小學六年級奧數教案(完整30講)

小學六年級奧數教案—01比擬分數的大小同學們從一開始接觸數學，就有比擬數的大小問題。比擬整數、小數的大小的方法比擬簡單，而比擬分數的大小就不那么簡單了，因此也就產生了多種多樣的方法。對于兩個不同的分數，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個分數，分子大的那個分數比擬大；分子相同的兩個分數，分母大的那個分數比擬小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分數，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比擬大小。由于要比擬的分數千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通分子〞。當兩個分數的分母的最小公倍數比擬大，而分子的最小公倍數比擬小時，可以把它們化成同分子的分數，再比擬大小，這種方法比通分的方法簡便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母〞，那么這里講的方法可以稱為“通分子〞。2.化為小數。這種方法對任意的分數都適用，因此也叫萬能方法。但在比擬大小時是否簡便，就要看具體情況了。3.先約分，后比擬。有時分數不是最簡分數，可以先約分。4.根據倒數比擬大小。5.假設兩個真分數的分母與分子的差相等、那么分母〔子〕大的分數較大；假設兩個假分數的分子與分母的差相等，那么分母〔子〕小的分數較大。也就是說，6.借助第三個數進行比擬。有以下幾種情況：〔1〕對于分數m和n，假設m＞k，k＞n，那么m＞n。〔2〕對于分數m和n，假設m-k＞n-k，那么m＞n。前一個差比擬小，所以m＜n。〔3〕對于分數m和n，假設k-m＜k-n，那么m＞n。注意，〔2〕與〔3〕的差異在于，〔2〕中借助的數k小于原來的兩個分數m和n；〔3〕中借助的數k大于原來的兩個分數m和n?！?〕把兩個分數的分母、分子分別相加，得到一個新分數。新分數一定介于兩個分數之間，即比其中一個分數大，比另一個分數小。利用這一點，當兩個分數不容易比擬大小，新分數與其中一個分數容易比擬大小時，就可以借助于這個新分數。比擬分數大小的方法還有很多，同學們可以在學習中不斷發(fā)現總結，但無論哪種方法，均來源于：“分母相同，分子大的分數大；分子相同，分母小的分數大〞這一根本方法。練習11.比擬以下各組分數的大?。捍鸢概c提示練習1小學六年級奧數教案—02巧求分數我們經常會遇到一些分數的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數，或分子與分母同時加、減某數，或分子、分母分別加、減不同的數，得到一個新分數，求加、減的數，或求原來的分數。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。數。分析：假設把這個分數的分子、分母調換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1，這樣就可以用例1求平均數的方法求出分子、分母調換位置后的分數，再求倒數即可。個分數。分析與解：因為加上和減去的數不同，所以不能用求平均數的方法求解。，這個分數是多少？分析與解：如果把這個分數的分子與分母調換位置，問題就變?yōu)椋哼@個分數是多少？于是與例3類似，可以求出在例1～例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時變化，那么會怎樣呢？數a。分析與解：分子減去a，分母加上a，〔約分前〕分子與分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉45-43=2。求這個自然數。同一個自然數，得到的新分數如果不約分，那么差還是45，新分數約分后變例7一個分數的分子與分母之和是23，分母增加19后得到一個新分數，分子與分母的和是1+5=6，是由新分數的分子、分母同時除以42÷6=7得到分析與解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2〔倍〕，為保持分數的大小不變，分母也應增加相同的倍數，所以分母應加8×2=16。在例8中，分母應加的數是在例9中，分子應加的數是由此，我們得到解答例8、例9這類分數問題的公式：分子應加〔減〕的數=分母所加〔減〕的數×原分數；分母應加〔減〕的數=分子所加〔減〕的數÷原分數。分析與解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數，可以說是這類題中最難的，我們用設未知數列方程的方法解答?！?x+2〕×3=〔x+5〕×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。練習2是多少？答案與提示練習25.5。解：(53+79)÷(4+7)=12，a=53-4×12=5。6.13。解：〔67-22〕÷〔16-7〕=5，7×5-22=13。解：設分子為x，根據分母可列方程小學六年級奧數教案—03分數運算技巧對于分數的混合運算，除了掌握常規(guī)的四那么運算法那么外，還應該掌握一些特殊的運算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。1.湊整法與整數運算中的“湊整法〞相同，在分數運算中，充分利用四那么運算法那么和運算律〔如交換律、結合律、分配律〕，使局部的和、差、積、商成為整數、整十數……從而使運算得到簡化。2.約分法3.裂項法假設能將每個分數都分解成兩個分數之差，并且使中間的分數相互抵消，那么能大大簡化運算。例7在自然數1～100中找出10個不同的數，使這10個數的倒數的和等于1。分析與解：這道題看上去比擬復雜，要求10個分子為1，而分母不同的就非常簡單了。括號。此題要求的是10個數的倒數和為1，于是做成：所求的10個數是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的10和30，仍是符合題意的解。4.代數法5.分組法分析與解：利用加法交換律和結合律，先將同分母的分數相加。分母為n的分數之和為原式中分母為2～20的分數之和依次為練習38.在自然數1～60中找出8個不同的數，使這8個數的倒數之和等于1。答案與提示練習31.3。8.2，6，8，12，20，30，42，56。9.5680。解：從前向后，分子與分母之和等于2的有1個，等于3的有2個，等于4的有3個人……一般地，分子與分母之和等于n的有(n-1)個。分子與分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671〔個〕，5671+9=5680〔個〕。小學六年級奧數教案—05工程問題一顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關的數學問題。其實，這類題目的內容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內容。在分析解答工程問題時，一般常用的數量關系式是：工作量=工作效率×工作時間，工作時間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，根據題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量/天〞，或“工作量/時〞等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。例1單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作效例2某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任務。問：甲隊干了多少天？分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?8天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？〞這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊干了12天。