解三角形綜合題（解析版）-2022年新高考數(shù)學(xué)模擬試題分類(lèi)匯編（江蘇專(zhuān)用）

專(zhuān)題11解三角形綜合題

1.（2021?江蘇一模）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A=8+3C.

（1）求sinC的取值范圍；

（2）若c=6b,求sinC的值.

【答案】（1）（0,—）；（2）sinC=-

23

【詳解】（1）由A=3+3C及A+8+C=/,得2B+4C=zr,

所以8=^-2C,所以A=^+C.

22

0<—+C<^,

0<A<7T,

由得42

0<B<%，0<C<7t,7t

0<----2C<TT0<C<7r,

29

得0<C<2,

4

故sinC的取值范圍為（0,白）.

（2）若c=6h,由正弦定理有sinC=6sin3,①

由（1）知3=^—2C,則sin8=sin（工一2C）=cos2c.②

22

由①②得-sinC=cos2C=1-2sin2C,所以12sin2C+sinC-6=0,

6

解得sinC=—或sinC=——，

34

又sinCc（0,——），

2

o

所以sinC=—.

3

2.（2021?南京二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與

工軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)尸（-1,-令.

（1）求sin（a+］）的值；

（2）若角夕滿足sin（a+P）=",求cos月的值.

【答案】（1）sin（a+工）=一生@叵；（2）cosy?=-變或cosy?=竺

31065^65

【詳解】(1)?.?角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸

??.o7W)』

43

sina=——,cosa=——

55

.,巴1.百1,4、「百，3、4+3石

二.sm(a+—)=—sma+——cosa=—x(——)+——x(——)=------------

322252510

(2)sin(a+0=卷，

cos(a+/3)=±Jl-sin(a+/?)2=±^l-(-j1)2=±j|

,：/3=(a+B)-a，

cosp=cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sina

當(dāng)cos(a+/7)=U時(shí)，cos0=--；

1365

當(dāng)cos(a+/)=--時(shí)，cosp=—

1365

綜上所述：cos￡=-史或cos尸=—

6565

3.(2021?江蘇一模)?(b+a-c)(b-a+c)=ac；②cos(A+8)=sin(A-8)；③

tan4±g=sinC這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求人

2

的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題：是否存在AABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且。=20,,?

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】選擇①②，

因?yàn)?b+a-c、)S-a+c)=ac,

所以/+c。-從=ac,

由余弦定理，得cos8="二丁二”

2ac2

因?yàn)?<5VTT,所有8=工，

3

因?yàn)閏os(A+3)=sin(A-B),

■rrjr

所以cos(A+y)=sin(A——),

即人。SA_也sinA=kinA—也cosA，

2222

所以sinA=cosA,即tanA=1,

因?yàn)镺vA<4,

所以4=軍，

4

A43C中，由正弦定理得，，—=—竺

sinAsinB

即一2a=一"-,

.71.71

sin—sin—

43

20xB

所以6=-----L2=2y/3,

V2

T

選擇①③(b+a-c)(b-a+c)=acf

所以/+/一從=*,

由余弦定理，得COSBIH'-）」

2ac2

因?yàn)镺vBv/r,所有6=工

3

rrnA+3

因?yàn)閠an--------=sinC,

2

.71-CC

sincos

T7A+371-C

乂tan--------=tan2___2_

2271-C.C

cos-----s-i-n—

22

C

cosCC

所以一I=sinC=2sin—cos—,

22

sin—

2

因?yàn)?。為三角形?nèi)角,cos-^0,sin->0

22

所以sin2c=1

22

所以sin?="，則C=工,

222

RtAABC中，b=atan巴=2巫,

3

選②③,

因?yàn)閏os(A+B)=sin(A一B),

所以cosAcosB-sinAsinB=sinAcosB-sinBcosA，

所以(sinA-cos/4)(sinB+cosB)=0,

所以sinA=cosA或sinB=-cosB,

因?yàn)锳,3為三角形內(nèi)角，

所以8=翌或A=K

44

siA+B口A+B7i-C

因?yàn)閠an-------=sinC,且tan--------=tan--------

rr

因?yàn)?。為三角形?nèi)角，cos—。0,sin—>0

22

所以sin20=1,

22

所以sinC=也，則C=工，

222

RtAABC中，A=B=-,

所以a=6=2V2.

