波的相干疊加

§3.1光的衍射現(xiàn)象一．常見現(xiàn)象波繞過障礙物繼續(xù)傳播，也稱繞射。光通過光學(xué)厚度不等的透明物體：

生物標(biāo)本、玻璃片上的水滴……..1)衍射光波使物體的幾何陰影失去清晰的輪廓，出現(xiàn)明暗相間的干涉條紋——衍射現(xiàn)象與某種復(fù)雜的干涉效應(yīng)密切相關(guān)。2)光束在物體上某一方向受到限制，則接收屏上的衍射圖形就在該方向展開，且限制越嚴(yán)，擴(kuò)展越烈。3)當(dāng)縫(或孔)寬d>1000λ時(shí),光表現(xiàn)出直線傳播特性當(dāng)d＝10λ－1000λ時(shí)，衍射現(xiàn)象明顯。當(dāng)d≈λ時(shí)，向光的散射過渡；當(dāng)d>λ出現(xiàn)衍射。衍射的三個(gè)特征:光的衍射現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)與光的直線傳播現(xiàn)象表觀上是矛盾的。如何解釋？只有從波動(dòng)的觀點(diǎn)才能對(duì)兩者作出統(tǒng)一的解釋?！?.2惠更斯－菲涅耳原理波前上的每一點(diǎn)都可以看作是發(fā)出球面子波的新波源，這些球面子波的包絡(luò)面構(gòu)成了下一時(shí)刻的新波面。一、惠更斯原理次波的傳播波前次波中心次波波的傳播過程，可以看作是次波中心不斷地衍生出新的次波的過程次波又可以產(chǎn)生新的振動(dòng)中心，繼續(xù)發(fā)出次波，使得光波不斷向前傳播。新的波面即是這些振動(dòng)中心發(fā)出的各個(gè)次波波面的包絡(luò)面。波前上的兩個(gè)點(diǎn)，即使是鄰近的，發(fā)出的次波也是不同的。嚴(yán)格地說，在波動(dòng)光學(xué)的范疇，是沒有“光線”或“光束”之類的概念的。惠更斯原理,可以由前一個(gè)時(shí)刻的波面位置求出后一刻波面位置。在各向同性的介質(zhì)中，波面的法線方向就是波的傳播方向。

惠更斯原理可以解決：波面不受阻條件下，均勻波的傳播方向問題。用次波的模型可很容易解釋光的衍射現(xiàn)象可以推導(dǎo)出折射和反射定律。能夠解釋晶體中雙折射問題。

不完備！

為什么？？？

波動(dòng)具有兩個(gè)性質(zhì)1）擾動(dòng)的傳播：一點(diǎn)的擾動(dòng)能夠引起其它點(diǎn)的擾動(dòng)，各點(diǎn)的擾動(dòng)是相互之間有聯(lián)系的。2）波具有周期性，能夠相干疊加?；菔显碇械摹白硬ǎɑ虼尾ǎ备拍罘从沉饲耙换拘再|(zhì)，是其成功之處。但由于人們當(dāng)時(shí)對(duì)波動(dòng)認(rèn)識(shí)的膚淺，把光看成象聲波那樣的縱波，更不知道光速是多少？因此，光波的后一種性質(zhì)（時(shí)空周期性）在其原理中沒有得到反映。缺少此點(diǎn)，即對(duì)各次波應(yīng)該如何疊加的問題，就不能給出令人滿意的回答。

——其實(shí)質(zhì)是幾何光學(xué)定理

二、惠更斯—菲涅耳原理

要解釋光衍射現(xiàn)象問題，實(shí)質(zhì)上就是要解決在不同方向上光的強(qiáng)度分配問題！1）惠更斯—菲涅耳原理的表述：未被障礙物擋住的波前上的每個(gè)點(diǎn)都可以看成是發(fā)出球面次波的波源，在障礙物后任一點(diǎn)的光振動(dòng)是這些球面次波在該點(diǎn)相干疊加的結(jié)果。

提供了一幅生動(dòng)、簡明、形象的物理圖像

首次提出了“次波相干疊加”的概念2）次波疊加的物理圖像

1.次波的相干疊加在任一光源S周圍作一封閉曲面Σ，S在場點(diǎn)P引起的振動(dòng)就是Σ上所有點(diǎn)發(fā)出的次波在P點(diǎn)引起的振動(dòng)的矢量和。波前Σ上取任一個(gè)次波中心Q，及Q點(diǎn)周圍一面積元dΣ，可以先求出該面積元發(fā)出的球面次波在場點(diǎn)P處引起的復(fù)振幅

瞳函數(shù)

球面波

次波中心面元面積

傾斜因子

將波前上所有次波中心發(fā)出的次波在P點(diǎn)的振動(dòng)疊加，即得到該波前發(fā)出的波傳到P點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)，即該波前發(fā)出的次波在P點(diǎn)引起的振動(dòng)。這就是惠更斯—菲涅耳原理。

2.

