4.2.5+正態(tài)分布+課件-【基礎(chǔ)夯實與拓展提升】高二上學期數(shù)學人教B版（2019）選擇性必修第二冊

課時13正態(tài)分布新授課正態(tài)曲線的性質(zhì)：(1)曲線關(guān)于直線x=μ對稱，具有中間高，兩邊低的特點；(2)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.(3)正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1.(4)σ越大，說明標準差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”;σ越小，說明標準差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強，所以曲線越“瘦”.復(fù)習導(dǎo)入正態(tài)曲線在實際生活中有何作用呢？1.了解正態(tài)分布的相關(guān)概念及“3σ原則”.2.能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)，并能查表求出相應(yīng)的概率值.目標一：了解正態(tài)分布的相關(guān)概念及“3σ原則”

任務(wù)1：了解正態(tài)分布的概念，會利用其求實際問題的概率.新知講解

如果隨機變量X落在區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率，總等于對應(yīng)的正態(tài)曲線φμ，σ(x)與x軸在區(qū)間[a，b]內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布，記作X~N(μ，σ2)此時

稱為X的概率密度函數(shù)，μ是X的均值，而σ是X的標準差，σ2是X的方差.

例1

假設(shè)某地區(qū)高二學生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170(單位：cm，下同)，標準差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學生，求這名學生的身高：

①在區(qū)間[160，180]內(nèi)的概率；

②不高于160的概率.問題：(1)服從正態(tài)分布的兩個參數(shù)μ，σ分別為多少？(2)題中數(shù)據(jù)160、180如何用參數(shù)μ，σ表示？解：(1)設(shè)該學生的身高為X，由題知μ=170，σ=10，所以X~N(170，102

).(2)160=μ-σ，180=μ+σ，(3)上述事件可以如何表示？概率分別為多少？①身高在區(qū)間[160，180]內(nèi)：μ-σ≤X≤μ+σ，∴P(160≤X≤180)=P(|X–170|≤10)≈68.3％；②不高于160：X≤μ-σ，∴P(X≤160)=P(X≥180)=(1-P(160<X<180))≈15.87％.利用正態(tài)曲線求解概率有以下幾個等式：①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X>μ+a)；③若b<μ，則P(X<μ-b)=歸納總結(jié)(1-P(μ-b<X<μ+b)).練一練已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<2)=(

).A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2C

任務(wù)2：求隨機變量X在下列區(qū)間內(nèi)的概率，了解“3σ原則”若X~N(μ，σ2)，說說下列概率大小為多少？(1)P(X≤μ)；

(2)P(|X-μ|≤σ)；

(3)P(|X-μ|≤2σ)；

(4)P(|X-μ|≤3σ).解：(1)P(X≤μ)=P(X≥μ)=50%，(2)P(|X-μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3％，(3)P(|X-μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4％，(4)P(|X-μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7％.

最后式子意味著，X約有99.7%的可能會落在距均值3個標準差的范圍之內(nèi)，也就是說只有約0.3%的可能會落在這一范圍之外(這樣的事件可看成小概率事件)，這一結(jié)論通常稱為正態(tài)分布的“3σ原則”.

例2

某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(500，52)(單位：).該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于515g.

(1)求正常情況下，任意抽取兩包食鹽，質(zhì)量均大于515g的概率約為多少;

解：設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來的食鹽質(zhì)量為g，由題意可知X~N(500，52).隨機抽取兩包檢查，質(zhì)量都小于515g的概率約為0.15%×0.15%=2.25×10-6.(1)由于515=500+3×5，所以根據(jù)正態(tài)分布的對稱性與“3σ原則”可知

(2)檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.

檢測員的判斷是合理的.

因為如果生產(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由(1)可知，隨機抽取兩包檢查，質(zhì)量都小于515g的概率約為2.25×10-6，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，檢測員的判斷是合理的.目標二：了解正態(tài)分布的相關(guān)概念及“3σ原則”

任務(wù)：了解標準正態(tài)分布的概念，能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)并能查找出相應(yīng)概率值.新知講解標準正態(tài)分布：μ=0，σ=1的正態(tài)分布，記作X~N(0，1).問題：（1）若Y~N(μ，σ2)，則Y的概率密度函數(shù)是什么？若X~N(0，1)，則X的概率密度函數(shù)是什么？若Y~N(μ，σ2)，則

若X~N(0，1)，則（2）Y~N(μ，σ2)能否化為X~N(0，1)？如果能，該怎樣變化？由此你能得出什么結(jié)論？Y~N(μ，σ2)

X~N(0，1)

令結(jié)論：任意正態(tài)分布通過變換都可化為標準正態(tài)分布.問題2：若X~N(0，1)，則P(X<-1)與P(X<1)的值相加等于多少？P(X<-a)與P(X<a)也滿足這樣的關(guān)系嗎？為什么？∵P(X<-1)≈0.5-0.3413=0.1587，P(X<1)≈0.5+0.3413=0.8413.∴P(X<-1)+P(X<1)=1.∵P(X<-a)=P(X>a)=1-P(X≤a)=1-P(X<a),∴P(X<-a)+P(X<a)=1.如果X~N(0，1)，那么對于任意a，對于任意，通常記則Φ(a)表示N(0，1)對應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間(-∞，a)內(nèi)所圍的面積，如圖：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，Φ(a)具有性質(zhì)：Φ(-a)+Φ(a)=1.Φ(a)=P(X<a)為了方便起見，將a≥0時部分Φ(a)的值制成專門表格，可供查詢，下表是部分是數(shù)據(jù).練一練已知X~N(0，1)，查表求以下概率值：(1)P(X<0.28);(2)P(X<-0.36);(3)P(0.18≤X<0.57).解：(1)P(X＜0.28)=Φ(a)=0.6103；(2)P(X＜-0.36)=Φ(-0.36)，而Φ(-0.36)+Φ(0.36)=1，由表可知Φ(0.36)=0.6406，所以Φ(-0.36)=1-Φ(0.36)=1-0.6406=0.3594.(3)P(0.18≤X＜0.57)=P(X＜0.57)-P(X＜0.18)=Φ(0.57)-Φ(0.18)