機(jī)械控制工程時(shí)間響應(yīng)分析

第三章時(shí)間響應(yīng)分析主要內(nèi)容

3.1時(shí)間響應(yīng)的概念3.2典型的輸入信號(hào)3.3一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析3.4二階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)分析3.5高階系統(tǒng)3.6系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算3.1

時(shí)間響應(yīng)的概念【回憶】：經(jīng)典控制理論所要解決的幾大問(wèn)題：分析問(wèn)題：系統(tǒng)〔包括被控對(duì)象、控制裝置〕及輸入，求輸出；綜合問(wèn)題〔設(shè)計(jì)問(wèn)題〕：被控對(duì)象和要求的輸入輸出，設(shè)計(jì)控制器；這一章要討論的是第一類問(wèn)題，并且是在時(shí)間域里，下一章將學(xué)習(xí)頻率域里的響應(yīng)分析。建模分析綜合【時(shí)間響應(yīng)】：

描述系統(tǒng)的微分方程的解響應(yīng)：在輸入作用下，系統(tǒng)輸出從震蕩到穩(wěn)定下來(lái)的過(guò)程?？刂葡到y(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出也會(huì)有一個(gè)震蕩的過(guò)程，這一過(guò)程我們稱之為瞬態(tài)響應(yīng)，或過(guò)渡過(guò)程；當(dāng)過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，輸出會(huì)到達(dá)一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，我們稱為“穩(wěn)態(tài)〞〔穩(wěn)態(tài)響應(yīng)〕；本章所研究的就是“過(guò)渡過(guò)程〞；——當(dāng)然，并不是所有的“過(guò)渡過(guò)程〞都是這種形式的，不同類型的系統(tǒng)，會(huì)有不同的響應(yīng)曲線，有的是“反復(fù)震蕩的〞，有的是緩慢上升的，這跟系統(tǒng)的“階次〞及輸入信號(hào)的類型有關(guān)。系統(tǒng)的階次：階次就是指?jìng)鬟f函數(shù)分母的最高階次，也就是描述系統(tǒng)的微分方程的階次。這里的“n〞即是系統(tǒng)的“階次〞時(shí)間響應(yīng)的組成my(t)完全解為：將初始條件帶入〔2〕〔3〕可解得：整理：自由響應(yīng)〔通解〕強(qiáng)迫響應(yīng)〔特解〕零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)更一般的情況通解〔自由響應(yīng)〕特解〔強(qiáng)迫響應(yīng)〕自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)由系統(tǒng)初態(tài)引起的自由響應(yīng)由輸入引起的自由響應(yīng)本書所要討論的是零狀態(tài)響應(yīng)！穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)：暫態(tài)響應(yīng)，過(guò)渡過(guò)程——穩(wěn)定系統(tǒng)的自由響應(yīng)本章所要討論的是瞬態(tài)響應(yīng)！3.2

典型輸入信號(hào)：階躍信號(hào)速度〔斜坡〕信號(hào)加速度〔拋物線信號(hào)〕信號(hào)脈沖信號(hào)正弦信號(hào)隨機(jī)信號(hào)1.階躍信號(hào)R=1時(shí)

單位階躍信號(hào)，常表示為u(t)=1(t)

R為常數(shù)R=1

時(shí)

單位斜坡信號(hào)2.斜坡〔速度〕信號(hào)3.加速度〔拋物線〕信號(hào)R=1/2

時(shí)

單位加速度信號(hào)4.脈沖信號(hào)R=1時(shí)

單位脈沖函數(shù)，記作δ(t)，也稱為δ函數(shù)δ函數(shù)的重要性質(zhì)δ函數(shù)的拉氏變換等于1【證明】：δ函數(shù)的重要性質(zhì)結(jié)論：系統(tǒng)在單位脈沖函數(shù)作用下，其響應(yīng)函數(shù)等于傳遞函數(shù)的拉氏逆變換根據(jù)被測(cè)定系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，可以獲知被測(cè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。單位正弦信號(hào)5.正弦信號(hào)幾種典型信號(hào)之間的關(guān)系：對(duì)拋物線信號(hào)微分=

