《近世代數(shù)》課件

《近世代數(shù)》ppt課件引言基本概念群論環(huán)論域論應用與實例習題與解答contents目錄01引言什么是近世代數(shù)近世代數(shù)是一門研究數(shù)學結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)的學科，主要研究集合、群、環(huán)、域等抽象代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和關(guān)系。它起源于19世紀末，是代數(shù)學的一個重要分支，對數(shù)學和其它學科的發(fā)展有著深遠的影響。近世代數(shù)的重要性近世代數(shù)是數(shù)學領(lǐng)域中的基礎學科之一，是學習其它數(shù)學分支的重要基礎。它對于理解數(shù)學的抽象本質(zhì)和掌握數(shù)學的基本思想方法具有重要意義，有助于培養(yǎng)學生的邏輯思維和抽象思維能力。本課程將介紹近世代數(shù)的基本概念和性質(zhì)，包括集合、群、環(huán)、域等代數(shù)系統(tǒng)的定義、性質(zhì)和關(guān)系。通過學習本課程，學生將掌握近世代數(shù)的基本理論和方法，能夠運用代數(shù)工具解決實際問題，并為進一步學習其它數(shù)學分支打下堅實的基礎。課程大綱簡介02基本概念群是由一個集合以及定義在這個集合上的二元運算所組成的一個代數(shù)結(jié)構(gòu)。這個代數(shù)結(jié)構(gòu)滿足封閉性、結(jié)合性、有單位元和逆元。群的定義整數(shù)加法群、實數(shù)乘法群、矩陣乘法群等。群的例子群的性質(zhì)包括群的階、群的子群、群的同態(tài)等。群的性質(zhì)群環(huán)的定義環(huán)是由一個集合以及定義在這個集合上的兩種運算（加法和乘法）所組成的一個代數(shù)結(jié)構(gòu)。這個代數(shù)結(jié)構(gòu)滿足加法的交換律、結(jié)合律、有單位元；乘法滿足封閉性、結(jié)合性、有單位元和消去律。環(huán)的例子整數(shù)環(huán)、多項式環(huán)、矩陣環(huán)等。環(huán)的性質(zhì)環(huán)的性質(zhì)包括環(huán)的理想、環(huán)的子環(huán)、環(huán)的同態(tài)等。環(huán)域是一個特殊的代數(shù)閉環(huán)，即它是一個包含所有有限階元素的交換環(huán)，且其所有子環(huán)都是域。域的定義有理數(shù)域、實數(shù)域、復數(shù)域等。域的例子域的性質(zhì)包括域的子域、域的擴張等。域的性質(zhì)域模的定義模是一個特殊的加法群，它有一個額外的乘法運算滿足一定的性質(zhì)。模在代數(shù)中有廣泛的應用，特別是在同調(diào)代數(shù)和代數(shù)幾何中。模的例子自由模、歐幾里得模等。模的性質(zhì)模的性質(zhì)包括模的子模、模的同態(tài)等。模03群論封閉性群中任意兩個元素的乘積仍屬于該群。結(jié)合律群中任意三個元素的乘積滿足結(jié)合律。單位元存在群中存在一個元素，與群中任意元素的乘積仍為該元素本身。逆元存在群中任意非單位元素都存在一個逆元，與該元素的乘積為單位元。群的性質(zhì)同態(tài)兩個群之間的一個映射，滿足映射的乘法運算保持不變。同態(tài)定理如果存在一個滿同態(tài)，則原群與像群同構(gòu)。同構(gòu)兩個群之間存在一一映射，且該映射保持乘法運算。群的同態(tài)與同構(gòu)由一個元素生成的群。循環(huán)群群中任意兩個元素的乘積仍為該元素本身。交換群在集合的元素之間進行置換的群。置換群根據(jù)群中元素的個數(shù)是否有限來劃分。有限群與無限群群的結(jié)構(gòu)04環(huán)論123介紹環(huán)的基本定義，包括加法、乘法運算，單位元、零元素等基本概念，以及環(huán)的封閉性、結(jié)合律、交換律等基本性質(zhì)。環(huán)的定義與性質(zhì)定義子環(huán)的概念，并討論子環(huán)的性質(zhì)和判定條件。環(huán)的子環(huán)介紹環(huán)的同態(tài)和同構(gòu)的概念，并探討它們在環(huán)論中的重要性和應用。環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)環(huán)的性質(zhì)理想的定義與性質(zhì)介紹理想的定義，包括左理想、右理想、雙邊理想等，并討論理想的封閉性、運算性質(zhì)等。