例3單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了例4一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，例5一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，翻開放水管1時后又翻開排水管，那么再過多長時間池內將積有半池水？例6甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。練習51.某工程甲單獨干10天完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6天后轉交給乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數。3.一條水渠，甲、乙兩隊合挖需30天完工?，F在合挖12天后，剩下的乙隊單獨又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天？那么完成任務時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵？5.修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天。現在兩隊同時從兩端開工，結果在距中點750米處相遇。這段公路長多少米？6.蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需18時注滿，單開乙管需24時注滿。如果要求12時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？7.兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從40千米。求甲、乙兩地的距離。答案與提示練習52.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8時。提示：甲管12時都開著，乙管開7.280千米。小學六年級奧數教案—06工程問題二上一講我們講述的是工作效率的較簡單的工程問題。在較復雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時，只要我們靈活運用根本的分析方法，問題也不難解決。例1一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解：此題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天〞等量替換題中“甲工作5天〞這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需用20+4=24〔天〕甲、乙合做這一工程，需用的時間為例2一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現在乙隊先做7天，然后么還要幾天才能完成？分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合作們把“乙先做7天，甲再做4天〞的過程轉化為“甲、乙合做4天，乙再單獨例3單獨完成一件工作，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙那么要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨做，那么剛好在規(guī)定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的，乙需要10+5=15〔天〕。甲、乙合作需要例4放滿一個水池的水，假設同時翻開1，2，3號閥門，那么20分鐘可以完成；假設同時翻開2，3，4號閥門，那么21分鐘可以完成；假設同時翻開1，3，4號閥門，那么28分鐘可以完成；假設同時翻開1，2，4號閥門，那么30分鐘可以完成。問：如果同時翻開1，2，3，4號閥門，那么多少分鐘可以完成？分析與解：同時翻開1，2，3號閥門1分鐘，再同時翻開2，3，4號閥門1分鐘，再同時翻開1，3，4號閥門1分鐘，再同時翻開1，2，4號閥門1分鐘，這時，1，2，3，4號閥門各翻開了3分鐘，放水量等于一例5某工程由一、二、三小隊合干，需要8天完成；由二、三、四小隊合干，需要10天完成；由一、四小隊合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、……的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作效率之和是例6甲、乙、丙三人做一件工作，原方案按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結束工作的是乙。假設按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面假設干輪完成的工作量及用的天數都相同〔見以下圖虛線左邊〕，相差的就是最后一輪〔見以下圖虛線右邊〕。由最后一輪完成的工作量相同，得到練習61.甲、乙二人同時開始加工一批零件，每人加工零件總數的一半。甲完成有多少個？需的時間相等。問：甲、乙單獨做各需多少天？3.加工一批零件，王師傅先做6時李師傅再做12時可完成，王師傅先做8時李師傅再做9時也可完成?，F在王師傅先做2時，剩下的兩人合做，還需要多少小時？獨修各需幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個進水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要10，12，15時。上午8點三個管同時翻開，中間甲管因故關閉，結果到下午2點水池被灌滿。問：甲管在何時被關閉？6.單獨完成某項工作，甲需9時，乙需12時。如果按照甲、乙、甲、乙、……的順序輪流工作，每次1時，那么完成這項工作需要多長時間？7.一項工程，乙單獨干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨干需要幾天？答案與提示練習61.360個。2.甲18天，乙12天。時。解：由下頁圖知，王干2時等于李干3時，所以單獨干李需12+6÷2×3=21〔時〕，王需21÷3×2=14〔時〕。所求為5.上午9時。6.10時15分。天。解：如果兩人輪流做完的天數是偶數，那么不管甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數必定相同〔見左以下圖〕。甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙……甲乙甲現在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時，完成的天數一定是奇數，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。小學六年級奧數教案—07巧用單位“1〞在工程問題中，我們往往設工作總量為單位“1〞。在許多分數應用題中，都會遇到單位“1〞的問題，根據題目條件正確使用單位“1〞，能使解答的思路更清晰，方法更簡捷。分析：因為第一天、第二天都是與全書比擬，所以應以全書的頁數為單位答：這本故事書共有240頁。分析與解：此題條件中單位“1〞的量在變化，依次是“全書的頁數〞、“第一天看后余下的頁數〞、“第二天看后余下的頁數〞，出現了3個不同的單位“1〞。按照常規(guī)思路，需要統一單位“1〞，轉化分率。但在此題中，不統一單位“1〞反而更方便。我們先把全書看成“1〞，看成“1〞，就可以求出第三天看后余下的局部占全書的共有多少本圖書？分析與解：故事書增加了，圖書的總數隨之增加。題中出現兩個分率，這給計算帶來很多不便，需要統一單位“1〞。統一單位“1〞的一個竅門就是抓“不變量〞為單位“1〞。此題中故事書、圖書總數都發(fā)生了變化，而其它書的本數沒有變，可以以圖書室原來共有圖書分析與解：與例3類似，甲、乙組人數都發(fā)生了變化，不變量是甲、乙組的總人數，所以以甲、乙組的總人數為單位“1〞。