湖北省武漢市洪山區(qū)2024屆九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023-2024學(xué)年湖北省武漢市洪山區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將正確答案的標(biāo)號(hào)涂黑.1．在下列代表體育運(yùn)動(dòng)的圖標(biāo)中，屬于中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．將一元二次方程x2+1＝﹣6x化為一般形式后，常數(shù)項(xiàng)為1，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（）A．1，6 B．1，﹣6 C．1，1 D．﹣1，13．把拋物線y＝2x2向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線是（）A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）24．亞洲青年運(yùn)動(dòng)會(huì)的圖標(biāo)如圖所示，該圖案繞中心旋轉(zhuǎn)n°后，能與原來(lái)的圖案重合，那么n的值可能是（）A．45 B．30 C．60 D．1205．判斷方程x2﹣9x+10＝0的根的情況是（）A．有一個(gè)實(shí)根 B．有兩個(gè)相等實(shí)根 C．有兩個(gè)不等實(shí)根 D．沒(méi)有實(shí)根6．如圖，點(diǎn)C是⊙O的優(yōu)弧上一點(diǎn)，∠AOB＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．40° B．140° C．80° D．60°7．某初中建成于2021年，9月新入校七年級(jí)學(xué)生100人（2021年該校無(wú)八、九年級(jí)學(xué)生）．連續(xù)招生三年截至2023年9月新生報(bào)到后，該校三個(gè)年級(jí)合計(jì)共有364名學(xué)生．在不考慮學(xué)生轉(zhuǎn)入或轉(zhuǎn)出的情況下，設(shè)該校每年新生人數(shù)年平均增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)以上信息可以列出方程為（）A．100（1+x）2＝364 B．100+100（1+x）＝364 C．100+100（1+x）2＝364 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝3648．已知點(diǎn)A（a，2），B（b，2），C（c，﹣1）都在拋物線y＝m（x﹣2）2+m2+4上，若m＜0，且點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)C在第三象限，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b9．已知函數(shù)y＝x2﹣4x的圖象上有兩點(diǎn)A（m，1）和B（n，1），則的值等于（）A．22 B．20 C．17 D．010．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝1，AD＝BD＝CD＝2，則AC＝（）A． B． C． D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）將答案直接寫在答題卡指定的位置上.11．點(diǎn)A（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為．12．如圖，在△ABC中，AB為⊙O直徑，∠B＝50°，∠C＝60°，則∠BOD＝°．13．拋物線y＝x2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．14．若小唐同學(xué)擲出的鉛球在場(chǎng)地上砸出一個(gè)直徑為8cm、深為2cm的小坑，則該鉛球的直徑為cm．15．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，以下四個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②8a+c＜0；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，有am2+bm≥﹣4a﹣c；④對(duì)于實(shí)數(shù)，若（n，y1），（n+1，y2）為拋物線上兩點(diǎn)，則y1＜y2；其中正確的是（填寫序號(hào)）．16．如圖所示，直線l繞平行四邊形ABCD頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，分別過(guò)點(diǎn)B，C，D作l的垂線段，垂足分別為M，N，P．已知∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝5，則BM+CN+DP的最大值為．三、解答題（共8小題，共72分）在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過(guò)程或證明過(guò)程.17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．18．如圖，將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△DBE，點(diǎn)E在邊AC上．已知∠C＝40°，求∠ABD的度數(shù)．19．一張小茶幾的桌面長(zhǎng)為6dm，寬為4dm，長(zhǎng)方形桌布的面積為桌面面積的2倍，將桌布鋪在桌子上，四邊垂下的長(zhǎng)度相同（四個(gè)角除外），求桌布的長(zhǎng)和寬．