6.5正態(tài)分布（課件）-高二數(shù)學(xué)（北師大版2019選擇性）

6.5正態(tài)分布

二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p).若X~B(n,p)，則有二項分布的均值與方差：二點分布是特殊的二項分布.

E(X)=

,D(X)=

.npnp(1-p)溫故知新

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X=k}發(fā)生的概率為超幾何分布：X01…mP…稱分布列為超幾何分布知識回顧問題1：離散型隨機變量是什么？離散型隨機變量：可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量。問題2：下列隨機變量哪個是離散型隨機變量：(1)擲一枚骰子一次，用X表示所得點數(shù)；(2)白熾燈的使用時間．現(xiàn)實中,除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機變量外,還有大量問題中的隨機變量不是離散的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實軸,但取一點的概率為0,我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量。溫故知新

思考

怎樣描述這樣的隨機變量的分布情況呢？問題提出問題引入問題：自動流水線包裝的食鹽，每袋標準質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素，任意取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標準質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差(實際質(zhì)量減去標準質(zhì)量).用X表示這種誤差，則X是一個連續(xù)型隨機變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X的觀測值如下：

頻率直方圖最大值最小值1.求極差2.確定組距和組數(shù)（6組）3.將數(shù)據(jù)分組4.列頻率分布表5.畫頻率分布直方圖

問題引入問題引入第四步：列出頻率分布表區(qū)間號區(qū)間頻數(shù)頻率累積頻率1[-6,-4)30.030.030.0152[-4,-2)160.160.190.083[-2,0)340.340.530.174[0,2)310.310.840.1555[2,4）130.130.970.0656[4,6)30.0310.015問題引入頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積之和為1.0-6-420-2頻率/組距0.050.100.150.20X46中間高、兩邊低

左右大致對稱

觀測誤差有正有負;并大致對稱地分布在X=0的兩側(cè);小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.（1）問題引入

隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線，如圖(2)所示.頻率組距（2）PX-60-4-200.150.05（3）0.100.20426X根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用圖(3)中的鐘形曲線(曲線與水平軸之間的區(qū)域的面積為1)來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2,-1]內(nèi)的概率，可用圖中黃色陰影部分的面積表示.產(chǎn)品尺寸(mm)總體密度曲線總體密度曲線:

樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線．它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積．高斯實際生活中許多類似的隨機現(xiàn)象：德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布的曲線.,,.,,.14.2?的某一球槽內(nèi)最后掉入高爾頓板下方與層層小木塊碰撞程中小球在下落過通道口落下上方的讓一個小球從高爾頓板前面擋有一塊玻璃隙作為通道空小木塊之間留有適當?shù)哪緣K形小柱互平行但相互錯開的圓排相在一塊木板上釘上若干圖板示意所示的就是一塊高爾頓圖你見過高爾頓板嗎-高爾頓板試驗高爾頓板模型與試驗高爾頓板模型與試驗高爾頓板實驗.swf11頻率組距以球槽的編號為橫坐標，以小球落入各個球槽內(nèi)的頻率值為縱坐標，可以畫出“頻率分布直方圖”。隨著重復(fù)次數(shù)的增加，直方圖的形狀會越來越像一條“鐘形”曲線?？傮w密度曲線0YXxyO分布密度函數(shù)圖像

,這一類隨機變量X的分布密度(函數(shù))稱為正態(tài)分布密度(函數(shù)),簡稱正態(tài)分布,對應(yīng)的圖像為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.定義抽象概括分布密度函數(shù)解析式正態(tài)分布是最常見、最重要的連續(xù)型隨機變量的分布，是刻畫誤差分布的重要模型，因此也稱為誤差模型.正態(tài)總體的函數(shù)表示式當μ=0，σ=1時標準正態(tài)總體的函數(shù)表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1標準正態(tài)曲線（1）當=時,函數(shù)值為最大.(3)的圖象關(guān)于對稱.（2）的值域為

（4）當∈時為增函數(shù).當∈時為減函數(shù).012-1-2xy-33μ=0σ=1標準正態(tài)曲線μ（－∞，μ]（μ，+∞）正態(tài)總體的函數(shù)表示式=μ練習(xí)、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（）

A.B.C.

D.B

顯然，對任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2).

特別地，當μ=0,σ=1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.f(x)xμaA圖(4)BxbO

若X~N(μ,σ2)，則如圖(4)所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.正態(tài)分布的定義在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標；

在測量中，測量結(jié)果；

在生物學(xué)中，同一群體的某一特征；……；

在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位；

總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位。

經(jīng)驗表明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布。問：什么樣的隨機變量服從正態(tài)分布呢？正態(tài)曲線的性質(zhì)012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱.