例5公路上同向行駛著三輛汽車，客車在前，貨車在中，小轎車在后。在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等；走了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車，再過多少分鐘，貨車追上客車？分析與解：根據“在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等〞，設這段距離為單位“1〞。由“走了10分鐘，小轎車追上了貨車〞，可知小轎可知小轎車(10+5)分鐘比客車多行了兩個這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？乙班有84-48=36〔人〕。練習7樹上原有多少個桃？剩下的局部收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？7.六年級兩個班共有學生94人，其中女生有39人，一班的女生占本答案與提示練習71.35個。2.60個。3.64噸。4.384千克。6.男生15人，女生21人。7.一班45人，二班49人。小學六年級奧數教案—08比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。兩個數相除叫做兩個數的比。例如，5÷6可記作5∶6。比值。表示兩個比相等的式子叫做比例〔式〕。如，3∶7=9∶21。判斷兩個比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個比的比值相等，這兩個比能組成比例，否那么不能組成比例。在任意一個比例中，兩個外項的積等于兩個內項的積。即：如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。兩個數的比叫做單比，兩個以上的數的比叫做連比。例如a∶b∶c。連比中的“∶〞不能用“÷〞代替，不能把連比看成連除。把兩個比化為連比，關鍵是使第一個比的后項等于第二個比的前項，方法是把這兩項化成它們的最小公倍數。例如，甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，因為[6，4]=12，所以5∶6=10∶12，4∶3=12∶9，得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。例13∶(x-1)=7∶9，求x。解：7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2六年級一班的男、女生比例為3∶2，又來了4名女生后，全班共有44人。求現在的男、女生人數之比。分析與解：原來共有學生44-4=40〔人〕，由男、女生人數之比為3∶2知，如果將人數分為5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人變?yōu)?6+4=20〔人〕，男生人數不變，現在男、女生人數之比為24∶20=6∶5。在例2中，我們用到了按比例分配的方法。將一個總量按照一定的比分成假設干個分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按比分配變?yōu)榘捶輸捣峙?，把比的各項相加得到總份數，各項與總份數之比就是各個分量在總量中所占的分率，由此可求得各個分量。例3配制一種農藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，現在要配制這種農藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。分析：總量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，總份數是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。在按比例分配的問題中，也可以先求出每份的量，再求出各個分量。如例3中，總份數是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180〔千克〕，然后用每份的量分別乘以各分量的份數，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個分量。例4師徒二人共加工零件400個，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘。完成任務時，師傅比徒弟多加工多少個零件？分析與解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率有多少學生？按比例分配得到例6某高速公路收費站對于過往車輛收費標準是：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過該收費站的大客車和小客車數量之比是5∶6，小客車與小轎車之比是4∶11，收取小轎車的通行費比大客車多210元。求這天這三種車輛通過的數量。分析與解：大客車、小轎車通過的數量都是與小客車相比，如果能將5∶6中的6與4∶11中的4統一成[4，6]=12，就可以得到大客車∶小客車∶小轎車的連比。由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到大客車∶小客車∶小轎車=10∶12∶33。以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。因為每組中收取小轎車的通行費比大客車多10×33-30×10=30〔元〕，所以這天通過的車輛共有210÷30=7〔組〕。這天通過大客車=10×7=70〔輛〕，小客車=12×7=84〔輛〕，小轎車=33×7=231〔輛〕。練習81.一塊長方形的地，長和寬的比是5∶3，周長是96米，求這塊地的面積。2.一個長方體，長與寬的比是4∶3，寬與高的比是5∶4，體積是450分米3。問：長方體的長、寬、高各多少厘米？3.一把小刀售價6元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強的錢數之比是3∶5；如果小強買了這把小刀，那么小明與小強的錢數之比是9∶11。問：兩人原來共有多少錢？5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問：最后三人各分到多少只貝殼？6.一條路全長60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的時間之比是3∶4∶5。他走平路的速度是5千米/時，他走完全程用多少時間？7.某俱樂部男、女會員的人數之比是3∶2，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數之比是10∶8∶7。如果甲組中男、女會員的人數之比是3∶1，乙組中男、女會員的人數之比是5∶3，那么丙組中男、女會員的人數之比是多少？答案與提示練習81.540米2。2.長100厘米，寬75厘米，高60厘米。解：長∶寬∶高=20∶15∶12，450000÷(20×15×12)=125=53。長=20×5=100〔厘米〕，寬=15×5=75〔厘米〕，高=12×5=60〔厘米〕。3.86元。解：設小明有x元錢。根據小強的錢數可列方程36+50=86〔元〕。4.2640元。5.甲50只，乙40只，丙48只。解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50〔只〕，乙=2×20=40〔只〕，丙=2×24=48〔只〕。6.12時。7.5：9小學六年級奧數教案—09百分數百分數有兩種不同的定義?！?〕分母是100的分數叫做百分數。這種定義著眼于形式，把百分數作為分數的一種特殊形式?！?〕表示一個數〔比擬數〕是另一個數〔標準數〕的百分之幾的數叫做百分數。這種定義著眼于應用，用來表示兩個數的比。所以百分數又叫百分比或百分率。百分數通常不寫成分數形式，而采用符號“％〞來表示，叫做百分號。在第二種定義中，出現了比擬數、標準數、分率〔百分數〕，這三者的關系如下：比擬數÷標準數=分率〔百分數〕，標準數×分率=比擬數，比擬數÷分率=標準數。根據比擬數、標準數、分率三者的關系，就可以解答許多與百分數有關的應用題。