幾何圖形初步?？贾R(shí)點(diǎn)2023年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微

考向4.1幾何圖形初步?？贾R(shí)點(diǎn)專

題痔蝶爆搟

例1、（2021?江蘇泰州?中考真題）互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，已知AC=2a+L

BC=a+4,AB=3a,這三點(diǎn)的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)A在8、C兩點(diǎn)之間B.點(diǎn)5在A、C兩點(diǎn)之間

C.點(diǎn)C在A、3兩點(diǎn)之間D.無法確定

解：①當(dāng)點(diǎn)A在8、C兩點(diǎn)之間，則滿足BC=AC+4?.

即。+4=勿+1+3。，

3

解得：?=-,符合題意，故選項(xiàng)A正確；

4

②點(diǎn)5在A、。兩點(diǎn)之間，則滿足AC=8C+AB,

即加+1=〃+4+3。，

3

解得：〃=-；，不符合題意，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

③點(diǎn)C在A、8兩點(diǎn)之間，則滿足AB=8C+AC,

3a=a+4+22+1,

解得：“無解，不符合題意，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.

例2、（2021?山東濟(jì)寧?中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平

面圖形問題.

（1）閱讀材料：立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移

使其相交所成的角.例如，正方體ABCD-AB'CTX（圖1）.因?yàn)樵谄矫鍭A'C'C中，CC7/AA,,

44,與4B相交于點(diǎn)A,所以直線AB與AA所成的ZBAA'就是既不相交也不平行的兩條直

線A8與CC所成的角.

解決問題

如圖1,已知正方體ABCD-A'8'C'。'，求既不相交也不平行的兩條直線應(yīng)V與AC所成角的

大小.

(2)如圖2,M,N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn).

①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開圖，這個(gè)圖形是一；

②在所選正確展開圖中，若點(diǎn)M到AB,8c的距離分別是2和5,點(diǎn)N到BO,8C的距

離分別是4和3,尸是48上一動(dòng)點(diǎn)，求PM+吶的最小值.

解：(1)連接3C',

AC//AC,例與AC相交與點(diǎn)A,

即既不相交也不平行的兩條直線BK與AC所成角為ZBAC.

根據(jù)正方體性質(zhì)可得：A'B=BC'^A'C',

△A'BC'為等邊三角形，

ZBA'C'=60°,

即既不相交也不平行的兩條直線BA與AC所成角為6()。；

(2)①根據(jù)正方體展開圖可以判斷，

甲中與原圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置不符，乙圖形不能拼成正方體，

故答案為丙；

②如圖：作M關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M',連接NM',與AB

交于點(diǎn)尸，連接MP,^\PM+PN=PN+PM'=NM',

過點(diǎn)N作BC垂線，并延長與交于點(diǎn)E,

:點(diǎn)M到8c的距離是5,點(diǎn)N到BC的距離是3,

NE=8,

???點(diǎn)M到AB的距離是2,點(diǎn)N到的距離是4,

EM'=6,

NM'=EM@+NE?=>/62+82=10>

故「M+PN最小值為10.

【點(diǎn)撥】本題主要考查正方形的性質(zhì)、正方體的側(cè)面展開圖、根據(jù)對(duì)稱關(guān)系求最短距離、勾

股定理等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，明確PM+/W最小時(shí)的情況是解題的關(guān)鍵.

1、《幾何初步知識(shí)》幾何重要的必考點(diǎn)是直線的性質(zhì)公理、線段公理、垂線段公理、互補(bǔ)、互余的運(yùn)

用，在復(fù)習(xí)階段的主要任務(wù)是把此知識(shí)點(diǎn)與后面的知識(shí)綜合加以運(yùn)用上；

2、例題1運(yùn)用了分討論思想，例題2是線段公理的運(yùn)用，這此知識(shí)點(diǎn)都將在中考中作為?？贾R(shí)點(diǎn)出

現(xiàn)。

經(jīng)典變式練

一、單選題

知識(shí)點(diǎn)一、立體圖形

1.（2020?福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）下列哪個(gè)圖形是正方體的展開圖（）

___I-1I11

r.-r-i-i.!I..I____LJ?.I

A.---------jB.1c._D.

