遼寧省重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

遼寧省重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知中，，，的對邊分別是，，，且，，，則邊上的中線的長為()A． B．C．或 D．或2．已知是常數(shù)，那么“”是“等式對任意恒成立”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（）A． B． C． D．4．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么（）A． B． C． D．5．讀下面的程序框圖，若輸入的值為-5，則輸出的結(jié)果是（）A．-1 B．0 C．1 D．26．為比較甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員的近期競技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場比賽的得分制成如圖所示的莖葉圖，有以下結(jié)論：①甲最近五場比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場比賽得分的中位數(shù)；②甲最近五場比賽得分平均數(shù)低于乙最近五場比賽得分的平均數(shù)；③從最近五場比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定；④從最近五場比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定．其中所有正確結(jié)論的編號為：（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④7．已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為()A． B． C． D．8．已知a，b，c滿足，那么下列選項(xiàng)一定正確的是（）A． B． C． D．9．下列說法中正確的是(

)A．棱柱的側(cè)面可以是三角形B．正方體和長方體都是特殊的四棱柱C．所有的幾何體的表面都能展成平面圖形D．棱柱的各條棱都相等10．體積為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)三棱錐滿足，，則該三棱錐的體積的最大值為____________.12．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的通項(xiàng)______.13．直線的傾斜角的大小是_________.14．若是等比數(shù)列，，，且公比為整數(shù)，則______.15．如圖，將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________.16．已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，，則_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知.(1)求角;(2)若,求面積的最大值.18．已知向量，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，已知在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，求的取值范圍.19．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：．20．設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記（），其中表示，，這個(gè)數(shù)中最大的數(shù).已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求，，的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列前項(xiàng)和.21．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.（1）求向量與的夾角；（2）設(shè)，且向量滿足，求的最小值；（3）在（2）的條件下，隨機(jī)選取一個(gè)向量，求的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

由已知利用余弦定理可得，解得a值，由已知可求中線，在中，由余弦定理即可計(jì)算AB邊上中線的長．【題目詳解】解：，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或1．如圖，CD為AB邊上的中線，則，在中，由余弦定理，可得：，或，解得AB邊上的中線或．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

由輔助角公式結(jié)合條件得出、的值，由結(jié)合同角三角函數(shù)得出、的值，于此可得出結(jié)論.【題目詳解】由可得或，由輔助角公式，其中，.因此，“”是“等式對任意恒成立”的必要非充分條件，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查必要不充分條件的判斷，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及輔助角公式的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.3、C【解題分析】

由題意，可知，即為奇函數(shù)，排除，，又時(shí)，，可排除D，即可選出正確答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)定義域?yàn)椋?，即為奇函?shù)，排除，，當(dāng)時(shí)，，，即時(shí)，，可排除D，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，考查了函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，屬于中檔題.4、C【解題分析】試題分析：由題意得，，故，故選C．考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用.5、A【解題分析】

直接模擬程序框圖運(yùn)行,即可得出結(jié)論.【題目詳解】模擬程序框圖的運(yùn)行過程如下:輸入,進(jìn)入判斷結(jié)構(gòu),則,,輸出,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查程序框圖,一般求輸出結(jié)果時(shí),常模擬程序運(yùn)行,列表求解.6、C【解題分析】

根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，方差的概念計(jì)算比較可得．【題目詳解】甲的中位數(shù)為29，乙的中位數(shù)為30，故①不正確；甲的平均數(shù)為29，乙的平均數(shù)為30，故②正確；從比分來看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正確，④不正確．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了莖葉圖，屬基礎(chǔ)題．平均數(shù)即為幾個(gè)數(shù)加到一起除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)得到的結(jié)果.7、D【解題分析】

取的中點(diǎn)，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【題目詳解】由題意，取的中點(diǎn)，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，設(shè)正三棱柱的各棱長為,則，設(shè)直線與所成角為，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

c＜b＜a，且ac＜1，可得c＜1且a>1．利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．【題目詳解】∵c＜b＜a，且ac＜1，∴c＜1且a>1，b與1的大小關(guān)系不定．∴滿足bc＞ac，ac＜ab，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】試題分析：棱柱的側(cè)面是平行四邊形，不可能是三角形，所以A不正確；球的表面就不能展成平面圖形，所以C不正確；棱柱的側(cè)棱與底面邊長不一定相等，所以D不正確.考點(diǎn)：本小題主要考查空間幾何體的性質(zhì).點(diǎn)評：解決此類問題的主要依據(jù)是空間幾何體的性質(zhì)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力.10、A【解題分析】試題分析：因?yàn)檎襟w的體積為8，所以棱長為2，所以正方體的體對角線長為，所以正方體的外接球的半徑為，所以該球的表面積為，故選A.【考點(diǎn)】正方體的性質(zhì)，球的表面積【名師點(diǎn)睛】與棱長為的正方體相關(guān)的球有三個(gè)：外接球、內(nèi)切球和與各條棱都相切的球，其半徑分別為、和.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