例1紡織廠的女工占全廠人數的80％，一車間的男工占全廠男工的25％。問：一車間的男工占全廠人數的百分之幾？分析與解：因為“女工占全廠人數的80％〞，所以男工占全廠人數的1-80％=20％。又因為“一車間的男工占全廠男工的25％〞，所以一車間的男工占全廠人數的20％×25％=5％。例2學校去年春季植樹500棵，成活率為85％，去年秋季植樹的成活率為90％。去年春季比秋季多死了20棵樹，那么去年學校共種活了多少棵樹？分析與解：去年春季種的樹活了500×85％=425〔棵〕，死了500-425=75〔棵〕。去年秋季種的樹，死了75-20=55〔棵〕，活了55÷〔1-90％〕×90％=495〔棵〕。所以，去年學校共種活425+495=920〔棵〕。例3一次考試共有5道試題。做對第1，2，3，4，5題的人數分別占參加考試人數的85％，95％，90％，75％，80％。如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？分析與解：因為百分數的含義是局部量占總量的百分之幾，所以不妨設總量即參加考試的人數為100。由此得到做錯第1題的有100×〔1-85％〕=15〔人〕；同理可得，做錯第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人。總共做錯15+5+10+25+20=75〔題〕。一人做錯3道或3道以上為不及格，由75÷3=25〔人〕，推知至多有25人不及格，也就是說至少有75人及格，及格率至少是75％。例4育紅小學四年級學生比三年級學生多25％，五年級學生比四年級學生少10％，六年級學生比五年級學生多10％。如果六年級學生比三年級學生多38人，那么三至六年級共有多少名學生？分析：以三年級學生人數為標準量，那么四年級是三年級的125％，五年級是三年級的125％×〔1-10％〕，六年級是三年級的125％×〔1-10％〕×〔1+10％〕。因為六年級比三年級多38人，所以可根據六年級的人數列方程。解：設三年級有x名學生，根據六年級的人數可列方程：x×125％×〔1-10％〕×〔1+10％〕=x+38，x×125％×90％×110％=x+38，1.2375x=x+38，0.2375x=38，x=160。三年級有160名學生。四年級有學生160×125％=200〔名〕。五年級有學生200×〔1-10％〕＝180〔名〕。六年級有學生160+38=198〔名〕。160+200+180+198=738〔名〕。答：三至六年級共有學生738名。在百分數應用題中有一類叫溶液配比問題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說，糖水甜的程度是由糖〔溶質〕與糖水〔溶液=糖+水〕二者重量的比值決定的，這個比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶質、溶劑、溶液及溶質含量有如下根本關系：溶液重量=溶質重量+溶劑重量，溶質含量=溶質重量÷溶液重量，溶液重量=溶質重量÷溶質含量，溶質重量=溶液重量×溶質含量。溶質含量通常用百分數表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量〔溶例5有含糖量為7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再參加多少克糖？分析與解：在600克含糖量為7％的糖水中，有糖〔溶質〕600×7％=42〔克〕。設再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此時溶質有〔42+x〕克，溶液有〔600+x〕克，根據溶質含量可得方程需要再參加20克糖。例6倉庫運來含水量為90％的一種水果100千克，一星期后再測，發(fā)現含水量降低到80％。現在這批水果的總重量是多少千克？分析與解：可將水果分成“水〞和“果〞兩局部。一開始，果重100×〔1-90％〕=10〔千克〕。一星期后含水量變?yōu)?0％，“果〞與“水〞的比值為因為“果〞始終是10千克，可求出此時“水〞的重量為所以總重量是10+40=50〔千克〕。練習91.某修路隊修一條路，5天完成了全長的20％。照此計算，完成任務還需多少天？2.服裝廠一車間人數占全廠的25％，二車間人數比一車間少20％，三車間人數比二車間多30％。三車間有156人，全廠有多少人？3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80％，第三塊地的面積比第二塊多20％，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。4.某工廠四個季度的全勤率分別為90％，86％，92％，94％。問：全年全勤的人至少占百分之幾？5.有酒精含量為30％的酒精溶液假設干，加了一定數量的水后稀釋成酒精含量為24％的溶液，如果再參加同樣多的水，那么酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?.配制硫酸含量為20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5％的煤，經過一段時間的風干，含水量降為10％，現在這堆煤的重量是原來的百分之幾？答案與提示練習91.20天。解：5÷20％-5=20〔天〕。2.600人。解：156÷[(1-20％)×(1+30％)]÷25％=600〔人〕。3.第一、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25〔公頃〕，第二塊地為25×80％=20〔公頃〕，第三塊地為69-25=24〔公頃〕。4.62％。解；設全廠有100人，那么四個季度沒有全勤的共有10+14+8+6=38〔人次〕。當四個季度沒有全勤的人互不相同時，全年沒有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62〔人〕全勤，即全年全勤率至少為62％。5.20％。解：設酒精含量為30％的酒精溶液有100克，那么溶質為30克。稀釋成酒精含量為24％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25〔克〕。假設再參加25克水，那么酒精含量變?yōu)?0÷(100+25+25)=20％。6.600克，400克。提示：設需要18％的溶液x克，那么需要23％的溶液(100-x)克。根據溶質重量可得x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得x=600。7.95％。解：設原有100噸煤，那么有水份14.5噸。又設風干掉水份x噸，那么由含現在煤的重量為100-5=95〔噸〕，是原來的95％。小學六年級奧數教案—10商業(yè)中的數學市場經濟中有許多數學問題。同學們可能都有和父母一起去買東西的經歷，都知道商品有定價，但是這個價格是怎樣定的？這就涉及到商品的本錢、利潤等聽起來有些陌生的名詞。這一講的內容就是小學數學知識在商業(yè)中的應用。利潤=售出價-本錢，例如，一件商品進貨價是80元，售出價是100元，那么這件商品的利潤是100-80=20〔元〕，利潤率是在這里我們用“進貨價〞代替了“本錢〞，實際上本錢除了進貨價，還包括運輸費、倉儲費、損耗等，為簡便，有時就忽略不計了。例1某商品按每個7元的利潤賣出13個的錢，與按每個11元的利潤賣出12個的錢一樣多。這種商品的進貨價是每個多少元？解：設進貨價是每個x元。由“售出價=進貨價+利潤〞，根據前、后兩次賣出的錢相等，可列方程〔x+7〕×13=〔x+11〕×12，13x+91=12+132x=41。答：進貨價是每個41元。例2租用倉庫堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原方案要銷售3個月，由于降低了價格，結果2個月就銷售完了，由于節(jié)省了租倉庫的租金，所以結算下來，反而比原方案多賺了1000元。問：每千克貨物的價格降低了多少元？分析與解：原方案租倉庫3個月，現只租用了2個月，節(jié)約了1個月的租金7000元。如果不降低價格，那么應比原方案多賺7000元，但現在只多賺了1000元，說明降價損失是7000-1000=6000〔元〕。