安徽省定遠縣中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

安徽省定遠縣中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．同時具有性質(zhì)：“①最小正周期是；②圖象關(guān)于直線對稱；③在上是單調(diào)遞增函數(shù)”的一個函數(shù)可以是（）A． B．C． D．2．已知，函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則可能的值為（）A． B． C． D．3．在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，，則的面積為（）A． B． C． D．4．如果，并且，那么下列不等式中不一定成立的是（）A． B． C． D．5．下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的平面幾何圖形．此圖由兩個圓構(gòu)成，O為大圓圓心，線段AB為小圓直徑．△AOB的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色月牙部分記為Ⅱ，兩小月牙之和（斜線部分）部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（）A． B． C． D．6．已知實數(shù)滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．67．已知都是正數(shù),且，則的最小值等于A． B．C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．如圖，有一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，汽車在點測得公路北側(cè)山頂?shù)难鼋菫?0°，汽車行駛后到達點測得山頂在北偏西30°方向上，且仰角為45°，則山的高度為（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的前項和為，且，則()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若點，是圓C：上不同的兩點，且，則的值為______.12．已知扇形的面積為，圓心角為，則該扇形半徑為__________．13．已知向量，滿足，且在方向上的投影是，則實數(shù)_______.14．已知為第二象限角，且，則_________.15．函數(shù)的定義域________．16．已知數(shù)列滿足：，，則使成立的的最大值為_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．我市某商場銷售小飾品，已知小飾品的進價是每件3元，且日均銷售量件與銷售單價元可以用這一函數(shù)模型近似刻畫.當銷售單價為4元時，日均銷售量為400件，當銷售單價為8元時，日均銷售量為240件.試求出該小飾品的日均銷售利潤的最大值及此時的銷售單價.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，且，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若為的中點，求證：平面．19．如圖，是正方形，是該正方形的中心，是平面外一點，底面，是的中點.求證：（1）平面；（2）平面平面.20．已知函數(shù)（其中，）的最小正周期為，且圖象經(jīng)過點（1）求函數(shù)的解析式：（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．21．設(shè)角，，其中：（1）若，求角的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一檢驗，可得結(jié)論．【題目詳解】A,對于y＝cos（），它的周期為4π，故不滿足條件．B,對于y＝sin（2x），在區(qū)間上，2x∈[，]，故該函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故不滿足條件．C,對于y＝cos（2x），當x時，函數(shù)y，不是最值，故不滿足②它的圖象關(guān)于直線x對稱，故不滿足條件．D,對于y＝sin（2x），它的周期為π，當x時，函數(shù)y＝1，是函數(shù)的最大值，滿足它的圖象關(guān)于直線x對稱；且在區(qū)間上，2x∈[，]，故該函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，滿足條件．故選：D．【題目點撥】本題主要考查了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．2、C【解題分析】

直接利用三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用求出結(jié)果.【題目詳解】解：由函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，當時，.故選：C.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【題目詳解】，，又，，由余弦定理可得，可得，所以，的面積為.故選：B.【題目點撥】本題考查三角形面積的計算，同時也考查了余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.4、D【解題分析】

不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，可判定A的真假；a>b，-1>-2，根據(jù)同向不等式可以相加，可判定B的真假；根據(jù)a-b>0則b-a<0，進行判定C的真假；a的符號不確定，從而選項D不一定成立，從而得到結(jié)論．【題目詳解】∵a，b∈R，并且a>b，∴?a<?b，故A一定正確；a>b，?1>?2，根據(jù)同向不等式可以相加得，a?1>b?2，故B一定正確；a?b>0則b?a<0，所以a?b>b?a，故C一定正確；不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變,不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變，而a的符號不確定，故D不一定正確.故選D.【題目點撥】本題主要考查利用不等式的性質(zhì)判斷不等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

設(shè)OA＝1，則AB，分別求出三個區(qū)域的面積，由測度比是面積比得答案．【題目詳解】設(shè)OA＝1，則AB，，以AB中點為圓心的半圓的面積為，以O(shè)為圓心的大圓面積的四分之一為，以AB為弦的大圓的劣弧所對弓形的面積為π﹣1，黑色月牙部分的面積為π﹣（π﹣1）＝1，圖Ⅲ部分的面積為π﹣1．設(shè)整個圖形的面積為S，則p1，p1，p3．∴p1＝p1＞p3，故選D．【題目點撥】本題考查幾何概型概率的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，正確求出各部分面積是關(guān)鍵，是中檔題．6、D【解題分析】

