湖北省武漢市2023屆高三5月模擬訓(xùn)練（武漢5調(diào)）數(shù)學(xué) 試題（學(xué)生版+解析版）

湖北省武漢市2023屆高三5月模擬訓(xùn)練(武漢5調(diào))

數(shù)學(xué)試題

武漢市教育科學(xué)研究院命制2023.5.24

本試題卷共5頁(yè)，22題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

★?？荚図樌?/p>

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,設(shè)集合，=｛小=6+1"叫叫――｝,則僅㈤人()

A.(0,+8)B.[1,4-00)

C.(0,1)D.(-00,1)

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足三二！為純虛數(shù)，則目=()

z+1

A.1B.72C.73D.2

3.已知，：ab<\,q：a+b<2,則〃是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知。=(1,2),人為單位向量，若。?人+卜1陣0,則匕=()

也雪(亞261

A.15,5J155J

°rv?—雪

C.15,5)155)

5.函數(shù)〃力=等I的部分圖象可能為()

e+e-

斗斗

『1D1/*

A.AB.

oK-/

6.將1,2,…,〃按照某種順序排成一列得到數(shù)列｛an｝,對(duì)任意如果4>勺，那么稱數(shù)對(duì)

(%%)構(gòu)成數(shù)列包｝的一個(gè)逆序?qū)?若〃=4,則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列｛4｝的個(gè)數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

7.己知點(diǎn)M,N是拋物線=：丁=2°田5>0)和動(dòng)圓。：(.x-l)2+(y-3)2=r2(r>0)的兩個(gè)公共點(diǎn),

點(diǎn)尸是「的焦點(diǎn)，當(dāng)MN是圓C的直徑時(shí)，直線MN的斜率為2,則當(dāng)〃變化時(shí)，〃+目的最小值為

（）

A3B.4C.5D.6

,an(sinL(,1)+,

8.已知〃=1.0嚴(yán)加。|)_(山1.01廣3,Z?=sin(ln(l+cosl.01)),c=e，則〃，b,c的大小

關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知圓C：V+y2=i,直線/：y=x+l,則（）

A.直線/在y軸上的截距為I

B.直線/的傾斜角為工

4

C.直線/與圓C有2個(gè)交點(diǎn)

D.圓C上的點(diǎn)到直線/的最大距離為及

10.在去年的足球聯(lián)賽上，甲隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.5,方差為1.1；乙隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是

2.1,方差是0.4,下列說(shuō)法正確的有（）

A.平均來(lái)說(shuō)甲隊(duì)比乙隊(duì)防守技術(shù)好

B.乙隊(duì)比甲隊(duì)的防守技術(shù)更穩(wěn)定

C.每輪比賽甲隊(duì)的失球數(shù)一定比乙隊(duì)少

D.乙隊(duì)可能有一半的場(chǎng)次不失球

I7C](27c?H-7L?

11.已知函數(shù)/(x)=sins+—+sins+—+…+sins+一，其中①〉0,〃￡N"則

()

A.若外“存在最小正周期7且丁=兀，則0=2

B.若。=2,則/（X）存在最小正周期7且T=兀

若〃=3,幻=2兀，貝ijg(x)=/一2（X一1）的所有零點(diǎn)之和為2

"-J在（0,71）上恰有2個(gè)極值點(diǎn)

D.若〃=3,。=2,則/、

ev

12.在中，NABC=120。，AB=3C=2,點(diǎn)。滿足CO=XD4(/l>0),將△ABD沿直線

8。翻折到△必D位置，則（）

P

A若;1=2,則BD=

TT

B.異面直線PC和8。夾角最大值為不

C.三棱錐P-3C。體積的最大值為且

3

D.點(diǎn)P到平面BCD距離的最大值為2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在（2x+/）4的展開(kāi)式中，含丁項(xiàng)的系數(shù)為.

