冊（第二十七章 相似）27.2 相似三角形（學習、上課課件）

27.2相似三角形第二十七章相似第1課時相似三角形的判定學習目標課時講解1相似三角形平行線分線段成比例平行線截三角形相似的定理三邊關(guān)系判定三角形相似定理邊角關(guān)系判定三角形相似定理角的關(guān)系判定三角形相似定理直角三角形相似的判定逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時流程2知1－講感悟新知知識點相似三角形11.定義：如果在兩個三角形中，三個角分別相等，三條邊成比例，那么這兩個三角形相似.感悟新知

知1－講?△ABC∽△A′B′C′.感悟新知2.相似三角形的表示方法：相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”.如圖27.2-1，△ABC

與△A′B′C′相似，記作“△ABC∽△A′B′C′”，讀作“△ABC相似于△A′B′C′”.知1－講感悟新知特別警示：用符號“∽”表示，讀作“相似于”.例如△ABC

與△A′B′C′相似，記作“△ABC∽△A′B′C′”，讀作“△ABC

相似于△A′B′C′”.知1－講感悟新知

知1－講感悟新知知1－講特別提醒1.相似三角形具有傳遞性，即若△ABC

∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，則△ABC∽△A″B″C″.2.相似三角形屬于特殊的相似多邊形，同樣具有“對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例”的性質(zhì).知1－練感悟新知如圖27.2-2，已知△ABC∽△ADE，∠A=70°，∠B=40°，AB=6，BC=6，AD=3.例1解題秘方：緊扣“相似三角形定義中對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例”求解.知1－練感悟新知(1)求△ABC

與△ADE

的相似比；

知1－練感悟新知(2)求∠AED

的度數(shù)和DE

的長.

知1－練感悟新知1-1.

[中考·重慶B卷]如圖，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC=2∶3，若AB的長度為6，則DE的長度為()A.4B.9C.12D.13.5B知識點平行線分線段成比例知2－講21.平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.知2－講

知2－講要點解讀1.所有的成比例線段是指被截直線上的線段，與這組平行線上的線段無關(guān)；2.利用平行線分線段成比例的基本事實寫比例式時，一定要注意對應(yīng)線段寫在對應(yīng)的位置上.感悟新知知2－講2.平行線分線段成比例的基本事實的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例.知2－講

知2－講特別提醒1.本推論的實質(zhì)是平行線分線段成比例的基本事實中一組平行線中的一條過三角形的一個頂點，一條在三角形一邊上的特殊情況.2.當被截的兩條直線相交時，其交點處可看作含一條隱形的平行線(如圖27.2-4).知2－練例2

知2－練解題秘方：利用平行線分線段成比例的基本事實解題.知2－練

答案：C知2－練

A知2－練

例34知2－練解題秘方：利用平行線分線段成比例的基本事實的推論解題.

知2－練技巧點撥：利用平行線分線段成比例的基本事實或推論求線段長的方法：先確定圖中的平行線，再根據(jù)平行線截得的線段間的比例關(guān)系，寫出一個含有待求線段和已知線段的比例式，構(gòu)造出方程，解方程求出待求線段的長.知2－練3-1.如圖，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9，求BC，BF的長.知2－練

感悟新知知3－講知識點平行線截三角形相似的定理31.定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.“和其他兩邊相交”是指和其他兩邊所在直線相交.感悟新知知3－講數(shù)學表達式：如圖27.2-8，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.知3－講感悟新知特別提醒●書寫兩個三角形相似時，要把表示對應(yīng)頂點的大寫字母寫在對應(yīng)的位置上.知3－講感悟新知●根據(jù)定理得到的相似三角形的三個基本圖形中都有BC∥DE，圖27.2-8①②很像大寫字母A，故我們稱之為“A”型相似；圖27.2-8③很像大寫字母X，故我們稱之為“X”型相似(也像阿拉伯數(shù)字“8”).感悟新知知3－講2.作用：本定理是相似三角形判定定理的預(yù)備定理，它通過平行證三角形相似，再由相似證對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.感悟新知知3－練如圖27.2-9所示，已知在?ABCD

中，E為AB

延長線上的一點，AB=3BE，DE

與BC

相交于點F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.例4

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“平行線截三角形相似的兩種基本圖形：“A”型和“X”型進行查找.解：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△CDF∽△AED.∵AB=CD，AB=3BE，∴CD=3BE.知3－練感悟新知

求相似比不僅要找準對應(yīng)邊，還需注意兩個三角形的先后順序，若順序顛倒，則相似比成為原來相似比的倒數(shù).知3－練感悟新知4-1.