20．如圖所示，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，D為圓周上一點(diǎn)．（1）求證：BD平分∠ADC；（2）若CD＝1，AD＝2，求BD的長(zhǎng)度．21．如圖，在11×6長(zhǎng)方形的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位長(zhǎng)度，我們把每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，A，B，C均為格點(diǎn)．請(qǐng)你用一把無(wú)刻度直尺完成作圖，保留作圖痕跡．（1）以C為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段CD，連接AD；（2）作CE⊥AD于E；（3）將△BCA繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B'CA'，旋轉(zhuǎn)角度等于∠BAC．22．某橋梁因交通事故導(dǎo)致?lián)矶拢鶕?jù)車流量監(jiān)控統(tǒng)計(jì)，7：00時(shí)該橋梁上車輛共計(jì)200輛，累計(jì)駛?cè)胲囕v數(shù)y（單位：輛）與累計(jì)駛出車輛數(shù)w（單位：輛）隨統(tǒng)計(jì)時(shí)間t（單位：min）變化的結(jié)果如表所示：統(tǒng)計(jì)時(shí)間t/min1234…累計(jì)駛?cè)胲囕v數(shù)y/輛200380540680…累計(jì)駛出車輛數(shù)w/輛306090120…在當(dāng)前時(shí)段，我們可以把累計(jì)駛?cè)胲囕v數(shù)y與t之間看作二次函數(shù)關(guān)系，把累計(jì)駛出車輛數(shù)w與t之間看作一次函數(shù)關(guān)系．（1）直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式和w關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）當(dāng)橋梁上車輛累計(jì)到達(dá)760輛時(shí)，將觸發(fā)擁堵黃色預(yù)警．按照當(dāng)前車流量計(jì)算，第幾分鐘將觸發(fā)擁堵黃色預(yù)警？（3）當(dāng)橋梁上車輛累計(jì)到達(dá)1000輛時(shí)，將觸發(fā)擁堵紅色預(yù)警．從統(tǒng)計(jì)開(kāi)始5分鐘時(shí)（即7：05時(shí)），交通事故解除，駛出橋梁的車輛每min增加30輛．試計(jì)算擁堵紅色預(yù)警是否會(huì)被觸發(fā)？23．已知△ABC為等邊三角形，D為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，CD．【問(wèn)題研究】如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)時(shí)，以B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BCD逆時(shí)計(jì)旋轉(zhuǎn)60°至△BAE，連接ED，則△BED的形狀為；延長(zhǎng)CD交AE于M，求∠AMC的度數(shù)；【問(wèn)題拓展】如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外時(shí)，取BD中點(diǎn)E，連接AE，作EM⊥AE交CD的垂直平分線于M，連接DM，CM，試求∠DMC的度數(shù)．24．如圖1，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．（1）直接寫出A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)E位于第四象限．若由B，C，D，E四點(diǎn)組成的平行四邊形面積為30，求E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2所示，過(guò)A作兩條直線分別交拋物線于第一象限點(diǎn)P，Q，交y軸于M，N，OM?ON＝n．當(dāng)n為定值時(shí)，直線PQ是否必定經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，請(qǐng)你求出該定點(diǎn)坐標(biāo)（用含n的式子表示）；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將正確答案的標(biāo)號(hào)涂黑.1．解：選項(xiàng)A、B、D均不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形；選項(xiàng)C能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形；故選：C．2．解：一元二次方程x2+1＝﹣6x化為一般形式是x2+6x+1＝0，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為：1，6．故選：A．3．解：∵拋物線y＝2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），∴得到的拋物線解析式是y＝2x2+1．故選：A．4．解：該圖形被平分成八部分，旋轉(zhuǎn)45°的整數(shù)倍，就可以與自身重合，故n的最小值為45．故選：A．5．解：∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×10＝41＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．