14.如圖，一個(gè)水平放置在桌面上的無(wú)蓋正方體容器ABC?！狝4GA，AB=4,容器內(nèi)裝有高度為〃

的水，現(xiàn)將容器繞著棱44所在直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，容器中溢出的水剛好裝滿一個(gè)半徑為』9的半球

n

形容器，不考慮容器厚度以及其它因素影響，則/?=.

15.設(shè)樣本空間C={a,b,c,d}含有等可能樣本點(diǎn)，且A={a,。},B={a,c},C^{a,d},則A,B,

日P（ABC）

C三個(gè)事件（填“是”或“不是"）兩兩獨(dú)立,

P（A）P（B）P（C）

16.已知橢圓C：l（a>6>0）,點(diǎn)A,8分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸為橢圓C的右焦

靛+5

點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，且戶尸垂直于x軸.過(guò)原點(diǎn)。作直線出的垂線，垂足為例，過(guò)原點(diǎn)。作直線PB的

垂線，垂足為M記S-S?分別為△MON,.Q43的面積.若力=7-，則橢圓。的離心率為

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=l,25?=aA+i(?eN').

(1)求｛q｝的通項(xiàng)公式;

(2)若&W2023恒成立，求正整數(shù)攵的最大值.

18.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c>且AC,A8=—AB-BC——BC-CA.

32

(1)求角A；

(2)若b=2,求“BC的面積.

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCZ)為正方形，Q4_L平面ABCZ),PA=AB=2>E為線段

PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面AEF±平面PBC；

(2)求平面AE尸與平面PDC夾角的最小值.

20.2023年5月10日長(zhǎng)征七號(hào)火箭劍指蒼穹，搭載天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船為中國(guó)空間站運(yùn)送補(bǔ)給物資，為中

國(guó)空間站的航天員們長(zhǎng)時(shí)間探索宇宙奧秘提供強(qiáng)有力的后援支持.某校部分學(xué)生十分關(guān)注中國(guó)空間站的發(fā)

展，若將累計(jì)關(guān)注中國(guó)空間站發(fā)展的消息達(dá)到6次及以上者稱為“航天達(dá)人”，未達(dá)到6次者稱為“非航天

達(dá)人”.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取50人進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：

航天達(dá)人非航天達(dá)人合計(jì)

男2026

女14

合計(jì)

(1)補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值&=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“航天達(dá)人”與性別有關(guān)聯(lián)?

(2)現(xiàn)從抽取的“航天達(dá)人'‘中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，然后從這6人中隨機(jī)抽取3人,

記這3人中女“航天達(dá)人''的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：7一=--------------------------

(q+〃)(c+d)(a+c)(/?+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

r221丫22

21.已知雙曲線G：4-v彳=1的一條漸近線為y二—彳工，橢圓。2：^+9=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,其中

2a

a＞b＞0.過(guò)點(diǎn)P（2,l）的動(dòng)直線4交C于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的動(dòng)直線4交于M,N兩點(diǎn).

（1）求雙曲線G和橢圓。2方程；

（2）是否存在定點(diǎn)Q,使得四條直線QA,QB,QM,QN的斜率之和為定值?若存在，求出點(diǎn)。坐標(biāo);

若不存在，說(shuō)明理由.

22.已知/（x）=ox+—+c-lnx,其中a/,cwR.

⑴若Z，=c=O,討論/（x）的單調(diào)性；

（2）已知“,天是/（X）的兩個(gè)零點(diǎn)，且玉＜%2，證明：馬（西-1）＜匕＜菁（然—1）.

湖北省武漢市2023屆高三5月模擬訓(xùn)練（武漢5調(diào)）

數(shù)學(xué)試題

武漢市教育科學(xué)研究院命制2023.5.24

本試題卷共5頁(yè)，22題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

★?？荚図樌?/p>

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡

上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條

形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試

卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1設(shè)集合4={巾=&+L},B={y[y=eXR},則他㈤8=（）

A.（0,+oo）B.[l,+oo）

C.（0,1）D.（-oo,l）

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A8,再由交集和補(bǔ)集的定義求解即可.

