2023-2024學年華師版數(shù)學七年級下冊 7.2 二元一次方程組的解法

.2二元一次方程組的解法第1課時用代入法解未知數(shù)系數(shù)含1或-1的方程組1．會用代入法解二元一次方程組.2．初步體會解二元一次方程組的基本思想——“消元”.3．通過研究解決問題的方法，培養(yǎng)學生合作交流意識與探究精神.一、情境導入十一假期，有8個人去紅山公園玩，他們買門票共花了34元.每張成人票5元，每張兒童票3元.那么他們到底去了幾個成人、幾個兒童呢？同學們，你們能否用所學的方程知識解決呢？二、合作探究探究點一：代入消元法【類型一】用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)把下列方程寫成用含x的式子表示y的形式：（1）x﹣3y＝13；（2）3x+2y＝5；（3）5x﹣10y+15＝0．（4）4x﹣5y+6＝x+3y﹣4．解析：把x看做已知數(shù)求出y即可．解：（1）方程x﹣3y＝13，解得y＝；（2）方程3x+2y＝5，解得y＝；（3）5x﹣10y+15＝0，﹣10y＝﹣5x﹣15，解得y＝x+；（4）方程4x﹣5y+6＝x+3y﹣4，整理得3x﹣8y＝﹣10.解得y＝．方法總結：此題解題的關鍵是將一個未知數(shù)看做已知數(shù)求出另一個未知數(shù)．【類型二】用代入法解二元一次方程組用代入法解下列方程組：（1）（2）（3）（4）解析：方程組利用代入消元法求出解即可．解：（1）把①代入②，得2x+3（3x-6）=15，解得x=3，把x=3代入①，得y=9-6=3，所以方程組的解為；（2）由②得x=4+y③.把③代入①得3（4+y）+4y=19，解得y=1.把y=1代入③得x=4+1=5.所以方程組的解是；（3）由①得x＝1+3y③，把③代入②得1+3y+2y=6，解得y＝1，把y＝1代入③得：x＝4，所以方程組的解為；（4）由①得x＝2y+5③，把③代入②得4y+10﹣y＝4，解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入③得x＝1，則方程組的解為．方法總結：用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù),再利用代入法將二元一次方程轉化成一元一次方程，從而求出方程的解．探究點二：求待定系數(shù)的值.已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝7，,ax－by＝1))的解，則a－b的值為()A．1B．－1C．2D．3解析：把解代入原方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝7，,2a－b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，))所以a－b＝－1.故選B.方法總結：解這類題就是根據(jù)方程組解的定義求，將解代入方程組，得到關于字母系數(shù)的方程組，解方程組即可．三、板書設計回顧一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程組的解法，使得學生的探究有很好的認知基礎，探究顯得十分自然流暢．引導學生充分思考和體驗轉化與化歸思想，增強學生的觀察歸納能力，提高學生的學習能力.7.2二元一次方程組的解法第2課時用代入法解未知數(shù)系數(shù)不含1或-1的方程組會用代入法解未知數(shù)系數(shù)絕對值不為1的二元一次方程組．(重點)一、情境導入甲乙兩人從相距36千米的兩地相向而行．如果甲比乙先走2小時，那么在乙出發(fā)后3小時相遇；如果乙比甲先走2小時，那么在甲出發(fā)后2.5小時相遇．甲、乙兩人每小時各走多少千米？我們可以設甲，乙速度分別為x，y千米/時，得到方程組可是這個方程組怎么解呢？有幾種解法？二、合作探究探究點一：用代入法解二元一次方程組用代入法解下列方程組：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－19，①,x＋5y＝1；②))（2）（3）(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1，①,\f(y＋1,4)＝\f(x＋2,3).②)) 解析：對于方程組(1)，比較兩個方程系數(shù)的特點可知應將方程②變形為x＝1－5y，然后代入①求解；對于方程組（2）可將方程①變形為x=然后代入②求解；對于方程組(3)，比較兩個方程系數(shù)的特點可知應將方程①變形為然后代入②求解；對于方程組(4)，應將方程組變形為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1，③,4x－3y＝－5，④))觀察③和④中未知數(shù)的系數(shù)，絕對值最小的是2，一般應選取方程③變形，得x＝eq\f(3y＋1,2).解：(1)由②，得x＝1－5y.③把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.把y＝3代入③，得x＝－14.所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－14，,y＝3；))（2）由①，得x=③把③代入②，得3×-2y=5,=5,得y=2.把y=2代入③得x=3.所以原方程組的解是（3）由①，得③，把③代入②，得4（3y+2）-7y=13,12y+8-7y=13,5y=5,y=1,把y=1代入③得x=5.所以原方程組的解是.