連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

內(nèi)容及要求（1）雙邊拉氏變換的定義及收斂域，要求一般掌握。（第4.1節(jié)）；（2）單邊拉氏變換的定義，單邊拉氏變換的性質(zhì)，常用典型信號(hào)的單邊拉氏變換。

要求熟練掌握。（第4.2節(jié)）；（3）單邊拉氏逆變換的定義及計(jì)算方法。要求熟練掌握。（第4.3節(jié)）；（4）連續(xù)信號(hào)復(fù)頻域分解的概念，要求一般掌握。（第4.4節(jié)）；（5）連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析，包括用系統(tǒng)函數(shù)求零狀態(tài)反應(yīng)，系統(tǒng)微分方程的S域解，

RLC系統(tǒng)的S域解，要求熟練掌握。（第4.5，4.6節(jié)）；（6）連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬。要求熟練掌握。（第4.7節(jié)）；（7）系統(tǒng)函數(shù)H(s)與系統(tǒng)特性。要求一般掌握。（第4.8節(jié)）；?4.0

引言

頻域→

復(fù)頻域

ej

t之和→est之和s=+j

傅立葉變換→

拉普拉斯變換對(duì)于系統(tǒng)的輸入信號(hào)f(t)，首先把它分解為基本信號(hào)est之和，則系統(tǒng)的響應(yīng)為基本信號(hào)的響應(yīng)之和。這種方法稱為復(fù)頻域分析法。其中，s稱為復(fù)頻率。

擴(kuò)展了適用范圍，求解更為簡(jiǎn)便。4.1拉普拉斯變換4.1.1

從傅里葉變換變換到拉普拉斯變換

若f(t)不滿足絕對(duì)可積條件，則傅里葉變換不一定存在，如eαtε(t)(α>0)。若引入一個(gè)衰減因子e-σt，則

雙邊拉普拉斯變換

雙邊拉普拉斯逆變換F(s)=?[f(t)]f(t)=?-1[F(s)]F(s)為f(t)的象函數(shù)，f(t)為F(s)的原函數(shù)

4.1.2雙邊拉普拉斯變換的收斂域在復(fù)平面上，使f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在的s值的范圍稱為F(s)的收斂域。由于f(t)的雙邊拉普拉斯變換是信號(hào)f(t)e-σt的傅里葉變換，因此，若f(t)e-σt絕對(duì)可積，即則f(t)的雙邊拉普拉斯變換一定存在?！纠恳蚬盘?hào)f2(t)=e-αtε(t)(α>0)Re[s]>-α

因果信號(hào)拉氏變換收斂域在平行于jω軸的一條直線的右邊區(qū)域。當(dāng)σ=Re[s]>-α?xí)r，有【例】反因果信號(hào)

Re[s]<-β反因果信號(hào)拉氏變換收斂域在平行于jω軸的一條直線的左邊區(qū)域。

當(dāng)σ=Re[s]<-β時(shí)，有

【例】若β>α，F(xiàn)2(s)和F3(s)的收斂域無(wú)公共部分；若β<α，F(xiàn)2(s)和F3(s)的收斂域有公共部分；

雙邊信號(hào)的拉氏變換的收斂域?yàn)槠叫杏趈ω軸的兩條直線間的帶狀區(qū)域即任一信號(hào)和它的雙邊拉普拉斯變換連同收斂域是一一對(duì)應(yīng)的。因果信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換或積分下限為“0”時(shí)的拉普拉斯變換稱為單邊拉普拉斯變換本章主要討論單邊拉普拉斯變換4.1.3

單邊拉普拉斯變換f(t)與F(s)必一一對(duì)應(yīng)，收斂域不再?gòu)?qiáng)調(diào)。

單邊拉氏變換

Re[s]>σ0單邊拉氏逆變換4.1.4常用信號(hào)的拉普拉斯變換1.δ(t)

2.

δ(n)(t)

3.

ε(t)

4.

e-αtε(t)

4.2單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)1.

線性

若

f1(t)←→F1(s)

f2(t)←→F2(s)

則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)2.

時(shí)移性質(zhì)若

f(t)←→F(s)

則

f(t-t0)ε(t-t0)←→e-st0F(s)

【例】求cos(ω0t)、sin(ω0t)的象函數(shù)。

cos(ω0t)=1/2(ejω0t+e-jω0t)ε(t)ejω0tε(t)?e-jω0tε(t)??[cos(ω0t)]==同理:?[sin(ω0t)]=

【例】，求象函數(shù)。

δ(t)←→1

δ(t-nT)←→e-nTs

F(s)=1+e-Ts+e-2Ts+...