正態(tài)曲線的性質(zhì)（4）曲線與x軸之間的面積為1（3）曲線在x=μ處達到峰值(最高點)方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示

3

1

2σ=0.5μ=

-1μ=0

μ=

1若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)；均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示

=0.5=1=2μ=0

若固定,大時,曲線矮而胖；小時,曲線瘦而高,故稱為形狀參數(shù)。σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.（5）當x<μ時,曲線上升;當x>μ時,曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線,向它無限靠近.正態(tài)曲線的性質(zhì)動畫(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(3)曲線與x軸之間的面積為1；(4)當μ一定時，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.正態(tài)曲線的性質(zhì)：(5)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度.在實際問題中，參數(shù)μ,σ可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計，故有(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱，且在x=μ處取得最大值；正態(tài)曲線的性質(zhì)總結(jié)~1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．(

)(2)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱．(

)(3)在正態(tài)分布中，參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去估計；σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標準差去估計．(

)(4)正態(tài)曲線的對稱軸的位置由μ確定，曲線形狀由σ確定．(

)×√√√

解析：由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，知μ1<μ2＝μ3；σ的大小決定曲線的形狀，σ越大，總體分布越分散，曲線越“矮胖”；σ越小，總體分布越集中，曲線越“瘦高”，則σ1＝σ2<σ3.故選D.答案：D3．正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱，則它所對應(yīng)的正態(tài)總體均值為(

)A．1B．－1C．0D．不確定解析：由正態(tài)曲線性質(zhì)知EX＝0.故選C.答案：C4．設(shè)隨機變量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，則c＝________．解析：由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱的特點可知c＝μ.答案：μ012-1-2xy-334μ=10.51-aa1-a1-2a5.若X～N(2,32)，則E(X)=______，D(X)=_______.

29326.X～N(μ,σ2)，若E(X)=3，σ(X)=2，則μ=______，σ=______.

7.若X～N(1,σ2)，且P(X<0)=a，則(1)P(X>1)=_______；(2)P(X>0)=______；(3)P(X>2)=______；(4)P(X<2)=______；(5)P(0<X<2)=______；(6)P(0<X<1)=______.0.5-a正態(tài)曲線下的面積規(guī)律X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1。對稱區(qū)域面積相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

正態(tài)曲線下的面積規(guī)律對稱區(qū)域面積相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x2,x1)=S(-x1,-x2)

4、特殊區(qū)間的概率:m-am+ax=μ若X~N,則對于任何實數(shù)a>0,概率

為如圖中的陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減少而變大。這說明越小,落在區(qū)間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別地有

我們從上圖看到，正態(tài)總體在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。

由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^5％），通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件。1.設(shè)隨機變量X~N(0,1)，則X的密度函數(shù)為________________，P(X≤0)=_____，P(|X|≤1)=_______，P(X≤1)=________，P(X>1)=________.0.50.68270.841350.15865O1-1xyμ=0

2.設(shè)隨機變量X~N(0,22),隨機變量Y~N(0,32),畫出分布密度曲線草圖,并指出P(X≤-2)與P(X≤2)的關(guān)系,以及P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系.O1-1xyσ=3σ=22-2解：作出分布密度曲線如圖示，由圖可知鞏固提升3.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),若P(ξ<2)=P(ξ>6)=0.15,則P(2≤ξ<4)等于

.

答案:0.354.一次考試中,某班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布N(100,102),則該班數(shù)學(xué)成績的及格率可估計為

(成績達到90分為及格)(參考數(shù)據(jù):P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68).

答案:84%5.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),且P(ξ<2)=0.6,則P(0<ξ<1)=

.

解析:因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),所以曲線關(guān)于直線x=1對稱.因為P(ξ<2)=0.6,所以P(0<ξ<1)=0.6-0.5=0.1.答案:0.16.某班有50名學(xué)生,一次考試的數(shù)學(xué)成績ξ服從正態(tài)分布N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為

.

答案:10

例2某設(shè)備在正常運行時，產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，其參數(shù)分別為μ=500g，σ=lg.為了檢查設(shè)備運行是否正常，質(zhì)量檢查員需要隨機地抽取產(chǎn)品，測量其質(zhì)量.當檢查員隨機地抽取一個產(chǎn)品，測得其質(zhì)量為504g時，他立即要求停止生產(chǎn)，檢査設(shè)備，他的決定是否有道理？解

檢查員的決定是有道理的，理由如下：

當該設(shè)備正常運行時，產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，其參數(shù)分別為；z=500g,σ=1g,所以根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知產(chǎn)品質(zhì)量在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ],即(497,503］之間的概率約為99.7%,而產(chǎn)品的質(zhì)量超出這個范圍的概率只有0.3%,這是一個幾乎不可能發(fā)生的事件.但是，檢查員隨機抽取的產(chǎn)品為504g,這說明設(shè)備的運行可能不正常，因此檢查員的決定是有道理的.例3.在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績X服從正態(tài)分布X～N(90,100).(1)求考試成績X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少?(2)若此次考試共有2000名考生,試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人?解:依題意,X～N(90,100),即考試成績在(80,100)間的概率為0.6826.考試成績在(80,100)間的考生大約有課堂練習(xí)1.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（m，4），且P（X＞2）=0.5，則實數(shù)m的值為（）.A.1B.2C.3D.4B2.隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1,5），P（ξ≥2）=0.3，則P（0＜ξ＜1）=（）.A.0.7B.0.4C.0.2D.0.15C3:若X～N(1,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545,已知X～N(1,32),則P(4<X≤7)等于(

)A.0.4077 B.0.2718C.0.1359 D.0.04534.填一填：(1)已知正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)=,x∈(-∞,+∞),則該正態(tài)分布的均值為

,標準差為

.(2)設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示,則有μ1

μ2,σ1

σ2.0<<(3)在某項測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為

.

ξ在(2,+∞)內(nèi)取值的概率為

。0.80.1課堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU5.做一做：（1）已知隨機變量X～N(2,σ2),若P(X<a)=0.32,則P(a≤x<4-a)