惠—菲原理的表達(dá)將波前上所有次波中心發(fā)出的次波在P點(diǎn)的振動(dòng)相干疊加，即可得到P點(diǎn)的振動(dòng)由于次波中心在波前上連續(xù)分布，因而疊加（求和）的過程就變?yōu)榍蠓e分的過程，得到惠更斯－菲涅耳衍射積分公式。是菲涅耳憑直覺根據(jù)惠更斯的思想得到的積分公式中K＝？傾斜因子F(θ0,θ)＝？曲面積分區(qū)域如何選??？3．菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式

基爾霍夫?qū)Ψ颇姆e分公式作了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證，得到以下結(jié)論：（1）確定了積分常數(shù)和傾斜因子的表達(dá)式（2）證明了積分區(qū)域選取的原則：不必對(duì)整個(gè)封閉曲面求積分，而只需對(duì)衍射障礙物（衍射屏）上開放區(qū)域求積分即可僅需要對(duì)區(qū)域Σ0，求積分即可，即僅對(duì)屏上透光區(qū)域求積分即可。取一個(gè)封閉曲面Σ=Σ0+Σ1+Σ2菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式

式中三、衍射的分類

根據(jù)衍射障礙物到光源和接收屏的距離分類:距離有限的，或至少一個(gè)是有限的，稱之為菲涅耳(Fresnel)衍射；距離無限的，即平行光入射、出射，稱之為夫瑯和費(fèi)(Fraunhofer)衍射。分類的目的，

是為了求解菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式

菲涅耳衍射夫瑯和費(fèi)衍射§3.3菲涅耳衍射（圓孔、圓屏）

一．衍射現(xiàn)象圓孔衍射：接收屏上可見同心圓環(huán)，接收屏沿軸向移動(dòng)，圓環(huán)中心明暗交替變化。圓屏衍射：接收屏上可見同心圓環(huán)，接收屏沿軸向移動(dòng)，圓環(huán)中心永遠(yuǎn)是亮點(diǎn)。

二．半波帶法分析菲涅耳圓孔衍射

設(shè)法求解菲涅耳—基爾霍夫衍射積分公式將積分近似化為求和將波前（球面）劃分為一系列的同心圓環(huán)帶，每一帶的中心到P點(diǎn)的距離依次相差半個(gè)波長。這些圓環(huán)帶稱為菲涅爾半波帶。助教聯(lián)系方式：周勇（物理學(xué)院博士研究生）郵箱：zy5227@Tel.波帶法中的次波在球面上，各次波波源初位相相等。相鄰半波帶發(fā)出的次波，到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，光程差為λ/2，相位差為π，相位相反，振動(dòng)方向相反，相互抵消。計(jì)算各個(gè)半波帶的面積SkP球冠面積ΔSMP中第m個(gè)半波帶的面積當(dāng)菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式為第m個(gè)半波帶發(fā)出的次波在P點(diǎn)的復(fù)振幅

可見，在P點(diǎn)處：

相鄰波帶，次波的位相相反；

m越大的波帶，振幅越小。取孔中心次波相位為0，Am為第m個(gè)半波帶發(fā)出的次波在P點(diǎn)的振幅相位通過來體現(xiàn)的！表明：波帶數(shù)n為奇數(shù)(為“+”)，亮點(diǎn)

n為偶數(shù)(為“-”)，暗點(diǎn)！圓屏（前n個(gè)半波帶被遮?。┳杂蓚鞑?無衍射屏情況)始終亮點(diǎn)總是亮點(diǎn)半波帶方程

半波帶奇偶性的數(shù)量關(guān)系為第k級(jí)波帶↑相對(duì)于b很小↓條紋數(shù)k的數(shù)值及奇偶性由b決定半波帶方程或物理意義：如果裝置的幾何尺寸給定就可以算出圓孔露出的半波帶的數(shù)目。圓孔露出的半波帶數(shù)目三．一般情形下的波帶

