山西省太原市高中數(shù)學(xué)競賽解題策略-幾何分冊第1章-直角三角形

第一編點擊根本圖形第1章直角三角形直角三角形是含有內(nèi)角為的特殊三角形，它是一類根本圖形．直角三角形的有趣性質(zhì)在處理平面幾何問題中常發(fā)揮重要作用．性質(zhì)一個三角形為直角三角形的充要條件是兩條邊長的平方和等于第三條邊長的平方〔勾股定理及其逆定理〕．性質(zhì)一個三角形為直角三角形的充要條件是一邊上的中線長等于該邊長的一半．推論直角三角形的外心為斜邊的中點．性質(zhì)為直角三角形，且為直角頂點的充要條件是當(dāng)在邊上的射影為時，以下五個等式之一成立．〔1〕．〔2〕．〔3〕．〔4〕．〔5〕．事實上，由，有．注意到公用，知∽．而，故．即可得〔1〕的充分性．我們又由，即．即可證得〔4〕的充分性．其余的證明略．推論非等腰為直角三角形，且為直角頂點的充要條件是當(dāng)在邊上的射影為時，．事實上，由性質(zhì)中的〔1〕、〔2〕相除或〔4〕、〔5〕相除即證．下面，另證充分性．由，有．而，即有．由此即可證．性質(zhì)為直角三角形，且為直角頂點的充要條件是當(dāng)在邊上的射影為點，過中點的直線〔或〕交〔或〕于，在上的射影為時，〔或〕．證明必要性．如圖，過作交于，那么，且，即有，即．①又，有②在中，有，③將③代入②得④將①代入④得．充分性．由，注意到②及①，有再注意到性質(zhì)〔4〕即證．對于的情形也類似上述證明．性質(zhì)為直角三角形，且為直角頂點的充要條件是當(dāng)為邊上異于端點的任一點時，．證明必要性．如圖，作交的延長線于，那么．由．將前述式代入上式化簡即可證．充分性．令，在與中，應(yīng)用余弦定理得注意到，化簡得，所以．而有，從而即證．性質(zhì)如圖，在中，為斜邊上的高，，分別為和的內(nèi)心，過，的直線交于，交于；延長交于，延長交于；設(shè)為的內(nèi)心，那么〔1〕．〔2〕．〔3〕，且．〔4〕三直線，，共點．〔5〕，且．〔6〕．證明〔1〕．〔2〕由，知．同理．〔3〕由∽，有．又，那么∽，即．故，，，共圓，那么．于是≌，即．同理．在中，有．由此即證得．〔4〕由，及在的平分線上，那么在的中垂線上，即，又，那么．同理，故與相交于的垂心，而，故過此垂心，即三直線，，共點．〔5〕聯(lián)結(jié)，，易知，分別在，上，且有，，即為的垂心，得．又，設(shè)交于，有，那么≌．故．〔6〕延長交于，延長交于，那么，分別在，上．由，，可知為的中垂線，為的中垂線，有，即．故為的外心，于是．即．性質(zhì)如圖，在中，為直角，于，，，的內(nèi)心分別為，，；圓與圓的另一條外公切線交于，交于，交于；所在直線交于，交于，交于；設(shè)圓，圓，圓的半徑分別為，，，那么〔1〕∽．〔2〕．〔3〕∽．〔4〕．〔5〕當(dāng)?shù)陌胫荛L分別為，，時，．〔6〕，，，為一垂心組．〔7〕．〔8〕以邊上的中線為直徑的圓必與內(nèi)切圓圓相切．〔9〕，．〔10〕．〔11〕設(shè)的內(nèi)心為，那么為平行四邊形．〔12〕延長交于，延長交于，那么、、三點共線．〔13〕設(shè)圓切于，圓切于，圓與圓的另一條內(nèi)公切線〔不同于〕交于，那么，，及，，分別三點共線．〔14〕延長交于，延長交于，那么．〔15〕．證明〔1〕由∽知．而，故∽．〔2〕由，知，，，共圓，從而，故．〔3〕由，知．故．同理，，故∽．由上亦推之，，，四點共圓．〔4〕，〔5〕由∽∽，知，．而，從而有，，．前兩式之和加或減第三式的倍即證得〔5〕．