[中考·玉林]如圖，AB∥EF∥DC，AD

∥BC，EF與AC

交于點G，則圖中的相似三角形共有()A.3對

B.5對C.6對D.8對C感悟新知知3－練如圖27.2-10，在?ABCD

中，AE=EB，AF=2，則FC=________.例54知3－練感悟新知解題秘方：判斷是用平行線截線段成比例，還是用平行線截三角形相似的對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

C感悟新知知4－講知識點三邊關(guān)系判定三角形相似定理41.相似三角形的判定定理：三邊成比例的兩個三角形相似.知4－講感悟新知特別提醒由三邊成比例判定兩三角形相似的方法與三邊對應(yīng)相等判定三角形全等的方法類似，只需把三邊對應(yīng)相等改為三邊成比例即可.感悟新知知4－講

知4－練感悟新知圖27.2-12、圖27.2-13中小正方形的邊長均為1，則圖27.2-13中的哪一個三角形(陰影部分)與圖27.2-12中的△ABC

相似？例6

知4－練感悟新知解題秘方：利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求三角形各邊的長，緊扣“三邊成比例的兩個三角形相似”，用計算比較法判斷.知4－練感悟新知

知4－練感悟新知

D感悟新知知5－講知識點邊角關(guān)系判定三角形相似定理51.相似三角形的判定定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.知5－講感悟新知特別提醒運用該定理證明兩三角形相似時，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對應(yīng)邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS方法.感悟新知知5－講

感悟新知知5－練如圖27.2-15，在正方形ABCD中，P是BC上的一點，且BP=3PC，Q

是CD

的中點.求證：△ADQ∽△QCP.例7知5－練感悟新知

解題秘方：緊扣“邊角關(guān)系判定三角形相似定理”證明即可.知5－練感悟新知技巧點撥：利用兩邊成比例且夾角相等證兩三角形相似的方法先找出兩個三角形中相等的那個角；再分別找出兩個三角形中夾這個角的兩條邊，并按大小排列找出對應(yīng)邊；最后證明這兩組對應(yīng)邊成比例.知5－練感悟新知7-1.如圖，在△ABC中，D，E

分別在AB

與AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4.求證：△ADE∽△ACB.知5－練感悟新知知6－講感悟新知知識點角的關(guān)系判定三角形相似定理61.相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似.感悟新知知6－講特別提醒由兩組角分別相等判定兩個三角形相似，其關(guān)鍵是找準對應(yīng)角.一般地，相等的角是對應(yīng)角．如：公共角、對頂角、同角(等角)的余角(補角)、同弧所對的圓周角等都是相等的角，解題時要注意挖掘題目中的隱含條件.感悟新知2.數(shù)學表達式如圖27.2-16所示，在△ABC

和△DEF

中，∵∠A=∠D，且∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF.知6－講感悟新知3.常見的相似三角形的類型：平行線型：如圖27.2-17①，若DE∥BC，則△ADE

∽△ABC.(2)相交線型：如圖27.2-17②，若∠AED=∠B，則△AED∽△ABC.知6－講感悟新知(3)“子母”型：如圖27.2-17③，若∠ACD=∠B，則△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如圖27.2-17④，若∠A=∠D=∠BCE=90°，則△ACB∽△DEC，整體像一個橫放的字母K，所以稱為“K”型相似.知6－講知6－練感悟新知如圖27.2-18，，在△ABC

中，AD是∠BAC

的平分線，AD

的垂直平分線交AD

于點E，交BC

的延長線于點F.求證：△ABF∽△CAF.例8

知6－練感悟新知解題秘方：緊扣“兩組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似”，由于∠BFA

是公共角，因此只需利用圖形的相關(guān)性質(zhì)說明∠B

=∠4即可證明.知6－練感悟新知證明：∵EF

垂直平分AD，∴AF=DF.∴∠FAD=∠3.∵AD

是∠BAC

的平分線，∴∠1=∠2.又∵∠B=∠3－∠1，∠4=∠FAD－∠2，∴∠B=∠4.又∵∠BFA=∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知6－練感悟新知8-1.如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延長

AD，BC相交于點E.求證：(1)

△ACE

∽△BDE；證明：∵∠ADB＝∠ACB，∴∠BDE＝∠ACE.又∵∠E＝∠E，∴△ACE∽△BDE.知6－練感悟新知(2)BE·CD=AB·DE.

