轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切變模量的測(cè)量

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切變模量的測(cè)量DH4601A三線擺和扭擺實(shí)驗(yàn)儀實(shí)驗(yàn)講義杭州大華科教儀器研究所杭州大華儀器制造有限公司橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)桿圖1橫梁轉(zhuǎn)動(dòng)桿圖1三線擺示意圖轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切變模量的測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度，它與剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。對(duì)于形狀簡(jiǎn)單的均勻剛體，測(cè)出其外形尺寸和質(zhì)量，就可以計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于形狀復(fù)雜、質(zhì)量分布不均勻的剛體，通常利用轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)定其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。三線擺法和扭轉(zhuǎn)擺法是其中的兩種辦法。為了便于與理論計(jì)算值比較，實(shí)驗(yàn)中的被測(cè)剛體均采用形狀規(guī)則的剛體。［實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?．加深對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念和平行軸定理等的理解；2．了解用三線擺和扭擺測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理和方法；3．掌握周期等量的測(cè)量方法［實(shí)驗(yàn)裝置和原理簡(jiǎn)介］一、三線擺圖1是三線擺示意圖。上、下圓盤均處于水平，懸掛在橫梁上。橫梁由立柱和底座（圖中未畫出）支承著。三根對(duì)稱分布的等長(zhǎng)懸線將兩圓盤相連。撥動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)桿就可以使上圓盤小幅度轉(zhuǎn)動(dòng)，從而帶動(dòng)下圓盤繞中心軸00'作扭擺運(yùn)動(dòng)。當(dāng)下圓盤的擺角0很小，并且忽略空氣摩擦阻力和懸線扭力的影響時(shí)，根據(jù)能量守恒定律或者剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律都可以推出下圓盤繞中心軸00＇的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jo為1）j=m^^

0 4冗2H1）式中，m為下圓盤的質(zhì)量；r和R分別為上下懸點(diǎn)離各自圓盤中心的距離;Ho為平衡時(shí)上下圓盤間的垂直距離；To為下圓盤的擺動(dòng)周期，g為重力加速度。北京地區(qū)的重力加速度為9.80ms-2。將質(zhì)量為m的待測(cè)剛體放在下圓盤上，并使它的質(zhì)心位于中心軸00'上。測(cè)出此時(shí)的擺動(dòng)周期T和上下圓盤間的垂直距離H,則待測(cè)剛體和下圓盤對(duì)中心軸的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1為

”（m+m）gRr_J= 0 T21 4兀2H待測(cè)剛體對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與J0和J］的關(guān)系為J=J1－J0利用三線擺可以驗(yàn)證平行軸定理。平行軸定理指出：（2）（3）如果一剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心的某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J（2）（3）如果一剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx為xJx=Jc+md2式中，m為剛體的質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)時(shí)，將二個(gè)同樣大小的圓柱體放置在對(duì)稱分布于半徑為叫的圓周上的二個(gè)孔上，如圖2所示。測(cè)出二個(gè)圓柱體對(duì)中心軸00'的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。X如果測(cè)得的Jx值與由（4）式右邊計(jì)算得的結(jié)果比X較時(shí)的相對(duì)誤差在測(cè)量誤差允許的范圍內(nèi)（W5%）,則平行軸定理得到驗(yàn)證。二、扭擺將一金屬絲上端固定，下端懸掛一剛體就構(gòu)成扭擺。圖3表示扭擺的懸掛物為圓盤。在圓盤上施加一外力矩，使之扭轉(zhuǎn)一角度e。由于懸線上端是固定的，懸線因扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生彈性恢復(fù)力矩。外力矩撤去后，在彈性恢復(fù)力矩M作用下圓盤作往復(fù)扭動(dòng)。忽略空氣阻尼力矩的作用，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理有M=J』 ⑸式中，j為剛體對(duì)懸線軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，e為角加速度。彈性恢復(fù)力矩m轉(zhuǎn)角e0的關(guān)系為m=-ke （6）K=扭擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為nGd432L7)8)可見(jiàn)，圓盤作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其周0期K=扭擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為nGd432L7)8)可見(jiàn)，圓盤作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其周0期T為 0JT=2n o-0 K

