2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)《考點(diǎn)·題型·難點(diǎn)》期末高效復(fù)習(xí)（人教版）第08講：銳角三角函數(shù) （必刷10大考題+10大題型）解析版

第第頁第08講：銳角三角函數(shù)【考點(diǎn)歸納】考點(diǎn)一：正弦考點(diǎn)二：余弦考點(diǎn)三：正切考點(diǎn)四：特殊角三角函數(shù)的計(jì)算考點(diǎn)五：由三角函數(shù)值求銳角考點(diǎn)六：三角函數(shù)的增減性考點(diǎn)七：同角三角函數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)八：解直角三角形問題考點(diǎn)九：銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)十：銳角三角函數(shù)綜合問題【知識(shí)歸納】1.Rt△ABC中∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)(3)∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)2.特殊值的三角函數(shù)：30°EQ\f(1,2)EQ\f(\r(3),2)EQ\f(\r(3),3)45°EQ\f(\r(2),2)EQ\f(\r(2),2)160°EQ\f(\r(3),2)EQ\f(1,2)EQ\r(3)解直角三角形時(shí)，所用關(guān)系：邊的關(guān)系：角的關(guān)系：邊角關(guān)系：，，，，，【題型歸納】題型一：正弦1．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，，則的值是（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【分析】本題考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，直接運(yùn)用三角函數(shù)定義求解即可．【詳解】解：中，．∵，，∴，∴∴．故選：D．2．（2023上·陜西西安·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1，若點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，得到，再利用勾股定理求出，的長，即可求出最后結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，

則，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)，勾股定理，利用勾股定理求出邊長是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，交的延長線于點(diǎn)，已知，，則的長為(

)

A． B． C． D．無法計(jì)算【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及已知條件，可得，進(jìn)而可得，根據(jù)正弦的定義，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．題型二：余弦4．（2023上·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且每個(gè)小正方形的邊長均為1，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，利用勾股定理得到，進(jìn)而得到是直角三角形，從而求解.【詳解】解：連接，如圖所示，

由勾股定理可得：，∴∴是直角三角形，即∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握在方格中利用勾股定理求邊長，同時(shí)判斷三角形形狀是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·山東東營·九年級(jí)東營市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在處，若的延長線恰好過點(diǎn)，則的值為（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可以得到，然后利用勾股定理可以得到，然后計(jì)算解題即可．【詳解】解：∵在矩形中,，由折疊的性質(zhì)可知：，，∴，∵，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)與勾股定理，三角函數(shù)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023上·山東威海·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，利用網(wǎng)格特征可知，利用勾股定理求出，，根據(jù)余弦的定義即可求得答案．【詳解】解：如圖，由網(wǎng)格特征可知，，在中，，，∴，故選：A題型三：正切7．（2023上·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的中線，，，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識(shí)，根據(jù)為邊上的中線，可得，進(jìn)而可得，，則有，，即可得，問題得解．【詳解】解：在中，∵為邊上的中線，且，∴，∴，，∵，∴，，∵為邊上的高，∴，∴在中，，∴．故選：A．8．（2023上·重慶萬州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將紙片按如圖那樣折疊，使A與電B重合，折痕為，則的值是（

）

A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得出，列出方程求出x的值，最后根據(jù)正切的定義，即可解答．【詳解】解：∵沿折疊得到，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切的定義，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等．9．（2022上·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形紙片中，點(diǎn)在邊上，沿著折疊使點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，，則的長為（

）

A． B．2 C． D．【答案】A【分析】連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，證得，然后可證得，求得的長度，根據(jù)勾股定理即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接．