知6－練感悟新知8-2.

[中考·懷化]如圖，點A，B，C，D

在⊙O上，AB=CD．求證：(1)AC=BD；證明：∵AB＝CD，∴AC＝BD.∴AC＝BD.︵︵︵︵知6－練感悟新知(2)

△ABE∽△

DCE.證明：∵∠A＝

∠D，∴∠B＝

∠C.∴

△ABE∽△DCE.感悟新知知7－講知識點直角三角形相似的判定71.直角三角形相似的判定方法：(1)一組銳角相等的兩直角三角形相似；(2)兩組直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似；(3)斜邊與一組直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似.知7－講感悟新知特別提醒左欄所述三種直角三角形相似的判定方法，教材中并沒有作為定理給出，所以只能作為一種分析問題的依據(jù).感悟新知知7－講2.數(shù)學表達式：如圖27.2-19，在Rt△ABC

和

Rt△A′B′C′中，∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.感悟新知知7－講

知7－練感悟新知在Rt△ABC

和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列條件中,不能判定這兩個三角形相似的是()A.∠A=55°，∠D=35°B.AC=9，BC=12，DF=6，EF=8C.AC=3，BC=4，DF=6，DE=8D.AB=10，AC=8，DE=15，EF=9例9知7－練感悟新知解題秘方：緊扣“判定直角三角形相似的思路”一一進行驗證.解：A.∵∠A=55°，∴∠B=90°－55°=35°.∵∠D=35°，∴∠B=∠D.又∵∠C=∠F=90°，∴△ABC∽△EDF.知7－練感悟新知

知7－練感悟新知

答案：C知7－練感悟新知9-1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB

于點D，圖中共有哪幾對相似三角形？并選擇其中一對進行證明.知7－練感悟新知解：圖中共有3對相似三角形，分別為△ACD

∽△ABC，△CDB

∽△ACB，△ACD

∽△CBD(選擇不唯一)證明△ACD

∽△ABC如下：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，∴∠ADC=90°=∠ACB.又∵∠A

=∠A，∴△ACD∽△ABC.知7－練感悟新知

知7－練感悟新知

相似三角形的判定平行線的性質(zhì)平行線截對應(yīng)線段成比例相似三角形的判定相似三角形的定義相似三角形的判定定理平行線截三角形相似27.2相似三角形第二十七章相似第2課時相似三角形的性質(zhì)逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2相似三角形對應(yīng)線段的比相似三角形面積的比知識點相似三角形對應(yīng)線段的比知1－講11.定理：相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.即：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.知1－講特別提醒：(1)注意“對應(yīng)”二字，應(yīng)用時要找準對應(yīng)線段；(2)相似比是有順序的，不能顛倒相似三角形中元素的順序.知1－講深度理解對應(yīng)高、對應(yīng)中線與對應(yīng)角平分線分別是指相似三角形對應(yīng)邊上的高、中線與對應(yīng)內(nèi)角的平分線.知1－講2.相似三角形周長的比：相似三角形周長的比等于它們的相似比.知1－練例1如圖27.2-38，在△ABC中，AD是BC邊上的高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且長邊FG在BC上，AD與EH的交點為P，矩形相鄰兩邊的比為1∶2.若BC=30cm，AD=10cm，求矩形EFGH的周長.知1－練解題秘方：利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比求解.知1－練

知1－練

D知1－練如果兩個相似三角形的相似比是3∶2，它們的周長差為8，那么較大的三角形的周長為_______

.例2解題秘方：緊扣“相似三角形的周長比等于相似比”列方程求解.知1－練

知1－練答案：24也可設(shè)較小的三角形的周長為2x，較大的三角形的周長為3x.∴3x－2x=8，∴x=8，∴較大的三角形的周長為3x=24.知1－練2-1.已知兩個相似三角形的對應(yīng)邊之比為1∶3，則它們的周長比為()A.1∶9B.9∶1C.1∶6D.1∶3D知1－練

B知2－講知識點相似三角形面積的比2

知2－講2.相似多邊形面積的比：相似多邊形面積的比等于相似比的平方.知2－講特別提醒面積的比是相似比的平方，不要與對應(yīng)線段的比、周長的比等于相似比混淆.知2－練如圖27.2-39，△ABC∽△A′B′C′，BC=6，B′C′=4，AD⊥BC于點

D，AD=4，求△A′B′C′的面積.例3解題秘方：利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方求解.