因為共有3噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了6000÷3000=2〔元〕。例3張先生向商店訂購了每件定價100元的某種商品80件。張先生對商店經理說：“如果你肯減價，那么每減價1元，我就多訂購4件。〞商店經理算了一下，假設減價5％，那么由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多100元。問：這種商品的本錢是多少元？分析與解：設這種商品的本錢是x元。減價5％就是每件減100×5％=5〔元〕，張先生可多買4×5=20〔件〕。由獲得利潤的情況，可列方程〔100-x〕×80+100=〔100-5-x〕×〔80+20〕，8000-80x+100=9500-100x，20x=1400，x=70，這種商品的本錢是70元。由例2、例3看出，商品降價后，由于增加了銷售量，所以獲得的利潤有時反而比原來多。例4某商店到蘋果產地去收購蘋果，收購價為每千克1.20元。從產地到商店的距離是400千米，運費為每噸貨物每運1千米收1.50元。如果在運輸及銷售過程中的損耗是10％，商店要想實現25％的利潤率，零售價應是每千克多少元？分析與解：此題的本錢包括收購價、運費、損耗。每千克的收購價加運費是1.20+1.50×400÷1000=1.80〔元〕。因為有10％的損耗，所以每千克的本錢為1.80÷〔1-10％〕=2.00〔元〕。售出價=本錢×〔利潤率+1〕=2.00×〔25％+1〕=2.50〔元〕，即零售價應是每千克2.50元。例5小明到商店買了相同數量的紅球和白球，紅球原價2元3個，白球原價3元5個。新年優(yōu)惠，兩種球都按1元2個賣，結果小明少花了8元錢。問：小明共買了多少個球？例6某廠向銀行申請甲、乙兩種貸款共40萬元，每年需付利息5萬元。甲種貸款年利率為12％，乙種貸款年利率為14％。該廠申請甲、乙兩種貸款的金額各是多少？解：設申請甲種貸款x萬元，那么申請乙種貸款〔40-x〕萬元。根據需付利息可得方程x×12％+〔40-x〕×14％=5，0.12x+5.6-0.14x＝5，0.02x＝0.6，x=30〔萬元〕。40-30=10〔萬元〕。答：申請甲種貸款30萬元，乙種貸款10萬元。練習101.商店進了一批鋼筆，用零售價10元賣出20支與用零售價11元賣出15支的利潤相同。這批鋼筆的進貨價每支多少元？2.某種蜜瓜大量上市，這幾天的價格每天都是前一天的80％。媽媽第一天買了2個，第二天買了3個，第三天買了5個，共花了38元。假設這10個蜜瓜都在第三天買，那么能少花多少錢？3.商店以每雙13元購進一批涼鞋，售價為14.8元，賣到還剩5雙時，除去購進這批涼鞋的全部開銷外還獲利88元。問：這批涼鞋共多少雙？4.體育用品商店用3000元購進50個足球和40個籃球。零售時足球加價9％，籃球加價11％，全部賣出后獲利潤298元。問：每個足球和籃球的進價是多少元？5.某種商品的利潤率是20％。如果進貨價降低20％，售出價保持不變，那么利潤率將是多少？6.某商店到蘋果產地去收購蘋果，收購價為每千克1.20元。從產地到商店的距離是400千米，運費為每噸貨物每運1千米收費1.50元。如果不計損耗，那么商店要想實現25％的利潤率，零售價應是每千克多少元？減價10元出售，全部售完，共獲利潤3000元。書店共售出這種掛歷多少本？答案與提示練習101.7元。解：〔10×20-11×15〕÷〔20-15〕=7〔元〕。2.6元。解：設第一天每個蜜瓜x元。由2x+3x×80％+5x×80％=38，解得x=5〔元〕。10個瓜都在第三天買要花5×10×80％×80％=32〔元〕，少花38-32=6〔元〕。3.90雙。解：(88+14.8×5)÷(14.8-13)=90〔雙〕。4.足球32元，籃球35元。解：設50個足球的進價為x元，那么40個籃球的進價為(3000-x)元。根據利潤可得方程x×9％+(3000-x)×11％=298。解得x=1600。每個足球的進價為1600÷50=32〔元〕，每個籃球的進價為(3000-x)÷40=35〔元〕。5.50％。解：設原來進價為1元，那么售出價為1×(1+20％)=1.2〔元〕?，F在的進價為1×(1-20％)=0.8〔元〕，利潤率為〔1.2-0.8〕÷0.8=50％。元。解：(1.20+1.50×400÷1000)×(1+25％)=2.25〔元〕。7.250本。解：將售出的掛歷分組，每組5本，其中原價的2本，減價的3本。每組可獲利潤18×2+8×3=60〔元〕，推知共有3000÷60=50〔組〕，所以共售出5×50=250〔本〕。小學六年級奧數教案—11圓與扇形五年級已經學習過三角形、矩形、平行四邊形、梯形以及由它們形成的組合圖形的相關問題，這一講學習與圓有關的周長、面積等問題。圓的面積=πr2，圓的周長=2πr，本書中如無特殊說明，圓周率都取π=3.14。例1如以下圖所示，200米賽跑的起點和終點都在直跑道上，中間的彎道是一個半圓。每條跑道寬1.22米，那么外道的起點在內道起點前面多少米？〔精確到0.01米〕分析與解：半徑越大，周長越長，所以外道的彎道比內道的彎道長，要保證內、外道的人跑的距離相等，外道的起點就要向前移，移的距離等于外道彎道與內道彎道的長度差。雖然彎道的各個半徑都不知道，然而兩條彎道的中心線的半徑之差等于一條跑道之寬。設外彎道中心線的半徑為R，內彎道中心線的半徑為r，那么兩個彎道的長度之差為πR-πr＝π〔R-r〕＝3.14×1.22≈3.83〔米〕。即外道的起點在內道起點前面3.83米。例2有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆〔如左以下圖〕，此時橡皮筋的長度是多少厘米？分析與解：由右上圖知，繩長等于6個線段AB與6個BC弧長之和。將圖中與BC弧類似的6個弧所對的圓心角平移拼補，得到6個角的和是360°，所以BC弧所對的圓心角是60°，6個BC弧等于直徑5厘米的圓的周長。而線段AB等于塑料管的直徑，由此知繩長=5×6＋5×3.14＝45.7〔厘米〕。例3左以下圖中四個圓的半徑都是5厘米，求陰影局部的面積。分析與解：直接套用公式，正方形中間的陰影局部的面積不太好計算。容易看出，正方形中的空白局部是4個四分之一圓，利用五年級學過的割補法，可以得到右上圖。右上圖的陰影局部的面積與原圖相同，等于一個正方形與4個半圓〔即2個圓〕的面積之和，為〔2r〕2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257〔厘米2〕。例4草場上有一個長20米、寬10米的關閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊〔見左以下圖〕。問：這只羊能夠活動的范圍有多大？分析與解：如右上圖所示，羊活動的范圍可以分為A，B，C三局部，所以羊活動的范圍是例5右圖中陰影局部的面積是2.28厘米2，求扇形的半徑。分析與解：陰影局部是扇形與等腰直角三角形相差的局部。所以，扇形的半徑是4厘米。例6右圖中的圓是以O為圓心、徑是10厘米的圓，求陰影局部的面積。分析與解：解此題的根本思路是：從這個根本思路可以看出：要想得到陰影局部S1的面積，就必須想方法求出S2和S3的面積。S3的面積又要用以下圖的根本思路求：現在就可以求出S3的面積，進而求出陰影局部的面積了。S3=S4-S5=50π-100〔厘米2〕，S1=S2-S3=50π-〔50π-100〕=100〔厘米2〕。練習111.直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊AC長20厘米，直角邊BC長10厘米。如以下圖所示，三角形由位置Ⅰ繞A點轉動，到達位置Ⅱ，此時B，C點分別到達B1，C1點；再繞B1點轉動，到達位置Ⅲ，此時A，C1點分別到達A2，C2點。求C點經C1到C2走過的路徑的長。2.下頁左上圖中每個小圓的半徑是1厘米，陰影局部的周長是多少厘米？3.一只狗被拴在一個邊長為3米的等邊三角形建筑物的墻角上〔見右上圖〕，繩長是4米，求狗所能到的地方的總面積。5.右上圖是一個400米的跑道，兩頭是兩個半圓，每一半圓的弧長是100米，中間是一個長方形，長為100米。求兩個半圓的面積之和與跑道所圍成的面積之比。6.左以下圖中，正方形周長是圓環(huán)周長的2倍，當圓環(huán)繞正方形無滑動地滾動一周又回到原來位置時，這個圓環(huán)轉了幾圈？7.