2022年山東省春季高考數(shù)學(xué)試題及答案

2022年數(shù)學(xué)試題第頁山東省2022年普通高校招生（春季）考試數(shù)學(xué)試題1．本試卷分卷一（選擇題）和卷二（非選擇題）兩部分，滿分120分，考試時間120分鐘?？忌逶诖痤}卡上答題，考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。2．本次考試允許使用函數(shù)型計算器，凡使用計算器的題目，除題目有具體要求外，最后結(jié)果精確到0.01。卷一（選擇題共60分）一、選擇題（本大題20個小題，每小題3分，共60分．在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將符合題目要求的選項字母代號選出，并填涂在答題卡上）1．已知集合M＝{1，2}，N＝{2，3，x}，若MN，則實數(shù)x的值是（）．A．1 B．2 C．3 D．42．已知a＞b，則下列不等式成立的是（）．A．a(chǎn)＋b＞0 B．a(chǎn)b＞0 C．|a|＞|b| D．3＋a＞3＋b3．已知向量a與向量b的方向相反，|a|＝4，|b|＝3，則ab等于（）．A．－6 B．6 C．－12 D．124．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝10，則該數(shù)列的公差是（）．A．1 B．2 C．3 D．45．已知函數(shù)f(x)＝(a－5)x2＋sinx是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值是（）．A．3 B．4 C．5 D．66．如圖所示，上下兩個正四棱柱的底面邊長之比是12，則該組合體三視圖中的俯視圖是（）．（第（第6題圖）A． B． C． D．7．已知直線過點(0，2)，且傾斜角為135°，則該直線的方程是（）．A．x－y－2＝0B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝08．已知p是假命題，q是真命題，則下列命題為真命題的是（）．A．q B．p∧q C．(p∨q) D．p∧qACBD（第9題圖）9．如圖所示，△ABC中，D是BC的中點，設(shè)EQ\o\ac(\S\UP7(→),AB)＝a，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AD)＝b，則EQ\o\ac(\S\UP7(→),AC)等于（）．ACBD（第9題圖）A．a(chǎn)－2b B．a(chǎn)＋2bC．－a＋2b D．－a－2b10．圓x2＋y2－4x＋6y－3＝0的圓心坐標(biāo)是（）．A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，－3)11．已知tan(π－α)＝3，且α是第二象限角，則sinα等于（）．A．EQ\F(\R(,10),10) B．－EQ\F(\R(,10),10) C．EQ\F(3\R(,10),10) D．－EQ\F(3\R(,10),10)12．在(x－2)6的二項展開式中，二項式系數(shù)最大的項是（）．A．160x3 B．－160x3 C．60x4 D．－60x413．如圖所示的圓柱形容器，其底面半徑為1m，高為3m（不計厚度）．設(shè)容器內(nèi)液面高度為x（m），液體的體積為V（m3），把V表示為x的函數(shù)，則該函數(shù)的圖像大致是（）．（第1（第13題圖）x(m)x(m)OV(m3)3x(m)OV(m3)3x(m)OV(m3)3x(m)OV(m3)3A． B． C． D．14．某職業(yè)學(xué)校計劃舉行合唱、舞蹈、書畫三項活動，若甲、乙兩名同學(xué)每人從這三項活動中任選一項，則恰好都選擇舞蹈的概率是（）．A．EQ\F(1,6) B．EQ\F(1,9) C．EQ\F(2,9) D．EQ\F(1,3)15．已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx圖像的對稱軸為x＝1，則不等式f(x)＜0的解集是（）．A．(－2，0) B．(－，－2)∪(0，＋) C．(0，2) D．(－，0)∪(2，＋)16．已知點A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，若β－α＝EQ\F(π,3)，則|EQ\o\ac(\S\UP7(→),AB)|等于（）．A．1 B．EQ\R(,2) C．EQ\R(,3) D．217．對于aZ，0≤b＜1，給出運算法則：【a＋b】＝a－2，則【－1.414】的值等于（）．A．1 B．0 C．－3 D．－4y－2＝0xyOx－y+2＝0y－2＝0xyOx－y+2＝0（第18題圖）A．EQ\B\lc\{(\a\al(y－2≥0,x－y＋2＜0)) B．EQ\B\lc\{(\a\al(y－2≤0,x－y＋2＜0))C．EQ\B\lc\{(\a\al(y－2≥0,x－y＋2＞0)) D．