〔6〕設(shè)的延長線交于，由，知，從而知．同理，即知為的垂心，故，，，為一垂心組．〔7〕設(shè)為中點，那么．由〔2〕，那么，．故．〔8〕由于為的中點，那么為的外心．設(shè)的中點為，那么圓與圓相切〔其中為的外接圓半徑〕，注意到為的中線，那么，其中，，即，由此即證．〔9〕利用切線長關(guān)系即可推得前式，后式由內(nèi)切圓半徑與邊長關(guān)系即可推得．〔10〕由，，知．從而知，，，四點共圓，那么有．又，故．〔11〕顯然，在上．由及〔6〕知，〔因〕．又，從而．即有．同理，．故為平行四邊形．〔12〕因為平行四邊形，可證，那么，，，從而≌≌，有，即．故，，三點共線．〔13〕由，知，，，四點共圓，那么或，即．又，那么．又，那么，，三點共線．同理，，三點共線．〔14〕注意到．，，由，即證．〔15〕證法令，那么，由張角定理，有．而 ，．于是．證法延長至，使．由，知∽．從而，即，亦即．故．性質(zhì)在中，為斜邊，那么〔1〕的內(nèi)切圓半徑．〔2〕當(dāng)圓與邊上的高、及的外接圓均相切且切于點時，圓的半徑，且平分．事實上，對于〔2〕設(shè)為的中點，為圓的圓心，令，，那么，．，．由，即知．又令，那么，．由有，即，從而．而，即．從而，即知平分．例〔年克羅地亞數(shù)學(xué)競賽題〕假設(shè)通過同一頂點的高線、角平分線、中線將該角四等分．求的三個內(nèi)角．解如圖，不失一般性，設(shè)、、分別為過頂點的高線、角平分線、中線．設(shè)，那么，．在和中應(yīng)用正弦定理，有，．從而，即．而，故．故．例〔年克羅地亞數(shù)學(xué)競賽題〕的邊的中線和高恰好將等分．求的三個內(nèi)角．解如圖，設(shè)、分別為邊上的高和中線．那么．由角平分線性質(zhì)，有．即，從而．于是．例〔年第屆土耳其國家數(shù)學(xué)奧林匹克題〕滿足，的平分線和過頂點的高線、中線與邊分別交于點、、．證明的充分必要條件是．證明充分性：假設(shè)，因為為中線，那么，即．又，故．必要性：如圖，假設(shè)，又，那么．作交的延長線于點，那么．所以，、、、四點共圓．從而，．于是，為四邊形的外接圓的直徑．易知與不垂直，又平分，所以，也為外接圓的直徑．因為，所以為圓心．即，故為直角三角形，．例設(shè)、分別表示三角形頂點所對邊上的中線長，高線長，為直角三角形，且為直角頂點的充要條件是以下兩式之一成立．〔1〕．〔2〕．證明提示〔1〕注意到三角形的中線長公式〔如〕及性質(zhì)即證．〔2〕注意到面積關(guān)系及性質(zhì)即證．例為直角三角形，且為直角頂點的充要條件是下述條件成立．設(shè)，，分別為所對邊上的中線長，高線長及的平分線長時，．證明設(shè)、、分別是邊上的中線、高線、的平分線．中，由角平分線的判定與性質(zhì)知，平分的充要條件是．而例結(jié)論〔其中〕．例在中，為直角頂點．〔1〕設(shè)內(nèi)角所對的邊長分別為，記，那么．〔2〕設(shè)被內(nèi)切圓切點分為兩段，那么．證明〔1〕略．〔2〕設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由．即 ．例在中，在上，，，，，那么的充要條件是．證明設(shè)，，那么，，，．即 ．的充要條件為，即．例如圖，在中，為上異于，的點，，，，，那么的充要條件是①證明必要性．設(shè)，，由余弦定理，得， ②． ③②，③兩式相加，由于，得．整理即得①．充分性．