4.（2021?江蘇一模）在AA8C中，N84C=90。，點(diǎn)。在邊8C上，滿足=

（1）若NRM>=30。，求/C；

（2）若CD=2BD,AD=4,求AA8C的面積.

【答案】（1）（2）12>/2

3

【詳解】（1）設(shè)B￡>=a,則AB=G（Z,

A4BO中，由正弦定理得,

sinZBADsinZBDA

—=

1sinZBDA

2

所以sin/3。A=±?

2

山題意得N3D4為鈍角,

所以N8OA=」，ZADC=-.C=^-ZA￡)C-ZDAC=^----(---)=-,

333263

(2)設(shè)8D=a,則AB=ga,CD=2a,

AABC中，AC=VfiC2-AB2=7(3?)2-(>/3a)2=V6a,

所以8SC=叵=如，

3a3

廠AC2+BC2-AB26?2+9a2-3?2瓜

cosC=-----------------------=---------?=---------=——,

2AC-BC2?\/6a-3a3

解得a=2>/2,

所以AC=4>/5，AB=2y/6,

所以S4ABe=gAB-AC=；x3的x4&=12血.

B

AC

5.(2021?江蘇二模)在①。=Ga；②a=3cos8；③asinC=l這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

充在下面問(wèn)題中.若問(wèn)題中的三角形存在，求該三角形面積的值;若問(wèn)題中的三角形不存在，

說(shuō)明理由.

問(wèn)題：是否存在MBC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

sinB-sin(A-C)=GsinC,c=3,?

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】在A4BC中，B=zr-(A+C),所以sinB=sin(A+C).

因?yàn)閟inB-sin(A-C)=x/3sinC,所以sin(A+C)—sin(A-C)=GsinC,

即sinAcosC+cosAsinC-(sinAcosC-cosAsinC)=>/3sinC,

所以2cosAsinC=x/3sinC,

在AABC中，sinCVO,所以cosA=且.

2

因?yàn)?<4<萬(wàn)，所以A=生.

6

選擇①:

方法1:

因?yàn)锳=工，所以片=。2+c2—2AcosA=k+9—3j%.

6

又因?yàn)槿?耳，所以2〃一9屏+27=0,解得6=36,或b=￡3,

2

此時(shí)AABC存在，

當(dāng)b=3g時(shí)，AABC的面積為SMBC=^bcsinA=gx3Gx3xg=9f.

當(dāng)人=2^時(shí).，AABC的面積為S0BC=gbc'sinA=；x^^x3x；=.

方法2:

因?yàn)閎=，由正弦定理，得sin5=V5sinA=Gsin2=@.

62

因?yàn)?v5v〃，所以8=C,或3=紅，此時(shí)AABC存在，

33

當(dāng)3=生時(shí)，C-—所以。=ccos4=38,

322

所以AA灰7的面積為51品=—^csinA=—xl^Lx3x_L=2^.

MBC22228

當(dāng)8=二時(shí)，C=-,所以人=受空=36，

36sinC

所以AA3C的面積為之時(shí)二3AsinA=Jx3石x3xg=ql.

選擇②：

因?yàn)閍=3cos3,所以a=3x"2+9@，得.2+52=9,

6a

所以。=工，此時(shí)A4BC存在，

2

因?yàn)閺?工，所以。=3xcos工,?=3xsin-=—,

66262

所以AABC的面積為=—ab="".

28

選擇③：

ac3

由----=-----.得asinC=csinA=一,

sinAsinC2

這與asinC=l矛盾，所以AABC不存在.

6.（2021?江蘇二模）在AA8C中，角A,3,C所對(duì)邊分別為a,h,c,b=后,csinA=l,

點(diǎn)。是AC中點(diǎn)，BDLAB,求c和NABC.