EQ\B\lc\{(\a\al(y－2≤0,x－y＋2＞0))19．有三張卡片，第一張卡片的正反兩面分別寫有數(shù)字1，3，第二張卡片的正反兩面分別寫有數(shù)字2，4，第三張卡片的正反兩面分別寫有數(shù)字5，7．現(xiàn)從這三張卡片中任取兩張并排放在桌面上，兩張卡片朝上一面的數(shù)字組成一個兩位數(shù)，則所有不同兩位數(shù)的個數(shù)是（）．A．8 B．12 C．18 D．2420．已知雙曲線EQ\F(x2,a2)－EQ\F(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別是F1，F(xiàn)2，O是坐標(biāo)原點，過點F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝3|OP|，則雙曲線的離心率是（）．A．EQ\R(,6) B．EQ\R(,5) C．EQ\R(,3) D．EQ\R(,2)卷二（非選擇題共60分）二、填空題（本大題5個小題，每小題4分，共20分．請將答案填在答題卡相應(yīng)題號的橫線上）21．拋物線x2＝2y的焦點坐標(biāo)是．22．若底面邊長為4的正四棱錐與棱長為2的正方體體積相等，則正四棱錐的高等于．23．在△ABC中，已知AC＝EQ\R(,6)，∠A＝30°，∠B＝45°，則BC＝____________．24．某企業(yè)操作崗位、技術(shù)崗位和管理崗位的人數(shù)分別是700，210，140．為了解該企業(yè)不同崗位員工的健康狀況，采用分層抽樣的方法，從這三個崗位的所有員工中隨機抽取300人進行體檢，則抽取操作崗位的人數(shù)是．25．已知a＞0且a≠1，若函數(shù)f(x)＝在(－，＋)上具有單調(diào)性，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題（本大題5個小題，共40分．請寫出文字說明、證明過程或演算步驟）26．(7分)已知函數(shù)f(x)＝EQ\F(k,x)，且f(2)＝1．（1）求實數(shù)k的值；（2）證明函數(shù)f(x)在(0，＋)上是減函數(shù)．ABCDA1B1C1D1P（第27題圖）27．（8分）如圖所示，在正方體ABCD－A1BABCDA1B1C1D1P（第27題圖）（1）AC∥平面A1PC1；（2）AC⊥D1P．ABCA1B1C1B2A2C2…（第28題圖）28．（8分）如圖所示，已知等邊△ABC的邊長為6，順次連接△ABC各邊的中點，構(gòu)成△A1B1C1，再順次連接△A1B1C1各邊的中點，構(gòu)成△A2B2C2，依此進行下去，直至構(gòu)成△AABCA1B1C1B2A2C2…（第28題圖）（1）求a1，a2，a3的值；（2）若△AnBnCn的邊長小于0.01，求n的最小值．29．（8分）已知函數(shù)f(x)＝2EQ\R(,3)sinxcosx－2cos2x＋m的圖像過點(0，－1)．（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）若α(0，EQ\F(π,2))，且f(α)＝1，求α的值．（第30題圖）xyOF1PAF2NMl30．（9分）如圖所示，已知橢圓EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)＝1（a＞b＞0）的右頂點是A，左右焦點分別是F1，F(xiàn)2，且|AF1|＝EQ\R(,2)＋1，|AF2|＝EQ\R(,2)－（第30題圖）xyOF1PAF2NMl（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：x－2y＋m＝0交橢圓于點M，N，以線段F2M，F(xiàn)2N為鄰邊作平行四邊形F2MPN，若點P在橢圓上，求實數(shù)m的值．山東省2022年普通高校招生（春季）考試數(shù)學(xué)試題答案卷一（選擇題共60分）一、選擇題（本大題20個小題，每小題3分，共60分．在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將符合題目要求的選項字母代號選出，并填涂在答題卡上）12345678910ADCBCADBCB11121314151617181920CBABCADBDA【附解析】1.A（提示：因為MN，所以集合M中的元素都是集合N中的元素，則x＝1）2.D（提示：本題可以從選項入手，采用反例法逐一驗證.如當(dāng)a＝3，b＝－3時，選項A、B、C都錯誤；而D選項，根據(jù)不等式的性質(zhì)，在不等式的兩邊同時加上3，不等號的方向保持不變）3.C（提示：因為向量a與向量b的方向相反，則＜a，b＞＝180，所以ab＝|a||b|cos＜a，b＞＝4×3×cos180＝－12）4.B（提示：因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝2，所以a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d．