右上圖中，圓的半徑是4厘米，陰影局部的面積是14π厘米2，求圖中三角形的面積。答案與提示練習111.68厘米。2.62.8厘米。解：大圓直徑是6厘米，小圓直徑是2厘米。陰影局部周長是6π+2π×7=62.8〔厘米〕。3.43.96米2。解：如下頁右上圖所示，可分為半徑為4米、圓心角為300°的扇形與兩個半徑為1米、圓心角為120°的扇形。面積為4.60°。解：設∠CAB為n度，半圓ADB的半徑為r。由題意有解得n=60。5.1∶3。6.3圈。7.8厘米2。解：圓的面積是42π=16π〔厘米2〕，空白扇形面積占圓面積的1-的等腰直角三角形，面積為4×4÷2=8〔厘米2〕。小學六年級奧數教案—12圓柱圓錐這一講學習與圓柱體和圓錐體有關的體積、外表積等問題。例1如右圖所示，圓錐形容器中裝有5升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個容器還能裝多少升水？分析與解：此題的關鍵是要找出容器上半局部的體積與下半局部的關系。這說明容器可以裝8份5升水，已經裝了1份，還能裝水5×〔8－1〕=35〔升〕。例2用一塊長60厘米、寬40厘米的鐵皮做圓柱形水桶的側面，另找一塊鐵皮做底。這樣做成的鐵桶的容積最大是多少？〔精確到1厘米3〕分析與解：鐵桶有以60厘米的邊為高和以40厘米的邊為高兩種做法。時桶的容積是桶的容積是例3有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形〔不包括瓶頸〕，容積是30分米3?，F在瓶中裝有一些飲料，正放時飲料高度為20厘米，倒放時空余局部的高度為5厘米〔見右圖〕。問：瓶內現有飲料多少立方分米？分析與解：瓶子的形狀不規(guī)那么，并且不知道底面的半徑，似乎無法計算。比擬一下正放與倒放，因為瓶子的容積不變，裝的飲料的體積不變，所以空余局部的體積應當相同。將正放與倒放的空余局部變換一下位置，可以看出飲料瓶的容積應當等于底面積不變，高為20＋5=25〔厘米〕例4皮球掉進一個盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：皮球的體積是水面升高的高度是450π÷900π＝0.5〔厘米〕。答：水面升高了0.5厘米。例5有一個圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米〔見右圖〕。如果將這個零件接觸空氣的局部涂上防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？分析與解：需要涂漆的面有圓柱體的下底面、外側面、上面的圓環(huán)、圓孔的側面、圓孔的底面，其中上面的圓環(huán)與圓孔的底面可以拼成一個與圓柱體的底面相同的圓。涂漆面積為例6將一個底面半徑為20厘米、高27厘米的圓錐形鋁塊，和一個底面半徑為30厘米、高20厘米的圓柱形鋁塊，熔鑄成一底面半徑為15厘米的圓柱形鋁塊，求這個圓柱形鋁塊的高。解：被熔的圓錐形鋁塊的體積：被熔的圓柱形鋁塊的體積：π×302×20=18000π〔厘米3〕。熔成的圓柱形鋁塊的高：〔3600π＋18000π〕÷〔π×152〕=21600π÷225π=96〔厘米〕。答：熔鑄成的圓柱體高96厘米。練習121.右圖是一頂帽子。帽頂局部是圓柱形，用黑布做；帽沿局部是一個圓環(huán)，用白布做。如果帽頂的半徑、高與帽沿的寬都是a厘米，那么哪種顏色的布用得多？2.一個底面直徑為20厘米的圓柱形木桶里裝有水，水中淹沒著一個底面直徑為18厘米、高為20厘米的鐵質圓錐體。當圓錐體取出后，桶內水面將降低多少？3.用直徑為40厘米的圓鋼鍛造長300厘米、寬100厘米、厚2厘米的長方形鋼板，應截取多長的一段圓鋼？容器高度的幾分之幾？5.右上圖是一個機器零件，其下部是棱長20厘米的正方體，上部是圓柱形的一半。求它的外表積與體積。6.有兩個盛滿水的底面半徑為10厘米、高為30厘米的圓錐形容器，將它們盛的水全部倒入一個底面半徑為20厘米的圓柱形容器內，求水深。答案與提示練習121.一樣多。厘米。厘米。解：〔300×100×2〕÷〔3.14×202〕≈47.8〔厘米〕。解：設水面高度是容器高度的x倍，那么水面半徑也是容器底面半徑的x倍。根據題意得到5.外表積2942厘米2，體積11140厘米3。6.5厘米。小學六年級奧數教案—13立體圖形我們學過的立體圖形有長方體、正方體、圓柱體、圓錐體等。這一講將通過長方體、正方體及其組合圖形，講解有關的計數問題。例1左以下圖中共有多少個面？多少條棱？分析與解：如右上圖所示，可以分前、后、左、右、上、下六個方向看這個立體圖形。前、后看各有1個面，左面看有1個面，右面看有2個面，上面看有2個面，下面看有1個面。所以共有1＋1+1+2＋2＋1=8〔個〕面。前前方向的棱有6條，左右方向的棱有6條，上下方向的棱也有6條，所以共有棱6＋6＋6=18〔條〕。例2右圖是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的外表積。分析與解：如果一面一面去數，那么雖然可以得到答案，但太麻煩，而且容易出錯。仔細觀察會發(fā)現，這個立體的上面與下面、左面與右面、前面與后面的面積分別相等。如上圖所示，可求得外表積為〔9＋7＋8〕×2=48〔厘米2〕。例3右圖是由22個小正方體組成的立體圖形，其中共有多少個大大小小的正方體？由兩個小正方體組成的長方體有多少個？分析與解：正方體只可能有兩種：由1個小正方體構成的正方體，有22個；由8個小正方體構成的2×2×2的正方體，有4個。所以共有正方體22＋4=26〔個〕。由兩個小正方體組成的長方體，根據擺放的方向可分為下圖所示的上下位、左右位、前后位三種，其中上下位有13個，左右位有13個，前后位有14個，共有13＋13＋14=40〔個〕。例4有一個棱長為5厘米的正方體木塊，從它的每個面看都有一個穿透的完全相同的孔〔見下頁左上圖〕，求這個立體圖形的外表積。分析與解：由于正方體中間被穿了孔，外表積不好計算。我們可以將這個立體圖形看成由8個棱長為2厘米的正方體和12個棱長為1厘米的立方體粘合而成。如右上圖所示，八個棱長為2厘米的正方體分別在8個頂角，12個棱長1厘米的正方體分別在12條棱的中間。由于每個小正方體都有2個面分別粘接兩個較大正方體，相對于不粘接，減少了外表積4厘米2，所以總的外表積為〔2×2×6〕×8＋〔1×1×6〕×12-4×12=216〔厘米2〕。例5右圖是由120塊小立方體構成的4×5×6的立方體，如果將其外表涂成紅色，那么其中一面、二面三面被涂成紅色的小立方體各有多少塊？分析與解：一個長方體有8個角、12條棱、6個面，角上的8個小立方體三面涂有紅色，在棱上而不在角上的小立方體兩面涂有紅色，在面上而不在棱上的小立方體一面涂有紅色，不在面上的小立方體沒有涂上紅色。根據上面的分析得到：三面涂有紅色的小立方體有8塊；兩面涂有紅色的小立方體，因為每條棱上要去掉兩頭的2塊，故有［〔4-2〕＋〔5-2〕+〔6-2〕］×4=36〔塊〕；一面涂有紅色的小立方體，因為每個面上要去掉周圍一圈的小立方體，故有［〔4-2〕×〔5-2〕＋〔4-2〕×〔6-2〕＋〔5-2〕×〔6-2〕］×2＝52〔塊〕。一般地，當a，b，c都不小于2時，對于a×b×c的立方體：三面涂有紅色的小立方體有8塊；兩面涂有紅色的小立方體的塊數是：［〔a-2〕＋〔b-2〕＋〔c-2〕］×4；一面涂有紅色的小立方體的塊數是：［〔a-2〕×〔b-2〕＋〔a-2〕×〔c-2〕＋〔b-2〕×〔c-2〕］×2；沒有被涂上紅色的小立方體的塊數是：〔a-2〕×〔b-2〕×〔c-2〕。例6給一個立方體的每個面分別涂上紅、黃、藍三種顏色中的一種，每種顏色涂兩個面，共有多少種不同涂法？〔兩種涂法，經過翻動能使各種顏色的位置相同，認為是相同的涂法?！撤治雠c解：根據兩個紅色面相對還是相鄰可分為兩情況?！?〕兩個紅色面相對。此時，有藍藍相對和藍藍相鄰兩種涂法?！?〕兩個紅色面相鄰。此時，除藍藍相對和黃黃相對兩種涂法外，當藍黃相對時，按右圖擺放，底面有藍或黃兩種涂法。所以共有6種不同涂法。練習131.下頁左上圖中共有多少個面？多少條棱？2.有30個邊長為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的外表涂成紅色。求被涂成紅色的外表積。3.有一個正方體，紅、黃、藍色的面各有兩面。在這個正方體中，有一些頂點是三種顏色都不同的面的交點，這種頂點最多有幾個？