6．解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＝80°，∴∠ACB＝40°，故選：A．7．解：∵該校2021年9月新入校七年級(jí)學(xué)生100人，且該校每年新生人數(shù)年平均增長(zhǎng)率為x，∴該校2022年9月新入校七年級(jí)學(xué)生100（1+x）人，2023年9月新入校七年級(jí)學(xué)生100（1+x）2人．根據(jù)題意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．故選：D．8．解：∵拋物線y＝m（x﹣2）2+m2+4（m＜0），∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)A（a，2），B（b，2），C（c，﹣1）都在拋物線y＝m（x﹣2）2+m2+4上，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)C在第三象限，∴點(diǎn)A（a，2），C（c，﹣1）在對(duì)稱軸的左側(cè)，∴c＜a＜b；故選：D．9．解：∵函數(shù)y＝x2﹣4x的圖象上有兩點(diǎn)A（m，1）和B（n，1），∴m2﹣4m＝1，把y＝1代入y＝x2﹣4x得，x2﹣4x﹣1＝0，∵函數(shù)y＝x2﹣4x的圖象上有兩點(diǎn)A（m，1）和B（n，1），∴m，n是方程x2﹣4x＝1的兩個(gè)根，∴mn＝﹣1，m+n＝4，∴m＝﹣，∴＝2m2﹣3m+5n＝2（m2﹣4m）+5（m+n）＝2×1+5×4＝22．故選：A．10．解：如圖，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作⊙D，由于DA＝DB＝DC＝2，所以點(diǎn)B、點(diǎn)C也在圓上，延長(zhǎng)AD交⊙D于點(diǎn)F，∵AD∥BC，∴＝，∴AB＝CF＝1，∵AF是⊙D的直徑，∴∠ACF＝90°，在Rt△ACF中，AF＝2AD＝4，CF＝1，∴AC＝＝．故選：B．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）將答案直接寫在答題卡指定的位置上.11．解：點(diǎn)A（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為：（﹣1，2）．故答案為：（﹣1，2）．12．解：∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝70°，∴∠BOD＝2∠A＝140°．13．解：∵y＝x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，∴拋物線y＝x2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，2）．故答案為：（﹣1，2）．14．解：設(shè)該鉛球的半徑是rcm．在由鉛球的半徑、小坑的半徑即半弦和弦心距組成的直角三角形中，根據(jù)勾股定理，得r2＝（r﹣2）2+16，解得r＝5，故2r＝10．故答案為：10．15．解：由圖象可知，a＞0，c＜0，∵對(duì)稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0．故①正確；∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，0），∴9a+3b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∵a＞0，∴8a+c＝3a+c+5a＞0，故②錯(cuò)誤；由②知，c＝﹣3a，∵a＞0，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，有am2+bm+c≥﹣4a，即am2+bm≥﹣4a﹣c，故③正確；當(dāng)n＞時(shí)，n+1＞∵對(duì)稱軸為直線x＝1，∴n+1﹣1＞，1﹣n＜，∴y1＜y2．故④正確；故答案為：①③④．16．解：連接AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OT⊥直線l于T，在OT的延長(zhǎng)線上截取TR＝OT，連接RN，ON，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，如圖所示：∵DP⊥直線l，BM⊥直線l，∴四邊形BMPD為直角梯形，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴點(diǎn)O為BD，AC的中點(diǎn)，∵OT⊥直線l，∴OT∥BM∥DP，∴OT為梯形BMPD的中位線，∴BM+DP＝2OT，∵TR＝OT，∴OR＝2OT＝BM+DP，∵CN⊥直線l，在Rt△ACN中，點(diǎn)O為斜邊AC的中點(diǎn)，∴ON＝OA＝OC，∴△OAN為等腰三角形，又∵OT⊥AN，∴AT＝NT，在△OAT和△RNT中，，∴△OAT≌△RNT（SAS），∠AOT＝∠R，∴OA∥RN，即OC∥RN，∵CN⊥直線l，OT⊥直線l，∴OR∥CN，∴四邊形CNRO為平行四邊形，∴CN＝OR＝BM+DP，∴BM+CN+DP＝2CN，要求BM+CN+DP的最大值，只需求出CN的最大值即可，根據(jù)“垂線段最短”可知：CN≤CA，∴CN的最大值為線段CA的長(zhǎng)，∵∠ABC＝60°，BC＝5，CE⊥AB，在Rt△CBE中，∠BCE＝90°﹣∠ABC＝30°，∴BE＝BC＝2.5，由勾股定理得：CE＝＝，∵AB＝6，BE＝2.5，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣2.5＝3.5，在Rt△ACE中，由勾股定理得：CA＝＝，∴CN的最大值為，∴BM+CN+DP的最大值為．