因為a2＋a3＝10，所以2×2＋3d＝10，解得d＝2）5.C（提示：因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，則由f(x)的解析式可得，(a－5)(－x)2＋sin(－x)＝－[(a－5)x2＋sinx]，即(a－5)x2－sinx＝－(a－5)x2－sinx，2(a－5)x2＝0，a＝5．本題亦可采用賦值法求解，如f(－1)＝－f(1)）6.A（提示：根據(jù)俯視圖的定義，該幾何體的俯視圖是兩個正方形，其邊長之比為1:2，且小正方形位于大正方形的右上角）7.D（提示：斜率k=tan135°＝－1，又因為直線過(0,2)，所以其縱截距為2，則直線方程為y＝－x+2，即x＋y－2＝0）8.B（提示：q是真命題，q為假命題，A錯誤；p是假命題，p為真命題，p∧q為真命題，B正確；(p∨q)為真，(p∨q)是假命題，C錯誤；p∧q為假命題，D錯誤）9.C（提示：由eq\o(→,AD)＝eq\f(1,2)(eq\o(→,AB)＋eq\o(→,AC))，得eq\o(→,AC)＝2eq\o(→,AD)－eq\o(→,AB)＝2b－a＝－a＋2b）10.B（提示：配方得，(x－2)2＋(y＋3)2＝16，則圓心為(2，－3)，半徑為r＝4）11.C（提示：由tan(π－α)＝－tanα＝3，得tanα＝－3，由eq\b\lc\{(\a\al\vs4\col(eq\f(sinα,cosα)＝－3,sin2α＋cos2α＝1))，得sin2α＝eq\f(9,10)，又α是第二象限角，則sinα＝eq\f(3\r(10),10)）12.B（提示：展開式共有7項，中間一項的二項式系數(shù)最大，即T4＝Ceq\a(3,6)x3(－2)3＝－160x3）13.A（提示：因為V＝Sh＝πx，x[0，3]，所以V是關(guān)于x的正比例函數(shù)，且在區(qū)間[0，3]上單調(diào)遞增，其圖像是一條自左而右逐漸上升的直線）14.B（提示：甲乙兩名同學(xué)每人從這三項活動中任選一項，一共有n＝3×3＝9個基本事件，隨機事件A“恰好都選擇舞蹈”的基本事件個數(shù)為m＝1，所以概率是P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(1,9)）15.C（提示：由對稱軸x＝－eq\f(b,2)＝1，得b＝－2，解不等式x2－2x＜0，得0＜x＜2）16.A（提示：|eq\o(→,AB)|＝eq\r((cosβ－cosα)2＋(sinβ－sinα)2)＝eq\r(2－2cosβcosα－2sinβsinα)＝eq\r(2－2(cosβcosα＋sinβsinα))＝eq\r(2－2cos(β－α))＝eq\r(2－2coseq\f(,3))＝1）17.D（提示：【－1.414】＝【－2＋0.586】＝－2－2＝－4）18.B（提示：陰影區(qū)域在直線y－2＝0的下方與直線x－y＋2＝0的左側(cè)公共部分，根據(jù)系數(shù)法可知需滿足x－y＋2＜0且y－2≤0）19.D（提示：一共6個數(shù)字，十位上的數(shù)字有6種不同的選法，個位上的數(shù)字有4種不同的選法，所以由分步計數(shù)原理可得，N＝6×4＝24個兩位數(shù)）20.A（提示：如圖所示，在RtOF2P中，易知OP＝a，PF2＝b，OF2＝c；令∠OF2P＝，則cos＝eq\f(F2P,OF2)＝eq\f(b,c).又在PF1F2中，易知PF1＝3OP＝3a，PF2＝b，F(xiàn)1F2＝2c，則由余弦定理可得，cos＝eq\f(PF22＋F1F22－PF12,2PF2×F1F2)＝eq\f(b2＋(2c)2－(3a)2,2b×2c)＝eq\f(b2＋4c2－9a2,4bc)；由eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋4c2－9a2,4bc)，可得b2＋4c2－9a2＝4b2，即4c2－9a2＝3b2＝3(c2－a2)；化簡得，c2＝6a2，c＝eq\r(,6)a，則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(,6)）（第（第20題圖）yOF1F2Pθx卷二（非選擇題共60分）二、填空題（本大題5個小題，每小題4分，共20分．請將答案填在答題卡相應(yīng)題號的橫線上）21.(0，eq\f(1,2)) 22.eq\f(3,2) 23.EQ\R(,3) 24.200 25.(0，1)∪[3，＋∞)【附解析】21.(0，eq\f(1,2))（提示：焦點在y軸的正半軸上）22.eq\f(3,2)（提示：V＝eq\f(1,3)×42×h＝23，解得h＝eq\f(3,2)）23.EQ\R(,3)（提示：在ABC中，由eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得BC＝eq\f(AC×sinA,sinB)＝eq\f(eq\r(6)×sin30°,sin45°)＝eq\r(3)）24.200（提示：分層抽樣，700×eq\f(300,700＋210＋140)＝700×eq\f(300,1050)＝200）25.