若懸線的扭擺模量K已知，則測(cè)出圓盤的擺動(dòng)周期T0后，由（9）式就可計(jì)算出圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若K未知，可利用一個(gè)對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J］已知的物體將它附加到圓盤上，并使其質(zhì)心位于扭擺懸線上，組成復(fù)合體。此復(fù)合體對(duì)以懸線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J°+J］復(fù)合體的擺動(dòng)周期T為10)由（9）式和（10）式可得11)1211)12)0JT2—T2 104兀2JT2—T2 10測(cè)出T和T后就可以計(jì)算圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J和懸線的切變模型G。圓環(huán)對(duì)懸線軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1有以下計(jì)算J1式中，m1為圓環(huán)的質(zhì)量；=1（D2+J1式中，m1為圓環(huán)的質(zhì)量；812D1和D2分別為圓環(huán)的內(nèi)直徑和外直徑。實(shí)驗(yàn)任務(wù)］1、 用三線擺測(cè)定下圓盤對(duì)中心軸00'的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和圓柱體對(duì)其質(zhì)心軸的

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。要求測(cè)得的圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值與理論計(jì)算值（J二1mr2,片為圓21柱體半徑）之間的相對(duì)誤差不大于5%。2、 用三線擺驗(yàn)證平行軸定理。3、 用扭擺測(cè)定圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和切變模量。實(shí)驗(yàn)儀器］三線擺及扭擺實(shí)驗(yàn)儀、水準(zhǔn)儀、米尺、游標(biāo)卡尺、物理天平及待測(cè)物體等。儀器使用］1、 打開(kāi)電源，程序預(yù)置周期為T=30（數(shù)顯），即：擋光桿來(lái)回經(jīng)過(guò)光電門的次數(shù)為T=2n+1次。2、 據(jù)具體要求，若要設(shè)置10次，先按“置數(shù)”開(kāi)鎖，再按下調(diào)（或上調(diào)）改變周期T,再按“置數(shù)”鎖定，此時(shí)，即可按執(zhí)行鍵開(kāi)始計(jì)時(shí)，信號(hào)燈不停閃爍，即為計(jì)時(shí)狀態(tài)，這時(shí)顯示的是計(jì)數(shù)的次數(shù)；當(dāng)物體經(jīng)過(guò)光電門的周期次數(shù)達(dá)到設(shè)定值，數(shù)顯將顯示具體時(shí)間，單位“秒”。須再執(zhí)行“10”周期時(shí)，無(wú)須重設(shè)置，只要按“返回”即可回到上次剛執(zhí)行的周期數(shù)“10”，再按“執(zhí)行”鍵，便可以第二次計(jì)時(shí)。（當(dāng)斷電再開(kāi)機(jī)時(shí)，程序從頭預(yù)置30次周期，須重復(fù)上述步驟）［實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)］1、 測(cè)量前，根據(jù)水準(zhǔn)泡的指示，先調(diào)整三線擺底座臺(tái)面的水平，再調(diào)整三線擺下圓盤的水平。測(cè)量時(shí)，擺角0盡可能小些，以滿足小角度近似。防止三線擺和扭擺在擺動(dòng)時(shí)發(fā)生晃動(dòng)，以免影響測(cè)量結(jié)果。2、 測(cè)量周期時(shí)應(yīng)合理選取擺動(dòng)次數(shù)。對(duì)三線擺，測(cè)得R、r、叫和H0后，由（1）式推出J0的相對(duì)誤差公式，使誤差公式中的2AT0/T0項(xiàng)對(duì)AJ0/J0的影響比其它誤差項(xiàng)的影響小作為依據(jù)來(lái)確定擺動(dòng)次數(shù)。估算時(shí)，Am取0.02g，時(shí)間測(cè)量誤差A(yù)t取0.03s，AR、Ar和AH°可根據(jù)實(shí)際情況確定。對(duì)于扭擺，先由（13）式估算人的相對(duì)誤差，然后由（11）式推出J0的相對(duì)誤差公式。根據(jù)使T0或（T）的相對(duì)誤差項(xiàng)對(duì)AJ0/J0的貢獻(xiàn)比J］的相對(duì)誤差貢獻(xiàn)小的原則，確定擺動(dòng)次數(shù)。估算時(shí)，Am1取0.02g，AD］和AD2均取0.04mm，J°取400g?cm2，At取0.03s，T0和T1可先大概測(cè)出。［思考題］1、 三線擺在擺動(dòng)過(guò)程中要受到空氣的阻尼，振幅會(huì)越來(lái)越小，它的周期是否會(huì)隨時(shí)間而變？2、 在三線擺下圓盤上加上待測(cè)物體后的擺動(dòng)周期是否一定比不加時(shí)的周期大？試根據(jù)（1）式和（2）式分析說(shuō)明之。3、 如果三線擺的三根懸線與懸點(diǎn)不在上、下圓盤的邊緣上，而是在各圓盤內(nèi)的某一同心圓周上，則（1）式和（2）式中的r和R各應(yīng)為何值？4、 證明三線擺的機(jī)械能為!je2+丄嗎匹e2，并求出運(yùn)動(dòng)微分方程，從20 2H而導(dǎo)出（1）式。動(dòng)力學(xué)綜合設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)裝置—雙線擺(DH4605DP)實(shí)驗(yàn)講義杭州大華科教儀器研究所

