信號與系統(tǒng)第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

X第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1引言XX第2

頁系統(tǒng)數(shù)學模型的時域表示

時域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎(chǔ)。

本章中我們主要討論輸入、輸出描述法。XX第3

頁系統(tǒng)分析過程

經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過，但與

(t)有關(guān)的問題有待進一步解決——h(t)；

卷積積分法:

任意激勵下的零狀態(tài)響應可通過沖激響應來求。(新方法)

XX第4

頁本章主要內(nèi)容線性系統(tǒng)完全響應的求解；沖激響應h(t)的求解；卷積的圖解說明；卷積的性質(zhì)；零狀態(tài)響應：。

X第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.2微分方程式的

建立與求解X第6

頁主要內(nèi)容物理系統(tǒng)的模型

微分方程的列寫

n階線性時不變系統(tǒng)的描述

求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法

復習求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法X第7

頁一．物理系統(tǒng)的模型許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描述。XX第8

頁二．微分方程的列寫根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡拓撲約束列寫系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。網(wǎng)絡拓撲約束：由網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。

XX第9

頁例2-2-1電感

電阻

電容

根據(jù)KCL

代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有這是一個代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。求并聯(lián)電路的端電壓與激勵間的關(guān)系。

a

b

(

)

t

i

sR

R

i

L

L

i

C

c

i

+

-

(

)

t

v

X第10

頁三．n階線性時不變系統(tǒng)的描述

一個線性系統(tǒng)，其激勵信號與響應信號之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述

若系統(tǒng)為時不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。

X第11

頁四．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。

求解方程時域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。

X第12

頁齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式

注意重根情況處理方法。

特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。

經(jīng)典法全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解

。自由響應：由系統(tǒng)自身特性決定的響應。強迫響應：由激勵信號決定的響應。固有頻率：特征方程的根X第13

頁幾種典型激勵函數(shù)相應的特解激勵函數(shù)e(t)響應函數(shù)r(t)的特解XX第14

頁例2-2-2系統(tǒng)的特征方程為

特征根因而對應的齊次解為X第15

頁例2-2-3

如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。

給定微分方程式為使等式兩端

平衡，試選特解函數(shù)式

將此式代入方程得到

X第16

頁等式兩端各對應冪次的系數(shù)應相等，于是有

聯(lián)解得到

所以，特解為

XX第17

頁

這里，B是待定系數(shù)。代入方程后有：

(2)XX第18

頁

我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0，響應為時的方程的解，初始條件

初始條件的確定是此課程要解決的問題。

第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.3起始點的跳變---從0—到0+

狀態(tài)的轉(zhuǎn)換起始狀態(tài)初始狀態(tài)沖激函數(shù)匹配法確定初始條件

XX第20

頁一．起始點的跳變響應區(qū)間：激勵信號加入之后系統(tǒng)狀態(tài)變化區(qū)間一般在t=0時刻加入，響應區(qū)間為X第21

頁當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從到狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項是否包含及其各階導數(shù)項。

說明一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對于一個具體的電網(wǎng)絡，系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況;但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用于電感，狀態(tài)就會發(fā)生跳變。

X第22

頁例2-3-1

X第23

頁根據(jù)電路形式，列回路方程

列結(jié)點電流方程

(1)（1）列寫電路的微分方程X第24

頁(2)求系統(tǒng)的完全響應系統(tǒng)的特征方程

特征根齊次解

代入式(1)方程右端自由項為要求系統(tǒng)的完全響應為

特解

XX第25

頁(3)換路前X第26

頁因而有由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變,X第27

頁(4)求得要求的完全響應為XX第28

頁配平的原理：t=0時刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導數(shù)應該平衡(其他項也應該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項）例：