將每一個(gè)半波帶劃分為兩個(gè)，則相鄰波帶發(fā)出的次波在P點(diǎn)位相差為π/2，即第一個(gè)半波帶中的第一個(gè)波帶和第二個(gè)波帶的位相分別為π/4和3π/4；再將每一個(gè)進(jìn)一步細(xì)分，第一個(gè)半波帶中的四個(gè)波帶的位相差為π/4，位相依此為π/16，5π/16，9π/16，13π/16，……?？梢詫⑷魏我粋€(gè)半波帶進(jìn)一步細(xì)分為n個(gè)，得到更多的波帶，相鄰波帶間光程差為λ/2n，位相差為π/n。當(dāng)n很大時(shí)，位相差很小，用振幅矢量法，原來的每個(gè)半波帶的波矢可以變?yōu)橛蒼個(gè)小波矢組成的半圓。半波帶的進(jìn)一步劃分不是整數(shù)個(gè)半波帶如果最后一個(gè)不是整數(shù)個(gè)半波帶，也可以得到合振動(dòng)。菲涅耳圓孔衍射花樣四．波帶片

用半波帶將波面分割，然后只讓其中的奇數(shù)（或偶數(shù)）半波帶透光，即可制成波帶片。透過波帶片的光，在場點(diǎn)P處光程差依次為λ，位相相同，振動(dòng)方向也相同，合振動(dòng)大大增強(qiáng)，衍射后的光強(qiáng)大大增強(qiáng)。相當(dāng)于將光波匯聚到P點(diǎn)。一般情況下，可以認(rèn)為前面幾個(gè)半波帶的傾斜因子相差不大，即滿足近軸條件，所以他們發(fā)出的次波的振幅近似相等。任一波帶片都只適用于一個(gè)波長，其焦距是固定的。對(duì)于平行光，波帶片是平面的。除主焦點(diǎn)之外，還有許多次焦點(diǎn)。相差400倍！可見波帶片具有使光匯聚的作用

光強(qiáng)自由傳播時(shí)例：如果波帶片共有20個(gè)半波帶，則在P點(diǎn)的復(fù)振幅為：用于同步輻射軟x射線的波帶片加強(qiáng)筋↙黑白型正弦型§3.4

夫瑯和費(fèi)單縫衍射

衍射裝置

平行光入射，用凸透鏡成象于像方焦平面相當(dāng)于各點(diǎn)發(fā)出的次波匯聚于無窮遠(yuǎn)處。即是平行光的相干疊加。

衍射花樣在焦平面上匯聚（相遇）的光，是從狹縫發(fā)出的相互平行的次波衍射屏透鏡接收屏衍射花樣入射光不一定平行于光軸幾何像點(diǎn)衍射強(qiáng)度的分布一、振幅矢量法將波前N等分，每個(gè)面元寬度為a/N:第m個(gè)面元發(fā)出的次波的復(fù)振幅

:第m個(gè)面元發(fā)出的次波的光程相鄰兩單元次波的光程差相鄰兩單元次波的相位差沿θ方向的次波在接收屏上的合振動(dòng)在近軸條件下，忽略傾斜因子的影響各個(gè)單元沿不同方向的次波振幅相等因?yàn)槭瞧矫娌ㄈ肷?，各個(gè)面元的瞳函數(shù)相等各矢量長度之和

=圓弧長度振幅矢量求和N個(gè)矢量，每個(gè)依次轉(zhuǎn)過共轉(zhuǎn)過構(gòu)成一段圓弧的N條弦。成為圓弧合矢量就是θ=0時(shí)的合矢量震蕩衰減函數(shù)周期性函數(shù)↙各個(gè)參數(shù)的物理意義O點(diǎn)的光強(qiáng)對(duì)透鏡光心的張角幾何像點(diǎn)的復(fù)振幅二、積分方法

P(θ)點(diǎn)的次波來自同一方向，傾斜因子相同。不同方向的光，滿足近軸條件，傾斜因子為常數(shù)1

瞳函數(shù)為常數(shù)積分簡化狹縫上Q點(diǎn)單位長度上，發(fā)出的次波在幾何像點(diǎn)所引起的復(fù)振幅

通過整個(gè)狹縫的次波在幾何像點(diǎn)上復(fù)振幅

稱作單縫（單元）衍射因子

強(qiáng)度分布

幾何像點(diǎn)處的光強(qiáng)不同寬度狹縫的衍射花樣狹縫上下移動(dòng)，條紋不變。系統(tǒng)的特點(diǎn)是由透鏡決定的！問題：如果在入射方向上開很多狹縫，我們只考慮衍射，那么接受屏上光強(qiáng)如何變化？j=0j=1j′=0j′=1透鏡上下移動(dòng)，條紋相應(yīng)移動(dòng)。相互平行的狹縫，衍射條紋完全重合入射光與光軸不平行，光程差包括兩部分入射和出射光線在透鏡軸線同側(cè)取“+”，兩側(cè)取“—”衍射角都要從透鏡的光心算起！思考題：在一個(gè)夫瑯和費(fèi)單縫裝置中，如果讓單縫的寬度增大一倍，衍射光強(qiáng)增大了多少？為什么？？找找原因！極值點(diǎn)分布衍射花樣分布的特點(diǎn)中央主極大次極大衍射花樣的特點(diǎn)