=…一般地若則【例】f1(t)=e-2(t-1)ε(t-1),f2(t)=e-2(t-1)ε(t)，

求f1(t)和f2(t)的象函數(shù)。

e-2tε(t)←→

e-2(t-1)ε(t-1)←→e2e-2tε(t)←→3.

復(fù)頻移性質(zhì)若

f(t)←→F(s)

則

es0tf(t)←→F(s-s0)

e-αtcos(ω0t)←→e-αtsin(ω0t)←→4.尺度變換性質(zhì)5.時(shí)域卷積性質(zhì)

若f1(t)←→F1(s)

f2(t)←→F2(s)

則f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)

若f(t)←→F(s)則

f(at)←→【例】f(t)=fτ(t)*fτ(t),求f(t)的拉氏變換。

fτ(t)=ε(t)-ε(t-τ)

?

[fτ(t)]=

?

[f(t)]=?

[fτ(t)]·

?

[fτ(t)]=

6.時(shí)域微分性質(zhì)若f(t)←→F(s)則

f(1)(t)←→sF(s)-f(0-)f(2)(t)←→s2F(s)-sf(0-)-f(1)(0-)

f(n)(t)←→若f(t)為因果信號(hào)f(n)(t)←→snF(s)

7.時(shí)域積分性質(zhì)若f(t)←→F(s)則

若f(t)為因果信號(hào)

f(-n)(0-)表示從-∞到0-對(duì)f(t)的n重定積分【例】求f(t)的拉氏變換

f(2)(t)=2δ(t)-2δ(t-1)-2δ(t-2)+2δ(t-3)F2(s)=?[f(2)(t)]=2-2e-s-2e-2s+2e-3s

F(s)=

=8.復(fù)頻域微分性質(zhì)若f(t)←→F(s)

則例9.復(fù)頻域積分性質(zhì)若f(t)←→F(s)

則(條件：存在)例：，求f(t)的單邊拉氏變換解：10.初值和終值定理

(1)初值定理

若

f(t)←→F(s)

若F(s)為有理真分式

若F(s)為假分式，化成

F(s)=多項(xiàng)式+F0(s)(真分式)s?(t)1?(t)

證明:?[f

(t)]=sF(s)-f(0-)?[f

(t)]=sF(s)=f(0+)+因?yàn)楫?dāng)t>0，s→∞時(shí)所以=f(0+)-f(0-)+

(2)終值定理

若f(t)←→F(s),

且f(∞)存在則判斷f(∞)存在方法：sF(s)的收斂域包含s=0

即:sF(s)的所有極點(diǎn)均在[s]的左半平面證:

【例】求f(0+)和f(∞)。

(1)

極點(diǎn)s1=1,f(∞)不存在。(2)

f(0+)=2,f(∞)不存在

。4.3

單邊拉普拉斯逆變換4.3.1

查表法對(duì)簡(jiǎn)單的象函數(shù)F(s),可用拉氏變換表直接查到f(t)4.3.2

部分分式展開法若F(s)為假分式，可用多項(xiàng)式除法將F(s)分解為有理多項(xiàng)式與有理真分式之和分別求解:N(s)為有理多項(xiàng)式，其逆變換為沖激函數(shù)及其一階到m-n階導(dǎo)數(shù)之和。D(s)/A(s)為有理真分式，可展開為部分分式后求逆變換A(s)=(s-s1)(s-s2)…(s-sn)

則s1,s2,…sn稱為F(s)的極點(diǎn)

F(s)僅有單極點(diǎn)

f(t)=?-1[F(s)]=

F(s)有重極點(diǎn)【例】已知求f(t)

f(t)=?-1[F(s)]=(3e-2t-2e-3t)

(t)

【例】已知求f(t)f(t)=?-1[F(s)]=(te-t+e-t-e-3t)ε(t)

【例】已知求f(t)t0F(s)有復(fù)極點(diǎn)為了避免復(fù)數(shù)運(yùn)算,可用配方法將F(s)寫成上例

和t0結(jié)合拉普拉斯變換的性質(zhì)【例】已知求f(t)

F(s)=1-e-2s+e-4s-e-6s+e-8s-e-10s+…f(t)=(t)-(t-2)+(t-4)-(t-6)+…【例】已知求f(t)

F(s)=F1(s)e-2s

f1(t)=(2-e-2t)

(t)f(t)=?-1[F1(s)e-2s]=[2-e-2(t-2)]

(t-2)4.4

連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析基本方法：系統(tǒng)的輸入信號(hào)分解為基本信號(hào)est

之和，而系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)則等于對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)之和。

4.4.1

連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分解物理意義：分解f(t)為σ-j∞到σ+j∞區(qū)間上不同s的基本信號(hào)est之和（積分）

4.4.2

基本信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)若f(t)=est，則若h(t)為因果函數(shù)，則有

H(s)稱為線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù).