商環(huán)的定義與性質(zhì)介紹商環(huán)的概念，以及商環(huán)的加法、乘法運算和單位元、零元素等基本概念。商環(huán)與同態(tài)討論商環(huán)與同態(tài)的關(guān)系，以及商環(huán)在同態(tài)中的應用。理想與商環(huán)環(huán)的分解定理介紹環(huán)的分解定理，包括唯一分解定理、因子定理等，并探討它們在環(huán)論中的重要性和應用。整環(huán)與域介紹整環(huán)和域的概念，并討論整環(huán)和域的性質(zhì)和判定條件。素環(huán)與質(zhì)環(huán)介紹素環(huán)和質(zhì)環(huán)的概念，并討論它們的性質(zhì)和判定條件。環(huán)的分解05域論域的擴張域的擴張定義如果存在一個集合F，它包含一個子集K，滿足K對F的加法和乘法運算封閉，則稱K是F的一個子域。如果存在一個非平凡的有限子集，它與K中的元素通過加法和乘法運算封閉，則稱K是F的一個有限子域。域的擴張定理如果E是F的一個子集，且E中的元素都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上的一個多項式，那么E在F上形成一個子域。域的擴張性質(zhì)如果E是F的一個子集，且E中的元素都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上的一個不可約多項式，那么E在F上形成一個有限子域。有限域的定義如果一個域中元素的個數(shù)是有限的，那么這個域就稱為有限域。有限域的應用有限域在密碼學中有廣泛的應用，如RSA算法和ElGamal算法等。有限域的性質(zhì)有限域中的元素個數(shù)一定是某個素數(shù)的冪。有限域在復數(shù)域中，任何一個n次多項式至多有n個根（包括重根）。代數(shù)基本定理如果將多項式的系數(shù)看作是復平面上的點，那么這個多項式的零點就是這些點的垂直平分線。因此，代數(shù)基本定理可以解釋為：在復平面上，一組n個點最多只能確定n條不同的垂直平分線。幾何解釋域的幾何意義06應用與實例在公鑰密碼體制中，一個關(guān)鍵的步驟是找到一個適合的數(shù)學難題。例如，RSA算法基于大數(shù)因數(shù)分解問題，這是一個典型的代數(shù)問題。在Diffie-Hellman密鑰交換中，需要解決離散對數(shù)問題。這是目前已知的最有效的算法，基于代數(shù)數(shù)論和有限域理論。密碼學中的應用離散對數(shù)問題公鑰密碼體制線性碼線性碼是一類重要的糾錯碼，其生成矩陣和校驗矩陣都是線性方程組的解。這些矩陣的構(gòu)造和性質(zhì)都與代數(shù)理論緊密相關(guān)。高斯-若爾當消元法在編碼理論中，經(jīng)常使用高斯-若爾當消元法來求解線性方程組，這種方法在代數(shù)中也有廣泛的應用。編碼理論中的應用量子力學中的態(tài)空間在量子力學中，態(tài)空間是一個復的向量空間，其基底對應于可觀測物理量。這與代數(shù)學中的向量空間概念非常相似。晶體結(jié)構(gòu)和化學鍵在研究晶體結(jié)構(gòu)和化學鍵時，經(jīng)常需要用到群論的知識，如分子對稱性、點群和空間群等。這些概念在代數(shù)學中也有相應的定義和性質(zhì)。物理學中的應用07習題與解答1.1判斷題：若$a$是整數(shù)，則$a^2$也是整數(shù)。1.2選擇題：下列哪個是群？第1章習題及解答第1章習題及解答簡述群的基本性質(zhì)。1.3簡答題對。因為$a^2$的定義是兩個整數(shù)相乘，結(jié)果仍為整數(shù)。1.1答案1.2答案：（略）1.3答案：群的基本性質(zhì)包括封閉性、結(jié)合律和存在單位元。第1章習題及解答2.1判斷題：若$a$是整數(shù)，則$a^3$也是整數(shù)。2.2選擇題：下列哪個是環(huán)？第2章習題及解答2.3簡答題簡述環(huán)的基本性質(zhì)。要點一要點二2.1答案對。因為$a^3$的定義是三個整數(shù)相乘，結(jié)果仍為整數(shù)。第2章習題及解答VS2.2答案：（略）2.3答案：環(huán)的基本性質(zhì)包括封閉性、結(jié)合律、存在單位元和消去律。第2章習題及解答3.1判斷題：若$a$是實數(shù)，則$a^4$也是實數(shù)。3.2選擇題：下列哪個是域？第3