(4)將原方程組整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝1，③,4x－3y＝－5.④))由③，得x＝eq\f(3y＋1,2).⑤把⑤代入④，得2(3y＋1)-3y＝-5，3y＝-7，y＝-eq\f(7,3).把y＝-eq\f(7,3)代入⑤，得x＝-3.所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－\f(7,3).))方法總結：用代入法解二元一次方程組，關鍵是觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單的或代入后容易消元的方程進行變形．探究點二：整體代入法解二元一次方程組解方程下列組：(1)(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,3)＝2y，①,2（x＋1）－y＝11.②))解析：分別把（x-2），(x＋1)看作一個整體代入求解．解：（1）把（x-2）看作一個整體代入②，得2（y-1）+（y-1）=5，解得y=把y=代入①得：x-2=-1，解得x=.所以方程組的解是；(2)由①，得x＋1＝6y.把x＋1＝6y代入②，得2×6y－y＝11.解得y＝1.把y＝1代入①，得eq\f(x＋1,3)＝2×1，x＝5.所以原方程組的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝1.))方法總結：當所給的方程組比較復雜時，應先化簡，但若兩方程中含有未知數(shù)的部分相等時，可把這一部分看作一個整體求解．三、板書設計解二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(基本思路是“消元”,代入法解二元一次方程組的一般步驟))回顧代入法解二元一次方程組的解法，借此探索系數(shù)不為1的二元一次方程組的解法，使得學生的探究有很好的認知基礎，探究顯得十分自然流暢．引導學生充分思考，體驗并掌握整體代入的思想，增強學生的觀察歸納能力，提高學生的學習能力.7.2二元一次方程組的解法第3課時用加減法解同一未知數(shù)系數(shù)絕對值相同的方程組1.熟練掌握加減消元法的基本步驟，提高基本運算能力.2.通過探究，找出用加減法消元過程的規(guī)律和方法.一、問題引入上節(jié)課我們學習了用代入消元法解二元一次方程組，那么如何解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝－1，①,2x－3y＝5②))呢？1．用代入法解(消x)方程組．2．解完后思考：用“整體代換”的思想把2x作為一個整體代入消元求解．3．還有沒有更簡單的解法？由x的系數(shù)相等，是否可以考慮①－②，從而消去x求解？4．思考：(1)兩方程相減的依據(jù)是什么？(2)目的是什么？(3)相減時要特別注意什么？二、合作探究探究點一：用加減消元法解二元一次方程組用加減消元法解下列方程組：解析：觀察（1）中兩式x的系數(shù)相同，則①-②可消去x；（2）中兩式y(tǒng)的系數(shù)互為相反數(shù)，則①+②可消去y;（3）中兩式x的系數(shù)互為相反數(shù)，則①+②可消去x.解：（1）由①-②得8y=8,解得y=1.將y=1代入①式得x=1.所以原方程組的解為.（2）由①+②得8x=16,解得x=2;將x=2代入①式得y=0；所以原方程組的解為；（3）由①+②得8y=24,解得y=3;將y=3代入①式得x=6；所以原方程組的解為.方法總結：用加減消元法解二元一次方程組時，決定消去哪個未知數(shù)很重要，解題的關鍵是觀察兩個方程相同未知數(shù)的系數(shù)關系，利用加減消元法求解．探究點二：已知方程的解，求方程的系數(shù)已知關于x,y的方程組的解為，求a，b的值.解析：把解代入原方程組得由①+②得=-9.解得b=6.將b=6代入①式得a=.所以解得.方法總結：解這類題就是根據(jù)方程組解的定義求，將解代入方程組，得到關于字母系數(shù)的方程組，解方程組即可．探究點三：同解方程組已知關于x、y的方程組和的解相同，則（a+b）2的值.解析：根據(jù)同解方程組的概念，將第一個方程組中與第二個方程組中的重新組合，解出方程組；再代入另外兩個方程，組合成方程組，求出相應的字母a,b的值，從而解決問題.解：聯(lián)立得①+②得5x=10.解得x=2.把x=2代入①得y=-2，把代入并整理得解得.則原式=（3-1）2=4．方法總結：根據(jù)同解方程組的概念，將方程組重新分配，解出其中一個方程組后，再將解代入另外兩個方程，從而求出相應的字母值.三、板書設計用加減法解同一未知數(shù)系數(shù)絕對值相同的方程組步驟：①使同一個未知數(shù)的系數(shù)相等則兩式相減；使同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)則兩式相加，從而達到消去一個未知數(shù)的目的，使方程變?yōu)橐辉淮畏匠?；②解一元一次方程；③求另一個未知數(shù)的值，得方程組的解．進一步理解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數(shù)學研究中“化未知為已知”的化歸思想．選擇恰當?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M，培養(yǎng)學生的觀察、分析問題的能力 7.2二元一次方程組的解法第4課時用加減法解未知數(shù)系數(shù)的絕對值不同的方程組1.