湖北省黃岡市黃梅縣第二中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

湖北省黃岡市黃梅縣第二中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)函數(shù)的圖象為，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期是B．圖象關(guān)于直線對稱C．圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)2．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．已知，，且，則向量在向量上的投影等于（）A．-4 B．4 C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在驗證n=1成立時，左邊的項是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a45．已知直線與直線垂直，則（）A． B． C．或 D．或6．下列各角中與角終邊相同的是（）A． B． C． D．7．在等差數(shù)列中，，是方程的兩個根，則的前14項和為（）A．55 B．60 C．65 D．708．已知集，集合，則A．(-2,-1) B．(-1,0) C．(0,2) D．(-1,2)9．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在中，，，成等差數(shù)列，，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若點(diǎn)到直線的距離是，則實(shí)數(shù)=______．12．從集合中隨機(jī)選取一個數(shù)記為，從集合中隨機(jī)選取一個數(shù)記為，則直線不經(jīng)過第一象限的概率為__________．13．若扇形的周長是，圓心角是度，則扇形的面積（單位）是__________.14．在直角梯形.中，，分別為的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，點(diǎn)在上運(yùn)動（如圖）.若，其中，則的最大值是________.15．過P(1,2)的直線把圓分成兩個弓形，當(dāng)其中劣孤最短時直線的方程為_________.16．已知，，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值，并分別寫出相應(yīng)的的值.18．已知關(guān)于的不等式．（1）若不等式的解集為，求；（2）當(dāng)時，解此不等式．19．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求內(nèi)角B的大??；（2）設(shè)，，的最大值為5，求k的值.20．已知圓的半徑是2，圓心在直線上，且圓與直線相切.（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，的最大值等于7，求點(diǎn)的坐標(biāo).21．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求；（2）求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

利用函數(shù)的周期判斷A的正誤；通過x=函數(shù)是否取得最值判斷B的正誤；利用函數(shù)的圖象的平移判斷C的正誤,利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷D的正誤．【題目詳解】對于A，f（x）的最小正周期為π,判斷A錯誤；對于B，當(dāng)x=，函數(shù)f（x）=sin（2×+）=1，∴選項B正確；對于C，把的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)sin[2（x+）]=sin(2x+，∴選項C不正確．對于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒為增函數(shù)，∴選項D錯誤；故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性、周期性及函數(shù)圖象變換，屬于基本知識的考查．2、D【解題分析】

利用夾角公式計算出兩個向量夾角的余弦值，進(jìn)而求得兩個向量的夾角.【題目詳解】設(shè)兩個向量的夾角為，則，故.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查兩個向量夾角的計算，考查向量數(shù)量積和模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

根據(jù)公式，向量在向量上的投影等于，計算求得結(jié)果.【題目詳解】向量在向量上的投影等于.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的投影公式，只需記住公式代入即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解題分析】

在驗證時，左端計算所得的項，把代入等式左邊即可得到答案.【題目詳解】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明，

在驗證時，把當(dāng)代入，左端.

故選：C.【題目點(diǎn)撥】此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明等式的問題，屬于概念性問題.5、D【解題分析】

由垂直，可得，即可求出的值.【題目詳解】直線與直線垂直，，解得或.故選D.【題目點(diǎn)撥】對于直線：和直線：，①；②.6、D【解題分析】

寫出與終邊相同的角，取值得答案．【題目詳解】解：與終邊相同的角為，，取，得，與終邊相同．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查終邊相同角的表示法，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求出a5+a10，利用等差數(shù)列的前n項和公式及性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【題目詳解】∵，是方程的兩個根，可得，∴.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，再解絕對值不等式，最后根據(jù)交集的定義求解.【題目詳解】由得，由得，所以，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)不等式和絕對值不等式的解法，集合的交集.指數(shù)不等式要根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.9、D【解題分析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【題目詳解】由線性約束條件作出可行域，如下圖三角形陰影部分區(qū)域（含邊界），令，直線：，平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時取得最大值，當(dāng)過點(diǎn)時取得最小值，所以的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用．本題先正確的作出不等式組表示的平面區(qū)域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行解答是解決本題的關(guān)鍵．10、B【解題分析】