[詳解]A={y[y=?+l,xeR}={y|yNl},

B==e，,xeR}={小>0},

aA={y|y<l},低力8=={y|0<y<l}.

故選：C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足三1為純虛數(shù)，則目=（）

z+11

A.1B.72C.73D.2

【答案】A

【解析】

z—1

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)——，根據(jù)純虛數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公

Z+1

式可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)2=。+沅(。力€10,

z-Ia-1+bi(a-l+/i)(a+l-歷)_(a-l)(a+1)+Z?2+2bi

則

(a+l+bi)(a+l-bi)(a+1)2+b-

a2+b2-12bi

一(a+l)2+〃+(a+l)2+〃，

。+"~一1_C(2>21

9-=0Q+Z?=]

依題意得"a+l)2+〃,即〈，

,,、b^Q

則|z|=\/a2+b2=1-

故選：A

3.已知P：ab<\,q：a+b<2,則P是。的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】利用特殊值以及既不充分也不必要條件的定義可得答案.

【詳解】當(dāng)。=一1,6=4時(shí)，〃不能推出4：

當(dāng)。=一2,匕=一2時(shí)，9不能推出，,

所以。是q的既不充分也不必要條件.

故選：D

4.已知:=(1,2),人為單位向量，若aQ+同卜卜0,

則6=()

小2小、

A.B.

T'工/

f_75—組

D.「丁，丁,

【答案】D

【解析】

ya

【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的定義分析可得反向，進(jìn)而可得人=一百，運(yùn)算求解即可.

H

因?yàn)閍,000,貝ijcos(a,8)+l40,g|Jcos(a,/?)<-1,

可得cos(a?=-l,且〈a&e[0,7t],

則(。,"=兀，即a,b反向，

ra1r>/5rfV5275

可得b=--r-=—/a=a-,-----

「侍H彳百5155

故選：D.

cir?v

5.函數(shù)/(x)=丁一不的部分圖象可能為()

e+e'

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶性排除D；根據(jù)特殊區(qū)間上函數(shù)值的符號(hào)排除BC可得答案.

【詳解】Ax）的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

學(xué)二?=三半=一所以f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D不正

又因?yàn)?（一X）

e4-ee+e

確;

當(dāng)xw（0,兀）時(shí)，sinx＞0,則f（x）＞0,故B不正確;

當(dāng)xw（兀,2兀）時(shí)，sinx＜0,故/（x）＜0,故C不正確.

故選：A

6.將1,2,…,”按照某種順序排成一列得到數(shù)列｛4｝,對(duì)任意如果6＞勺，那么稱數(shù)對(duì)

（《,令）構(gòu)成數(shù)列｛%｝的一個(gè)逆序?qū)?若八=4,則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列｛%｝的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)逆序?qū)Φ亩x，分?jǐn)?shù)列｛。,,｝的第一個(gè)數(shù)為4,數(shù)列｛q｝的第二個(gè)數(shù)為4,數(shù)列｛%｝的第三

個(gè)數(shù)為4,數(shù)列｛%｝的第四個(gè)數(shù)為4,四種情況討論即可.

【詳解】若〃=4,則

由1,2,3,4構(gòu)成逆序?qū)τ校?,3）,（4,2）,（4,1）,（3,2）,（3,1）,（2,1）,

若數(shù)列｛4,｝的第一個(gè)數(shù)為4,則至少有3個(gè)逆序?qū)Γ?/p>

若數(shù)列｛%｝的第二個(gè)數(shù)為4,

則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列｛%｝為｛1,4,2,3｝,

若數(shù)列｛%｝的第三個(gè)數(shù)為4，

則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列｛%｝為｛1,3,4,2｝或｛2,3,4,1｝或｛2,1,4,3｝,

若數(shù)列｛4｝第四個(gè)數(shù)為4,

則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列｛/｝為｛2,3,1,4｝,

綜上恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列｛a,｝的個(gè)數(shù)為5個(gè).

故選：B.