1．極值點(diǎn)

極大值極小值次極大出現(xiàn)的位置極小值出現(xiàn)的位置超越方程↓讓分子等于零有↘為零對(duì)應(yīng)是中央主極大讓分子為零，即U=jπ第一次極大第二次極大極值點(diǎn)分布角距離極小值的位置當(dāng)角度很小時(shí)，2．亮條紋角寬度（相鄰暗條紋之間的角距離）零級(jí)主極大(或中央主極大)角寬度

其它次極大角寬度衍射的反比關(guān)系關(guān)于衍射反比關(guān)系的討論：當(dāng)θ很小時(shí)，近似有：類似于楊氏干涉條紋的間距公式單縫衍射縫寬的影響縫寬小于波長縫寬與光強(qiáng)分布兩種極限趨勢縫寬越大衍射越不明顯縫寬越小衍射越強(qiáng)烈單縫衍射的應(yīng)用1）Babinet原理（互補(bǔ)屏）也就是沒有衍射屏，相當(dāng)于自由傳播！

a透光部分積分b透光部分積分相當(dāng)于對(duì)整個(gè)空間積分平行光入射到透鏡，按幾何光學(xué)原理成象，除像點(diǎn)之外，處處復(fù)振幅為零。

細(xì)絲與狹縫的衍射花樣，除零級(jí)中央主極大外，處處相同。激光測徑儀原理若在自由波場中有一個(gè)透鏡，則光將匯聚成像，平行光匯聚成一個(gè)點(diǎn)像點(diǎn)之外，處處為零巴比涅原理除零級(jí)中央主極大外，光強(qiáng)分布處處相同

激光測徑儀原理2）激光測徑儀的原理測出第一個(gè)極大值的位置→算出角度→再由反比關(guān)系，就能給出絲直徑§3.5光學(xué)儀器的像分辯本領(lǐng)一、夫瑯和費(fèi)圓孔衍射

平行入射光，通過半徑為R的圓孔，匯聚在透鏡的像方焦平面上。圓孔邊界是二次曲線可利用極坐標(biāo)引入?yún)⒘看鷵Q其積分結(jié)果可以用一個(gè)級(jí)數(shù)J來表示J1(m)：一階貝塞爾函數(shù)

該級(jí)數(shù)稱之為AivryDisk的角半徑半角寬度衍射強(qiáng)度分布AivryDisk強(qiáng)度分布示意AivryDisk二．夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的特點(diǎn)

同心圓環(huán)，明暗交錯(cuò)，不等距。

中央主極大（零級(jí)斑）：Aivry斑，占總強(qiáng)度的84％，Aivry半角寬度Δθ0圓孔直徑為Ｄ，透鏡焦距f，則Aivry斑半徑Δl

愛里斑強(qiáng)度為極值的位置和相對(duì)強(qiáng)度極值中央極大第一極小第一主極大第二極小第二主極大sinθ

00.61λ/R0.81λ/R1.12λ/R1.33λ/RI/I。0.8400.017500.0045三、光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)仰望星空，為什么它們看起來大小差不多？平行光經(jīng)透鏡成象，由于衍射效應(yīng)，總有一個(gè)Aivry斑，而不是一個(gè)幾何點(diǎn)。兩束光，則有兩個(gè)Aivry斑。兩個(gè)物所成的Aivry斑如靠得很近，可能無法分辨是一個(gè),還是兩個(gè)。采用Rayleigh判據(jù)：兩光斑的角距離恰等于一個(gè)光斑的半角寬度時(shí)，為可以分辨的最小極限。望遠(yuǎn)鏡成像原理AivryDisk可分辨極限Rayleigh(瑞利判據(jù))恰好可以分辨!(角距離=半角寬)TheRayleighCriterionTheRayleighCriterion

Δθ↓，紫光？射線？電子？

愛里斑是光學(xué)衍射的極限，或者說光學(xué)儀器都要受到衍射極限(遠(yuǎn)場條件下)的限制！

近場光學(xué)—

可突破衍射極限！愛里斑的再討論作業(yè)1：調(diào)研電子顯微鏡工作原理