4.4.3

一般信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

Yf(s)=?

[yf(t)]=H(s)F(s)

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可按以下步驟求解：

（1）求系統(tǒng)輸入f(t)的單邊拉普拉斯變換F(s)；（2）求系統(tǒng)函數(shù)H(s)；（3）求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊拉普拉斯變換Yf(s)，

Yf(s)=H(s)F(s)；（4）求Yf(s)的單邊拉普拉斯逆變換yf(t)；系統(tǒng)函數(shù)H(s)代表了線性系統(tǒng)的性質(zhì)【例】已知h(t)=e-2t

(t)，

f(t)=

(t)-

(t-1)。求yf(t)。

Yf(t)=?-1[Yf(s)]=

【例4.4-1】HHf1(t)f2(t)y1f(t)y2f(t)??4.5

系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解4.5.1

系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解微分方程代數(shù)方程時(shí)域解s域解??

-1以二階系統(tǒng)為例設(shè)y(t)=?-1[Yf(s)]=?-1[Yx(s)]+?-1[Yf(s)]=yx(t)+yf(t)

零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)幾個(gè)概念

特征多項(xiàng)式：上式中的分母A(s)特征方程：A(s)=0

特征根：A(s)=0的根響應(yīng)的初始值：上式中的y(0-)和y'(0-)系統(tǒng)函數(shù)求法

設(shè)n階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

h(t)=?-1[H(s)]關(guān)于響應(yīng)的初始值對(duì)于n階連續(xù)線性系統(tǒng)，由于y(t)=yx(t)+yf(t)，所以

y(i)(t)=yx(i)

(t)+yf

(i)

(t)i=0,1,2,…,n-1

于是，得

y(i)(0-)=yx(i)

(0-)+yf(i)

(0-)

y(i)(0+)=yx(i)

(0+)+yf(i)

(0+)

對(duì)于因果系統(tǒng)，若f(t)為因果信號(hào)，則yf

(i)

(0-)=0

yx(i)

(0-)=y(i)(0-)

yx(i)

(0+)=y(i)(0+)-yf

(i)

(0+)對(duì)于n階線性連續(xù)因果系統(tǒng)，若在t<0和t>0時(shí)滿足的微分方程相同，則

yx(i)

(0+)=yx(i)

(0-)i=0,1,2,…,n-1【例】

f(t)=e-tε(t),y(0-)=1,y'(0-)=2

,

求y(t)

(s2+5s+6)Y(s)=sy(0-)+5y(0-)+y'(0-)+(3s+1)F(s)F(s)=?[e-tε(t)]=

4.6

RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析電阻元件(R)

電感元件(L)

電容元件(C)

【例】激勵(lì)為v1(t)=ε(t),i(0)0,求響應(yīng)v2(t)?展開：t0零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)【例4.6-1】圖4.6-6(a)所示RLC系統(tǒng)us1(t)=2v,us2(t)=4v,R1=R2=1Ω,L=1H,C=1F。t<0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)k由位置1接到位置2。求：t≥0時(shí)的完全響應(yīng)iL(t)、

零輸入響應(yīng)iLx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)。d經(jīng)整理:4.7

連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬若已知系統(tǒng)的微分方程或系統(tǒng)函數(shù)，用一些基本單元來(lái)構(gòu)成系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的模擬。系統(tǒng)的表示是系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)，而系統(tǒng)的模擬是系統(tǒng)綜合的基礎(chǔ)。4.8.1連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示系統(tǒng)通常為復(fù)合系統(tǒng)，其組合方式有串聯(lián)、并聯(lián)、反饋等。1.連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián)

2.連續(xù)系統(tǒng)的并聯(lián)