7.已知點(diǎn)M,N是拋物線丁=2后（2>0）和動(dòng)圓C：（x—+（y—,（廠>0）的兩個(gè)公共點(diǎn)，

點(diǎn)F是「的焦點(diǎn)，當(dāng)是圓C的直徑時(shí)，直線的斜率為2,則當(dāng)「變化時(shí)，r+|M目的最小值為

（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】直線MN的方程為y=2x+l,聯(lián)立直線與拋物線的方程得到玉+/=失3,結(jié)合C是的

中點(diǎn)，可得P=6,由拋物線的定義可將轉(zhuǎn)化為+當(dāng)C,三點(diǎn)在一條直線時(shí)，可

求得r+|M目的最小值.

【詳解】圓C：（x—iy+（y—3）2=，（r>0）的圓心C（l,3）,

當(dāng)MN是圓C的直徑時(shí)，直線的斜率為2,

設(shè)直線MN的方程為>一3=2（%-1）,化簡(jiǎn)為：y=2x+\,

"I；：消去,可得：4公+（4-2同1+1=0,

設(shè)N（x2,y2）,所以西+々=2^^，

因?yàn)镃是MN的中點(diǎn)，所以士也=1=女二4=2,解得：p=6,

24

故尸（3,0）,l：x=—3,由拋物線的定義可知，過(guò)點(diǎn)M作MHJJ交I于點(diǎn)H,

過(guò)點(diǎn)C作。交/于點(diǎn)P,

所以=所以r+|MF|=|MCj+|MF曰CP|=4,

當(dāng)C,P,M三點(diǎn)在一條直線時(shí)取等.

,an(sinl0l)+1

8.已知以=1.0產(chǎn)3叫_(1nl01廣。1,/,=sin(in(1+cos1.01)),c=e.則a，b,c的大小

關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<h<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)〃x)=ln(l+x)-x(x>—l),對(duì)J.(x)求導(dǎo)，得到“力的單調(diào)性的最值,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和

三角函數(shù)的性質(zhì)，即可證明〃€(0,1),再證明c>l,令f=In(In1.01),通過(guò)指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

可證明a=0,即可得出答案.

【詳解】設(shè)〃x)=ln(l+x)_x(x>_l),/,(x)=—1=—^(x>—1),

當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，f^x)>0；當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/(x)<0,

所以/(x)在(TO)上單調(diào)遞增，在(0,+助上單調(diào)遞減，

所以〃x)W/(0)=0,所以ln(l+x)Wx,

b=sin(】n(1+cos1.01))<sin(cos1.01)<1,

又Z?=sin(in(1+cos1.01))>sin(in1)=sin0=0,則be(0,1),

c=etan(sml.01)+l>b所以匕<。,

對(duì)于。=1.0產(chǎn)網(wǎng)"）一（1111.01廠°，令t=ln（lnl.（）l）,則lnL01=e'，

此時(shí)a=1.0f-（或廣"=LOY-e1nLs'=1.0Y-1.0f=0,

所以a<b<c.

故選:A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于比較實(shí)數(shù)大小方法：

（1）利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，

（2）利用中間值“1”或“0”進(jìn)行比較，

（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知圓C：x2+y2=l,直線/：y=x+l,則（）

A.直線/在y軸上的截距為1

B.直線/的傾斜角為三

4

C.直線/與圓C有2個(gè)交點(diǎn)

D.圓c上的點(diǎn)到直線/的最大距離為J5

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)截距，傾斜角的定義，判斷AB；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可判斷CD.

【詳解】A.當(dāng)x=0時(shí)，丁=1,直線/在y軸上的截距為1,故A正確；

JTTT

B.直線/的斜率為1,設(shè)直線/的傾斜角為。，tan6=l,。=一，所以直線/的傾斜角為一，故B正確；

44

C.圓心到直線的距離d=J=="2<1，所以直線與圓相交，所以直線/與圓。有2個(gè)交點(diǎn)，故C正

V22

確；

D.根據(jù)C可知，圓。上的點(diǎn)到直線/的最大距離為也+1，故D錯(cuò)誤.