最少有幾個？4.將一個外表涂有紅色的長方體分割成假設干個體積為1厘米3的小正方體，其中一點紅色都沒有的小立方體只有3塊。求原來長方體的體積。5.將一個5×5×5的立方體外表全部涂上紅色，再將其分割成1×1×1的小立方體，取出全部至少有一個面是紅色的小立方體，組成外表全部是紅色的長方體。那么，可組成的長方體的體積最大是多少？6.在邊長為3分米的立方體木塊的每個面的中心打一個直穿木塊的洞，洞口呈邊長為1分米的正方形〔見左以下圖〕。求挖洞后木塊的體積及外表積。7.把正方體的六個外表都劃分成9個相等的正方形〔右上圖〕。用紅、黃、藍三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個？答案與提示練習131.9個面，21條棱。2.56米2。解：4×4+〔1+2+3+4〕×4=56〔米2〕。3.8個；2個。提示：顏色相同的面兩兩相對時有8個；顏色相同的面兩兩相鄰時有2個。4.45厘米3。解：由3塊小立方體構成的長方體體積為1×1×3厘米3，故原來長方體的體積為〔1+2〕×〔1+2〕×〔3+2〕=45〔厘米3〕。5.96。解：至少有一個面是紅色的小立方體有53-33=98〔個〕，其中三面紅的8個，兩面紅的36個，一面紅的54個。可以組成4×4×6的外表全是紅色的長方體，體積是4×4×6=96。6.20分米3；72分米3。7.22個。解：一個面最多有5個方格可染成紅色〔見左以下圖〕。因為染有5個紅色方格的面不能相鄰，可以相對，所以至多有兩個面可以染成5個紅色方格。其余四個面中，每個面的四個角上的方格不能再染成紅色，至多能染4個紅色方格〔見上中圖〕。因為染有4個紅色方格的面也不能相鄰，可以相對，所以至多有兩個面可以染成4個紅色方格。最后剩下兩個相對的面，每個面最多可以染2個紅色方格〔見右上圖〕。所以，紅色方格最多有5×2+4×2+2×2=22〔個〕。小學六年級奧數教案—14立體圖形二本講主要講長方體和立方體的展開圖，各個面的相對位置，提高同學們的看圖能力和空間想象能力。例1在下面的三個圖中，有一個不是右面正四面體的展開圖，請將它找出來。分析與解：觀察四面體容易看出，每個頂點都是三個面的交點，即四面體的每個頂點只與三個面相連，而在圖2中，“中心點〞與四個面相連，所以圖2不是正四面體的展開圖。例2在下面的四個展開圖中，哪一個是右圖所示立方體的展開圖？分析與解：觀察立方體圖形，A，B，C三個面兩兩相鄰，即三個面有一個公共頂點。再看四個展開圖，圖1中A與C不相鄰，是相對的兩個面，不合題意；圖3中C與B是相對的兩個面，也不合題意；圖2、圖4中A，B，C三個面都相鄰，還需進步判別。我們看下面的兩個立方體圖形：這兩個圖雖然相似，但是A，B，C三個面的相對位置不同。我們可以借助一個現成工具——右手，幫助判斷三個面的相對位置。伸出右手，讓除大姆指外的四指從A向B彎曲，此時，左上圖中C位于大姆指指向的方向，右上圖中C位于大姆指指向的相反方向。所以兩個圖A，B，C三個面的相對位置不同。用這種方法判斷三個面相對位置的方法稱為右手方法。〔這也是建立空間坐標系的方法〕。用右手方法很容易判斷出，圖4是所求的展開圖。例3右圖是一個立方體紙盒的展開圖，當折疊成紙盒時，1點與哪些點重合？分析與解：直接想象將展開圖折疊成紙盒時的情景，也可以得到答案?，F在我們從另一個角度來分析。在左以下圖所示的立方體上觀察8個頂點，其中與A點不在一個外表上的只有B點，也就是說，沿著外表走，這兩個點的路程最遠。在展開圖上，這兩個點恰好是相鄰兩個小正方形所構成的長方形的對角線上的兩個端點。在上頁右以下圖中，1，2，6點都距9點最遠，也就是說，1，2，6點都與9點不在一個外表上。而與9點不在一個外表上的只有一個點，所以1，2，6點是同一個點，即折疊成紙盒時，1，2，6點重合。例4有兩塊六個面上分別寫著1～6的相同的數字積木，擺放如以下圖。在這兩塊積木中，相對兩個面上的數字的乘積最小是多少？分析與解：由兩圖看出，5與1，3，4，6都相鄰，所以5的對面只能是2；對右上圖使用右手方法，四指由5向4彎曲，大姆指指向6，將5，4，6的這個關系移到左上圖，立刻得到1的對面是4，3的對面是6。5×2＝10，1×4＝4，3×6＝18，相對兩個面上的數字的乘積最小是4。例5有五顆相同的骰子放成一排〔如以下圖〕，五顆骰子底面的點數之和是多少？分析與解：五顆骰子有三顆露出了5，并且5和1，2，3，6相鄰，所以5的對面是4；2與1，3，5相鄰，因為5與4相對，故2也與4相鄰，所以2的對面是6；剩下的1與3必相對。五顆骰子底面的點數從左至右依次是4，6，3，1，4，其和為4＋6＋3＋1＋4＝18。例6用一平面去截一個立方體，把立方體截成兩個局部，截口是一個矩形的。問：這兩個局部各是幾個面圍成的？分析與解：截的方法有多種，所以一定要分情況討論。截口通過1條棱是1種情況，截口通過2條棱是1種情況，截口不通過任何棱有2種情況。所以共有以下圖所示的四種可能。練習141.在以下各圖中，哪些是正方體的展開圖？2.將左以下圖沿虛線折成一個立方體，它的相交于一個頂點處的三個面上的數字之和的最大值是多少？最小值是多少？3.有四枚相同的骰子，展開圖如右上圖〔1〕。問：在右上圖〔2〕中，從上往下數第二、三、四枚骰子的上頂面的點數之和是多少？4.將一個立方體紙盒沿棱剪開，使之展開成右圖所示的圖形，一共要剪開幾條棱？5.左以下圖是圖〔1〕〔2〕〔3〕中哪個正方體的展開圖？6.在一個立方體的六個面上分別寫有A，B，C，D，E五個字母，其中兩個面寫有相同的字母。以下圖是它的三個視圖。問：哪個字母被寫了兩遍？7.右圖中第1格內放著一個立方體木塊，木塊六個面上分別寫著A，B，C，D，E，F六個字母，其中A與D，B與E，C與F相對。如果將木塊沿著圖中方格滾動，那么當木塊滾動到第21個格時，木塊向上的面寫的是哪個字母？答案與提示練習141.〔2〕〔3〕〔6〕〔8〕〔9〕〔12〕〔14〕〔16〕〔17〕〔19〕〔20〕共11個。2.13；8。提示：最大是6+4+3=13；最小是1+2+5=8。3.12。提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上頂面的點數依次為3，6和1。4.7條。提示：每剪開一條棱，展開圖的周長就會增加2條棱長。展開圖的周長是14條棱長，所以剪開了14÷2=7〔條〕棱。注：沿棱剪，無論剪成哪種連通的展開圖，都要剪開7條棱。也就是說，無論哪種展開圖，周長都等于14條棱長。5.圖〔1〕。提示：圖〔2〕正面有兩個相連的陰影的正方形，展開圖中找不到，所以不是圖〔2〕；圖〔3〕正面與右側面各有兩個陰影正方形，這四個陰影正方形沒有相鄰的邊，而展開圖中有兩個陰影正方形的面，折疊后有兩個陰影正方形相鄰，所以不是圖〔3〕。6.C。解：假設C只寫了一遍。因為C與A，B，D，E都相鄰，所以被寫了兩遍的字母在C的對面。與C相鄰的四個字母的相互位置是確定的。圖〔2〕〔3〕都有D，C，用右手方法判斷，圖〔2〕與圖〔3〕不符。這個矛盾的出現，是因為假設C只寫了一遍，所以C寫了兩遍。7.A。提示：木塊沿直線滾動4格，與原來的狀態(tài)相同，所以木塊到第5，9，13，17，21格時，與在第1格的狀態(tài)相同。小學六年級奧數教案—15棋盤的覆蓋同學們會下棋嗎？下棋就要有棋盤，下面是中國象棋的棋盤〔圖1〕，圍棋棋盤〔圖2〕和國際象棋棋盤〔圖3〕。用某種形狀的卡片，按一定要求將棋盤覆蓋住，就是棋盤的覆蓋問題。實際上，這里并不要求一定是某種棋盤，只要是有關覆蓋假設干行、假設干列的方格網的問題，就是棋盤的覆蓋問題。棋盤的覆蓋問題可以分為兩類：一是能不能覆蓋的問題，二是有多少種不同的覆蓋方法問題。例1要不重疊地剛好覆蓋住一個正方形，最少要用多少個右圖所示的圖形？分析與解：因為圖形由3個小方格構成，所以要拼成的正方形內所含的小方格數應是3的倍數，從而正方形的邊長應是3的倍數。經試驗，不可能拼成邊長為3的正方形。所以拼成的正方形的邊長最少是6〔見右圖〕，需要用題目所示的圖形36÷3=12〔個〕。分析與解：在五年級學習“奇偶性〞時已經講過類似問題。左上圖共有34個小方格，17個1×2的卡片也有34個小方格，好象能覆蓋住。我們將左上圖黑白相間染色，得到右上圖。細心觀察會發(fā)現，右上圖中黑格有16個，白格有18個，而1×2的卡片每次只能蓋住一個黑格與一個白格，所以17個1×2的卡片應當蓋住黑、白格各17個，不可能蓋住左上圖。例3以下圖的七種圖形都是由4個相同的小方格組成的。