會用加減法解未知數(shù)系數(shù)的絕對值不同的方程組．(重點)2．總結出解二元一次方程組的一般步驟．(難點)一、情境導入一種飲料有兩種包裝，2大盒、4小盒共裝88瓶，3大盒、2小盒共裝84瓶，大盒與小盒每盒各裝多少瓶？設大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，則可列方程組為___________.如何用加減消元法解上述方程組？二、合作探究探究點一：用加減消元法解二元一次方程組用加減消元法解下列方程組：（1）(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝3，①,3x－2y＝15；②))(3)．(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－0.3（y－2）＝\f(x＋1,5)，①,\f(y－1,4)＝\f(4x＋9,20)－1.②))解析：（1）觀察x，y的兩組系數(shù)發(fā)現(xiàn)兩個方程中x的系數(shù)存在2倍關系，可以將方程①的兩邊同乘以2，與方程②中的x系數(shù)相同，兩式相減即可消去x；(2)觀察x，y的兩組系數(shù)，x的系數(shù)的最小公倍數(shù)是12，y的系數(shù)的最小公倍數(shù)是6，所以選擇消去y，把方程①的兩邊同乘以2，得8x＋6y＝6③，把方程②的兩邊同乘以3，得9x－6y＝45④，把③與④相加就可以消去y；（3）先化簡方程組,得，再把方程③與方程④相減，就可以消去x；(4)先化簡方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝14，③,4x－5y＝6.④))觀察其系數(shù)，方程④中x的系數(shù)恰好是方程③中x的系數(shù)的2倍，所以應選擇消去x，把方程③兩邊都乘以2，得4x＋6y＝28⑤，再把方程⑤與方程④相減，就可以消去x.解：（1）由①×2得：4x-10y=-6③，將②-③，得13y=26，即y=2，將y=2代入①，得x=3.5，所以方程組的解為；(2)①×2，得8x＋6y＝6.③②×3，得9x－6y＝45.④③＋④，得17x＝51，x＝3.把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3.所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－3；))（3）化簡方程組，得③-④得8y=16,y=2,把y=2代入③得x=2.所以方程組的解為(4)化簡方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝14，③,4x－5y＝6.④))③×2，得4x＋6y＝28.⑤⑤－④，得11y＝22，y＝2.把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，x＝4.所以原方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2.))方法總結：用加減消元法解二元一次方程組時，決定消去哪個未知數(shù)很重要，一般選擇消去兩個方程中系數(shù)的最小公倍數(shù)的絕對值較小的未知數(shù)．復雜的方程組一定要先化簡，再觀察思考消元方案．探究點二：用加減法整體代入求值【類型一】由整體思想求代數(shù)式的值已知x、y滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝5，,3x＋y＝－1，))求代數(shù)式（x+y）(x-y)的值．解析：觀察兩個方程的系數(shù)，可知兩方程相減得2x－2y＝－6，從而求出x－y的值；兩方程相加得4x+4y＝4，從而求出x+y=1．解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝5，①,3x＋y＝－1，②))由②－①，得2x－2y＝－1－5，得x－y＝-3③.由②+①，得4x+4y＝4，得x+y=1④.所以代數(shù)式（x+y）(x-y)=1×（-3）=-3.方法總結：解題的關鍵是觀察兩個方程相同未知數(shù)的系數(shù)關系，利用加減消元法求解．【類型二】由整體思想求參數(shù)字母的值已知方程組，x與y的值之和等于2，則k的值為．解析：觀察兩個方程的系數(shù)，可知兩方程相加得8x+8y＝4k+2，從而求出x+y=,由x與y的值之和等于2列出方程，從而求出k的值.解：，由①+②得8x+8y＝4k+2，即x+y=,代入x+y=2,得=2.解得：k=.方法總結：利用整體思想用含參數(shù)的代數(shù)表示出已知代數(shù)式，根據(jù)兩式相等得出方程，從而求出參數(shù)的值.探究點三：構造二元一次方程組求值已知xm－n＋1y與－2xn－1y3m－2n－5是同類項，求m和n的值．解析：根據(jù)同類項的概念，可列出含字母m和n的方程組，從而求出m和n.解：因為xm－n＋1y與－2xn－1y3m－2n－5是同類項，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＋1＝n－1，①,3m－2n－5＝1.②))整理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2n＋2＝0，③,3m－2n－6＝0.④))④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.