2

故選：ABC

10.在去年的足球聯(lián)賽上，甲隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.5,方差為1.1；乙隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是

2.1,方差是0.4,下列說(shuō)法正確的有（）

A.平均來(lái)說(shuō)甲隊(duì)比乙隊(duì)防守技術(shù)好

B.乙隊(duì)比甲隊(duì)的防守技術(shù)更穩(wěn)定

C.每輪比賽甲隊(duì)的失球數(shù)一定比乙隊(duì)少

D.乙隊(duì)可能有一半的場(chǎng)次不失球

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)比賽平均失球數(shù)及方差分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】甲隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.5；乙隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.1,平均來(lái)說(shuō)甲隊(duì)比乙隊(duì)防守技

術(shù)好,A選項(xiàng)正確；

甲隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)方差為1.1；乙隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)方差是0.4,乙隊(duì)比甲隊(duì)的防守技術(shù)更穩(wěn)

定,B選項(xiàng)正確；

甲隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.5；乙隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.1,甲隊(duì)的平均失球數(shù)比乙隊(duì)少，但是每輪

比賽甲隊(duì)的失球數(shù)不一定比乙隊(duì)少,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

甲隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.5；乙隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.1,平均失球數(shù)是3.6,乙隊(duì)有一半的場(chǎng)次

不失球則每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)要小于1.8,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:AB.

11.已知函數(shù)/(x)=sin|4yx+F]+sin(tyx+…+sin(刃x+r],其中刃＞0,〃GN*，貝U

()

A.若/(x)存在最小正周期T且7=兀，則。=2

B.若。=2,則/(%)存在最小正周期T且7=兀

C.若〃=3,co=2n,則g(x)=/(x-J-2(x—1)的所有零點(diǎn)之和為2

I、)

/11-3】在(0,兀)

D,若〃=3,(V=2,則/、上恰有2個(gè)極值點(diǎn)

ev

【答案】AD

【解析】

【分析】由7=￡=兀求出0=2可判斷A；若0=2,當(dāng)〃=6時(shí)，,/'(力=/(%+2兀)=0,可判斷

B；當(dāng)〃=3,口=2兀時(shí)，化簡(jiǎn)J'[x_g)=2sin27tx,即所以g(x)=/{x_；J_2(x_l)的所有零點(diǎn)

之和，即丫=⑹地4-與y=x-l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，畫(huà)出圖象可判斷C；當(dāng)〃=3,0=2,則

/、2sin2x

g(x)=F^，對(duì)g(x)求導(dǎo),令g<x)=0,則2=tan2x,則在(0,兀)的極值

g(x)=

點(diǎn)個(gè)數(shù)，即y=2,y=tan2x圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出圖象可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若〃x)存在最小正周期T且7=兀，則7=*=兀，解得：a)=2,故A正確;

對(duì)于B,若刃=2,當(dāng)〃=6時(shí),

/（x）=sin^69X+yj+sin^6yx+-y-j+sin（69X4-7r）4-sin^69^+-^j+sin^6yx-i-1y-j4-sin（6y^+27t）

.（.（2兀）..（71^\.（2兀）.

=sincox+—J+sin[g犬+—J-sincox-sin[/x+—j-sin[GX+—J+sincox=0f

所以/（x）=/（x+2兀）=0,故B不正確；

對(duì)于C,令g（x）=/（x-g）-2（x—1）=°,則/[x-；）=2（x-l）,

（n}C2兀、

當(dāng)〃=3,G=2兀時(shí)，/（x）=sin2也+—+sin2也d----+sin（27tx+兀），

sin2nx--+sin（27tx）+sin2TLX+

I3j

sin2TIXCOS----cos2TIXsin—+sin2TIX+sin2TUCCOS—+cos2nxsin—

3333

兀.