二．沖激函數(shù)匹配法確定初始條件該過程可借助數(shù)學描述XX第29

頁在中時刻有

分析中的

表示到的相對跳變函數(shù)，所以，X第30

頁數(shù)學描述設(shè)則代入方程得出所以得即即X第31

頁例2-3-2（即例2-3-1）（1）將e(t)代入微分方程，t≥0得X第32

頁(2)方程右端的沖激函數(shù)項最高階次是，因而有代入微分方程X第33

頁求得因而有X第34

頁解微分方程的流程圖將元件電壓電流關(guān)系、基爾霍夫定律用于給定電系統(tǒng)列寫微分方程將聯(lián)立微分方程化為一元高階微分方程齊次解Aeat(系數(shù)A待定）特解查表2-2完全解=齊次解+特解(A待定）給定系統(tǒng)0-狀態(tài)求出對應0+狀態(tài)已定系數(shù)A的完全解——系統(tǒng)的完全響應

第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.4零輸入響應和零狀態(tài)響應零輸入響應

零狀態(tài)響應對系統(tǒng)線性的進一步認識

X第36

頁一．零輸入響應與零狀態(tài)響應先看一個實例例2-4-1已知電容兩端起始電壓vc(0-)

激勵源為e(t),求t>0時系統(tǒng)響應vc(t)e(t)vc(0-)-

R

+

+

-

+

-

vc(t)微分方程為XX第37

頁XX第38

頁系統(tǒng)的完全響應可以看作由外加激勵源和起始狀態(tài)共同作用的結(jié)果。系統(tǒng)的完全響應=零狀態(tài)響應

+零輸入響應

線性系統(tǒng)具有疊加性X第39

頁一般情況，設(shè)系統(tǒng)是線性時不變的H[?]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]零輸入響應rzi(t)：沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應。

零狀態(tài)響應rzs(t)：不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應。

XX第40

頁二．系統(tǒng)響應劃分響應=暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應

(Transient+Steady-state)自由響應＋強迫響應

(Natural+forced)

零輸入響應＋零狀態(tài)響應(Zero-input+Zero-state)X第41

頁也稱固有響應，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形式無關(guān)。對應于齊次解。

形式取決于外加激勵。對應于特解。是指激勵信號接入一段時間內(nèi)，完全響應中暫時出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時間t增加，它將消失。

由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得穩(wěn)態(tài)響應分量。

沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應。

不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應。

(1)自由響應：(2)暫態(tài)響應：穩(wěn)態(tài)響應：強迫響應：(3)零輸入響應：零狀態(tài)響應：各種系統(tǒng)響應定義X第42

頁系統(tǒng)零輸入響應，實際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數(shù)。

求解微分方程X第43

頁系統(tǒng)零狀態(tài)響應，是在激勵作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由狀態(tài)值為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

微分方程XX第44

頁

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應=激勵與系統(tǒng)沖激響應的卷積，即XX第45

頁三．對系統(tǒng)線性和時不變性的

進一步認識H[?]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]若{

xi(0-)}=0系統(tǒng)是線性和時不變的若{xi(0-)}≠0

系統(tǒng)是非線性和時變的，且非因果常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)才是線性時不變，且是因果的。X第46

頁常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)的線性加以擴展：(1)響應可分解性：零輸入響應＋零狀態(tài)響應。

(2)零狀態(tài)線性：當起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應對于各激勵信號呈線性。

(3)零輸入線性：當激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應對于各起始狀態(tài)呈線性。

X第47

頁例2-4-1把t〈0電路看作起始狀態(tài)，分別求t>0時的零輸入響應和零狀態(tài)響應。X第48

頁1、零輸入響應t>0電路：+-e(t)R1CL+-vc(0-)iL(0-)R2i(t)XX第49

頁R1=1ΩC=1FL=1/4H+-vc(0-)=6/5ViL(0-)=4/5AR2=3/2

Ω

i(t)滿足微分方程：t>0零輸入等效電路：XX第50

頁R1=1Ω+-vc(0-)=6/5ViL(0-)=4/5AR2=3/2

Ω

izi(0+)iL(0+)作出t=0+時刻的等效電路求得：X第51

頁零輸入響應的形式：將代入求出常數(shù)要求的零輸入響應：XX第52

頁2.零狀態(tài)響應+-e(t)=4u(t)C=1FL=1/4HR2=3/2?izs(t)R1=1?等效電路：微分方程：X第53

頁由例2-3-1可求得把e(t)=4u(t)代入方程右端得自由項利用沖激函數(shù)匹配法：X第54

頁代入原方程：X第55

頁求得XX第56

頁完全響應自由響應強迫響應零狀態(tài)響應零輸入響應穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應X第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.5沖激響應和階躍響應沖激響應

