江西省宜春市萬載中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

江西省宜春市萬載中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，若關(guān)于x的不等式的解集為，則（）A． B． C．1 D．72．在等比數(shù)列中，則（）A．81 B． C． D．2433．三棱錐則二面角的大小為()A． B． C． D．4．若，，且與夾角為，則（）A．3 B． C．2 D．5．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9，則（）A．6 B．5 C．4 D．36．計算()A． B． C． D．7．某市家庭煤氣的使用量和煤氣費(元)滿足關(guān)系，已知某家庭今年前三個月的煤氣費如下表：月份用氣量煤氣費一月份元二月份元三月份元若四月份該家庭使用了的煤氣，則其煤氣費為（）元A． B． C． D．8．對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖(1)；對變量有觀測數(shù)據(jù)（，得散點圖(2)，由這兩個散點圖可以判斷()A．變量與正相關(guān)，與正相關(guān) B．變量與正相關(guān)，與負相關(guān)C．變量與負相關(guān)，與正相關(guān) D．變量與負相關(guān)，與負相關(guān)9．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知點，，則與向量方向相同的單位向量為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正實數(shù)x，y滿足2x+y=2，則xy的最大值為______.12．若等差數(shù)列的前項和，且，則______________.13．在數(shù)列中，，，，則_____________．14．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為_________.15．水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實際長度為______．16．已知數(shù)列是正項數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且滿足.若，是數(shù)列的前項和，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數(shù)列的前項的和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項和為，求.18．已知向量，，且，.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)的最小值為，求λ值.19．已知三棱柱中,三個側(cè)面均為矩形,底面為等腰直角三角形,,點為棱的中點,點在棱上運動.（1）求證；（2）當(dāng)點運動到某一位置時，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點到平面的距離；（3）在（2）的條件下，試確定線段上是否存在一點，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由.20．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，底面.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.21．?dāng)?shù)列中，，.前項和滿足.（1）求（用表示）；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）若，現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項數(shù)為的有窮數(shù)列，當(dāng)時，；當(dāng)時，.記數(shù)列的前項和，試問：是否能取整數(shù)？若能，請求出的取值集合：若不能，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由韋達定理列方程求出，即可得解．【題目詳解】由已知及韋達定理可得，，，即，，所以．故選：．【題目點撥】本題考查一元二次方程和一元二次不等式的關(guān)系、韋達定理的應(yīng)用等，屬于一般基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】解：因為等比數(shù)列中，則，選A3、B【解題分析】

P在底面的射影是斜邊的中點，設(shè)AB中點為D過D作DE垂直AC，垂足為E，則∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【題目詳解】因為AB＝10，BC＝8，CA＝6所以底面為直角三角形又因為PA＝PB＝PC所以P在底面的射影為直角三角形ABC的外心，為AB中點．設(shè)AB中點為D過D作DE垂直AC，垂足為E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角．因為PD為三角形PAB的中線，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小為60°故答案為60°．【題目點撥】本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，確定出二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．4、B【解題分析】

由題意利用兩個向量數(shù)量積的定義，求得的值，再根據(jù)，計算求得結(jié)果．【題目詳解】由題意若，，且與夾角為，可得，.故選：B．【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積的定義、向量的模的方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意不要錯選成A答案.5、D【解題分析】

由眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可確定，題中中位數(shù)是中間兩個數(shù)的平均數(shù)，這樣可計算出．【題目詳解】由甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，得，乙組數(shù)據(jù)中間兩個數(shù)分別為6和，所以中位數(shù)是，得到，因此.故選：D.【題目點撥】本題考查眾數(shù)和中位數(shù)的概念，掌握眾數(shù)與中位數(shù)的定義是解題基礎(chǔ)．6、A【解題分析】

根據(jù)對數(shù)運算,即可求得答案.【題目詳解】故選:A.【題目點撥】本題主要考查了對數(shù)運算,解題關(guān)鍵是掌握對數(shù)運算基礎(chǔ)知識,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】由題意得：C=4，將（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：∴A=5，B=，故x=20時：f（20）=4+（20﹣5）=11.5.故選：C．點睛：這是函數(shù)的實際應(yīng)用題型，根據(jù)題目中的條件和已知點得到分段函數(shù)的未知量的值，首先得到函數(shù)表達式，再根據(jù)題意讓求自變量為20時的函數(shù)值，求出即可。實際應(yīng)用題型，一般是先根據(jù)題意構(gòu)建模型，列出表達式，根據(jù)條件求解問題即可。8、C【解題分析】

根據(jù)增大時的變化趨勢可確定結(jié)果.【題目詳解】圖（1）中，隨著的增大，的變化趨勢是逐漸在減小，因此變量與負相關(guān)；圖（2）中，隨著的增大，的變化趨勢是逐漸在增大，因此變量與正相關(guān).故選：【題目點撥】本題考查根據(jù)散點圖判斷相關(guān)關(guān)系的問題，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

首先注意到，是函數(shù)的一個零點.當(dāng)時，將分離常數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，畫出的圖像，根據(jù)“函數(shù)與函數(shù)有一個交點”結(jié)合圖像，求得的取值范圍.【題目詳解】解：由恰有兩個零點，而當(dāng)時，，即是函數(shù)的一個零點，故當(dāng)時，必有一個零點，即函數(shù)與函數(shù)必有一個交點，利用單調(diào)性，作出函數(shù)圖像如下所示，由圖可知，要使函數(shù)與函數(shù)有一個交點，只需即可.故實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【題目點撥】本小題主要考查已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10、A【解題分析】

