九年級圓的基礎(chǔ)知識點(diǎn)經(jīng)典例題與課后習(xí)題

圓

一：【學(xué)問梳理】

(1)圓的有關(guān)概念

①圓：平面上到定點(diǎn)的間隔.等于定長的全部點(diǎn)組成的圖

形叫做圓，其中定點(diǎn)為圓心，定長為半徑.

②?。簣A上隨意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，大于半

圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧.

③弦：連接圓上隨意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫

做直徑.

(2)圓的有關(guān)性質(zhì)

①圓是軸對稱圖形；其對稱軸是隨意一條過圓心的直線；

圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心.

②垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所

對的弧.

推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分

弦所對的弧.

說明：依據(jù)垂徑定理及推論可知對于一個(gè)圓和一條直線來說，假

如具備：

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的

優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧。

上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)

結(jié)論。

③弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

弧：圓上隨意兩點(diǎn)間的部分叫做網(wǎng)明，簡稱弧，用符

號表示，以為端點(diǎn)的弧記為“盤〃，讀

作“圓弧〃或“弧〃。

半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半

網(wǎng)。

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做坊明

劣弧：小于半圓的弧叫做多處。（為了區(qū)分優(yōu)弧和劣弧,

優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。）

④弧、弦、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，假如兩個(gè)圓

心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對

應(yīng)的其余各組量都分別相等.

推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等;

直徑所對的圓周角是直角；90”的圓周角所對的弦是直

徑.

⑤等圓：可以完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩

個(gè)圓是等圓。

⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，可以相互重合的弧叫做等弧。

⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做網(wǎng)心用.

⑧弦心距:從圓心到弦的間隔叫做整心、卑.

(3)對圓的定義的理解：

①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心(即定點(diǎn))，二是

半徑〔即定長)

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。圓心角的度數(shù)等

于它所對的弧的度數(shù).

[2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別和圓相交的角，叫圓

周角。圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半.

(3)圓心角及圓周角的關(guān)系：

同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對

的圓心角的一半.

(4)圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四

邊形.

圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，它的一個(gè)外角等于.它相鄰內(nèi)

角的對角.

3.點(diǎn)及圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：

假如圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的間隔為d,那么

①點(diǎn)在圓上?;

②點(diǎn)在圓內(nèi)?d<r;

③點(diǎn)在圓外<>d>r.

其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明假設(shè)

干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)及一個(gè)定點(diǎn)、的間隔相

等。

4.確定圓的條件：

1.理解確定一個(gè)圓必需的具備兩個(gè)條件：

圓心和半徑，圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小.

經(jīng)過一點(diǎn)可以作多數(shù)個(gè)圓，經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作多數(shù)個(gè)圓,其

圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.

2.經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種狀況：

(1)經(jīng)過同始終線上的三點(diǎn)不能作圓.

(2)經(jīng)過不在同始終線上的三點(diǎn),能且僅能作一個(gè)圓.

定理：不在同始終線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念:

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個(gè)三角形三

個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做圓

的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的

外C?.

(3)三角形的外心的性質(zhì)：三角形外心到三頂點(diǎn)的間隔相

5.直線及圓的位置關(guān)系

1.直線和圓相交、相切相離的定義:

(1)相交：直線及圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這

時(shí)直線叫做圓的割線.

(2)相切：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這

時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離.

2.直線及圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：

設(shè)。。的半徑為r,圓心0到直線的間隔為d；

①d〈r<>直線L和。0相交.

②?直線L和。0相切.

③d>r<>直線L和。0相離.

3.切線的總斷定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切

線.

4.切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如

下結(jié)論：

假如一條直線具備以下三個(gè)條件中的隨意兩個(gè),就可推出

第三個(gè).

①垂直于切線；②過切點(diǎn)；③過圓心.

5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的

圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.

6.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

(1)三角形的內(nèi)心到三邊的間隔相等.

(2)過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的協(xié)助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，該

線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角.

6.圓和圓的位置關(guān)系.