階躍響應

X第58

頁系統(tǒng)在單位沖激信號作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應，稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用h(t)表示。

一．沖激響應h(t)1．定義

X第59

頁響應及其各階導數(shù)(最高階為n次)

2.沖激響應求解(1)沖激響應的數(shù)學模型對于線性時不變系統(tǒng),可以用一高階微分方程表示

激勵及其各階導數(shù)(最高階為m次)令e(t)=

(t)則r(t)=h(t) X第60

頁(2)h(t)解答的形式設(shè)特征根為簡單根（無重根的單根）由于及其導數(shù)在時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應形式與齊次解的形式相同。

②與n,

m相對大小有關(guān)

①與特征根有關(guān)XX第61

頁例2-5-1對例2-3-1所示電路，求電流i(t)對激勵e(t)=δ(t)的沖激響應。

解：

沖激響應系統(tǒng)的微分方程將e(t)→

(t)， r(t)→h(t)利用沖激函數(shù)匹配法求h(0+)和XX第62

頁代入方程X第63

頁代入h(t)考慮到a=1,即h(t)中有一項aδ(t),因而得出

XX第64

頁二．階躍響應g(t)系統(tǒng)的輸入，其響應為。系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數(shù)，所以除了齊次解外，還有特解項。系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)響應，稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應。1．定義

2．求解

XX第65

頁例2-5-2求電流i(t)對激勵e(t)=u(t)的階躍響應g(t)階躍響應g(t)滿足方程求特解B，對t≥0+代入方程10B=4B=2/5X第66

頁利用沖激函數(shù)匹配法求常數(shù)A1，A2代入方程X第67

頁代入g(t)說明：該題可以利用例2-5-1的結(jié)果和h(t)與g(t)的微、積分的關(guān)系求得。X第68

頁3．階躍響應與沖激響應的關(guān)系線性時不變系統(tǒng)滿足微、積分特性

XX第69

頁總結(jié)沖激響應的定義

零狀態(tài)；單位沖激信號作用下，系統(tǒng)的響應為沖激響應。

沖激響應的求解至關(guān)重要。

沖激響應說明：在時域，對于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵，看響應，不同，說明其系統(tǒng)特性不同，沖激響應可以衡量系統(tǒng)的特性。

用變換域(拉氏變換)方法求沖激響應和階躍響應簡捷方便，但時域求解方法直觀、物理概念明確。第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.６卷積卷積

利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

卷積圖解說明

卷積積分的幾點認識

X第71

頁一．卷積（Convolution）利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。X第72

頁二．利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應任意信號e(t)可表示為沖激序列之和

XX第73

頁回憶：脈沖分量

P251．矩形窄脈沖序列

此窄脈沖可表示為XX第74

頁出現(xiàn)在不同時刻的，不同強度的沖激函數(shù)的和。X第75

頁二．利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應任意信號e(t)可表示為沖激序列之和這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。XX第76

頁三．卷積的計算由于系統(tǒng)的因果性或激勵信號存在時間的局限性，卷積的積分限會有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關(guān)鍵的。利用圖解說明確定積分限

借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限XX第77

頁卷積的圖解步驟X第78

頁X第79

頁t<=-1X第80

頁-1<=t<=1X第81

頁1<=t<=2X第82

頁2<=t<=4X第83

頁4<=t卷積結(jié)果X第84

頁

用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復雜時，用圖形分段求出定積分限尤為方便準確，但比較繁瑣。用解析式作容易出錯，最好將兩種方法結(jié)合起來。

借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限XX第85

頁例2-6-1XX第86

頁4.如何確定積分限（關(guān)鍵）X第87

頁波形第88

頁第89

頁X第90

頁四．對卷積積分的幾點認識

(1)t：觀察響應的時刻，是積分的參變量；

:

信號作用的時刻，積分變量從因果關(guān)系看，必定有(2)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過沖激響應h(t)建立了響應r(t)與激勵e(t)之間的關(guān)系。信號無