由題得，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，利用列方程即可得解.【題目詳解】由題可得：，設(shè)與向量方向相同的單位向量為，其中，則，解得：或（舍去）所以與向量方向相同的單位向量為故選A【題目點撥】本題主要考查了單位向量的概念及方程思想，還考查了平面向量共線定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于較易題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由基本不等式可得，可求出xy的最大值.【題目詳解】因為，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.故答案為.【題目點撥】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③等號取得的條件.12、【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意建立和的方程組，解出這兩個量，即可求出的值.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列中項的計算，解題的關(guān)鍵就是要建立首項和公差的方程組，利用這兩個基本量來求解，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13、5【解題分析】

利用遞推關(guān)系式依次求值，歸納出：an+6=an，再利用數(shù)列的周期性，得解.【題目詳解】∵a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），∴a3=a2-a1=5-1=4，同理可得：a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…，∴an+6=an．則a2018=a6×336+2=a2=5【題目點撥】本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力.14、【解題分析】

根據(jù)圖像可得，根據(jù)0所在位置，處于函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即可得解.【題目詳解】由圖可得：，或由于0在函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間內(nèi)，所以.故答案為：【題目點撥】此題考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象求參數(shù)的取值，常用代入法求解，判定初相的取值時，根據(jù)圖象結(jié)合單調(diào)性取值.15、【解題分析】

利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，可得為一個直角三角形，且，得，從而得到邊上的中線的實際長度為.【題目詳解】利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，平行于軸或在軸上的線段，長度保持不變；平行于軸或在軸上的線段，長度減半，利用逆向原則，所以為一個直角三角形，且，所以，所以邊上的中線的實際長度為.【題目點撥】本題考查斜二測畫法的規(guī)則，考查基本識圖、作圖能力.16、【解題分析】

利用將變?yōu)?，整理發(fā)現(xiàn)數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，進一步可以求出，再將，代入，發(fā)現(xiàn)可以裂項求的前99項和。【題目詳解】當(dāng)時，符合，當(dāng)時，符合，【題目點撥】一般公式的使用是將變?yōu)?，而本題是將變?yōu)椋o后面的整理帶來方便。先求，再求，再求，一切都順其自然。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）數(shù)列的通項公式為（2）【解題分析】試題分析：（1）建立方程組；（2）由（1）得：進而由裂項相消法求得.試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意知解得.所以數(shù)列的通項公式為（2）∴18、（1），（2）遞增區(qū)間為，（3）【解題分析】

（1）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算，以及模長的求解公式，即可求得兩個函數(shù)的解析式；（2）由（1）可得，整理化簡后，將其轉(zhuǎn)化為余弦型三角函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間即可；（3）求得的解析式，用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，討論二次函數(shù)的最小值，從而求得參數(shù)的值.【題目詳解】（1），.（2）令，得的遞增區(qū)間為，.（3）∵，∴..當(dāng)時，時，取最小值為－1，這與題設(shè)矛盾.當(dāng)時，時，取最小值，因此，，解得.當(dāng)時，時，取最小值，由，解得，與題設(shè)矛盾.綜上所述，.【題目點撥】本題主要考查余弦型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，含的二次型函數(shù)的最值問題，涉及向量數(shù)量積的運算，模長的求解，以及二次函數(shù)動軸定區(qū)間問題，屬綜合基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）；（3）存在，為中點.【解題分析】

（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標(biāo)系，設(shè)E（m，0，2），要證A1C⊥AE，可證,只需證明，利用向量的數(shù)量積運算即可證明；（2）分別求出平面EA1D、平面A1DB的一個法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的條件下，設(shè)F（x，y，0），可知與平面A1DB的一個法向量平行，由此可求出點F坐標(biāo)，進而求出||，即得答案.【題目詳解】（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標(biāo)系，設(shè)E（m，0，2），C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），因為＝0+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，所以⊥，即A1C⊥AE；（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），設(shè)＝（x，y，z）為平面EA1D的一個法向量，則即，取＝（2，m，﹣2m），＝（2，0，﹣1），設(shè)＝（x，y，z）為平面A1DB的一個法向量，則，即，?。剑?，﹣1，2），由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為，得||＝，解得m＝1，平面A1DB的一個法向量＝（1，﹣1，2），根據(jù)點E到面的距離為：.（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）為平面A1DB的一個法向量，設(shè)F（x，y，0），則＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，所以＝（﹣1，1，﹣2），＝＝，故EF的長度為，此時點F（0，1，0）．存在F點為AC中點.【題目點撥】本題考查重點考查直線與平面垂直的性質(zhì)、二面角的平面角及其求法、空間點、線、面間距離計算，考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力．20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）由底面推出，由菱形的性質(zhì)推出，即可推出平面從而得到；（Ⅱ）作，交的延長線于，連接，則二面角的平面角是，由已知條件求出AD，進而求出AE、PD，即可求得.【題目詳解】（Ⅰ）證明：連接，∵底面，底面,∴.∵四邊形是菱形，∴.又∵，平面，平面，∴平面，∴.（Ⅱ）作，交的延長線于，連接.由于，于是平面，平面，，所以二面角的平面角是.設(shè)“”，且底面是菱形，，，，∴.【題目點撥】本題考查線面垂直、線線垂直的證明，二面角的余弦值，屬于中檔題.21、（1）（2）證明見詳解.（3）能取整數(shù),此時的取值集合為.【解題分析】

（1）利用遞推關(guān)