設(shè)點，根據(jù)條件知點均在單位圓上，由向量數(shù)量積或斜率知識，可發(fā)現(xiàn)，對目標式子進行變形，發(fā)現(xiàn)其幾何意義為兩點到直線的距離之和有關(guān).【題目詳解】設(shè)，，均在圓上，且，設(shè)的中點為，則點到原點的距離為，點在圓上，設(shè)到直線的距離分別為，，，.【題目點撥】利用數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義，即構(gòu)造系數(shù)，才能看出目標式子的幾何意義為兩點到直線距離之和的倍.7、C【解題分析】

,故選C.8、B【解題分析】因為，所以由題設(shè)在只有一個零點且單調(diào)遞減，則問題轉(zhuǎn)化為，即，應(yīng)選答案B．點睛：解答本題的關(guān)鍵是如何借助題設(shè)條件建立不等式組，這是解答本題的難點，也是解答好本題的突破口，如何通過解不等式使得問題巧妙獲解．9、D【解題分析】

通過題意可知：，設(shè)山的高度，分別在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【題目詳解】由題意可知：.在中，.在中，.在中，由余弦定理可得：（舍去），故本題選D.【題目點撥】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，弄清題目中各個角的含義是解題的關(guān)鍵.10、D【解題分析】

通過和關(guān)系，計算通項公式，再計算，代入數(shù)據(jù)得到答案.【題目詳解】，取，兩式相減得：是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.故答案選D【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，前N項和，意在考查學(xué)生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由，再結(jié)合坐標運算即可得解.【題目詳解】解：因為點，是圓C：上不同的兩點，則，，又所以，即，故答案為：.【題目點撥】本題考查了向量模的運算，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.12、2【解題分析】

將圓心角化為弧度制，再利用扇形面積得到答案.【題目詳解】圓心角為扇形的面積為故答案為2【題目點撥】本題考查了扇形的面積公式，屬于簡單題.13、1【解題分析】

在方向上的投影為，把向量坐標代入公式，構(gòu)造出關(guān)于的方程，求得.【題目詳解】因為，所以，解得：，故填：.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積定義中投影的概念、及向量數(shù)量積的坐標運算，考查基本運算能力.14、.【解題分析】

先由求出的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出、即可.【題目詳解】因為為第二象限角，且，所以，解得，再由及為第二象限角可得、，此時.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查兩角差的正切公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，屬常規(guī)考題.15、.【解題分析】

根據(jù)反正弦函數(shù)的定義得出，解出可得出所求函數(shù)的定義域.【題目詳解】由反正弦的定義可得，解得，因此，函數(shù)的定義域為，故答案為：.【題目點撥】本題考查反正弦函數(shù)的定義域，解題的關(guān)鍵就是正弦值域的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、4【解題分析】

從得到關(guān)于的通項公式后可得的通項公式，解不等式后可得使成立的的最大值.【題目詳解】易知為等差數(shù)列，首項為，公差為1，∴，∴，令，∴，∴.故答案為：4【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項的求法及數(shù)列不等式的解，屬于容易題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當該小飾品銷售單價定位8.5元時，日均銷售利潤的最大，為1210元.【解題分析】

根據(jù)已知條件，求出，利潤，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值，即可求解.【題目詳解】解：由題意，得解得所以日均銷售量件與銷售單價元的函數(shù)關(guān)系為.日均銷售利潤.當，即時，.所以當該小飾品銷售單價定位8.5元時，日均銷售利潤的最大，為1210元.【題目點撥】本題考查函數(shù)實際應(yīng)用問題，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵，考查二次函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）線線垂直先求線面垂直，即平面，進而可得；（Ⅱ）連接D與PC的中點F，只需證明即可．【題目詳解】（Ⅰ）因為，所以．因為平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以．（Ⅱ）證明：取中點，連接，．因為為中點，所以，且．因為，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．所以．因為平面，平面，所以平面．【題目點撥】此題考查立體幾何證明，線線垂直一般通過線面垂直證明，線面平行只需在面內(nèi)找到一個線與已知線平行即可，題目中出現(xiàn)中點一般也要在找其他中點連接，屬于較易題目．19、（1）見解析；（2）見解析．【解題分析】

（1）連接，證明后即得線面平行；（2）可證明平面，然后得面面垂直．【題目詳解】（1）如圖，連接，∵分別是中點，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵，底面，底面，∴，又正方形中，，∴平面，而平面，∴平面平面.【題目點撥】本題考查證明線面平行和面面垂直，掌握線面平行和面面垂直的判定定理是解題關(guān)鍵．20、(1)；(2)，.【解題分析】

（1）根據(jù)最小正周期可求得；代入點，結(jié)合的范圍可求得，從而得到函數(shù)解析式；（2）令，解出的范圍即為所求的單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】（1）最小正周期過點，，解得：，的解析式為：（2）由，得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，【題目點撥】本題考查根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)解析式、正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解；關(guān)鍵是能夠采用整體對應(yīng)的方式來利用正弦函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間求解正弦型函數(shù)的解析式和單調(diào)區(qū)間.21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由，可