2.（2020?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖1是邊長為1的六個(gè)小正方形組成的平面圖形，將它圍成圖

2的正方體，則圖1中小正方形頂點(diǎn)A,B在圍成的正方體上的距離是

圖1

A.6B.y/2C.1D.0

3.（2021.重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校三模）將如圖所示的RSACB繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)一周，所得

幾何體的主視圖（正視圖）是（）

A

A.bKc.D.

知識(shí)點(diǎn)二、直線、射線、線段

4.（2017?廣東白云?中考模擬）下列圖形中能比較大小的是（）

A.兩條線段B.兩條直線C.直線與射線D.兩條射線

5.（2020.浙江?模擬預(yù)測(cè)）下列各圖形中，有交點(diǎn)的是（）

知識(shí)點(diǎn)三、線段的有關(guān)概念和計(jì)算

6.（2017?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，已知圖中所有線段的長度都是正

整數(shù)，且總和為29,則線段AB的長度是（）

AC.DR

A.8B.9C.8或9D.無法確定

7.（2017?北京海淀?二模）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段AE和48的長短（兩次比較圓規(guī)的

張角不變），其中正確的是（）

A'B'⑷⑻

A.A'B'<ABB.A'B'=ABC.A'B'>ABD.不確定

8.（2018?江蘇濱海?中考模擬）要整齊地栽一行樹，只要確定兩端的樹坑的位置，就能確定

這一行樹坑所在的直線，這里用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）

A.兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短

B.經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線

C.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短

D.經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

知識(shí)點(diǎn)四、線段的中點(diǎn)

9.（2017?河北滄州?中考模擬）如圖，C,9是線段上兩點(diǎn),若CB=4cm,DB=7cm,

且。是AC的中點(diǎn)，則4c的長等于（）

ADCB

A.3cmB.6cmC.11cmD.14cm

10.（2020?河北玉田?二模）如圖，數(shù)軸上。、A兩點(diǎn)的距離為4,一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按

以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)4處，第2次從A點(diǎn)跳動(dòng)到A0的中點(diǎn)4處，第3

次從4點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)&處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)44,4,兒,…,4（"23,n

是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2020次跳動(dòng)后的點(diǎn)與。點(diǎn)的距離是（）

D-L

2021

口,2

11.（2018?湖南長沙?一模）如圖，點(diǎn)C、D是線段AB上的兩點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn).若

AB=10cm,BC=4cm,則線段DB的長等于（）

?_________________I___________?

ADCB

A.2cmB.3cmC.6cmD.7cm

12.（2020?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）下列說法：

①兩點(diǎn)之間，直線最短；

②若AC=8C,則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)；

③同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；

④過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

其中正確的說法有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

13.（2021?安徽?合肥市第四十二中學(xué)一模）如圖，在RtA4BC中，ZACB=90°,8c=3,

A8=5,點(diǎn)。是邊2C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在AD上取一點(diǎn)E,使ZDAC=ZDCE,連接BE,

則8E的最小值為（）

A.2^-3B.C.岳一2D.1

知識(shí)點(diǎn)五、角及角的相關(guān)概念

14.（2018?湖南?邵陽縣白倉鎮(zhèn)千秋中學(xué)一模）如圖，下列表示角的方法，錯(cuò)誤的是（）

A.N1與NAOB表示同一個(gè)角B.NAOC也可以用NO來表示

C.表示的是/BOCD.圖中共有三個(gè)角：ZAOB,ZAOC,ZBOC

15.（2020.浙江杭州.模擬預(yù)測(cè)）下列說法正確的是（）

A.角是由兩條射線組成的圖形B.一條射線就是一個(gè)周角

C.如果線段AB=BC,那么B叫作線段AB的中點(diǎn)D.兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)

16.（2020.河北.模擬預(yù)測(cè)）島P位于島Q的正西方，由島P、Q分別測(cè)得船R位于南偏東

30。和南偏西45。方向上.符合條件的示意圖是（）

17.（2020.湖北?恩施市白果鄉(xiāng)初級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）一副直角三角板有不同的擺放方式，圖中

滿足Na與N0相等的擺放方式是（）

18.（2014?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O,E是NAOD內(nèi)一點(diǎn)，已

