高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第七章 立體幾何與空間向量 第1節(jié)　空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

第1節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖考試要求1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖；3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.知

識

梳

理1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相_______且_______多邊形互相_______且_______側(cè)棱______________相交于_______，但不一定相等延長線交于_______側(cè)面形狀___________________________________平行全等平行相似平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，_________于底面相交于_______延長線交于_______

軸截面_____________________________________側(cè)面展開圖_____________________

一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)垂直2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用___________畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為______________，z′軸與x′軸、y′軸所在平面_______.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別__________坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度_______，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼腳______.斜二測45°(或135°)垂直平行于不變一半3.三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的_______方、正左方、_______方觀察幾何體畫出的輪廓線.(2)三視圖的畫法①基本要求：長對正，___________，寬相等.②在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.正前正上高平齊[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖 (1)球的三視圖都是半徑相等的圓. (2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形. (3)水平放置的圓臺的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形. (4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形.2.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”.在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的虛線.診

斷

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(

)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)(3)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(

)(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.(

)解析(1)反例：由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件，但不是棱柱.(2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐.(3)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，把x，y軸畫成相交成45°或135°，平行于x軸的線段還平行于x軸，平行于y軸的線段還平行于y軸，所以∠A可能為45°也可能為135°.(4)球的三視圖均相同，而圓錐的正視圖和側(cè)視圖相同，且為等腰三角形，

其俯視圖為圓心和圓，正方體的三視圖不一定相同.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×2.(新教材必修第二冊P112T5改編)一個菱形的邊長為4cm，一內(nèi)角為60°，用斜二測畫法畫出的這個菱形的直觀圖的面積為(

)答案B3.(老教材必修2P10B組T1改編)如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是(

)A.棱臺

B.四棱柱C.五棱柱

D.六棱柱解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.答案

C4.(2020·衡水中學(xué)聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈、長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”已知該楔體的正視圖和俯視圖如圖中粗實(shí)線所示，則該楔體的側(cè)視圖的周長為(

)答案C5.(2019·濟(jì)寧一中月考)如圖為某個幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這個幾何體為(

)A.圓錐 B.三棱椎C.三棱柱

D.三棱臺解析三由視圖可知，該幾何體是一個橫放的三棱柱，故選C.答案C6.(2018·全國Ⅲ卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(

)解析由題意知，在咬合時帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A.答案

A考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析

(1)①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時才是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.(2)(多選題)下列說法正確的是(

)A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B.在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱C.存在每個面都是直角三角形的四面體D.棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)(2)A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；B正確，因?yàn)閮蓚€過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；C正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形；D正確，由棱臺的概念可知.答案

(1)A

(2)BCD規(guī)律方法1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例.2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.【訓(xùn)練1】

下列命題正確的是(

)A.兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形解析如圖所示，可排除A，B選項(xiàng).只有截面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分.答案C考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖

多維探究角度1由幾何體的直觀圖判斷三視圖答案B規(guī)律方法由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見幾何體的三視圖.角度2由三視圖判斷幾何體【例2－2】

(2018·全國Ⅰ卷)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(

)答案B規(guī)律方法由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.【訓(xùn)練2】(1)(角度1)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為(

)解析(1)如圖所示，過點(diǎn)A，E，C1的截面為AEC1F，則剩余幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)C中的圖形.連接MN，則M到N的路徑中，最短路徑的長度為MN，在△OMN中，由余弦定理得答案(1)C

(2)D考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖【例3】

已知正三角形ABC的邊長為