=2sin27Lrcos—+sin2nx=sin2nx+sin2TIX=2sin2TIX,

3

所以2sin27Lx=2（x—l）,即sin27Lr=x-l,

所以8（力=/卜-；）-2@-1）的所有零點(diǎn)之和，即丫=癡2m與y=x-1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和,

如下圖，

y=sin2mc與y=x—l的有3個(gè)交點(diǎn)（從左到右）為王，/，七，且y=sin2mc與y=》一1的關(guān)于（1,0）對(duì)

稱，

故'I廣=］，々=1，則%+七=2,故玉+々+七=3,C不正確;

對(duì)于D,當(dāng)〃=3,

2（2cos2x-sin2x）

即g'（x）

因?yàn)楣ぁ辏?,兀）,2xe（0,27t）,令g'（x）=O,貝ij2cos2x=sin2x,

則2=tan2x,貝U在（o,兀）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),

g（x）=

即丁=2,丁=12（12》圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如下圖,

故丁=2,丁=12112%圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

故選：AD.

12.在ABC中，ZABC=120°,AB=3C=2,點(diǎn)。滿足CD=/lD4（/l>0）,將△ABD沿直線

5。翻折到△P8D位置，則（）

B.異面直線PC和BZ）夾角的最大值為巴

2

C.三棱錐P-B8體積的最大值為且

3

D.點(diǎn)P到平面BCD距離的最大值為2

【答案】BD

【解析】

【分析】由題意可知NB4O=/BC4=30°,由余弦定理得AC=2g，對(duì)于A,當(dāng)4=2,得

AO=2叵，結(jié)合余弦定理可判斷；對(duì)于B,折疊前，令8DJ.AC,可證明BO上平面PCD,從而可

3

判斷；對(duì)于C,D,設(shè)AT>=x,則0<X<26，DC=2y/3-x，由余弦定理得：

必=6—2后+4,當(dāng)平面PBDJ?平面BCD時(shí)，設(shè)P到平面BCD的距離為d，三棱錐P-8CD

的體積V=gsBCD-d,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

【詳解】在ABC中，AB=BC=2,ZABC=120。,

：.ZBAD=ZBCA^3QP

由余弦定理得AC=^/4+4-2x2x2xcosl20°=2百

對(duì)于A,當(dāng)；I=2,則AO=2叵，在△A3。中，由余弦定理得

3

對(duì)于B,折疊前，令BDJ.AC,折疊后有B￡>，PD,5r>_LCD,又加cC￡>=RPRCDu平面

PCD,所以平面PC。,

7T

所以8O_LPC,所以異面直線PC和BO夾角的最大值為一，B正確;

2

設(shè)AO=x,則0<X<2G，DC=26-X，

在△ABD中，由余弦定理得：BD=&-2?+4,

在中，PO=AD=x,PB=BA=2,NBPD=30。,

當(dāng)平面~BD_L平面3。時(shí)，設(shè)P到平面BCD的距離為d，則

。PBD=-xBDxd=-xPDxPBxsinNBPD

22

,X11

d————=——=―,

解得&-2&+4"+jkl_^J+l

X（2A/5-X）

對(duì)于C,三棱錐P-BCD的體積V=ls

3￡R）Cctnz

6&_2氐+4

令正-2氐+4=/,則X（2G-X）=4-『,

4—/2t

所以v=

6t3t6

因?yàn)?<尤<2石，所以r=J(x—e[l,2)，

2ti

而丫=不—工在[1,2)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)r=l,即x=6時(shí)，V=c錯(cuò)誤;

3/6max2

對(duì)于D,因?yàn)?<%<2j^，所以一>尸?=1,所以當(dāng)X=時(shí)，dmax=2.

X2<364

.?.P到平面BCD的最大距離為2,D正確.

故選：BD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在（2x+/『的展開(kāi)式中，含V項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】32

【解析】

【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令x的指數(shù)等于5,即可得解.

【詳解】（2x+/了展開(kāi)式的通項(xiàng)（用=C：（2司1（f丫=2J,

令女+4=5,貝必=1,

所以含V項(xiàng)的系數(shù)為23C；=32.

故答案為：32.