【答案】c=75,ZABC=—

4

仔M

【詳解】RtAABD中，BD2=AD2-AB2=——?=—,

44

所以=

2

bI”.BD下

所以sinA==——，

AD5

又因?yàn)閏sinA=l,

所以c=b，

由b=>/5c=5>c,

因?yàn)閟inA=逝，A為銳角，

5

AABC中，由余弦定理得。=/?+（b）2-2x5x&x￥=癡，

由正弦定理，一=—2一,即一--=埠，

sinAsinBsinZABCx/5

r

歷

JWWsinZABC=—,

2

因?yàn)镹48Ce（q,1），

所以ZABC=包.

4

7.（2021?徐州模擬）設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為",b,c且acos5=l,

fosinA=2.

（1）求sin（A+C）和邊長(zhǎng)a；

（2）當(dāng)從+02取最小值時(shí)，求AA8C的面積.

【答案】（1）—:（2）1

52

【詳解】（1）由正弦定理及acos8=l與Z?sinA=2得：2LsinAcos8=1,27?sinBsinA=2（/?

是AA8C的外接圓半徑），

兩式相除，得1=欠0,

2sinB

設(shè)cos3=A,sin5=2%,

???8是AABC的內(nèi)角,/.sinB>0,:.k>0,

,/sin2B+cos25=1,:.k=—，

5

口亞?n2石

..cosB-——，smn=-----,

55

將cosB=代入6zcosB=1,得a=6，

2x/^

sin(A+C)=sin(4-B)=sinB=；

⑵由(I)及余弦定理知從="+c2-2accosB=5+c2-2c,

igg

/.b1+c2=2c2-2c+5=2(c—一尸+一...—,

222

當(dāng)且僅當(dāng)C=>!■時(shí)，。2+,2取得最小值2,

22

,1.?_1/T12^1

..oc=-cicsinB=-x-\/5x—x-----=一,

4AABe422252

b2+c2最小時(shí)AABC的面積為1.

2

8.(2021?無(wú)錫模擬)在①辰sinA=acosC,②tan(C+C)=2+g,@a2+h2=c2+^3ab

4

這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.

己知AABC中的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,面積為S,若c=4,5=105°,

,求〃和S.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】若選①：

,/V5csinA=QCOSC,

/.利用正弦定理可得GsinCsinA=sinAcosC,

???在A4BC中，A￡(0/80。)，可得sinAwO,

/.V3sinC=cosC,可得tanC=‘畝。=—,

cosC3

?.?在A45C中,Ce(0,180°),可得C=30。，

?.?在AABC中，A+8+C=180。，且3=105。，可得A=45。，

?.?正弦定理」一=」，且c=4,可得」-=」—，則。=4血，

sin4sinCsin45°sin30°

sin3=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos600+cos45°sin60°=-x—+-x—=詆+",

22224

，S=—acsinB=-x4^2x4x近+a=4+4\/3?

224

若選②：

,/tan(C+馬=2+G,

4

一冗

tanC+tan—即匿=2+5則tanc=4,

----------------=2+y/3,

1-tanCtan—

4

???在AABC中，Ce(0,180°),可得。=30。，

???在AABC中，A+3+C=180。，且8=105。，可得A=45。，

...正弦定理，且c=4,可得」—，則a=40,

sinAsinCsin45°sin30°

sinB=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos600+cos45°sin600=—xl+—x—=也+瓜,

22224

/.S=LesinB=-x4A/2x4x=4+4\/3.

224

若選③:

a2+b2=c2+6ab，

cr+h2-c243ab_y/3

：.由余弦定理得:cosC=

lablab2

?.?在A4BC中，Ce(0,180。)，可得C=30°,

?.?在AABC中，A+8+C=180°,且8=105°,可得A=45°,

???k弦定理”=-C，-.Il,<-4,N,r./.〃.4；,j^=4v；2.

sinAsinCsin45°sin30°

sin8=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos600+cos45°sin60°=x—+x—=五+"

22224

S=—acsinB=—X45/2X4X^^^^=4+4>^.