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，，，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，，∴．又，∴．∴．∴．設(shè)，則，．在中，根據(jù)勾股定理可得．即．解得．∴．故選：A．題型四：特殊角三角函數(shù)的計(jì)算10．（2023上·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．11．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了含特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，（1）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘方，再算乘法，最后算加減；（2）先將特殊角三角函數(shù)值代入，利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式，，；（2）解：原式，，．12．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】原式；【分析】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值，分母有理化，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．先把所給分式化簡，再把化簡后的x代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式∵∴原式．題型五：由三角函數(shù)值求銳角13．（2023上·湖南岳陽·九年級(jí)?？计谀┰谥?，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，可得，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：在中，∵，，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是正確識(shí)記各個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．14．（2022上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知中，，，則的形狀（）A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了由三角函數(shù)值求銳角、三角形的內(nèi)角和，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得、，再利用三角形的內(nèi)角和即可求解，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由，得，，得，，故是鈍角三角形，故選：C．15．（2023上·四川眉山·九年級(jí)?？计谀┤糁?，銳角A、B滿足，則是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出和的度數(shù)，即可判斷的形狀．【詳解】解：∵，∴，且，∴，，∴，∴為等邊三角形，故選：D．題型六：三角函數(shù)的增減性16．（2022上·上海靜安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可．【詳解】解：∵0°＜25°＜30°∴∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當(dāng)角度在0°~90°間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。虎谟嘞抑惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）；③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?7．（2018上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）比較cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（

）A．cos10° B．cos20° C．cos30° D．cos40°【答案】A【分析】根據(jù)同名三角函數(shù)大小的比較方法比較即可．【詳解】∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同名三角函數(shù)大小的比較方法，熟記銳角的正弦、正切值隨角度的增大而增大；銳角的余弦、余切值隨角度的增大而減?。?8．（2018下·全國·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知∠A為銳角，且tanA＝，則∠A的取值范圍是（）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】C【分析】通過tan30°、tan45°、tan60°這些特殊角度的正切值來判斷隨角度變化正切值的變化規(guī)律，再通過具體數(shù)值確定其大致范圍.【詳解】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，則可知正切值隨角增大而增大，由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°．故選擇C．題型七：同角三角函數(shù)的關(guān)系19．（2019上·上海普陀·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在中，，，那么下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解答．【詳解】在Rt△ABC中，∠C=90°，，則cosA=A、cosB=sinA=，故本選項(xiàng)符合題意．B、cotA=．故本選項(xiàng)不符合題意．C、tanA=．故本選項(xiàng)不符合題意．D、cotB=tanA=．故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵在于掌握（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比.20．（2022·上海·九年級(jí)上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎獮殇J角，且，那么的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)求出，然后根據(jù)求解即可．【詳解】∵，為銳角，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了求角的正切值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)公式．21．（2021上·廣西崇左·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，于點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題目已知條件推出∽，則可得，然后根據(jù)，設(shè)，，利用對(duì)應(yīng)邊成比例表示出的值，進(jìn)而得出的值，【詳解】∵在中，，∴,∵于點(diǎn)，∴，∴，，∴∽，∴，即，，∵，∴設(shè)，，∴，∴，故選：B．題型八：解直角三角形問題22．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，下列結(jié)論正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了銳角三角三角函數(shù)關(guān)系．根據(jù)銳角三角三角函數(shù)關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故本選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．23．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】如下圖，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．24．（2021上·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，則△ABC的面積為（