1.外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)

系的定義.

(1)外離：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)

圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離.

(2)外切：兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，

每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓

外切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交.

(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，

一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.

這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)

圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的

一個(gè)特例.

2.兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)及斷定：

(1)兩圓外離?d>

(2)兩圓外切?

(3)兩圓相交<><d<(R2r)

(4)兩圓內(nèi)切<>(R>r)

(5)兩圓內(nèi)含<>d<(R>r)

3.相切兩圓的性質(zhì)：

假如兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)肯定在連心線

上.

4.相交兩圓的性質(zhì)：

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

7.圓內(nèi)接四邊形

假設(shè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)四邊形叫

做圓內(nèi)接四邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的特征：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；

②圓內(nèi)接四邊形隨意一個(gè)外角等

于它的內(nèi)錯(cuò)角.

8.弧長及扇形的面積

1.圓周長公式：

圓周長27R(R表示圓的半徑)

2.弧長公式：

弧長、蟠（R表示圓的半徑，n表示弧所對的圓心角的度

180

數(shù)）

3.扇形定義：

一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做

扇形.

4.弓形定義：

由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

弓形弧的中點(diǎn)到弦的間隔叫做弓形高.

5.圓的面積公式.

圓的面積5=成？（R表不圓的半徑）

6.扇形的面積公式：

扇形的面積S扇形=嘴（R表示圓的半徑，n表示弧所對的

圓心角的度數(shù)）

弓形的面積公式：（如圖5）

（1）當(dāng)弓形所含耳勺弧是劣弧時(shí)，圖§弓形=S扇形-S三角形

⑵當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，S弓形=S扇形+S』形

（3）當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，S弓形成2=s扇形

二、例題解析

【例題1】如圖1，。。是AABC的外接圓，AB是直徑，假設(shè)

ZfiOC=80°,那么ZA等于（）

A.60°B.50°C.40°

圖2

【例題2】如圖2,以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦及小

圓相切于點(diǎn)C,假設(shè)大圓半徑為

10,小圓半徑為6,那么弦的長為

【例題3】如圖3,△內(nèi)接于。0,,Z12O0,為。0的直徑，=

6,那么=.

【例題4】如圖4Go的兩條弦,相交于點(diǎn)E,Z70°,Z5O0,那

么N的值為（）

C.互D,皂

22

圖4

【例題5】如圖5,半圓的直徑AB=10,點(diǎn)。在半圓上，BC=6,

⑴求弦AC的長;

(2)假設(shè)〃為的中點(diǎn)，交AC于點(diǎn)反求PE的長.

三、課堂練習(xí)

1、如圖6,在。。中，Z40°,那么N=度.

圖8

2、如圖7,是。。的直徑，是弦，假設(shè)N=32°,那么N的度

數(shù)等于_______

3、。。的直徑8,。為。。上的一點(diǎn)，Z3O0,那么.

4、如圖8,在RtZ\ABC中，ZACB=RtZ,AB=4,分另U以AC,BC為

直徑作半圓，面積分別記為5,邑，那么號+邑的值等于.

5、如圖9,。。的半徑=10,P為上一動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到圓心0

的最短間隔為。

(第金

6、如圖10,在。0中，ZZ600,243cm,

(1)求/的度數(shù)；(2)求。0的周長

7、：如圖11,。0的直徑及弦相交于E,弧=弧，。。的切線及

弦的延長線相交于點(diǎn)F.

(1)求證〃.

(2)連結(jié)，假設(shè)。。的半徑為4/3,求線段、的長.

4

B

（第24題）

8、如圖12,在△中，，以為直徑的。0及交于

點(diǎn)D,過。作_1,

交的延長線于E,垂足為F.

(1)求證：直線是。。的切線；

(2)當(dāng)5,8時(shí)，求的值.

圖12

四、經(jīng)典考題解析

13,在。0中，ZA=N=60°，=3,那么△的周長是.