知OEJ_AB,ZBOD=45°,則/COE的度數(shù)是（）

19.（2018?貴州遵義中考模擬）如圖，點(diǎn)D在BA的延長線上，AE是/DAC的平分線且

AE//BC,若ZB=30。，則/C的大小為（）

20.（2020.廣東珠海?二模）如圖所示，直線A8與C。相交于。點(diǎn)，Z1=Z2,若ZAOE=138。,

則N4OC的度數(shù)為（）

A.45°B.90°C.84°D.100°

知識(shí)點(diǎn)七、余角與補(bǔ)角

21.（2020?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知/。=60。32，，則Na的余角是（）

A.29°28'B.29°68'C.119°28'D.119°68'

22.（2021?廣東?鐵一中學(xué)二模）下面角的圖示中，能與30。角互補(bǔ)的是（）

23.（2020?河北?模擬預(yù)測(cè)）若a=29°45',則a的余角等于（）

A.60°55'B.60°15'C.150°55,D.150015，

24.（2021?江蘇?常州市第二十四中學(xué)一模）如圖,將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺

放方式中4與4互余的是（）

D.圖④

25.（2020?陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖,在用直角△ABC中，4=45。，AB=AC,點(diǎn)。為BC中

點(diǎn)，直角AMDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),DM,DN分別與邊AB,AC交于E,F兩點(diǎn)，下列結(jié)論:①ADEF

是等腰直角三角形；②AE=C尸；③△BOEg/MO尸；?BE+CF=EF,其中正確結(jié)論是（）

C.①②③D.①②③④

26.（2018?四川馬邊?中考模擬）將一副三角板按如圖方式擺放，/I與/2不一定互補(bǔ)的是

（）

二、填空題

知識(shí)點(diǎn)一、立體圖形

27.（2014.河南.模擬預(yù)測(cè)）如圖是正方體的展開圖，則原正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字之和的

最小值的是

28.（2015?河南?模擬預(yù)測(cè)）圖①所示的正方體木塊棱長為6cm,沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖

中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行

到頂點(diǎn)B的最短距離為cm.

29.（2019?湖北通城?一模）如圖，將邊長為6的正方形紙片A8CZ）沿E尸折疊（點(diǎn)E,尸分別

在邊AB,CD.t）,使點(diǎn)B落在AO邊上的點(diǎn)M處（點(diǎn)M不與A,。重），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處,

MN與CD交于點(diǎn)P,連接MB,當(dāng)點(diǎn)M在邊AO上移動(dòng)時(shí).有下列結(jié)論：①BM=EF；②0

<PF<3；③④的周長隨之改變.其中正確結(jié)論的序號(hào)是

.（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）

知識(shí)點(diǎn)二、直線、射線、線段

30.（2014?河北?模擬預(yù)測(cè)）直線上有2013個(gè)點(diǎn)，我們進(jìn)行如下操作：在每相鄰兩點(diǎn)間插入

1個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過3次這樣的操作后，直線上共有個(gè)點(diǎn).

31.（2018?北京朝陽?二模）直線AB,BC,CA的位置關(guān)系如圖所示，則下列語句：①點(diǎn)A

在直線BC上；②直線AB經(jīng)過點(diǎn)C；③直線AB,BC,CA兩兩相交；④點(diǎn)B是直線AB,

BC,CA的公共點(diǎn)，正確的有（只填寫序號(hào)）.

32.（2020?北京?北理工附中三模）在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題:

尺規(guī)作圖：過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線.

已知：直線1及其外一點(diǎn)A.

求作：1的平行線，使它經(jīng)過點(diǎn)A.

A

小云的作法如下：

（1）在直線1上任取一點(diǎn)B；

（2）以B為圓心，BA長為半徑作弧，交直線1于點(diǎn)C；

（3）分別以A、C為圓心，BA長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D；

（4）作直線AD.直線AD即為所求.

BJ

小云作圖的依據(jù)是.

知識(shí)點(diǎn)三、線段的有關(guān)計(jì)算

33.（2020?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）已知線段A3,點(diǎn)C、點(diǎn)。在直線A3上，并且CD=8,

AC:CB=1：2,BD：AB=2：3,則AB=.