斜坡信號(hào)對(duì)斜坡信號(hào)微分=階躍信號(hào)對(duì)階躍信號(hào)微分=脈沖信號(hào)對(duì)脈沖信號(hào)積分=階躍信號(hào)對(duì)階躍信號(hào)積分=斜坡信號(hào)對(duì)斜坡信號(hào)積分=拋物線信號(hào)微分關(guān)系積分關(guān)系3.3

一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析一階系統(tǒng)：凡其動(dòng)態(tài)過(guò)程可用一階微分方程來(lái)表示的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一般形式為：T稱為一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)t0T2T3T4T5T…∞y(t)00.6320.8650.950.9820.993…100.632Tty(t)186.5%2T95%98.2%1/T斜率3T4T結(jié)論①一階〔慣性〕系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無(wú)震蕩；②當(dāng)時(shí)間t=T時(shí)，曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的63.2%；反之，用試驗(yàn)法測(cè)出響應(yīng)曲線到達(dá)0.632高度點(diǎn)所用的時(shí)間，就可近似求出慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T。③當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，曲線的斜率為1/T，即，U(s)的極點(diǎn)形成系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)形成系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一結(jié)論不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線性定常系統(tǒng)。

一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)結(jié)論：一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一單調(diào)下降的指數(shù)曲線；定義過(guò)渡過(guò)程為：衰減到初值2％之前的過(guò)程，那么可算得相應(yīng)的時(shí)間為4T，記為調(diào)整時(shí)間：ts。

一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)結(jié)論：一階系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差T，顯然，時(shí)間常數(shù)越小，穩(wěn)態(tài)誤差越小。線性定常系統(tǒng)的重要特點(diǎn)輸入輸出斜坡階躍脈沖，

3.4

二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析研究二階系統(tǒng)的意義：一般的控制系統(tǒng)均系高階系統(tǒng)，但在一定準(zhǔn)確度條件下，可忽略某些次要因素近似用一個(gè)二階系統(tǒng)來(lái)表示，因此比較有實(shí)際意義。

二階系統(tǒng)的特征方程與零點(diǎn)、極點(diǎn)欠阻尼

無(wú)阻尼

臨界阻尼

過(guò)阻尼

二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)欠阻尼情況：0<<1無(wú)阻尼情況：

=0臨界阻尼情況:

=1過(guò)阻尼情況:

>1討論〔1〕：欠阻尼情況0<<1討論〔2〕：無(wú)阻尼情況=0討論〔3〕：臨界阻尼情況=1討論〔4〕：過(guò)阻尼情況>1計(jì)算說(shuō)明，在>1.5時(shí)，在兩個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)中，的衰減比要快得多，因此，過(guò)渡過(guò)程的變化以為主要作用。從s平面來(lái)看，愈靠近虛軸的根，過(guò)渡過(guò)程的時(shí)間愈長(zhǎng)，對(duì)過(guò)渡過(guò)程的影響愈大，更起主導(dǎo)作用。小結(jié)無(wú)阻尼

=00ty(t)1s平面s1s2欠阻尼0<

<1y(t)0t10βs平面s2s1臨界阻尼

=10t1y(t)0s平面s1,20s平面s1s20t1y(t)過(guò)阻尼

>1結(jié)論：①欠阻尼時(shí)，二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)函數(shù)的過(guò)渡過(guò)程為衰減震蕩，且隨著阻尼的減小，其振蕩特性表現(xiàn)得愈加強(qiáng)烈；在=0時(shí)到達(dá)等幅振蕩。②=1和>1時(shí)，二階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程具有單調(diào)上升的特性。在無(wú)振蕩單調(diào)上升的曲線中，以=1時(shí)的過(guò)渡時(shí)間最短。③欠阻尼系統(tǒng)，當(dāng)=0.4~0.8時(shí)，不僅過(guò)渡過(guò)程時(shí)間比=1時(shí)更短，且振蕩并不嚴(yán)重。因此，一般希望二階系統(tǒng)工作在=0.4~0.8的欠阻尼狀態(tài)，因?yàn)檫@個(gè)工作狀態(tài)振蕩特性適度而持續(xù)時(shí)間又較短。3.4.3二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)通常系統(tǒng)的性能指標(biāo)，是根據(jù)系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)給出。其原因有二：①產(chǎn)生階躍輸入比較容易；②階躍是最不利的輸入情況；如前述，系統(tǒng)通常工作在欠阻尼情況下，因此，都是針對(duì)欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)而言的。上升時(shí)間tr峰值時(shí)間tp百分比超調(diào)量Mp調(diào)節(jié)時(shí)間ts振蕩次數(shù)N第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值時(shí)間響應(yīng)曲線第一次進(jìn)入誤差帶時(shí)間到達(dá)最大值時(shí)間tr)(￥y1.00y(t)誤差帶5%或2%Mptstp響應(yīng)曲線最大值與穩(wěn)態(tài)值之差