知2－練不要誤認為相似三角形面積的比等于相似比.知2－練3-1.[中考·遂寧]如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC

的中點，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為()A.12cm2

B.9cm2C.6cm2

D.3cm2B相似三角形的性質(zhì)相似比對應(yīng)線段面積相似三角形的性質(zhì)周長27.2相似三角形第二十七章相似第3課時相似三角形應(yīng)用舉例逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2利用影子測量物體的高度利用標桿測量物體的高度利用鏡子的反射測量物體的高度利用相似測量寬度知識點利用影子測量物體的高度知1－講11.測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，在有太陽光的前提下，通常將參照物高及其影長、被測物高及其影長構(gòu)造相似三角形模型，利用“相似三角形對應(yīng)邊成比例”的原理解決.知1－講2.測量方法：在同一時刻測量出太陽光下參照物和被測物體的影長，再根據(jù)參照物的高度和“在同一時刻太陽光下物體的高度與影長成比例”的原理計算出被測物體的高度.知1－講特別提醒運用此測量方法時，要符合下列兩個條件：1.被測物體的底部能夠到達；2.由于影長可能隨著太陽的運動而變化，因此要在同一時刻測量參照物與被測物體的影長.知1－練例1某一時刻，身高1.6m的小明在太陽光下的影長是0.4m，同一時刻同一地點，測得某旗桿的影長是5m，則該旗桿的高度是()A．1.25m B．10mC．20m D．8m解題秘方：用“在同一時刻太陽光下物體的高度與影長成比例”求解.知1－練解：設(shè)該旗桿的高度是xm，根據(jù)題意，得1.6∶0.4=x∶5，解得x=20，即該旗桿的高度是20m.答案：C知1－練1-1.[中考·杭州]某項目學習小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標桿DE直立在同一水平地面上(如圖)．同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB

⊥BC，DE

⊥EF，DE=2.47m，

則AB

＝_______m．9.88知2－講知識點利用標桿測量物體的高度21.測量原理：用標桿與被測物體平行構(gòu)造相似三角形.知2－講2.測量方法：(1)測量出標桿的長度、觀測者眼睛到地面的高度；(2)讓標桿豎直立于地面，調(diào)整觀測者的位置，使觀測者的眼睛、標桿頂端和被測物體頂端恰好在一條直線上，測量出觀測者的腳距標桿底端的距離和距被測物體底端的距離；(3)根據(jù)標桿與被測物體平行推導出兩個三角形相似，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出被測物體的高度.知2－講特別提醒利用標桿測量物體的高度是生活中經(jīng)常采用的方法，使用這種方法時，觀測者的眼睛、標桿頂端和被測物體頂端必須“三點共線”，注意標桿與地面要垂直，同時被測物體底部必須可到達.知2－練如圖27.2-47，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，則樹高AB=______m.例2知2－練解題秘方：本題關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊的比相等列出方程求解.知2－練

知2－練

C知3－講知識點利用鏡子的反射測量物體的高度31.測量原理：利用鏡子的反射，先根據(jù)反射角等于入射角的原理構(gòu)造相似三角形，再計算所求物體的高度.2.測量方法(1)在觀測者與被測物體之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個標記；知3－講特別提醒●測量時被測物體與人之間不能有障礙物，且鏡子要水平放置.●利用物理學中的“反射角等于入射角”及“等角的余角相等”的知識可以知道，反射光線和入射光線與鏡面的夾角相等.找到一組銳角對應(yīng)相等，創(chuàng)造相似條件.(2)測出觀測者眼睛到地面的高度；(3)觀測者看著鏡子來回走動，直至看到被測物體頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記重合，此時測出鏡子上的標記位置到觀測者腳底的距離及到被測物體底端的距離；(4)根據(jù)兩角分別對應(yīng)相等推導出兩個三角形相似，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出被測物體的高度.知3－講知3－練如圖27.2-48是一名同學設(shè)計的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖，在點P處水平放一平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好照到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，測得AB=2米，BP=3米，PD=12米，求該古城墻CD的高度.例3知3－練解題秘方：由反射原理及AB⊥BD，CD⊥BD，可得△ABP∽△CDP，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出CD的長.知3－練

知3－練3-1.如圖，小明為測量學校旗