知識(shí)點(diǎn)二、線段的中點(diǎn)

34.（2019?江西萍鄉(xiāng)?一模）如圖，點(diǎn)C是線段A8的中點(diǎn)，AB=6cm,如果點(diǎn)。是線段AB

上一點(diǎn)，且BO=lcm,那么CQ=cm.

AC'D~B

35.（2020?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）已知A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，M、N分別為線段AB、

BC的中點(diǎn)，且AB=60,BC=40,則MN的長為

36.（2020?江蘇?楊集中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）數(shù)軸上O,A兩點(diǎn)的距離為4,一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，

按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到A。的中點(diǎn)4處，第2次從Ai點(diǎn)跳動(dòng)到40的中點(diǎn)4處,

第3次從4點(diǎn)跳動(dòng)到4。的中點(diǎn)A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)A4,As,A6,

4.（應(yīng)3,〃是整數(shù)）處，那么線段A.A的長度為（色3,〃是整數(shù)）.

知識(shí)點(diǎn)三、線段公理

37.（2020?江蘇省天一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，4cB。在A3的同側(cè)，AC=2,BD=8,AB=S,

點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，若NCM￡>=120,則以）的最大值是.

38.（2019?北京通州?中考模擬）如圖所示，在一條筆直公路/的兩側(cè)，分別有A、B兩個(gè)小

區(qū)，為了方便居民出行，現(xiàn)要在公路/上建一個(gè)公共自行車存放點(diǎn)，使存放點(diǎn)到A、8小區(qū)

的距離之和最小，你認(rèn)為存放點(diǎn)應(yīng)該建在處（填或"?！?，理由是

知識(shí)點(diǎn)三、角的比較和計(jì)算

39.（2020.遼寧鐵嶺.模擬預(yù)測(cè)）將一副三角板按如圖方式擺放在一起，且N1比N2大20°,

則Z1的度數(shù)等于.

知識(shí)點(diǎn)四、角平分線

40.（2021?遼寧新?lián)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知直線AB和CD相交于。點(diǎn)，NCOE是直角,

OF平分/AOE,NCOF=34。，則的度數(shù)為___.

41.（2017?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB//CD,CE平分NACD,若Nl=25°,那么N2的度數(shù)

是一

2EB

知識(shí)點(diǎn)五、余角補(bǔ)角

42.（2020.江蘇徐州?二模）已知Na=60°32',則Na的補(bǔ)角是

43.（2018?湖南邵陽?中考模擬）如圖，0（2，人8于點(diǎn)0,/1=/2,則圖中互余的角有

對(duì).

一、單選題

知識(shí)點(diǎn)一、立體圖形

1.（2021?貴州安順?中考真題）下列幾何體中，圓柱體是（

2.（2021?西藏?中考真題）如圖是由五個(gè)相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖為（

D.

知識(shí)點(diǎn)二、立體圖形展開圖

3.（2019?廣東?中考真題）下列哪個(gè)圖形是正方體的展開圖（）

4.（2019?內(nèi)蒙古?中考真題）下面四個(gè)圖形中，經(jīng)過折疊能圍成如圖所示的幾何圖形的是

()

知識(shí)點(diǎn)三、立體圖形的旋轉(zhuǎn)

5.（2019?廣西廣西?中考真題）如圖，將下面的平面圖形繞直線/旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖

形是（）

6.（2013?廣西南寧?中考真題）如圖所示，將平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是

知識(shí)點(diǎn)四、七巧板

7.（2021.山東棗莊.中考真題）小明有一個(gè)呈等腰三角形的積木盒，現(xiàn)在積木盒中只剩下如

圖的九個(gè)空格，下面有四種積木的搭配，其中不能放入的有（）

搭配①搭配②搭配③搭配④

■■■■■

■■■■■■■■■■■■■■

■■■■■

■■■■■■■■■■■■■

A.搭配①B.搭配②C.搭配③D.搭配④

8.（2020?浙江?中考真題）七巧板是我國祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，流行于世界各地.由邊長為

2的正方形可以制作一副中國七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示.分別用這兩副七巧板

試拼如圖2中的平行四邊形或矩形，則這兩個(gè)圖形中，中國七巧板和日本七巧板能拼成的個(gè)