在【例】

h1(t)=δ(t),h2(t)=δ(t-1),h3(t)=δ(t-3)。

f(t)=ε(t)，求h(t)?yf(t)?h(t)=h1(t)*h2(t)-h3(t)=δ(t-1)-δ(t-3)yf(t)=f(t)*h(t)=ε(t-1)-ε(t-3)3.用基本運(yùn)算器表示系統(tǒng)

乘法器加法器積分器【例】

求系統(tǒng)函數(shù)H(s)，寫出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。設(shè)信號(hào)傳輸方向最后一個(gè)積分器的輸出為X(s)整理:系統(tǒng)微分方程為

4.7.2

連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示線性連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖是由點(diǎn)和有向線段組成的線圖，用來(lái)表示系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，是系統(tǒng)框圖表示的一種簡(jiǎn)化形式。在信號(hào)流圖中，用點(diǎn)表示信號(hào)，用有向線段表示信號(hào)的傳輸方向和傳輸關(guān)系，傳輸函數(shù)Hi(s)寫在有向線段旁邊信號(hào)流圖的規(guī)則信號(hào)流圖與方框圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系常用術(shù)語(yǔ)：

節(jié)點(diǎn):信號(hào)流圖中表示信號(hào)的點(diǎn)支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段增益或傳輸函數(shù)：寫在支路旁邊的函數(shù)源點(diǎn)：僅有輸出支路的節(jié)點(diǎn)匯點(diǎn)：僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)通路：從節(jié)點(diǎn)出發(fā)沿支路傳輸方向，連續(xù)經(jīng)過(guò)支路和節(jié)點(diǎn)到達(dá)另一節(jié)點(diǎn)之間的路徑開路（前向通路）：一條通路與經(jīng)過(guò)它的任一節(jié)點(diǎn)只相遇一次，該通路稱開路。環(huán)(回路)：如果通路的起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，并且與經(jīng)過(guò)的其余節(jié)點(diǎn)只相遇一次，則該通路稱為環(huán)路或回路?！纠?a)方框圖;(b)信號(hào)流圖

梅森公式(Mason’Rule)

梅森公式為m表示從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間開路的總數(shù)。Pi等于第i條開路上所有支路傳輸函數(shù)的乘積?！鱥稱為第i條開路特征行列式的余因子，它是原信號(hào)流圖除去第i條開路后，剩余信號(hào)流圖的特征行列式。△稱為信號(hào)流圖的特征行列式

表示信號(hào)流圖中所有環(huán)傳輸函數(shù)之和

所有兩個(gè)不接觸的環(huán)傳輸函數(shù)乘積之和

所有三個(gè)不接觸的環(huán)傳輸函數(shù)乘積之和【例】已知連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖,求系統(tǒng)函數(shù)H(s)

解:分支點(diǎn)與相加點(diǎn)交叉環(huán)1和環(huán)2不接觸，環(huán)1和環(huán)3不接觸4.8.3

連續(xù)系統(tǒng)的模擬

----是嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義下的模擬，用基本單元組成系統(tǒng)直接形式

以二階系統(tǒng)為例，設(shè)分子分母乘以s-2

分母可看作信號(hào)流圖的特征行列式△，括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)可看作兩個(gè)互不接觸的環(huán)的傳輸函數(shù)之和。分子中的三項(xiàng)可看作從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的三條開路的傳輸函數(shù)之和。級(jí)聯(lián)形式（串聯(lián)形式）

先用直接形式信號(hào)流圖模擬各子系統(tǒng)，然后把各子系統(tǒng)信號(hào)流圖級(jí)聯(lián)并聯(lián)形式

先把每個(gè)子系統(tǒng)用直接形式信號(hào)流圖模擬，然后把它們并聯(lián)起來(lái)【例】

已知線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),求系統(tǒng)級(jí)聯(lián)形式信號(hào)流圖。解:【例】

已知線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),求系統(tǒng)并聯(lián)形式信號(hào)流圖。解:（1）用一階節(jié)并聯(lián)模擬系統(tǒng)（2）用一階節(jié)和二階節(jié)并聯(lián)模擬系統(tǒng)

4.8

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性系統(tǒng)函數(shù)H(s)是連續(xù)系統(tǒng)的重要概念。H(s)對(duì)系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)、頻率特性、穩(wěn)定性有著深刻的影響。這些影響取決于H(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)在復(fù)平面上的分布。4.8.1

