高中數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)-解析幾何與平面向量相結(jié)合問(wèn)題（原卷版）

一．方法綜述向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，平面向量與解析幾何的交匯是新課程高考命題改革的發(fā)展方向和必然趨勢(shì).平面向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問(wèn)題的處理，目標(biāo)是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算.或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問(wèn)題.

二．解題策略類(lèi)型一利用向量垂直的充要條件，化解解析幾何中的垂直問(wèn)題【例1】【河北省石家莊市2019屆高三3月檢測(cè)】已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【指點(diǎn)迷津】由向量加法法則結(jié)合三角形中位線性質(zhì)，可得△MF1F2是以為F1F2斜邊的直角三角形．由此設(shè)運(yùn)用勾股定理算出與，得到結(jié)論．【舉一反三】1.【山東省濟(jì)南市2019屆高三3月模擬】設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．2.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為．若在的漸近線上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【指點(diǎn)迷津】本題主要考查了雙曲線的基本性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線基本性質(zhì)的應(yīng)用，向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算以及一元二次方程根的判別式的運(yùn)用，屬于中檔題，首先可畫(huà)一張草圖，分析其中的幾何關(guān)系，然后將系用代數(shù)形式表示出來(lái)，即可得到一個(gè)一元二次方程，若要使得一元二次方程有實(shí)數(shù)解，，水到渠成，即可得到答案，因此將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成方程是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二利用向量平行的充要條件，靈活轉(zhuǎn)換解析幾何中的平行或共線問(wèn)題【例2】過(guò)雙曲線（，）的右焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．直線交拋物線于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【指點(diǎn)迷津】本題主要考查利用拋物線及雙曲線的定義、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題．求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．求離心率問(wèn)題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式，從而求出的值．本題是利用點(diǎn)到直線的距離等于圓半徑構(gòu)造出關(guān)于的等式，最后解出的值．【舉一反三】1.【江西省上饒市2019屆高三二模】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，若，則（）A． B． C． D．2.已知為雙曲線上不同三點(diǎn)，且滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線的斜率記為，則的最小值為（）A．8B．4C．2D．1【指點(diǎn)迷津】涉及到的知識(shí)點(diǎn)有平面向量共線定理，直線斜率的計(jì)算公式，基本不等式等．首先得出原點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，再求出直線PA，PB斜率的表達(dá)式，算出為定值，再由基本不等式求出最小值．類(lèi)型三將向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程【例3】已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)．設(shè)平面內(nèi)曲線上的每一點(diǎn)繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)的軌跡是曲線，則原來(lái)曲線的方程是（）A．B．C．D．【指點(diǎn)迷津】求軌跡方程是解析幾何中的重要內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力、分類(lèi)討論及創(chuàng)新思維，屬于較高的能力考查．求軌跡方程常用的方法有：直接法、定義法、幾何法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、點(diǎn)差法等．本題主要是考查幾何法中的三角形重心的向量表示及重心坐標(biāo)公式，然后根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法可以求出點(diǎn)的軌跡方程．【舉一反三】【廣東省江門(mén)市2019屆高考一?！恐苯亲鴺?biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，且．則點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．類(lèi)型四利用向量相等的關(guān)系，把幾何問(wèn)題代數(shù)化【例4】【福建省莆田市2019屆高三下學(xué)期檢測(cè)】已知直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn).若，且，則（）A． B． C． D．【指點(diǎn)迷津】本題主要結(jié)合題意，繪制圖形，利用拋物線的性質(zhì)，建立方程，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，計(jì)算p值.求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．【舉一反三】已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，且直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C．D．類(lèi)型五利用向量夾角，化解解析幾何中的角度問(wèn)題【例5】已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【指點(diǎn)迷津】求雙曲線離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍，在列方程或不等式的過(guò)程中，要考慮到向量這一重要工具在解題中的應(yīng)用．求雙曲線離心率主要以選擇、填空的形式考查，解答題不單獨(dú)求解，穿插于其中，難度中等偏高，屬于對(duì)能力的考查．【舉一反三】如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，為橢圓的頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．類(lèi)型六利用向量數(shù)量積，求解解析幾何中的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題【例6】如圖，橢圓，圓，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)__________．【指點(diǎn)迷津】本題主要考查利用余弦定理、平面向量數(shù)量積公式及向量的幾何運(yùn)算、圓的性質(zhì)及橢圓的定義，性質(zhì)，屬于難題．求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；同時(shí)，由于綜合性較強(qiáng)，不能為了追求速度而忽視隱含條件的挖掘．本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用向量這一工具將問(wèn)題轉(zhuǎn)化后再利用橢圓定義及余弦定理解答．【舉一反三】【上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)2019屆高三3月月考】已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，且此平面內(nèi)另一向量在滿(mǎn)足，均能使成立，則的最小值是_________.三．強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡方程是（）A．B．C．D．2．【山東省煙臺(tái)市2019屆高三高考一?！恳阎?、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)且滿(mǎn)足，若直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則的面積為（）A．12 B． C．24 D．3．【貴州省2019年高考適應(yīng)】已知點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且，若，則的離心率取值范圍是（）A． B． C． D．4．【廣西壯族自治區(qū)柳州市2019屆3月模擬】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，雙曲線上的點(diǎn)滿(mǎn)足恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．5．【山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三四?！恳阎本€與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，那么k的取值范圍是A． B．2

C． D．26．【2019年3月2019屆高三第一次全國(guó)大聯(lián)考】已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且．過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)作平行于雙曲線的一條漸近線的直線，若直線交線段于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率()A． B． C． D．7．【安徽省六安市毛坦廠中學(xué)2019屆高三3月月考】已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)右焦點(diǎn)作其漸近線的垂線，垂足為，交雙曲線右支于點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．【重慶市南開(kāi)中學(xué)2019屆高三第三次檢測(cè)】如圖，拋物線：，圓：，過(guò)焦點(diǎn)的直線從上至下依次交，于點(diǎn)，，，.若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．-2 B．1 C．4 D．9．【江西省南昌市2019屆高三一?！恳阎?，，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線交直線于點(diǎn)，則的橫坐標(biāo)范圍是()A． B． C． D．10．【山東省濟(jì)寧市2019屆高三一?！恳阎p曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若．則該雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．11.【廣西桂林市，賀州市，崇左市2019年高三下學(xué)期3月聯(lián)合調(diào)研】已知為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題12．【上海市金山區(qū)2019屆高三二?！空叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，若，其中m、nR，則的最大值是________13．【河南省洛陽(yáng)市2019屆高三第二次統(tǒng)考】已知直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，為圓周上一點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在線段上，且，則______．14．【福建省永安市第三中學(xué)2019屆高三4月測(cè)試】已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M為雙曲線右支上一點(diǎn)且滿(mǎn)足，若直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為N，則的面積為_(kāi)_________.15．【貴州省2019年高考適應(yīng)】拋物線的焦點(diǎn)為，在上存在，兩點(diǎn)滿(mǎn)足，且點(diǎn)在軸上方，以為切點(diǎn)作的切線，與該拋物線的準(zhǔn)線相交于，則的坐標(biāo)為_(kāi)__