取中點(diǎn)，連，可證平面，，要使最大，只需求最大值，即可求解.【題目詳解】取中點(diǎn)，連，所以，，，平面，平面，設(shè)中邊上的高為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查錐體的體積計(jì)算，考查線面垂直的判定，屬于中檔題.12、【解題分析】

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式和疊加法求出結(jié)果．【題目詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.時(shí)也成立.所以數(shù)列的通項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，疊加法在數(shù)列中的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】試題分析：由題意，即，∴．考點(diǎn)：直線的傾斜角.14、512【解題分析】

由題設(shè)條件知和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解方程并由公比q為整數(shù)，知，，由此能夠求出公比，從而得到.【題目詳解】是等比數(shù)列，

，，

，，

和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

解方程，

得，，

公比q為整數(shù)，

，，

，解得，

.故答案為：512【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用了等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.15、【解題分析】

求出長方體體積與三棱錐的體積后即可得到棱錐的體積與剩下的幾何體體積之比.【題目詳解】設(shè)長方體長寬高分別為，，，所以長方體體積，三棱錐體積，所以棱錐的體積與剩下的幾何體體積的之比為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了長方體體積公式，三棱錐體積公式，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】

本題主要考查了已知數(shù)列的通項(xiàng)式求前和，根據(jù)題目分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)直接求即可?！绢}目詳解】，則．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了給出數(shù)列的通項(xiàng)式求前項(xiàng)和以及極限。求數(shù)列的前常用的方法有錯(cuò)位相減、分組求和、裂項(xiàng)相消等。本題主要利用了分組求和的方法。屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】

（1）由邊角互化整理后，即可求得角C；（2）由余弦定理，結(jié)合均值不等式，求解的最大值，代入面積即可.【題目詳解】(1)由正弦定理得，，，，因?yàn)?，所以，所以，即，所?（2）由余弦定理可得:即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形中的邊角互化，以及利用余弦定理及均值不等式求三角形面積的最值問題，屬綜合中檔題.18、(1)；(2)【解題分析】

（1）由共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡可得，將化切后代入即可（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，利用正弦定理求,根據(jù)角的范圍求值域即可.【題目詳解】（1）∵，，且；∴，∴；∴；（2）∵；在中，由正弦定理得，∴，∴，或；又∵，∴，∴，∵，∴；∴，∴；即的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，三角恒等式，型函數(shù)的值域，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

(1)連接與與交于點(diǎn)，在利用中位線證明平行.(2)首先證明平面，由于平面，證明得到結(jié)論.【題目詳解】證明：（1）連接與交于點(diǎn)，連接因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為中點(diǎn)因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以平面，平面，所以平面（2）在直四棱柱中，平面，平面所以因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以所以，，，平面，平面所以平面因?yàn)槠矫妫浴绢}目點(diǎn)撥】本題考查直棱柱得概念和性質(zhì)，考查線面平行的判定定理，考查線面垂直的判定定理，考查了學(xué)生的邏輯能力和書寫能力，屬于簡單題20、（1）；（2），，，；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)題意，化簡得，運(yùn)用已知求公式，即可求解通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意，寫出通項(xiàng)，根據(jù)定義，令，可求解，，的值，再判斷單調(diào)遞減，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）由（1）（2）的數(shù)列、的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列中，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和.【題目詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，，化簡得，∴，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，∴是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴.（2），，，當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞減，所以.（3）作差，得【題目點(diǎn)撥】本題考查（1）已知求公式；（2）數(shù)列的單調(diào)性；（3）錯(cuò)位相減法求和；考查計(jì)算能力，考查分析問題解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.21、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)向量的垂直，轉(zhuǎn)化出方程組，求解方程組即可；（2）將向量賦予坐標(biāo)，求得向量對應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)，到圓上一點(diǎn)的距離的最值問題，即可求解；（3）根據(jù)余弦定理，解得，以及的臨界狀態(tài)時(shí)，對應(yīng)的圓心角的大小，利用幾何概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【題目詳解】（1）因?yàn)楣士傻?，解得①②由?②可得，解得，將其代入①可得，即將其代入②可得解得，又向量夾角的范圍為，故向量與的夾角為.（2）不妨設(shè)，由可得.不