2024屆吉林省吉林市吉化一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆吉林省吉林市吉化一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．對(duì)某班學(xué)生一次英語(yǔ)測(cè)試的成績(jī)分析，各分?jǐn)?shù)段的分布如下圖（分?jǐn)?shù)取整數(shù)），由此，估計(jì)這次測(cè)驗(yàn)的優(yōu)秀率（不小于80分）為（）A．92% B．24% C．56% D．76%2．在中，角的對(duì)邊分別為,，且邊，則面積的最大值為（）A． B． C． D．3．記等差數(shù)列前項(xiàng)和，如果已知的值，我們可以求得（）A．的值 B．的值 C．的值 D．的值4．在正方體中為底面的中心，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示(實(shí)線部分)，若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則該幾何體的體積是()A． B． C． D．6．已知向量=(),=(-1,1),若,則的值為（）A． B． C． D．7．的值為A． B． C． D．8．矩形中，，若在該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，那么使得的面積不大于3的概率是（）A． B． C． D．9．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項(xiàng)之和等于（）A．9 B．18 C．36 D．5210．辦公室裝修一新，放些植物花草可以清除異味，公司提供綠蘿、文竹、碧玉、蘆薈4種植物供員工選擇，每個(gè)員工任意選擇2種，則員工甲和乙選擇的植物全不同的概率為：A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若向量，，且，則實(shí)數(shù)______.12．一個(gè)公司共有240名員工，下設(shè)一些部門，要采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個(gè)容量為20的樣本．已知某部門有60名員工，那么從這一部門抽取的員工人數(shù)是.13．若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.14．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_____.15．函數(shù)的值域是______．16．設(shè)向量，，且，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，，若恒成立，求的取值范圍.18．某銷售公司通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到某種商品的廣告費(fèi)（萬(wàn)元）與銷售收入（萬(wàn)元）之間的數(shù)據(jù)如下：廣告費(fèi)（萬(wàn)元）1245銷售收入（萬(wàn)元）10224048（1）求銷售收入關(guān)于廣告費(fèi)的線性回歸方程；（2）若該商品的成本（除廣告費(fèi)之外的其他費(fèi)用）為萬(wàn)元，利用（1）中的回歸方程求該商品利潤(rùn)的最大值（利潤(rùn)=銷售收入－成本－廣告費(fèi)）.參考公式：，.19．已知是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求正整數(shù)的最大值．20．經(jīng)觀測(cè)，某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車流量(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度(千米/小時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系：．（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.01)（2）為保證在該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使得成立，求范圍?

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】試題分析：．故C正確．考點(diǎn)：頻率分布直方圖．2、D【解題分析】

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可求解．【題目詳解】解：，可解得：，由余弦定理，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．等號(hào)當(dāng)時(shí)成立．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．3、C【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a5+a21=2a1+24d的值為已知，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論．【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，∵已知a5+a21的值，∴2a1+24d的值為已知，∴a1+12d的值為已知，∵∴我們可以求得S25的值．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．4、B【解題分析】

取BC中點(diǎn)為M，連接OM，EM找出異面直線夾角為，在三角形中利用邊角關(guān)系得到答案.【題目詳解】取BC中點(diǎn)為M，連接OM，EM在正方體中為底面的中心，為的中點(diǎn)易知：異面直線與所成角為設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，在中：故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了立體幾何里異面直線的夾角，通過(guò)平行找到對(duì)應(yīng)的角是解題的關(guān)鍵.5、A【解題分析】

由三視圖得出原幾何體是由半個(gè)圓錐與半個(gè)圓柱組成的組合體，并且由三視圖得出圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高，再由圓柱和圓錐的體積公式得解.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體是由半個(gè)圓錐與半個(gè)圓柱組成的組合體，其中圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高所以圓柱的體積，圓錐的體積，所以組合體的體積．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間幾何體的三視圖和空間幾何體圓柱和圓錐的體積，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

對(duì)條件兩邊平方，得到該兩個(gè)向量分別垂直，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算參數(shù)，即可．【題目詳解】結(jié)合條件可知，，得到，代入坐標(biāo)，得到，解得，故選D．【題目點(diǎn)撥】本道題考查了向量的運(yùn)算，考查了向量垂直坐標(biāo)表示，難度中等．7、B【解題分析】

試題分析：由誘導(dǎo)公式得，故選B．考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式．8、C【解題分析】