H(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)B(s)=0的根sj(j=1,2,…，m)稱為H(s)的零點(diǎn)；A(s)=0的根pi(i=1,2,…，n)稱為H(s)的極點(diǎn)。Sj、pi可能是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)

(1)為實(shí)數(shù)時(shí)，位于復(fù)平面實(shí)軸上；

(2)為虛數(shù)時(shí)，位于復(fù)平面虛軸上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(3)為復(fù)數(shù)時(shí)，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。H(s)的零極點(diǎn)圖H(s)的零點(diǎn)sj—“○”H(s)的極點(diǎn)pi—“×”[例]

jω-204.8.2

H(s)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)

----H(s)的原函數(shù)是h(t)1.H(s)的零點(diǎn)影響h(t)的幅度和相位

H(s)的極點(diǎn)影響h(t)的函數(shù)形式及系統(tǒng)自由響應(yīng)的形式

[例]

2.H(s)的極點(diǎn)分布對(duì)h(t)的影響

極點(diǎn)位置H(s)h(t)響應(yīng)形式原點(diǎn)1/sε(t)階躍函數(shù)正實(shí)軸a>01/(s-a)eatε(t)h(t)↑負(fù)實(shí)軸a<0h(t)↓虛軸ω0/(s2+ω02)sinω0tε(t)等幅震蕩右半S平面ω0/[(s-a)2+ω02]eatsinω0tε(t)增幅震蕩左半S平面衰減震蕩H(s)的極點(diǎn)為單極點(diǎn)

H(s)有K重極點(diǎn)h(t)含有因子tk-1極點(diǎn)H(s)h(t)原點(diǎn)1/s2tε(t)實(shí)軸1/(s+a)2te-atε(t)虛軸2ω0s/(s2+ω02)2tsinω0tε(t)結(jié)論:H(s)在左半平面的極點(diǎn)（單極點(diǎn)或重極點(diǎn)）它們對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)最終隨時(shí)間衰減↓H(s)在右半平面的極點(diǎn)它們對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而增大↑H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)幅度不隨時(shí)間變化—H(s)在虛軸上的二階極點(diǎn)或二階以上極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而增大↑4.8.3

H(s)與系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換H(jω)表示系統(tǒng)的頻率特性，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

數(shù)學(xué)定義為：

H(s)的收斂域包含jω軸，即H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面。H(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)因果穩(wěn)定系統(tǒng)

H(ω)稱為幅頻特性（幅頻響應(yīng)），

φ(ω)稱為相頻特性（相頻響應(yīng)）

系統(tǒng)的頻率特性曲線

由H(S)的零極點(diǎn)圖用幾何作圖法求出，頻率特性取決于零極點(diǎn)的位置當(dāng)ω沿虛軸從0到∞變化時(shí)，各復(fù)數(shù)因子的模與幅角隨之改變，得到系統(tǒng)的頻響特性【例】畫出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線

解:ω=0H(0)==0φ(0)=π/2-0=π/2ω→∞H(ω)=∞/∞=1φ(ω)=π/2-π/2=0【例】

α>0,ω0>α解：

H(s)有一個(gè)零點(diǎn)s1=α；兩個(gè)極點(diǎn)ω=0,H(0)=α/ω02，φ(0)=π-(θ1+θ2)=πω↑,B↑A1↓A2↑H(ω)↑ψ↓θ1↑θ2↑φ(ω)↓

ω=β,諧振狀態(tài),H(ω)峰值,φ(ω)=0ω↑,BA1A2↑H(ω)↓φ(ω)↓ω→∞,H(ω)=0，φ(ω)=-π/2，A1A2BH(s)若有極點(diǎn)靠近jω軸，則當(dāng)頻率變化經(jīng)過(guò)此極點(diǎn)附近時(shí)，幅頻特性將出現(xiàn)峰值

H(s)若有零點(diǎn)靠近jω軸，則當(dāng)頻率變化經(jīng)過(guò)此零點(diǎn)時(shí)，幅頻特性將出現(xiàn)谷值

4.8.4

H(s)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性

只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才能正常工作.1.穩(wěn)定系統(tǒng)

一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，如果對(duì)任一有界輸入產(chǎn)生有界輸出，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng).系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)絕對(duì)可積,即證明:充分性設(shè)|f(t)|≤Mf

若h(t)絕對(duì)可積,則響應(yīng)有界.必要性若h(t)不滿足絕對(duì)可積條件時(shí)，則至少有某個(gè)有界輸入f(t)產(chǎn)生無(wú)界輸出