224

9.（2021?江蘇模擬）在A4BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,S.a<b<c,現(xiàn)

有三個(gè)條件：

①a,h,c為連續(xù)自然數(shù)；②c=3a；③C=2A.

（1）從上述三個(gè)條件中選出兩個(gè)，使得A4fiC不存在，并說(shuō)明理由（寫(xiě)出一組作答即可）；

（2）從上述三個(gè)條件中選出兩個(gè)，使得AA8C存在，并求。的值.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）選①②時(shí)，A48C不存在，理由如下：

因?yàn)閍,b,c為連續(xù)自數(shù)且a<b<c,

所以b=a+l,c=a+2,

因?yàn)閏=3a,貝！Ja+2=3a,此時(shí)a=l,b=2,c=3不滿足a+b>c,故AABC不存在;

選②③，AABC不存在，理由如下：

因?yàn)閍v〃vc,C-2A,c=3a,

由正弦定理得/^=」一=^—=——-——

sinAsinCsin242sinAcos/A

所以cosA=￡=3顯然不符合題意，AABC不存在；

2a2

(2)選??,a,b，c為連續(xù)自然，C=2A,a<b<c,

所以Z?=a+1,c=a+2,

i.22_23+1)2+(々+2)2_〃2a+5

由余弦定理得cosA='-a

2bc2(a+1)(。+2)~2(a+2)

同理cosC=9^，因?yàn)镃=2A,

2a

所以cosC=cos2A=2cos274-1?

解得a=4.

10.（2021?江蘇模擬）如圖，在平面四邊形AB8中，已知48=6，AD=DC=CB=\.

（1）當(dāng)A、B、C、。共圓時(shí)，求cosA的值；

（2）若cosNA￡>B=X±,求sinNABC的值.

【答案】（1）cosA=@」；（2）”叵

212

【詳解】（1）A48D中，由余弦定理得，cosA=3+一州=匕”

2ABAD26

._+，人廿占用，0一CD2+CB2-BD12-BD1

\CBD中，由余弦定理得cosC=------------------------=------------，

2CDCB2

因?yàn)锳、B、C、D共圓，

所以A+C=萬(wàn)，即cosA+cosC=0,

4-BD22-BD2八

所以，----=-+-------=0,

2G2

解得BD。=1+5

故cosA=—~-；

2

(2)AAB￡)中，由余弦定理得，cosZADB=AD+BD~AB=—,

2ADBD6

所以

AB2+BD2-AD25

cosZABD=

2ABBD6

所以sinNA3那心乎，c—\黑「WsinNC必;,

所以sinZABC=sin(ZABD+NCBD)=sinZABDcosZCBD+sinZCBDcosZABD

THx/3155+V33

=--------X---------1-----X—=----------------

622612

IL(2021?蘇州模擬)在八鉆。中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=3,

sin(A+—)=—^，sinA+sinB=2\/6sinAsinB.

32c

(1)求AABC外接圓的直徑；

(2)求AABC的面積.

【答案】(1)273；(2)—

4

【詳解】⑴由sin(A+0)=,得2cdsinA+3^osA)=血>,

32c22

由正弦定理得

sinCsinA+>^sinCeosA=x/3sinB=V3sin(A+C)=>/3(sinAcosC+cosAsinC),即

sinCsinA=sinAcosC，

又sinAr0,

所以tanC=6，

又Cw(0,乃),

所以C=2

3

所以MBC外接圓的直徑2R=：

sinC

(2)由正弦定理得sinA=—,sinB=—,

2V32yJ3

因?yàn)閟inA+sin8=2\/^sinAsin3,所以a+b=,

由余弦定理得c2=a2+b2-2abeosC,BP9=a2+b2-ab

結(jié)合a+b=\/2ab,可得9=(a+b)2-3ab=2(ab)2-3ab,

所以a。=3,

所以AABC的面積S=—abs\nC=3叵.