知識(shí)點(diǎn)五、線段的計(jì)算及線段中點(diǎn)

9.（2021?江蘇泰州?中考真題）互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，已知AC=2a+l,

BC—a+4,AB—3a,這三點(diǎn)的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)A在8、C兩點(diǎn)之間B.點(diǎn)8在A、C兩點(diǎn)之間

C.點(diǎn)C在A、8兩點(diǎn)之間D.無法確定

10.（2021?內(nèi)蒙古?中考真題）已知線段4?=4,在直線AB上作線段BC,使得BC=2.若

。是線段AC的中點(diǎn)，則線段AD的長為（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

11.（2020.廣西貴港?中考真題）如圖，動(dòng)點(diǎn)M在邊長為2的正方形A8C。內(nèi)，且

戶是8邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，則線段PE+PM的最小值為（）

A.V10-1B.y/2+1C.A/10D.6+1

12.（2020?四川涼山?中考真題）點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn).若

線段AB=12an,則線段BD的長為（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

13.（2019?廣西河池?中考真題）如圖，AAfiC為等邊三角形，點(diǎn)戶從A出發(fā)，沿河一BfCfA

作勻速運(yùn)動(dòng)，則線段AP的長度y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系大致是（）

JAy小

知識(shí)點(diǎn)六、角的計(jì)算

14.（2021?西藏?中考真題）把一塊等腰直角三角板和一把直尺按如圖所示的位置構(gòu)成，若N1

=25。，則/2的度數(shù)為（）

15.（2021?廣西百色?中考真題）已知Na=25O3（T,則它的余角為（）

A.25°30'B.64°30,C.74°30,D.154°30'

16.（2021.貴州畢節(jié)?中考真題）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則N1的度

數(shù)為（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

17.（2021?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）把直尺與一塊三角板如圖放置，若Nl=47。，貝此2的

二、填空題

知識(shí)點(diǎn)一、立體圖形的有關(guān)計(jì)算

18.（2012?四川樂山?中考真題）從棱長為2的正方體毛坯的一角，挖去一個(gè)棱長為1的小正

方體，得到一個(gè)如圖所示的零件，則這個(gè)零件的表面積為.

19.（2011?湖北孝感?中考真題）一個(gè)幾何體是由一些大小相同的小正方體擺成的，其主視圖

與左視圖如圖所示，則組成這個(gè)幾何體的小正方體最少有個(gè).

主視圖左視圖

20.（2020?湖南懷化?中考真題）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)求得這個(gè)幾

何體的側(cè)面積是（結(jié)果保留萬）.

I

21.（2015?山東青島?中考真題）如圖，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張明用17個(gè)邊長為1的小正

方形搭成了一個(gè)幾何體，然后他請(qǐng)王亮用其他同樣的小正方體在旁邊再搭一個(gè)幾何體，使王

亮所搭幾何體恰好可以和張明所搭幾何體拼成一個(gè)無縫隙的大長方體（不改變張明所搭幾何

體的形狀），那么王亮至少還需要個(gè)小立方體，王亮所搭幾何體的表面積為.

4彳-----/

22.（2013?浙江杭州?中考真題）四邊形ABCD是直角梯形，A3〃C￡）,ABLBC,且BC=CD=2,

AB=3,把梯形ABCD分別繞直線AB,CD旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積分別為吊，S2,

則⑸-S2|=（平方單位）

23.（2013?黑龍江綏化?中考真題）直角三角形兩直角邊長是3cm和4cm,以該三角形的邊

所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的表面積是—cn?.（結(jié)果保留兀）

知識(shí)點(diǎn)二、七巧板

24.（2021?浙江?中考真題）由沈康身教授所著，數(shù)學(xué)家吳文俊作序的《數(shù)學(xué)的魅力》一書中

記載了這樣一個(gè)故事：如圖，三姐妹為了平分一塊邊長為1的祖?zhèn)髡叫蔚靥海葘⒌靥悍?/p>

割成七塊，再拼成三個(gè)小正方形（陰影部分）.則圖中AB的長應(yīng)是.

知識(shí)點(diǎn)三、線段公理（最值）

25.（2021?山東濱州?中考真題）如圖，在一ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=2.若

點(diǎn)P是.ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為.