杭州大華儀器制造有限公司

雙線擺實(shí)驗(yàn)講義0下，將自由擺動(dòng)，在無(wú)阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能將相互轉(zhuǎn)化，但總量將保持為一恒定的值，可視為一無(wú)休止的循環(huán)運(yùn)動(dòng)。設(shè)雙線擺擺錘運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)橫桿的中心位置為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，并以此時(shí)原點(diǎn)所在的平面為零勢(shì)能面。雙線擺運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的幾何關(guān)系圖如圖2所示。根據(jù)該圖可得a=arccos'，式中S為以d/2為半徑，園心為9所對(duì)應(yīng)的弦。所以有:Ld9h=L-Lsina=L[1-sinarccos(sin—)]L2如果我們?nèi)=d,則

00h=L(1-cos—)=2Lsin2— '24由于，當(dāng)擺角0很小時(shí)，可近似認(rèn)為0.sin0，則2)0h=L(1-cos—)=2)23)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為E=mp0gh1mgL028004)1d0

E=I( )23)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為E=mp0gh1mgL028004)1d0

E=I( )2，k20dt根據(jù)能量守恒定律，得5)d0 1 __I( )2+一mgL02=mgh0dt 8 0 0 0 0式中h為初始擺的最大高度。兩邊對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù),0并除以d0，得:

dtd20 mgL0+0 0—=0，dt2 4I0(7)(7)式是一簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，有O20人％，所以4I08)I8)T=4兀 0—，0 'mgL0mgLI= 0T2，0 16兀2 0根據(jù)(9)式，實(shí)驗(yàn)時(shí)先調(diào)節(jié)擺線長(zhǎng)等于兩線間的距離，即d=L0，并測(cè)出L0,旋轉(zhuǎn)一小角度，測(cè)量周期T°,代入(9)式，求細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2.測(cè)量待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將質(zhì)量為m的待測(cè)物體固定在細(xì)桿上，由(9)式知系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為10)I=(m0+mx)叭T10)待測(cè)物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(m0+mx)gL0T2-I16兀2 0(m0+mx)gL0T216兀22,(ii)16兀2 0根據(jù)(11)式，實(shí)驗(yàn)時(shí)先測(cè)出待測(cè)物體的質(zhì)量，固定在細(xì)桿的質(zhì)心處，調(diào)節(jié)擺線長(zhǎng)等于兩線間的距離，即d=L0，并測(cè)出L°,旋轉(zhuǎn)一小角度，測(cè)量周期T,代入(9)式，求細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix。x//m圖3平行軸定理x圖3平行軸定理用雙線擺驗(yàn)證平行軸定理用雙線擺法還可以驗(yàn)證平行軸定理。若質(zhì)量為m1的物體繞過(guò)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，當(dāng)轉(zhuǎn)軸平行移c動(dòng)距離x時(shí)(如圖3所示)，則此物體對(duì)新軸oo，的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為i=i+mx2。這一結(jié)論稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平xc1行軸定理。實(shí)驗(yàn)時(shí)將質(zhì)量均為m，形狀和質(zhì)量分布完全相同的兩個(gè)圓柱體對(duì)稱地放置2在均勻細(xì)桿上。按同樣的方法，測(cè)出兩小圓柱體和細(xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)周期T，則可求x出每個(gè)柱體對(duì)中心轉(zhuǎn)軸OO，的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：TOC\o"1-5"\h\z(m+2m)gL (m+2m)gL mgL (12)I= 0 rlT2—I= 0 1 lT2—-0 lT2， (丄2)x 32兀2 x 0 32兀2 x 16兀2 0如果測(cè)出小圓柱中心與細(xì)桿質(zhì)心之間的距離x以及小圓柱體的半徑R，則由平x行軸定理可求得(丄3)(丄3)I'=mx2+mR2 ，x121x比較I與廠的大小，可驗(yàn)證平行軸定理。xx二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)