24

12.(2021?揚(yáng)州一模)已知平面四邊形458中，AB//DC,ABAC=-,ZABC=—,

43

AB=g+l,BD=g.

(1)求3C的長(zhǎng)；

(2)求她8的面積.

【答案】⑴2；⑵當(dāng)

【詳解】(1)因?yàn)樵贏ABC中，4BAC=t,ZABC=-rAB=y/3+\,則NAC3=3，

4312

ABBC

由正弦定理可得

sinZACB-sinZBAC

./口人二(>/3+1)sin—(G+l)sin‘

_AB-sinZ.BAC_，4_-2

sinZ.ACBsin包瓜+立

'n^r

0jr

(2)因?yàn)?W//￡)C,所以NBC￡>=——，

3

在ABC￡>中，由余弦定理BE)?+C。2-2BCCD-cosZBCD=CD2+2CD+4,

可得5+28+4=7,即C￡)2+2C￡>-3=0,解得8=1,

可得心co=5BC.CO，sinNBCO=5.

13.(2021?淮安模擬)在①V5〃?sinC=c-cos8+c,@cos2—~—-cosAcosC=—>③

24

/rsinA=4-sin(B+g)三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.

在AA8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.

(1)求角5的大??；

(2)若〃=E，a+c=4也，求AABC的面積.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)選①^/§'6^sinC=c^cosB+c,

正弦定理得x/5sinB-sinC=sinC-cosB+sinC,

因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，sinC>0,

所以有sinB-cos8=l,BP2sin(B--)=1,

6

因?yàn)?v8v乃，

所以8=工;

3

分A—C3

②cos2---------cosAcosC=—,

24

113

—cos(A-C)-cosAcosC=—,

224

所以一,cosAcosC+」sinAsinC=1，即cos(A+C)=——，

2242

故COSB=L,

2

因?yàn)镺vbv4,

所以8=工；

3

③匕?sinA=a?sin(B+y),

山正弦定理得sinB?sinA=sinA?sin(8+y),

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，sinA>0,

jr

所以sin8=sin(B+—),

3

所以3+3+工=乃，

3

所以3=工；

3

(2)b=A,a+c=4yf2,

由余弦定理得。*=14=/+c2-ac=(a+c)2-3ac=32-3ac,

所以ac=6,

所以AABC的面積S=—tzcsinB=—x6=-^^.

242

14.(2021?如皋市模擬)在①網(wǎng)a=」一；②4S=G(a2+62-c2)；③csinA=acos(C-馬

cosBcosC6

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答

在AABC中，a,h,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，已知,。-人=6,且A4BC的面

積5=亞，求AABC的周長(zhǎng).

4

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】①也心=_J；

cosBcosC

所以242cosc—Z?cosC=ccosb，

即2sinAcosC=sinCcosB+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

因?yàn)閟in4>0,

所以cosC=—,

2

因?yàn)?。為三角形?nèi)角，C=-,

3

②4s=V5g2+/—c2)；

4x—absinC=x/3x2t/7?cosC，

2

所以sinC=ecosCf即tanC=，

因?yàn)?。為三角形?nèi)角，C=工，

3

(3)csinA=6zcos(C--)；

6

由正弦定理得sinCsinA=sinAcos(C-?)；

因?yàn)閟inA>0,

所以sinC=cos(C--)=—cosC+—sinC,

622

所以tanC=G，

因?yàn)椤槿切蝺?nèi)角，C=工，

3

而c\…「6卜96

IllJSM/iC=-absmC=—ab=—^―,

所以必=9,

由余弦定理得/=/+b2-cib=(a-b)2+ah=36+ab=45,

所以c=3\/5,

所以c、2=+/一_(a+扮?-3ab=45,

所以a+Z?=65/2,

故AA3C的周長(zhǎng)a+b+c=60+36.

15.（2021?江蘇模擬）已知a,b,c,是AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且

5cosBcosC+2=5sinBsinC+cos2A.

（1）求角A的大??；

（2）若AABC的面積5=豆叵，c=求sinBsin。的值.