所以當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝3))時，xm－n＋1y與－2xn－1y3m－2n－5是同類項．方法總結：解這類題，就是根據(jù)同類項的定義，利用相同字母的指數(shù)分別相等，列方程組求字母的值．三、板書設計用加減法解二元一次方程組的步驟：①變形，使某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等；②加減消元；③解一元一次方程；④求另一個未知數(shù)的值，得方程組的解．進一步理解用加減法解二元一次方程組的“消元”思想，從系數(shù)絕對值相等的方程組，轉化為系數(shù)為任意數(shù)，進一步體會數(shù)學研究中“化未知為已知”的化歸思想．選擇恰當?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M，培養(yǎng)學生的觀察、分析問題的能力.7.2二元一次方程組的解法第5課時二元一次方程組與實際問題能根據(jù)具體問題的數(shù)量關系，會用二元一次方程組解決簡單的實際問題．(重點、難點)一、情境導入古算題：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．問有幾客幾房中？”題目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每間房住7人，就會有7人沒地方??；若每間房住9人，就會空一間房．問有多少間房？多少客人？你能解答這個問題嗎？二、合作探究探究點一：利用二元一次方程組解決實際問題【類型一】和差倍分問題某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩種貨物應各裝多少噸？解析：已知量：(1)甲種貨物每噸體積為6立方米；(2)乙種貨物每噸體積為2立方米；(3)船的載重量為300噸；(4)船的容積為1200立方米．未知量：甲、乙兩種貨物應裝的質量各為多少噸．若以x、y表示它們的噸數(shù)，則甲種貨物的體積為6x立方米，乙種貨物的體積為2y立方米．相等關系：“充分利用這艘船的載重量和容積”的意思是“貨物的總質量等于船的載重量”且“貨物的體積等于船的容積”．即甲種貨物質量x＋乙種貨物質量y＝船的總載重量300甲種貨物體積6x＋乙種貨物體積2y＝船的總容積1200解：設甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸．由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝300，,6x＋2y＝1200，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝150，,y＝150.))答：甲、乙兩種貨物各裝150噸．方法總結：列方程組解應用題一般都要經(jīng)歷“審、設、找、列、解、答”這六個步驟，其關鍵在于審清題意，找相等關系．設未知數(shù)時，一般是求什么，設什么，并且所列方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相等．【類型二】變化率問題為了解決民工子女入學難的問題，我市建立了一套進城民工子女就學的保障機制，其中一項就是免交“借讀費”．據(jù)統(tǒng)計，去年秋季有5000名民工子女進入主城區(qū)中小學學習，預測今年秋季進入主城區(qū)中小學學習的民工子女將比去年有所增加，其中小學增加20%，中學增加30%，這樣今年秋季將新增1160名民工子女在主城區(qū)中小學學習．(1)如果按小學每年收“借讀費”500元、中學每年收“借讀費”1000元計算，求今年秋季新增的1160名中小學生共免收多少“借讀費”；(2)如果小學每40名學生配備2名教師，中學每40名學生配備3名教師，按今年秋季入學后，民工子女在主城區(qū)中小學就讀的學生人數(shù)計算，一共需配備多少名中小學教師？解析：解決此題的關鍵是求出今年秋季入學的學生中，小學和初中各有民工子女多少人．欲求解這個問題，先要求出去年秋季入學的學生中，小學和初中各有民工子女多少人．解：(1)設去年秋季在主城區(qū)小學學習的民工子女有x人，在主城區(qū)中學學習的民工子女有y人．則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5000，,20%x＋30%y＝1160，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3400，,y＝1600.))20%x＝680，30%y＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(萬元)．答：今年秋季新增的1160名中小學生共免收82萬元“借讀費”；(2)今年秋季入學后，在小學就讀的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中學就讀的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配備的中小學教師(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．答：一共需配備360名中小學教師．方法總結：在解決增長相關的問題中，應注意原來的量與增加后的量之間的換算關系：增長率＝(增長后的量－原量)÷原量．【類型三】方案選擇問題某物流公司計劃用兩種車型運輸救災物資，已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計劃同時租用A型車a輛，B型車b