先求出的點(diǎn)的軌跡（一條直線），然后由面積公式可知時(shí)點(diǎn)所在區(qū)域，計(jì)算其面積，利用幾何概型概率公式計(jì)算概率．【題目詳解】設(shè)到的距離為，，則，如圖，設(shè)，則點(diǎn)在矩形內(nèi)，，，∴所求概率為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型概率．解題關(guān)鍵是確定符合條件點(diǎn)所在區(qū)域及其面積．9、B【解題分析】

利用等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，可得出，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出的值.【題目詳解】在等差數(shù)列中，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)、以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10、A【解題分析】

從公司提供的4中植物中任意選擇2種，求得員工甲和乙共有種選法，再由任選2種有種，得到員工甲和乙選擇的植物全不同有種選法，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解．【題目詳解】由題意，從公司提供綠蘿、文竹、碧玉、蘆薈4種植物每個(gè)員工任意選擇2種，則員工甲和乙共有種不同的選法，又從公司提供綠蘿、文竹、碧玉、蘆薈4種植物中，任選2種，共有種選法，則員工甲和乙選擇的植物全不同，共有種不同的選法，所以員工甲和乙選擇的植物全不同的概率為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，以及排列、組合的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用排列、組合求得基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)，兩個(gè)向量平行的條件是建立等式，解之即可．【題目詳解】解：因?yàn)?，，且所以解得故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的平行的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．12、5【解題分析】設(shè)一部門抽取的員工人數(shù)為x,則.13、【解題分析】

利用判別式可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】不等式有解等價(jià)于有解，所以，故或，填.【題目點(diǎn)撥】本題考查一元二次不等式有解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)圖象依次求得的值.【題目詳解】由圖象可知，，所以，故，將點(diǎn)代入上式得，因?yàn)椋?故.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象求三角函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

將函數(shù)化為的形式，再計(jì)算值域?！绢}目詳解】因?yàn)樗浴绢}目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】

根據(jù)即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x．【題目詳解】∵；∴；∴x＝﹣1；故答案為﹣1．【題目點(diǎn)撥】考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）代入求得，根據(jù)與的關(guān)系可求得，可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；驗(yàn)證后可得最終結(jié)果；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消的方法求得，可知，從而得到的范圍.【題目詳解】（1）由題知：，……①令得：，解得：當(dāng)時(shí)，……②①-②得：∴，即是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列經(jīng)驗(yàn)證滿足（2）由（1）知：即【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、裂項(xiàng)相消法求和，關(guān)鍵是能夠利用與的關(guān)系證得數(shù)列為等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式，屬于常規(guī)題型.18、（1）；（2）19.44（萬(wàn)無(wú)）【解題分析】

（1）先求出，然后求出回歸系數(shù)，得回歸方程；（2）由回歸方程得估計(jì)銷售收入，減去成本得利潤(rùn)，由二次函數(shù)知識(shí)得最大值．【題目詳解】（1）由題意，，所以，，所以回歸方程為；（2）由（1），所以（萬(wàn)元）時(shí)，利潤(rùn)最大且最大值為19.44（萬(wàn)元）．【題目點(diǎn)撥】本題考查求線性回歸直線方程，考查回歸方程的應(yīng)用．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．19、（1）（2）不存在（3）1【解題分析】

（Ⅰ），得，解得，或．由于，所以．因?yàn)?，所?故，整理，得，即．因?yàn)槭沁f增數(shù)列，且，故，因此．則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以.………………5分（Ⅱ）滿足條件的正整數(shù)不存在，證明如下：假設(shè)存在，使得，則．整理，得，①顯然，左邊為整數(shù)，所以①式不成立．故滿足條件的正整數(shù)不存在．……1分（Ⅲ），不等式可轉(zhuǎn)化為．設(shè)，則.所以，即當(dāng)增大時(shí)，也增大．要使不等式對(duì)于任意的恒成立，只需即可．因?yàn)?，所?即.所以，正整數(shù)的最大值為1．………14分20、（1）v＝40千米/小時(shí)，車流量最大，最大值為11.08千輛/小時(shí)（2）汽車的平均速度應(yīng)控制在25≤v≤64這個(gè)范圍內(nèi)【解題分析】

（1）將已知函數(shù)化簡(jiǎn)，利用基本不等式求車流量y最大值；

（2）要使該時(shí)段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時(shí)，即使，解之即可得汽車的平均速度的控制范圍．【題目詳解】解:(1)＝≤＝≈11.08，當(dāng)v＝，即v＝40千米/小時(shí)，車流量最大，最大值為11.08千輛/小時(shí)．(2)據(jù)題意有：，化簡(jiǎn)得，即，所以，所以汽車的平均速度應(yīng)控制在這個(gè)范圍內(nèi)．【題目點(diǎn)撥】本題以已知函數(shù)關(guān)系式為載體，考