14.如圖，一個(gè)水平放置在桌面上的無(wú)蓋正方體容器ABC。一A4G。，A8=4,容器內(nèi)裝有高度為〃

的水，現(xiàn)將容器繞著棱4與所在直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,容器中溢出的水剛好裝滿一個(gè)半徑為的半球

形容器，不考慮容器厚度以及其它因素影響，則/?=.

【解析】

【分析】由長(zhǎng)方體、球的體積公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知當(dāng)旋轉(zhuǎn)后，此時(shí)水面溢出，則此時(shí)水在正方體容器中形成一個(gè)三棱柱（正方體的一

1]4（左丫9

半），故由長(zhǎng)方體、球的體積公式可知：16h—x4'3=—x—兀=>〃=—.

223[\7t）4

9

故答案為：—

4

15.設(shè)樣本空間C={a,dc,力含有等可能的樣本點(diǎn)，且4={。,"，B={a,c},C={a,d},則A,B,

口P（ABC）

C三個(gè)事件（填“是”或“不是"）兩兩獨(dú)立,

P（A）P（B）P（C）

【答案】①.是②.2

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求得P（A）,P（B）,P（C）,P（AB）,P（AC）,P（3C）,P（ABC）,結(jié)合獨(dú)立事件的定

P(ABC)

義，可判定事件A,反。相互獨(dú)立，且的值.

P(4)P(B)P(C)

【詳解】由題意，可得P（A）=；,P（B）=g,尸（C）=g,

且P（AB）=；,P（AC）W，P（BC）=；,P（A3C）q,

所以P（AB）=P（A）P（B）,P（AC）=P（A）P（C）,P（BC）=P（B）P（C）

P（ABC）

所以事件A8,C是相互獨(dú)立事件，且=2.

P（A）P（B）P（C）

故答案為：是；2.

16.已知橢圓C：7+F=l（a>/?>0）,點(diǎn)A,8分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸為橢圓C的右焦

點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且PF垂直于x軸.過(guò)原點(diǎn)。作直線物的垂線，垂足為例，過(guò)原點(diǎn)0作直線PB的

S,40

垂線，垂足為M記加，$2分別為△MON,..as的面積.若k=77,則橢圓。的離心率為

5y

【答案】用

3

【解析】

cS240

【分析】設(shè)NPAO=a,NP8O=尸可得sinNNOM=sinNAP3,再由三角形的面積公式將f=石化

2II2I,/?2

簡(jiǎn)為\P曲A\\P耦B\=瓦40①，再由可h得I。昨網(wǎng)Z?網(wǎng)=兩，代入①可得

))4()

\PA[\PB\-=—b4,化簡(jiǎn)即可求出橢圓C的離心率.

7T7T

【詳解】設(shè)NPAO=e,NPBO=/7,&4AoM=三a,4NOB=^—(3,

則NNOM=a+p,ZAPB=n-(a+j3),所以sinZ/VOM=sinZAP5,

《；|周|「邱in/APB欠小陽(yáng)A]

S'^\OM\\ON\sinZMON\OM\\ON\90

2222>2

令￡+方=1(?！?。>0)中x=c,所以￡+方=i,解得y=±/l

1

故sPA°=SPBL1a即JPA||OW|=JP即ON|=g,

〃2/2

所以1°叫=網(wǎng)，阿=畫(huà)，

\PA\\PB\_\PA\\PB\^40

所以代入①可得：\OM\\ON\--P―1T~~9,

網(wǎng).網(wǎng)

所以照「.|冏2=與64=g+c)2+?*

40

即——=

9

即m=l+(l+e)2+(l-e)2+(l—e2)2=e4+4,故e4=3,解得：e=當(dāng).

故答案為：叁

3

S)40?,2I(240A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于由三角形的面積公式將不=寸化簡(jiǎn)為1PAi一1尸毋=工。，

,9

再由勾股定理求出歸山，歸同，代入化簡(jiǎn)即可.

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“,4=1,2S?=（〃eN*）.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）若&<2023恒成立，求正整數(shù)k的最大值.