在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半〔1〕上升時(shí)間tr:響應(yīng)曲線第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值時(shí)間當(dāng)

n一定時(shí)，

越小，tr越?。划?dāng)

一定時(shí)，

n越大，tr越小。〔2〕峰值時(shí)間tp：響應(yīng)曲線到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。當(dāng)

n一定時(shí)，

越小，tp越?。划?dāng)

一定時(shí)，

n越大，tp越小。〔3〕超調(diào)量Mp:響應(yīng)曲線最大值與穩(wěn)態(tài)值之差所以超調(diào)量是阻尼比

的函數(shù)，與

n的大小無(wú)關(guān)。

增大，超調(diào)量減小，通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比

取在之間,相應(yīng)的超調(diào)量25%-1.5%。(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts：響應(yīng)曲線第一次進(jìn)入誤差帶時(shí)間

Td為阻尼振蕩的周期。(5)

振蕩次數(shù)N:在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半總結(jié)：tr,tp和ts表示控制系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)反響的快速性;Mp%和N反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的平穩(wěn)性。即系統(tǒng)的阻尼程度;其中ts和Mp%是最重要的兩個(gè)動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)。在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，通常由要求的最大超調(diào)量決定,而調(diào)節(jié)時(shí)間那么由無(wú)阻尼振蕩頻率n來(lái)決定。例:單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù)，試計(jì)算放大器增益KA=200時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。當(dāng)KA增大到1500時(shí)或減小到KA=13.5，這時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如何?解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

那么根據(jù)欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式，可以求得:由此可見，KA越大，

越小，

n越大，tp越小，Mp%越大，而調(diào)節(jié)時(shí)間ts無(wú)多大變化。系統(tǒng)工作在過(guò)阻尼狀態(tài)，峰值時(shí)間，超調(diào)量和振蕩次數(shù)不存在，而調(diào)節(jié)時(shí)間可將二階系統(tǒng)近似為大時(shí)間常數(shù)T的一階系統(tǒng)來(lái)估計(jì)，即:為大時(shí)間常數(shù)T的一階系統(tǒng)來(lái)估計(jì),即:

調(diào)節(jié)時(shí)間比前兩種KA大得多，雖然響應(yīng)無(wú)超調(diào)，但過(guò)渡過(guò)程緩慢，曲線如下：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：可由階躍響應(yīng)求導(dǎo)數(shù)得到3.5

高階系統(tǒng)【定義】：用高階微分方程描述的系統(tǒng)。特征方程有n個(gè)特征根，其中n1個(gè)為實(shí)數(shù)根，n2對(duì)為共軛復(fù)根，應(yīng)有：n=n1+2n2因此特征方程可以分解為n1個(gè)一次因式及n2個(gè)二次因式設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的m個(gè)零點(diǎn)為-zi〔i=1,2,…,m〕，那么系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫為其中，第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量，第二項(xiàng)為指數(shù)曲線〔一階系統(tǒng)〕，第三項(xiàng)為振蕩曲線〔二階系統(tǒng)〕。因此，一個(gè)高階系統(tǒng)的響應(yīng)可以看成是多個(gè)一階環(huán)節(jié)和二階環(huán)節(jié)響應(yīng)的疊加。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念【定義】：高階系統(tǒng)中，離虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部小于其它極點(diǎn)實(shí)部的1/5，并且附近不存在零點(diǎn)，可以認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)主要由這一極點(diǎn)決定，稱為主導(dǎo)極點(diǎn)?？蓪⒅鲗?dǎo)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)的高階系統(tǒng)，降階近似作二階系統(tǒng)來(lái)處理。Res1s2s3Ims4s53.6