2

【答案】（1）A=-;（2）1

32

【詳解】（1）山于5cosBcosC+2=5sinBsinC+cos2A,

整理得5cos（B+C）+2=2cos2A-l,

轉(zhuǎn)換為2cos2A+5cos4-3=0,

解得esA=g或-3（舍去），

由于Aw（0,乃），

所以4=工.

3

（2）A48C的面積S=±?3,

2

AiC—bcsinA=—bcsin—=,

2232

所以歷=6,由于c=G，

所以〃=26,

利用余弦定理：tz2=/?2+c2-2ibccosA=12+3-6=9,

故a=3.

則2R=」一=25

sinA

利用（2RysinCsinB=6,

解得sinBsinC=—.

2

16.（2021?南京三模）已知四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)、E,AB=2BC=2CD=4.

?

（1）若NAZ）C=—〃，AC=3,求8S/C4Z）；

3

（2）若AE=CE,BE=2近,求AABC的面積.

【答案】（1）—;（2）幣

3

【詳解】（1）在AA8中，ZADC=—,AC=3,CD=2,

3

可得』=缶

B

即有sinNC.=%螫=?9=￥'

(2)在AA8C中，AB=4,BC=2,BE=2^2,

AE=BE=x,ZAEB=a?NCEB=兀-a,

x2+8-16_x2+8-4

由余弦定理可得cosa=

2x-2&-2x?2&

8sc=asina=、5I=2

解得x=3,

4V164

1Jl

所以AABC的面積為2x-x.2后sina=V^x2V5xJ=V7.

17.（2021?常州一模）已知AABC的內(nèi)角A、B、。的對(duì)邊分別為ab，且

2sinB+bcosA=bfa=2百.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若sinC=2sinZ?,求AABC的面積.

【答案】(1)A=1;(2)SMBC=2y/3

【詳解】(1)因?yàn)?sinb+bcosA=Z?,可得空^^+cosA=1，

h

由正弦定理可得空上^+cosA=1,即2sii\A+cosA=1,可得sinA+\/5cosA=\/5,

a2\/3

可得2(；sinA+~~cosA)=G，可得sin(A+y)=,

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，可得A+^=工，可得A=工.

333

(2)由sinC=2sin8,可得c=2Z?,

又人=工，a=25/3,由余弦定理可得儲(chǔ)二82+c?—?dú)v，解得b=2,c=4,

3

所以5叢8。=；bcsinA=；X2X4X￡=2G.

18.(2021?江蘇模擬)在A4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃b,c,

n

(3-cosA)tan-=sinA,AABC的周長(zhǎng)為8.

(1)求匕；

(2)求A4BC面積的最大值.

【答案】⑴b=2；(2)25/2

【詳解】(1)因?yàn)?3-cosA)tant=sinA,

BBB

所以(3-cosA)2sin—cos—=sinA?2cos2—，

222

所以sin8(3-cosA)=sinA(1+cosB),

化簡(jiǎn)得3sinB=sinA+sinBcosA+sinAcos3=sinA+sin(A+B),

又因?yàn)锳+8+C=;r,故3sin3=sinA+sin[;r-(A+3)]=sinA+sinC,

在A4BC中，由正弦定理得=_2_=_J,故3b=a+c,

sinAsinBsinC

從而a+Z?+c=4/?=8,即匕=2；

(2)由于6=〃+c..2?Z,所以。c,9,當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=3時(shí)等號(hào)成立，

12212

而SMBC=-acsinB，在AABC中，由余弦定理得cosB="十。-------，

22ac

故SZBC=-?2c2sin2B=-a2c2(l-cos2B)=-a2c2[l-(-+c—h)2]

由4442ac

2

=-a?[l-(S+c)2-2ac-/y]=8^_8,

42ac

所以SMBC”2及，故A4BC面積的最大值為2&.

19.(2021?常州一模)已知AABC中，它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

3b2+3c2=3a2+2bc.

(1)求sinA的值；

(2)若sin8=2sinC,求tanC的值.