(0，1)∪[3，＋∞)（提示：分兩種情況進行討論.若函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，如25題圖（1）所示，可得eq\b\lc\{(\a\al\vs4\col(a－1＞0，,a＞1，,a2≥2(a－1)＋5，))即eq\b\lc\{(\a\al\vs4\col(a＞1，,a＞1，,a≤－1或a≥3，))解得a≥3；若函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，如25題圖（2）所示，可得eq\b\lc\{(\a\al\vs4\col(a－1＜0，,0＜a＜1，,a2≤2(a－1)x＋5，))即eq\b\lc\{(\a\al\vs4\col(a＜1，,0＜a＜1，,－1≤a≤3，))解得0＜a＜1；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(0，1)∪[3，＋∞)）xx2Oy第25題圖（1）y＝ax，x≥2y＝(a－1)x＋5，x＜2x2Oy第25題圖（2）y＝ax，x≥2y＝(a－1)x＋5，x＜2三、解答題（本大題5個小題，共40分．請寫出文字說明、證明過程或演算步驟）26.（1）解：因為函數(shù)f(x)＝eq\f(k,x)，且f(2)＝1，所以eq\f(k,2)＝1，解得k＝2．（2）證明：由（1）得，f(x)＝eq\f(2,x)．設(shè)x1，x2(0，＋∞)，且x1≠x2，則△x＝x2－x1，△y＝y(tǒng)2－y1＝f(x2)－f(x1)＝eq\f(2,x2)－eq\f(2,x1)＝eq\f(2(x1－x2),x1x2)，因此，eq\f(△y,△x)＝eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)＝eq\f(2(x1－x2),x1x2)×eq\f(1,x2－x1)＝eq\f(－2,x1x2)，因為x1，x2(0，＋∞)，所以x1x2＞0，則eq\f(△y,△x)＝eq\f(－2,x1x2)＜0，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．27.證明：（1）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因為AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四邊形AA1C1C為平行四邊形，故AC∥A1C1，ABCDA1B1C1D1P（第27題圖）因為AC平面A1PC1，A1C1ABCDA1B1C1D1P（第27題圖）（2）如圖所示，連接BD，B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因為BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1⊥AC，因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，因為BB1∩BD＝B，BB1平面BB1D1D，BD平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，因為D1P平面BB1D1D，所以AC⊥D1P．28.解：（1）a1＝3，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(3,4)．（2）這n個新構(gòu)成的三角形的邊長成等比數(shù)列{an}，a1＝3，q＝eq\f(1,2)，則an＝a1qn＝3×(eq\f(1,2))eq\s\up12(n－1)．因為△AnBnCn的邊長小于0.01，所以3×(eq\f(1,2))eq\s\up12(n－1)＜0.01，即(eq\f(1,2))eq\s\up12(n－1)＜eq\f(1,300)．所以n－1＞logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,300)，n＞9.23，即n的最小值為10．29.解：（1）因為函數(shù)圖像過點(0，－1)，所以f(0)＝2eq\r(3)sin0cos0－2cos20＋m＝－1，解得m＝1．則函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx－2cos2x＋1＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sin(2x－eq\f(,6))，所以函數(shù)f(x)的最大值是2．（2）因為f(α)＝2sin(2α－eq\f(,6))＝1，即sin(2α－eq\f(,6))＝eq\f(1,2)，所以2α－eq\f(,6)＝eq\f(,6)＋2kπ或者2α－eq\f(,6)＝eq\f(5,6)＋2kπ（kZ），解得α＝eq\f(,6)＋kπ或者α＝EQ\F(,2)＋kπ（kZ），因為