圖13圖14

圖15

2.“圓材埋壁〃是我國古代?九章算術(shù)？中的問題：“今有圓材,

埋在壁沖，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾

何〃.用數(shù)學(xué)語言可表述為如圖14,為。。的直徑，弦_L于點(diǎn)E,

=1寸，10寸，那么直徑的長為（）

A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸

15,是半圓0的直徑，弦和相交于點(diǎn)P,那么等于（）

A.ZB.ZC.ZD.Z

4.00的半徑是5,、為。。的兩條弦，且〃，6,8,

求及之間的間隔.

16,在。M中，弧所對的圓心角為120°,圓的半徑為2,并建

立如下圖的直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C是y軸及弧的交點(diǎn)。

[1）求圓心M的坐標(biāo);

12）假設(shè)點(diǎn)D是弦所對優(yōu)弧上一動點(diǎn)，求四邊形的最大面春

圖16

五、課后訓(xùn)練

17,在。0中，弦L8,圓周角N30°，那么。。的直徑等于.

圖19

18,C是。。上一點(diǎn)，。是圓心.假設(shè)N35°,那么N的度數(shù)

為1)

A.35°B.700C.105°D.150°

19,。。內(nèi)接四邊形中，，那么圖中和N1相等的角有

4.在半徑為1的圓中，弦、分別是6和血，那么/的度數(shù)為

多少?

20,弦的長等于。0的半徑，點(diǎn)C在。0上，那么NC的度數(shù)

是.

21,四邊形內(nèi)接于。0,假設(shè)N100°,那么/的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

22,四邊形為。0的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E在的延長線上，假如/

120°那么N等于（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

8.如圖，。。的直徑10,，于點(diǎn)H,2.

⑴求.的長;

（2）延長到P,.過P作。。的切線，切點(diǎn)為C,

假設(shè)22國求.的長.

九年級數(shù)學(xué)圓練習(xí)題

一、填空題：（21分）

1、如圖，在。0中，弦〃，ZAOC=115°,那么NBOC二

2、如圖，在。。中，是直徑，N1,那么ZBAD

3、如圖，點(diǎn)0是AABC的夕卜心，ZOAB=40°,那么NAC8

□

題圖）

（4題圖）

4、如圖，是。0的直徑，弧弧，ZA=25°,那么Z8O。

[5題圖）（6題圖）（7題圖）

5、如圖，。0的直徑為8,弦垂直平分半徑，那么弦=.

6、00的半徑為2,弦=2,P點(diǎn)為弦上一動點(diǎn)，那么線段的范

圍是.

7、如圖，在。。中，Z50°,Z20°,那么/的

二、解答題（70分）

1、如圖，是。。的直徑.假設(shè)〃，無及的大小有什么關(guān)

系？為什么？

2、：如圖，在。。中，弦.求證:⑴弧弧;（2）ZZ

cB

3、如圖，：。0中，、為弦，交于D,求證：（1）N〉N,（2）Z>

N;

4、如圖，，、為弦，1.于M,，于N,是△的中位線嗎?

5、如圖，、是。。的直徑，、是弦，且，求證：ZZB

□

6、如圖，是。。的直徑，C是。0上的一點(diǎn)，，于D,平分N,

交。0于E,

求證：弧弧

c

7、如圖，△,3,4,Z90°,以點(diǎn)。為圓心作。乙半徑為r.

(1)當(dāng)r取什么值時(shí)，點(diǎn)兒方在。。外.

⑵當(dāng)r在什么范圍時(shí)，點(diǎn)/在。。內(nèi)，點(diǎn)8在。。外.

⑵當(dāng)r在什么范圍時(shí)，。。及線段相切。

Z

三、計(jì)算以下各題：(40分)

1、如圖，為。。的直徑，為弦，〃交于D,=2cm,求的長;

2、如圖，在△中，NC=90°,=3,=4,以點(diǎn)C為圓心，為少

徑的圓及、分別交于點(diǎn)D、E,求、的長.(

E

B