【答案】(1)還；(2)tanC=^

35

7

【詳解】(1)A/WC中，3b2+3c2=3a2+2bc,所以〃+c?-儲(chǔ)=4c,

3

h24-r2-n2馬火?

利用余弦定理知，cos4,+c

2bc2bc3

因?yàn)?￡(0,4)，所以sinA=Jl-cos?A=--=~^~~；

(2)MBC中，B=TT-(A+C),

所以sinB=sin(A+C)=2sinC,

即sinAcosC+cos/AsinC=2sinC,

)5i

所以---cosC+-sinC=2sinC,

33

解得sinC=^"osC,

5

又cosCw0,所以tanC=包￡=HZ.

cosC5

20.(2021?無(wú)錫一模)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,請(qǐng)?jiān)冖?/p>

4n

b+Z?cosC=\/3cs\nB；?(2b-a)cosC=ccosA；③〃2一/=—8c這三個(gè)條件中任

意選擇一個(gè)，完成下列問(wèn)題：

(1)求NC;

(2)若a=5,c=7,延長(zhǎng)C8到O,使cosNA￡?C=@,求線段或)的長(zhǎng)度.

7

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)選①：由正弦定理知，，_=―絲=_

sinAsinBsinC

,/b+bcosC=VScsinB,sinB+sin8cosC=6sin8sinC,

萬(wàn))，.7+cosC=6sinC,HRsin(C--)=-,

62

x-i/八、c兀/n57T\

CG(0,7T)9C----G(-----,-----),

666

：.C--=~,即。=工.

663

選②：由正弦定理知，，二=_2_=—J,

sinAsinBsinC

(2b-a)cosC=ccosA,/.(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA,

/.2sinBcosC=sin(A+。=sinB,

,/BG(0,兀),/.cosC=—,

2

TT

VCG(0,^),：.C=—.

3

選③：\'a2+b2-c2==^Y~x^absinC=^^-absinC，

由余弦定理知，cosC=L比二=且sinC,

lab3

vCG(0,^),tanC=,/.C=—.

33

2,22

(2)在A4BC中，由余弦定理知，cosC—+'_。，

2ab

-=25+Z?2~49,化簡(jiǎn)爐+58—24=0,解得b=8或一3(舍負(fù)),

22x5力

8二7

由正弦定理知‘鼻sinZABC=—

sinZ.ABC.幾

sin——7

3

ZABCe(0,7i),cosZABC=Jl-sinZBC=-,

7

手

sinZADC=7T22

在AMD中,COSZADC-F

sinNBAD=sin(ZABC-ZADC)=sinZABC-cosZADC-cosZABC-sinZADC

4后向12/1077

=-----X----------X------=-------,

777749

由正弦定理知，一些一=—竺一

sinZBADsinZADB

BD7

10V7~2A/7

496

..BD=5.

21.(2021?蘇州模擬)在①(a+b)(a-b)=(a-c)c,②2a—c=?cosC,③

百(a-hcosC)=csinB三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.

在A4BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足,b=2上.

(1)若a+c=4,求AABC的面積；

(2)求〃+c的取值范圍.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】當(dāng)選條件①時(shí)：

由(a+b)(a-b)=(a-c)c=>a2+c2-b2=acy

_CC+C2-IT1n小、n4

/.cosB-------------------=—,VBG(0,TT),B=—,

2ac23

當(dāng)選條件②時(shí):

由2a—c=2Z?cosC=>2sinA-sinC=2sinBcosC，即2sin(B+C)-2sinBcosC=sinC，

整理得：2cos3sinC=sinC,,.,sinC>0,/.cosB=—又8w(0,乃)，

23

當(dāng)選條件③時(shí)：

由J3(a-bcosC)=csinB=\/3(sinA-sinBcosC)=sinCsinB,即

V3[sin(B+C)-sinBcosC]=sinCsinB,

整理得：\/3cosBsinC=sinCsinB,-.-sinC>0>/.V3cosB=sinB,/.tanB=>/3,，

3

(1)由所選條件可知：B=-,

3

又b=2&,a+c=4,由余弦定理可得：/