【答案】（1）a?=n

（2）63

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)〃=1時(shí)，求得生=2,當(dāng)〃22時(shí)，得到2s,i=a,i4，兩式相減化簡(jiǎn)求得

=2,得到數(shù)列｛4｝中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）求得S=△——結(jié)合當(dāng)ZW63時(shí)，5<2023和當(dāng)攵=64時(shí)，S>2023,即可求解.

n2k

【小問(wèn)1詳解】

解：由題意，各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S“，滿足q=1且2S“=a“a,用，

當(dāng)胃=1時(shí)，24]=4〃2，解得。2=2,

當(dāng)“22時(shí)，2s“_|=an_xan,兩式相減得2an=an（67?+1-an_t）,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝中各項(xiàng)均不為零，即an+i-an_,=2.

所以數(shù)列｛a,,｝中奇數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；

偶數(shù)項(xiàng)是以出為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

當(dāng)〃=24時(shí)，/上=里+（左-1）*2=2々，即可=”；

當(dāng)〃=2左一1時(shí)，生心]="+（Z-l）x2=2A-l,即a“=〃，

綜上，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=n.

【小問(wèn)2詳解】

解：由（1）知數(shù)列｛q｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可得￡,=〃（；+”,

因?yàn)?K2023,所以左（左+1）《4046,

當(dāng)左463時(shí)，\<2023,即不等式恒成立；

當(dāng)左=64時(shí)，S,>2023.

故正整數(shù)后的最大值為63.

18..ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,且A0?A3=—■A5,BC=—BC,CA.

32

（1）求角A;

（2）若b=2,求工ABC的面積.

【答案】（1）A=一

4

（2）2

【解析】

3

【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義及正弦定理得tanA=-3tan3,tanC=^tan8.再結(jié)合三角形的性質(zhì)

2

tanA=—tan（3+C）建立方程求解即可；

（2）根據(jù)正弦定理及面積公式直接求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

在一中有ACAB='A3,3C=，3C?CA.

32

即be-cosA=——ac-cosB=——ab-cosC.

32

因?yàn)?。c?cosA=--accosB,由正弦定理可得sin8cosA=--sinAcosB,即tanA=-3tanB.

33

同理一,00<058=-，48405。,

32

113

由正弦定理可得——sinCcosB=—sinBcosC,即tanC=—tan8.

322

tanB+tanC

在一ABC中有tanA=tan（兀-8-C）=一tan（8+C）=

tanBtanC-1

解得tanA=-l,tanB=-,tanC=—.

32

由OVAVTI,得：A=—.

4

【小問(wèn)2詳解】

一面積S=，從'sinA,代入A=棗，。=2,整理得：S=—

242

由（1）知tanB=—,tanC=—,即sinB=,sinC--

32105

bc

△ABC中，由正弦定理可得一-=^—,即C=2JL

sinBsinC

5

所以S=----x2V2=2-

2

19.如圖，在四棱錐P—A5CD中，底面ABC。為正方形，R4J_平面ABC。，PA=AB=2,E為線段

尸3的中點(diǎn)，尸為線段8C上的動(dòng)點(diǎn).

P

B

（1）求證：平面AEF_L平面PBC；

（2）求平面AEF與平面P￡>C夾角的最小值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）

6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明AEJ_平面PBC；

（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面AM和PC。的法向量，利用法向量夾角的余弦

公式，求余弦值的最大值.

【小問(wèn)1詳解】

.248中P4=AB，E為PB中點(diǎn)，所以

在正方形A8CQ中，BCLAB.

因?yàn)?4,平面ABCQ,BCu平面ABCC,即/%J_BC.

又因?yàn)?4AB^A,PA,A8U平面以B,所以平面以B.

A￡u平面B4B,即AELBC,又因?yàn)锳EJ_PB,PBcBC=B,P8,BCu平面「3c

所以AEL平面PBC,AEu平面AE尸，

即平面AEF，平面PBC.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?4,平面ABCO,底面ABCC是正方形，所以易知AB,AD,AP兩兩垂直.

以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x軸、），軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

有A（0,0,0）,3（2,0,