）A． B．＋1 C． D．＋1【答案】C【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分別用AD表示出BD、CD，根據(jù)BC的長先求出AD，再求三角形的面積．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴BD＝AD．在Rt△ACD中，∠C＝30°，∴CD＝AD．∵BD＋CD＝BC，∴AD＋AD＝1＋．即AD＝1．∴S△ABC＝×BC×AD＝（1＋）．故選：C．題型九：銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用25．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)校考期末）一艘貨輪從小島正南方向的點(diǎn)處向西航行到達(dá)點(diǎn)處，然后沿北偏西方向航行到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)觀測到小島在北偏東方向，則小島與出發(fā)點(diǎn)之間的距離為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角，矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，熟悉銳角三角函數(shù)定義是解答本題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得到四邊形是矩形，，，由直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得到，由此得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，四邊形是矩形，，，由題意得：，，，，，，，．故選：．26．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)校考期末）越來越多太陽能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也使節(jié)能環(huán)保的舉措得以落實(shí)．某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，測傾器（）的高度為米，在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得點(diǎn)M的仰角，在與點(diǎn)A相距米的測點(diǎn)D處安置測傾器，測得點(diǎn)M的仰角（點(diǎn)A，D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度MN（結(jié)果精確到米）．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】米【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．延長交于點(diǎn)F，設(shè)米，在中，利用正切定義求出，在中，利用正切定義得出，求出x的值，即可解答．【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)F，則米，米，．設(shè)米，在中，，∴（米），∴米．在中，，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根．∴米，∴（米），答：電池板離地面的高度MN約為米．27．（2023上·四川成都·九年級(jí)校考期中）如圖，一座古塔座落在小山上（塔頂記作點(diǎn)，其正下方水平面上的點(diǎn)記作點(diǎn)），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距離，便利用無人機(jī)進(jìn)行測量，但由于某些原因，無人機(jī)無法直接飛到塔頂進(jìn)行測量，因此他先控制無人機(jī)從腳底（記為點(diǎn)C）出發(fā)向右上方（與地面成45°，點(diǎn)A，B，C，O在同一平面）的方向勻速飛行4秒到達(dá)空中O點(diǎn)處，再調(diào)整飛行方向，繼續(xù)勻速飛行8秒到達(dá)塔頂，已知無人機(jī)的速度為5米/秒，，求小李到古塔的水平距離即的長.（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】21【分析】過點(diǎn)O作，交的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作，垂足為E，根據(jù)題意可得：米，米，，，從而可得，進(jìn)而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)O作，交的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作，垂足為E，由題意得：（米），（米），，∴，∵，∴，在中，（米），在中，（米），∴（米），∴（米），∴小李到古塔的水平距離即的長約為21米．題型十：銳角三角函數(shù)綜合問題28．（2023上·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在以為直徑的上，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，圓的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握切線的判定，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．(1)連接，證明即可．(2)在中，根據(jù)，得到，，利用平行線性質(zhì)得到，在，利用三角函數(shù)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：連接，∵平分交于點(diǎn)D，為直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴直線是的切線．（2）解：如上圖，在中，∵，，為直徑，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．29．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)?？计谀┮阎萌鐖D，為半圓上的一點(diǎn)，，過點(diǎn)作直徑的垂線，為垂足，弦分別交于點(diǎn)．(1)求證∶；(2)若，，求的長【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，然后根據(jù)題意得到，然后通過等量代換得到，進(jìn)而求解即可；（2）已知，就是已知的正切值，根據(jù)，可以根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得．【詳解】（1）證明：連接，，．，．是直徑，．，，，，．（2）解：，，．．，，．，．．，，．．．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的運(yùn)用，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．相似三角形的判定方法：①兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；②三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；③兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．30．（2023上·山東青島·九年級(jí)山東省青島第二十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知矩形，，，點(diǎn)F為中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、E的運(yùn)動(dòng)速度均為1；當(dāng)點(diǎn)P、E中有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接、．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：(1)當(dāng)點(diǎn)P在的平分線上時(shí)，求t的值；(2)設(shè)的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)連接，在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出t，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)P在的平分線上時(shí)，t的值為5；(2)；(3)存在，t的值是5或6或7.2．【分析】（1）作出的平分線，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，用t表示出、的長度，再根據(jù)勾股定理求解．（2）作出和的高，利用三角函數(shù)表示出兩條高的長度，易得、和的面積，最后用的面積減去三個(gè)三角形的面積即可表示出的面積．（3）存在，分三種情況討論：或或，難點(diǎn)在第三種情況，需要構(gòu)造輔助線，利用銳角三角函數(shù)求解．【詳解】（1）（1）如圖1，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，由題意得：，在矩形中，，，平分，，，，，，，由勾股定理得：，，解得：，當(dāng)點(diǎn)P在的平分線上時(shí)，t的值為5；（2）（2）如圖2，過點(diǎn)P作于G，過點(diǎn)E作于H，由題意得：，，即，，同理得：，，即；（3）（3）存在，分三種情況：①如圖3當(dāng)E與O重合時(shí)，此時(shí)；②如圖4，CE＝CD＝6時(shí)，此時(shí)；③如圖5，DE＝CD＝6，過點(diǎn)D作，，即，，，，綜上，t的值是5或6或7.2．【強(qiáng)化精練】一、單選題31．（2023上·山西晉城·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，各邊都擴(kuò)大3借，則的正切值（