現在要用這些圖形拼成一個4×7的長方形〔可以重復使用某些圖形〕，那么，最多可以用上幾種不同的圖形？分析與解：先從簡單的情形開始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個〔7〕；用2種圖形也沒問題，例如用1個〔7〕，6個〔1〕。經試驗，用6種圖形也可以拼成4×7的長方形〔見以下圖〕。能否將7種圖形都用上呢？7個圖形共有4×7=28〔個〕小方格，從小方格的數量看，如果每種圖形用1個，那么有可能拼成4×7的長方形。但事實上卻拼不成。為了說明，我們將4×7的長方形黑、白相間染色〔見右圖〕，圖中黑、白格各有14個。在7種圖形中，除第〔2〕種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個，共覆蓋黑、白格各12個，還剩下黑、白格各2個。第〔2〕種圖形只能覆蓋3個黑格1個白格或3個白格1個黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個黑格2個白格。綜上所述，要拼成4×7的長方形，最多能用上6種圖形。例4用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一個11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少個？分析與解：用3個2×2正方形和2個3×3正方形可以拼成1個5×6的長方形〔見左以下圖〕。用4個5×6的長方形和1個1×1的正方形可以拼成1個11×11的大正形〔見右以下圖〕。上面說明用1個1×1的正方形和假設干2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的大正方形。那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形嗎？將11×11的方格網每隔兩行染黑一行〔見下頁右上圖〕。將2×2或3×3的正方形沿格線放置在任何位置，都將覆蓋住偶數個白格，所以無論放置多少個2×2或3×3的正方形，覆蓋住的白格數量總是偶數個。但是，右圖中的白格有11×7=77〔個〕，是奇數，矛盾。由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。綜上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1個1×1的小正方形。例5用七個1×2的小長方形覆蓋以下圖，共有多少種不同的覆蓋方法？分析與解：盲目無章的試驗，很難搞清楚。我們采用分類討論的方法。如以下圖所示，蓋住A所在的小格只有兩種情況，其中左以下圖中①②兩個小長方形只能如圖覆蓋，其余局部有4種覆蓋方法：右以下圖中①②③三個小長方形只能如圖覆蓋，其余局部有3種覆蓋方法。所以，共有7種不同覆蓋方法。例6有許多邊長為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這些硬紙片拼成一個長5厘米、寬3厘米的長方形的紙板，共有多少種不同的拼法？〔通過旋轉及翻轉能相互得到的拼法認為是相同的拼法〕解：有一個邊長3厘米紙片有如下3種拼法：有兩個邊長2厘米紙片的有如下4種拼法：有一個邊長2厘米及11個邊長1厘米紙片的有2種拼法，邊長全是1厘米紙片的有1種拼法。共有不同的拼法3＋4＋2+1=10〔種〕。答：共有10種不同的拼法。練習15在不重疊的情形下，不能再在正方形中多放一個這樣的卡片？〔要求卡片的邊緣與格線重合〕4.小明有8張連在一起的電影票〔如右圖〕，他自己要留下4張連在一起的票，其余的送給別人。他留下的四張票可以有多少種不同情況？5.有假設干個邊長為1、邊長為2、邊長為3的小正方形，從中選出一些拼成一個邊長為4的大正方形，共有多少種不同拼法？〔只要選擇的各種小正方形的數目相同就算相同的拼法〕7.能不能用9個1×4的長方形卡片拼成一個6×6的正方形？答案與提示練習151.3個。提示：左以下圖是一種放法。2.圖〔2〕。提示：圖〔1〕的小方格數不是3的倍數；圖〔3〕的小方格數是3的倍數但拼不成；圖〔2〕的拼法見右上圖。3.不能。提示：右圖中黑、白格各18個，每張卡片蓋住的黑格數是奇數，9張卡片蓋住的黑格數之和仍是奇數，不可能蓋住18個黑格。4.25種。提示：形如圖〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕的依次有3，10，6，6種。5.6種。解：用小正方形拼成邊長為4的大正方形有6種情形：〔1〕1個3×3，7個1×1；〔2〕1個2×2，12個1×1；〔3〕2個2×2，8個1×1；〔4〕3個2×2，4個1×1；〔5〕4個2×2；〔6〕16個1×1。6.5種。提示：蓋住A有以下圖所示的5種方法，其中左以下圖所示的3種都無法覆蓋；下中圖中，①放好后，左下方和右上方各有2種放法，共有4種覆蓋方法；右以下圖只有1種覆蓋方法。7.不能。提示：用1，2，3，4對6×6棋盤中的小方格編號〔見右圖〕。一個1×4的矩形一次只能覆蓋1，2，3，4號各一個，而1，2，3，4號數目不等，分別有9，10，9，8個。小學六年級奧數教案—16找規(guī)律同學們從三年級開始，就陸續(xù)接觸過許多“找規(guī)律〞的題目，例如發(fā)現圖形、數字或數表的變化規(guī)律，發(fā)現數列的變化規(guī)律，發(fā)現周期變化規(guī)律等等。這一講的內容是通過發(fā)現某一問題的規(guī)律，推導出該問題的計算公式。例1求99邊形的內角和。分析與解：三角形的內角和等于180°，可是99邊形的內角和怎樣求呢？我們把問題簡化一下，先求四邊形、五邊形、六邊形……的內角和，找一找其中的規(guī)律。如上圖所示，將四邊形ABCD分成兩個三角形，每個三角形的內角和等于180°，所以四邊形的內角和等于180°×2=360°；同理，將五邊形ABCDE分成三個三角形，得到五邊形的內角和等于180°×3＝540°；將六邊形ABCDEF分成四個三角形，得到六邊形的內角和等于180°×4＝720°。通過上面的圖形及分析可以發(fā)現，多邊形被分成的三角形數，等于邊數減2。由此得到多邊形的內角和公式：n邊形的內角和=180°×〔n-2〕〔n≥3〕。有了這個公式，再求99邊形的內角和就太容易了。99邊形的內角和=180°×〔99-2〕＝17460°。例2四邊形內有10個點，以四邊形的4個頂點和這10個點為三角形的頂點，最多能剪出多少個小三角形？分析與解：在10個點中任取一點A，連結A與四邊形的四個頂點，構成4個三角形。再在剩下的9個點中任取一點B。如果B在某個三角形中，那么連結B與B所在的三角形的三個頂點，此時三角形總數增加2個〔見左以下圖〕。如果B在某兩個三角形的公共邊上，那么連結B與B所在邊相對的頂點，此時三角形總數也是增加2個〔見右以下圖〕。類似地，每增加一個點增加2個三角形。所以，共可剪出三角形4＋2×9=22〔個〕。如果將例2的“10個點〞改為n個點，其它條件不變，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形4＋2×〔n-1〕=2n＋2=2×〔n＋1〕〔個〕。同學們都知道圓柱體，如果將圓柱體的底面換成三角形，那么便得到了三棱柱〔左以下圖〕；同理可以得到四棱柱〔下中圖〕，五棱柱〔右以下圖〕。如果底面是正三角形、正四邊形、正五邊形……那么相應的柱體就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱……例3n棱柱有多少條棱？如果將不相交的兩條棱稱為一對，那么n棱柱共有多少對不相交的棱？分析與解：n棱柱的底面和頂面都是n邊形，每個n邊形有n個頂點，所以n棱柱共有2n個頂點。觀察三棱柱、四棱柱、五棱柱的圖形，可以看出，每個頂點都與三條棱相連，而每條棱連接2個頂點，所以n棱柱共有棱2n×3÷2=3n〔條〕。進一步觀察可以發(fā)現，n棱柱中每條棱都與4條棱相交，與其余的3n－4-1=〔3n－5〕條棱不相交。共有3n條棱，所以不相交的棱有3n×〔3n-5〕〔條〕，因為不相交的棱是成對出現的，各計算一遍就重復了一遍，所以不相交的棱共有3n×〔3n-5〕÷2〔對〕。例4用四條直線最多能將一個圓分成幾塊？用100條直線呢？分析與解：4條直線時，我們可以試著畫，100條直線就不可能再畫了，