根據(jù)等差中項以及余弦定理即可．【題目詳解】因為，，成等差數(shù)列，得為直角三角形為等腰直角三角形，所以選擇B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差中項和余弦定理，若為等差數(shù)列，則，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或1【解題分析】

由點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行解答，即可求出實(shí)數(shù)a的值．【題目詳解】點(diǎn)（1，a）到直線x﹣y+1＝0的距離是，∴；即|a﹣2|＝3，解得a＝﹣1，或a＝1，∴實(shí)數(shù)a的值為﹣1或1．故答案為：﹣1或1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

首先求出試驗發(fā)生包含的事件的取值所有可能的結(jié)果，滿足條件事件直線不經(jīng)過第一象限，符合條件的有種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果.【題目詳解】試驗發(fā)生包含的事件，，得到的取值所有可能的結(jié)果有：共種結(jié)果，由得，當(dāng)時，直線不經(jīng)過第一象限，符合條件的有種結(jié)果，所以直線不經(jīng)過第一象限的概率.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題是一道古典概型題目，考查了古典概型概率公式，解題的關(guān)鍵是求出列舉基本事件，屬于基礎(chǔ)題.13、16【解題分析】

根據(jù)已知條件可計算出扇形的半徑，然后根據(jù)面積公式即可計算出扇形的面積.【題目詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角弧度數(shù)為，所以即，所以，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查角度與弧度的轉(zhuǎn)化以及扇形的弧長和面積公式，難度較易.扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：.14、【解題分析】

建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，表示出，結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識即可求得最大值.【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：，分別為的中點(diǎn)，，以為圓心，為半徑的圓交于，點(diǎn)在上運(yùn)動，設(shè)，，即，，所以，兩式相加：，即，要取得最大值，即當(dāng)時，故答案為：【題目點(diǎn)撥】此題考查平面向量線性運(yùn)算，處理平面幾何相關(guān)問題，涉及三角換元，轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題.15、【解題分析】

首先根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，可分析出當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時，劣弧最短，利用圓心和弦的中點(diǎn)連線與直線垂直，可求得直線方程.【題目詳解】當(dāng)劣弧最短時，即劣弧所對的弦最短，當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時，此時弦最短，也即劣弧最短，圓：，圓心，,,直線方程是，即，故填：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解題分析】

由二倍角求得α，則tanα可求．【題目詳解】由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，∵,∴sinα≠0,則,即.∴.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查公式的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）利用和角公式及降次公式對f（x）進(jìn)行化簡，得到f（x）=，代入周期公式即可；（2）由x的范圍求出ωx+φ的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性得出最值和相應(yīng)的x．試題解析：（1），，，，，所以的最小正周期為.（2）∵，∴，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.點(diǎn)睛：三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則:一看角，這是重要一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；二看函數(shù)名稱，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有切化弦；三看結(jié)構(gòu)特征，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如遇到分式要通分等.18、（1）2（2）時，，時，，時，不等式的解集為空集，時，，時，.【解題分析】

（1）根據(jù)不等式的解集和韋達(dá)定理，可列出關(guān)于a的方程組，解得a；（2）不等式化為，討論a的取值，從而求得不等式的解集?！绢}目詳解】（1）由題得，，解集為，則有，解得；（2）由題，：當(dāng)時，不等式化為，解得；當(dāng)時，不等式等價于，若，解得；若，解得，若，解得；當(dāng)時，不等式等價于，解得或.綜上，時，不等式的解集為，時，不等式的解集為，時，不等式的解集為空集，時，不等式的解集為，時，不等式的解集為.【題目點(diǎn)撥】本題考查一元二次不等式的解法與應(yīng)用，以及通過討論參數(shù)取值求不等式的解集，有一定的難度。19、（1）,（2）【解題分析】

解：(1)（3分）又在中，，所以，則………（5分）(2),.………………（8分）又，所以，所以.所以當(dāng)時，的最大值為.………（10分）………（12分）20、（1）或；（2）或．【解題分析】

（1）利用圓心在直線上設(shè)圓心坐標(biāo)，利用相切列方程即可得解；（2）利用最大值為7確定圓，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，找到到圓上點(diǎn)的最大距離列方程得解．【題目詳解】解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，因為圓與直線相切，所以，即，解得或，故圓的方程為：，或；（2）由最大值等于可