）A．?dāng)U大3倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．不能確定【答案】C【分析】本題考查了正切函數(shù)的概念，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得答案．屬于簡單題．理解正切函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得，各邊都擴(kuò)大3倍，則角A的正切值不變．故選：C．32．（2023上·山西長治·九年級(jí)校聯(lián)考期末）學(xué)校攝影興趣小組在上攝影課，小王發(fā)現(xiàn)攝影三腳架如圖1所示，該支架三個(gè)腳長度相同且與地面夾角相同．如圖2，過點(diǎn)A向地面作垂線，垂足為C．若三腳架的一個(gè)腳的長為2米，，則相機(jī)距地面的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵三腳架的一個(gè)腳的長為2米，，∴，∴（米）．故選：B．33．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在上，于點(diǎn)E．若，，則的長為（

）A． B． C．8 D．4【答案】A【分析】本題主要考查圓周角定理和垂徑定理以及三角函數(shù)，連接，根據(jù)圓周角定理求得，在中可得，可得的長度，故長度可求得，即可求解．【詳解】解：連接，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故選：A．34．（2023上·吉林長春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，設(shè)，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為正方形，．∴，，∴，∴∵，，則，設(shè)，則，∴解得：或∵，∴，∴,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求正切，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．35．（2023上·河南漯河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是上的三個(gè)點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，利用余弦的定義求出，再根據(jù)圓周角定理得到，然后計(jì)算即可．【詳解】解：連接，如圖，

點(diǎn)是半徑中點(diǎn)，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值求角度，圓周角定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．36．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，正六邊形的邊長為，這個(gè)正六邊形外接圓的圓心到該正六邊形一條邊的距離是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接、，求出，可得是等邊三角形，即可求出正六邊形的邊長和的半徑，再解直角三角形即可求得邊心距．【詳解】解：連接、，如圖所示：

∵六邊形為正六邊形，∴，∴是等邊三角形，∵正六邊形的邊長為，∴，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、解直角三角形等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．37．（2023上·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）題目：“在中，，，，求的長度．”對(duì)于其答案，甲答：的長度為，乙答：的長度為，丙答：的長度為，則正確的是（

）A．只有甲答的對(duì) B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)值及勾股定理分直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三種情況討論解答即可．【詳解】解：∵在中，，，∴假設(shè)是直角三角形，∴，∵，∴假設(shè)與已知條件出現(xiàn)矛盾，∴不是直角三角形；當(dāng)是銳角三角形時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，∴，∵，，∴在中，，∴，∴在中，，在中，，∴；

當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，∴，∵，，∴在中，，∴，∴，∵，∴在中，，∴，故選．

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．38．（2023上·山西長治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，邊與相切于點(diǎn)，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，即可推出，然后證明是等邊三角形，得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∴，∴，又∵點(diǎn)在圓O上，∴，即，∴是等邊三角形，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，特殊角三角函數(shù)值，正確作出輔助線構(gòu)造等邊三角形時(shí)解題的關(guān)鍵．39．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，于點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)在邊上的點(diǎn)處，已知，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作于點(diǎn)，先這么，再根據(jù)折疊的性質(zhì)、勾股定理得到，由余弦定義得到，由正弦定義得到，據(jù)此設(shè)，，解出，從而得到，最后根據(jù)正弦定義解答即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，

在中，∴折疊設(shè)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．40．（2023上·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為2的正六邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n個(gè)，得到正六邊形，當(dāng)時(shí)，正六邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由于正六邊形每次轉(zhuǎn)45°，根據(jù)，則的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，求得的坐標(biāo)即可．【詳解】解：將邊長為2的正六邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)，∴，當(dāng)時(shí)，則的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，則如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)軸于點(diǎn)，

