線性代數及其應用助學系統(tǒng)節(jié)矩陣基本運算

一、矩陣的線性運算二、矩陣乘法第2.2節(jié)矩陣的基本運算三、矩陣的轉置四、方陣的冪五、方陣的行列式六、方陣的跡稱為矩陣A與B的和.

記作1.矩陣加法一、矩陣的線性運算設矩陣的減法定義為(1)A+B=B+A;(2)(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+O=O+A=A;(4)A-A=A+(-A)=O，其中A,B,C和零矩陣O是同型矩陣.矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律：解(2)例1設2.矩陣的數乘定義1

數k與矩陣A的乘積記作kA，定義為矩陣的數乘滿足下列運算規(guī)律：(1)k(A+B)=kA+kB;(2)(k+h)A=kA+hA;(3)k(hA)=(kh)A;(4)1A=A，其中A,B為m×n矩陣,k,h為數.例2設解解例3如果矩陣X滿足二、矩陣乘法

1.引例

某工廠由車間I、車間II、車間III生產甲、乙兩種商品.三個車間一天內生產甲、乙產品的數量矩陣及甲、乙產品的單價和單位利潤矩陣分別為試將該廠三個車間一天內各自的總產值和總利潤用矩陣表示出來.解

車間I的總產值

=

甲產品生產數量×甲產品單價+乙產品生產數量×乙產品單價

=

120×50

+

200×40;車間I的總利潤

=

甲產品生產數量×甲產品單位利潤+乙產品生產數量×乙產品單位利潤

=

120×20

+

200×15.甲乙車間I車間II車間III甲產品乙產品單價利潤三個車間一天內各自的總產值和總利潤矩陣為即甲產品乙產品單價利潤車間I車間II車間III甲乙車間I車間II車間III2.乘法定義兩個矩陣相乘的規(guī)則可以直觀地表示如下：設稱為A與B的乘積，其中記作C=AB.解注只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘.例4注

一般地，矩陣的乘法不滿足交換律，即

AB≠BA.解如果有矩陣A,B滿足AB=BA,則稱A,B是可交換矩陣.例5設求AB和BA.例如可交換的.例6

設，求所有與A可交換的矩陣.解

設

與A可交換,則

由矩陣相等的定義,有解之得x21=0,

x11=x22.取x11=x22=a，x12=b,可得所有與A可交換的矩陣(a,b為任意常數).例7

設矩陣解

顯然AO=O；注

①兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣；②如果AB=O,不能斷定A或B一定是零矩陣.計算AO和AB.解注由AB=AC

不能推出B=C.例8設計算AB,AC.(1)(AB)C=A(BC);(2)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)k(AB)=(kA)B=A(kB)(其中k為數).3.矩陣乘法的運算規(guī)律注

①A為對稱矩陣②A為反對稱矩陣三、矩陣的轉置

1.定義

例如稱為A的轉置矩陣，簡稱A的轉置，記作AT.設矩陣對于多個矩陣相乘，有即BTAT

=(AB)T.(1)(AT)T

=A；(2)(A+B)T

=AT+BT；證(4)設2.運算規(guī)律(3)(kA)T

=kAT；(4)(AB)T

=BTAT.

設的一般項為解方法1方法2例9例10

設A,B是n階對稱矩陣.證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA.證必要性充分性因為AB=BA,所以即AB為對稱矩陣.因為AB是對稱矩陣，所以1.

定義的k次冪.規(guī)定

A0

=E.(1)AkAl=Ak+1；

(2)

(Ak)l=Akl，其中k,l為正整數.四、方陣的冪2.運算律注

①因為矩陣乘法一般不滿足交換律，所以對于兩個n

階方陣A與B，一般說來(AB)k

≠AkBk,即設A是一個n階方陣，k為正整數,②若A2=A,稱A為冪等矩陣；若Ak=O，稱A為冪零矩陣.

稱為A．例11設解推斷An=?由數學歸納法證明.3.矩陣多項式

為關于A的矩陣多項式.例12解定義

設為x的多項式，A為n階方陣，E為n階單位矩陣，稱例13

已知,解設

其中于是有例14

某高校為促進計算機的普及，對教師進行分批脫產培訓.現有教師600人，其中參加培訓的100人，每年從沒有參加培訓的教師中抽取1/5參加培訓,參加培訓的教師中有3/5畢業(yè)返回工作崗位.若教師總人數不變，問1年后在崗教師和在培訓教師各有多少人？2年以后又如何？解

依題意設1年后的人員結構為

2年后的人員結構為類似地可以求出k年以后的情形：

由n

階方陣A的元素按原來的位置構成的行列式，稱為方陣A的行列式.記作|A|或detA.注矩陣與行列式是兩個不同的概念，n階矩陣是n2個數按一定方式排成的數表，而n階行列式則是這些數按一定的運算法則所確定的一個數.矩陣A行列式|A|五、方陣的行列式1.定義2.性質注

對n階矩陣A,B，一般AB不等于BA，但總有：一般地,有例15設A,B均為3