故答案為：．三、解答題（共8小題，共72分）在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過(guò)程或證明過(guò)程.17．解：（x+1）（x﹣5）＝0，則x+1＝0或x﹣5＝0，∴x＝﹣1或x＝5．18．解：∵將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△DBE，點(diǎn)E在邊AC上，∴旋轉(zhuǎn)角∠EBC＝∠ABD，EB＝EC，而∠C＝40°，∴∠BEC＝∠C＝40°，∴∠EBC＝∠ABD＝180°﹣40°﹣40°＝100°．19．解：設(shè)桌布垂下的長(zhǎng)度為xdm，則由題意，得（6+2x）（4+2x）＝2×4×6．整理方程，得4x2+20x﹣24，即x2+5x﹣6＝0，解得x1＝﹣6（不合題意，舍去），x2＝1．當(dāng)x＝1時(shí)，桌布的長(zhǎng)為2+6＝8（dm），桌布的寬為2+4＝6（dm）．答：桌布的長(zhǎng)和寬分別為8dm和6dm．20．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∠CBD＝∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠CDB，即BD平分∠ADC；（2）解：在DB截取DE＝DC＝1，如圖，∵∠CDE＝60°，DE＝DC，∴△DEC為等邊三角形，∴CE＝CD，∠DEC＝60°，∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝120°，∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝120°，∴∠BEC＝∠ADC，∵∠CBE和∠CAD都對(duì)，∴∠CBE＝∠CAD，∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝CA，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（AAS），∴BE＝AD＝2，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3．21．解：（1）如圖，線段CD即為所求；（2）如圖，線段CE即為所求；（3）如圖，△B'CA'即為所求．22．解：（1）設(shè)y關(guān)于t的函數(shù)解析式為y＝at2+bt+c（a≠0），把（1，200），（2，380），（3，540）代入解析式得：，解得，∴y關(guān)于t的函數(shù)解析式為y＝﹣10t2+210t；設(shè)w關(guān)于t的函數(shù)解析式為w＝mx+n（m≠0），把（1，30），（2，60）代入解析式得：，解得，∴w關(guān)于t的函數(shù)解析式為w＝30t；（2）當(dāng)y﹣w+200＝760時(shí)，即﹣10t2+210t﹣30t+200＝760，解得t1＝4，t2＝14，∴從第4分鐘將觸發(fā)擁堵黃色預(yù)警；（3）設(shè)橋梁上車輛累計(jì)Q輛，當(dāng)t≤5時(shí)，Q＝y(tǒng)﹣w+200＝﹣10t2+210t﹣30t+200＝﹣10t2+180t+200＝﹣10（t﹣9）2+1010，∵﹣10＜0，∴當(dāng)t＜9時(shí)，Q隨x的增大而增大，∴當(dāng)t＝5時(shí)，Q有最大值，最大值為850，850＜1000，∴前5分鐘會(huì)觸發(fā)擁堵紅色預(yù)警；當(dāng)t＞5時(shí)，w＝60（t﹣5）＝60t﹣300，Q＝y(tǒng)﹣w+200＝﹣10t2+210t﹣（60t﹣300）＝﹣10t2+150t+300＝﹣10（t﹣7.5）2+1062.5，∵﹣10＜0，∴當(dāng)t＝7.5時(shí)，Q有最大值，最大值為1062.5，1062.5＞100，∴會(huì)觸發(fā)擁堵紅色預(yù)警．23．解：（1）延長(zhǎng)CD交AE于M，如圖：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠DBE＝60°，△ABE≌△CDB，∴BD＝BE，∠AEB＝∠BDC，∴△BDE是等邊三角形，∴∠BDE＝∠BED＝60°，∴∠AED＝∠AEB﹣60°，∠EDM＝180°﹣∠BDC﹣60°＝120°﹣∠BDC，∴∠AMC＝∠AED+∠EDM＝∠AEB﹣60°+120°﹣∠BDC＝60°；故答案為：等邊三角形；（2）延長(zhǎng)ME到N，使EN＝EM，連接AM，AN，BN，延長(zhǎng)BN與CM交于點(diǎn)O，BO與AM交于點(diǎn)Q，如圖：∵E是BD中點(diǎn)，∴BE＝DE，又∵EM＝EN，∠BEN＝∠DEM，∴△BEN≌△DEM（SAS），∴BN＝DM，∠EBN＝∠EDM，∴BN∥DM，∵D在CD的垂直平分線上，∴DM＝CM，∴BN＝CM，∵EM＝EN，AE⊥EM，∴△AMN是等腰三角形，∴AM＝AN，又∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∴△ABN≌△ACM（SSS），∴∠ANB＝∠AMC，∠BAN＝∠CAM，∴∠ANO＝∠AMO，又∵∠BAN+∠NAC＝∠BAC＝60°，∴∠NAC+∠CAM＝∠NAM＝60°，又∵∠AQN＝∠OQM，∴∠O＝∠NAM＝60°，又∵BN∥DM，∴∠OMD＝∠O＝60°，∴∠DMC＝180°﹣60°＝120°．24．解：（1）對(duì)于y＝﹣x2+2x+3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，當(dāng)y＝﹣x2+2x+3＝0時(shí)，x＝﹣1或3，即點(diǎn)A、B、C