由①出發(fā)，得，應(yīng)用余弦定理，得．故．例如圖，設(shè)〔為直角〕的內(nèi)切圓圓與的三邊分別切于，，，，，的垂心分別為，，．那么是等腰直角三角形．證明延長交于，聯(lián)結(jié)，，由得，分別在，上．其余連線如下圖．易知是正方形，所以，且 ．又因為，是的垂心，由含角的三角形性質(zhì)，知，所以．另一方面，．所以．即得．從而是平行四邊形，所以．③又因為，．所以． 且因為是等腰的垂心，所以，所以．同時因為，都垂直，所以． ④由③，④知，所以是平行四邊形，所以．同理．結(jié)合是等腰直角三角形．知是等腰直角三角形．例設(shè)是斜邊上的高〔設(shè)〕，，分別是，的內(nèi)心，的外接圓圓分別交，于點，，直線與直線交于點，那么，分別是的內(nèi)心與旁心．證明如圖，因，那么知的外接圓圓心在上．聯(lián)結(jié)，，，，那么由，為內(nèi)心，知，所以于是，，，四點共圓，所以．又因為，那么知點在上，即為與的交點．設(shè)與圓的另一交點為，由，，可知，分別為，的中點，所以．因此，，分別為的內(nèi)心與旁心．注〔1〕由例知為圓與圓的公切線，且可推證為的內(nèi)心．〔2〕此例即為年江西省競賽題．練習(xí)一1．〔2003年第29屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克題〕中，為直角，為邊上一點，為邊上一點，且．證明：．2．〔2003年第17屆北歐數(shù)學(xué)競賽題〕正內(nèi)一點，滿足．證明：由線段、、為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形．3．〔2007—2023年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克題〕設(shè)是的邊的中點，、的外心分別為、，直線、交于點．假設(shè)，．求的面積．4．〔2003年泰國數(shù)學(xué)奧林匹克題〕在中，，是內(nèi)的角平分線上的點，〔異于、〕是邊上的點，直線，、分別交邊、、于點、、．如果，．求．5．〔2004年克羅地亞數(shù)學(xué)競賽題〕在中，，，是直角邊，是斜邊，圓是的外接圓．設(shè)圓是與斜邊、高及圓的劣弧相切的圓，圓是與斜邊、高及圓的劣弧相切的圓，又設(shè)，分別是圓、圓的半徑，證明：．6．〔2005年國家集訓(xùn)隊培訓(xùn)題〕在直角三角形中，，它的內(nèi)切圓分別與邊、、相切于點、、，聯(lián)結(jié)，與內(nèi)切圓相交于另一點，聯(lián)結(jié)、、．，求證：．7．〔《數(shù)學(xué)通報》數(shù)學(xué)問題1489號〕在中，是斜邊上的高，，分別是，的內(nèi)切圓，兩圓的另一條外公切線分別交直線，，于，，點，求證：〔1〕；〔2〕．8．〔《中學(xué)數(shù)學(xué)》2006〔7〕數(shù)學(xué)奧林匹克問題179〕在正方形中，以邊的中點為圓心，長為半徑畫半圓，半圓的圓心在邊上，并與邊相切，與半圓外切于點．求證：是和的公切線．9．在中，斜邊于，，分別為，的內(nèi)心，過，的直線交于，交于，交于，交直線于，過作的外接圓的切線交直線于，的平分線交于，交于，那么〔1〕；〔2〕．10．中，于，的內(nèi)切圓半徑為；，，的內(nèi)心分別為，，，的外接圓半徑為，那么為直角三角形的充要條件是．11．中，于，，的內(nèi)切圓分別切，于，，那么為直角三角形的充要