系統(tǒng)的誤差分析與計(jì)算

系統(tǒng)誤差的概念“準(zhǔn)確〞：輸出量精確地到達(dá)期望值?！罢`差〞：期望數(shù)值與實(shí)際數(shù)值之差。誤差產(chǎn)生的原因：元件老化、磨損、非線性等原因；隨機(jī)干擾帶來(lái)的誤差；系統(tǒng)結(jié)構(gòu)等固有因素決定的誤差。系統(tǒng)誤差的組成：瞬態(tài)＋穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的“誤差〞：以系統(tǒng)輸出端為基準(zhǔn)來(lái)定義的，系統(tǒng)的“偏差〞：以輸入端定義的。系統(tǒng)的“誤差〞:以系統(tǒng)輸出端為基準(zhǔn)來(lái)定義的。系統(tǒng)的“偏差〞：以輸入端為基準(zhǔn)定義的。G(s)H(s)U(s)u(t)B(s）b(t)E(s)

(t)Y(s)y(t)-單位反響系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)偏差等于穩(wěn)態(tài)誤差！??！G(s)H(s)U(s)u(t)B(s）b(t)E(s)

(t)Y(s)y(t)-由終值定理得穩(wěn)態(tài)偏差為：由上可知，穩(wěn)態(tài)偏差不僅與系統(tǒng)的特性〔系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)〕有關(guān)，而且與輸入信號(hào)的特性有關(guān)。穩(wěn)態(tài)偏差G(s)H(s)U(s)u(t)B(s）b(t)E(s)

(t)Y(s)y(t)-由終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差為：穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)偏差的計(jì)算設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)式中，為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，或稱系統(tǒng)的無(wú)差度，它表征了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征。假設(shè)記那么可將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)為系統(tǒng)的型別工程上一般規(guī)定：

=0，1，2時(shí)分別稱為：0型，I型和II型系統(tǒng)；

型別愈高，穩(wěn)態(tài)精度愈高，但穩(wěn)定性愈差，因此，一般系統(tǒng)不超過(guò)III型。〔1〕單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差〔2〕單位斜坡輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差〔3〕單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差〔1〕單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差結(jié)論I型或以上的系統(tǒng)〔開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)〕，對(duì)階躍輸入的響應(yīng)是無(wú)差的。0型系統(tǒng)〔沒有積分環(huán)節(jié)〕對(duì)階躍輸入的響應(yīng)有差的。為了減少誤差，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)提高放大倍數(shù)，但過(guò)大的K值，將影響系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。〔2〕單位斜坡輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為速度無(wú)偏系數(shù)。，，，u(t)=Rty(t)tⅠ型系統(tǒng)的速度誤差0型系統(tǒng)不能跟隨斜坡輸入；I型系統(tǒng)雖然能跟隨斜坡輸入，但是有差；II型或高于II

型的系統(tǒng)，對(duì)斜坡輸入的響應(yīng)是無(wú)差的。結(jié)論〔3〕單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差u(t)=0.5Rt2y(t)tⅡ型系統(tǒng)的加速度誤差當(dāng)輸入為加速度信號(hào)時(shí)，0型、I型系統(tǒng)不能跟隨，II型系統(tǒng)為有差；假設(shè)要無(wú)差，那么需要采用III形或高于III的系統(tǒng)。結(jié)論系統(tǒng)的型別系統(tǒng)的輸入單位階躍輸入單位斜坡輸入單位加速輸入0型系統(tǒng)∞∞I型系統(tǒng)0∞II型系統(tǒng)00【總結(jié)】①增加型別將提高系統(tǒng)準(zhǔn)確度；然而增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)數(shù)目，系統(tǒng)穩(wěn)定性將變差〔開環(huán)傳遞函數(shù)中包含兩個(gè)以上積分環(huán)節(jié)時(shí)，要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性不容易，實(shí)際上也極少采用〕。②增大K可有效提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確度，但也會(huì)使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，因此穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性是矛盾的，需統(tǒng)籌兼顧。③根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，可知當(dāng)輸入信號(hào)是上述典型信號(hào)的線性組合時(shí)，即輸出量的穩(wěn)態(tài)偏差應(yīng)是它們