，，，，正六邊形的一個(gè)外角，，，，

，，，．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解直角三角形、正六邊形的性質(zhì)、正多邊形的外角和、內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同是解題的關(guān)鍵．二、填空題41．（2023上·廣東揭陽·九年級(jí)校考期末）如圖，菱形的周長為8，兩鄰角的比為，則對(duì)角線的長分別為．【答案】或2/2或【分析】本題考查菱形性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題目，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形的邊長，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可．依題意，根據(jù)菱形的性質(zhì)首先求出邊長，然后推出對(duì)角線與菱形的兩邊構(gòu)成的三角形為等邊三角形，最后可解答．【詳解】解：菱形的周長為8，菱形的邊長是∶，兩個(gè)鄰角的比是，較大的角是，較小的角是，這個(gè)菱形的對(duì)角線所對(duì)的角是，由菱形的性質(zhì)得到，與菱形的兩邊構(gòu)成的三角形是等邊三角形，故答案為∶2和．42．（2023上·吉林·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，則．【答案】【分析】本題考查求一個(gè)角的正弦值．設(shè)，則：，勾股定理求出的長，利用，求解即可．牢記正弦的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴設(shè)，則：，∴，∴．故答案為：．43．（2023上·河北衡水·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，為了測得某建筑物的高度，在處用高為的測角儀，測得該建筑物頂端的仰角為，再向建筑物方向前進(jìn)，又測得該建筑物頂端A的仰角為，則該建筑物的高度為（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，設(shè)米，利用正切的定義用x表示出，，根據(jù)列方程，即可求解．【詳解】解：由題意知，，，設(shè)，在中，，則，在中，，則，，，解得，，故答案為：．44．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，，，，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理等是一道綜合型比較強(qiáng)的題目，要充分利用題干已知信息挖掘題目所隱含的信息，解答本題的關(guān)鍵在于做輔助線構(gòu)造直角三角形，利用相似求解出邊長．【詳解】解：過點(diǎn)作于，延長交的平行線于點(diǎn)，∴，在中，∴設(shè)，，又，又勾股定理得，，∴，．又∵為等腰三角形，∴，∴，又∵，∴，又∵，，，∴，∴∴，又∵，．∴在中，．故答案為：．45．（2023上·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要方法，在計(jì)算時(shí)，如圖，在中，，，延長，使，連接，使得，所以，類比這種方法，計(jì)算．【答案】【分析】如圖，在中，，，作的角平分線，作，設(shè)，則，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，在中，，，作的角平分線，作，∴，，∵，設(shè)，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)，正弦，正切等知識(shí)．熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理，正弦，正切是解題的關(guān)鍵．46．（2023上·浙江溫州·九年級(jí)溫州市龍灣區(qū)海城中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，是直徑，弦于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，弦，連接交于點(diǎn)與的延長線交于點(diǎn)，設(shè)，已知，當(dāng)時(shí)，．連接，若，則．【答案】【分析】先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是以及垂直定義，得，結(jié)合，即可證明，得，證明，則，即，故，即可得到；連接，，，因?yàn)?，是直徑，所以，設(shè)，則，得出，根據(jù)正弦的定義，計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：∵是直徑，弦于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，則，即，故，∴，則；如圖，連接，，當(dāng)時(shí)，∴∵∴，即，∴是的直徑，則，，四邊形是矩形∵，設(shè)，∵∴，∴，則，∵∴∵又∵即解得：（負(fù)值舍去）故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)：難度較大，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．三、解答題47．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值以及特殊角的三角函數(shù)值，熟記是代值計(jì)算的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，∵，∴原式．48．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某座山的主峰觀景平臺(tái)高450米，登山者需由山底處先步行300米到達(dá)處，再由處乘坐登山纜車到達(dá)觀景平臺(tái)處，已知點(diǎn)，，，，，在同一平面內(nèi)，，于，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）(1)求登山纜車上升的高度；(2)若小明步行速度為，登山纜車的速度為，求小明從山底A處到達(dá)山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)登山纜車上升的高度(2)從山底A處到達(dá)山頂處大約需要【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出，進(jìn)而求出即可；（2）利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出的長，再根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，在中，，，，∴，∵，∴，答：登山纜車上升的高度；（2）解：在中，，，，，∴從山底處到達(dá)山頂處大約需要：，答：從山底處到達(dá)山頂處大約需要．49．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是☉O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，交☉O于點(diǎn)H，DB交AC于點(diǎn)G．(1)求證；AF=DF；(2)若AF=，sin∠B=，求☉O的半徑．【答案】(1)見解析(2)☉O的半徑為5【詳解】（1）證明∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴．∵AB⊥DH，且AB是☉O的直徑，∴，∴．∴∠ADH=∠CAD，∴AF=DF．（2）解∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠B=90°．∵∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠B，∴sin∠ADE=，tan∠ADE=．設(shè)AE=x，則DE=2x．∵DF=AF=，∴EF=2x-．∵AE2+E