26.（2020?遼寧鞍山?中考真題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（3,6）,B（—2,2）,在「軸

上取兩點(diǎn)C,。（點(diǎn)C在點(diǎn)。左側(cè)），且始終保持CO=1,線段CD在x軸上平移，當(dāng)AD+3C

的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

知識(shí)點(diǎn)四、線段的中點(diǎn)

27.（2020?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）一個(gè)電子跳蚤在數(shù)軸上做跳躍運(yùn)動(dòng).第一次從原點(diǎn)O起跳，

落點(diǎn)為4,點(diǎn)4表示的數(shù)為1；第二次從點(diǎn)4起跳，落點(diǎn)為的中點(diǎn)A2；第三次從4

點(diǎn)起跳，落點(diǎn)為（M2的中點(diǎn)A3；如此跳躍下去……最后落點(diǎn)為0A2019的中點(diǎn)4020.則點(diǎn)A2O2O

表示的數(shù)為.

第一次

^2020^344

28.（2019?山東?中考真題）如圖，已知AB=8cm,BD=3cm,C為AB的中點(diǎn)，則線段CD

的長為cm.

I_______________I____I___________I

ACDB

29.（2014?四川達(dá)州?中考真題）《莊子.天下篇》中寫道：“一尺之植，日取其半,萬世不竭”

意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也取不完，如圖.

111

2____________Z____?丁?

由圖易得：（+*+*++￡=--------

知識(shí)點(diǎn)五、角的有關(guān)計(jì)算

30.（2021?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）74。19'30"=

31.（2021?湖南益陽?中考真題）如圖，與CO相交于點(diǎn)O,0E是NAOC的平分線，且0C

恰好平分/EOB,則ZAOD=度.

知識(shí)點(diǎn)六、方位角的有關(guān)計(jì)算

32.（2021?廣西玉林?中考真題）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)

離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里，1小時(shí)

后兩船分別位于點(diǎn)A,B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40。方向航行，則乙

船沿方向航行.

33.（2021?湖北武漢?中考真題）如圖，海中有一個(gè)小島A,一艘輪船由西向東航行，在B點(diǎn)

測(cè)得小島A在北偏東60。方向上；航行12nmile到達(dá)C點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30。方向

上.小島A到航線8c的距離是nmile（^?1.73,結(jié)果用四舍五入法精確到

0.1）.

三、解答題

34.（2021?湖北荊門?中考真題）某海域有一小島P,在以P為圓心，半徑/■為10（3+岔）海

里的圓形海域內(nèi)有暗礁.一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東60。的方

向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛20夜海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東45。方向上.

（1）求A,P之間的距離AP；

（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由.如果有觸礁危險(xiǎn)，那么

海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域？

35.（2021?江蘇南京?中考真題）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

（1）如圖①，圓錐的母線長為12cm,8為母線OC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，AC的長

為4?cm.在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，并標(biāo)

出它的長（結(jié)果保留根號(hào)）.

（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成.O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的

底面圓周上.設(shè)圓錐的母線長為/,圓柱的高為兒

①螞蟻從點(diǎn)4爬行到點(diǎn)0的最短路徑的長為（用含/,力的代數(shù)式表示）.

②設(shè)AZ）的長為“，點(diǎn)B在母線0C上，OB=b.圓柱的側(cè)面展開圖如圖④所示，在圖中畫

出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路.

參考答案

1.B

【分析】

根據(jù)正方體展開圖的11種特征，選項(xiàng)A、C、D不是正方體展開圖；選項(xiàng)B是正方體展開

圖的TW-1”型.

【詳解】

根據(jù)正方體展開圖的特征，選項(xiàng)A、C、D不是正方體展開圖；選項(xiàng)B是正方體展開圖.

故選B.

【點(diǎn)撥】正方體展開圖有11種特征，分四種類型，即：第一種：“1-4-1”結(jié)構(gòu)，即第一行放

1個(gè)，第二行放4個(gè)，第三行放1個(gè)；第二種：“2-2-2”結(jié)構(gòu)，即每一行放2個(gè)正方形，此種

結(jié)構(gòu)只有一種展開圖；第三種：“3-3”結(jié)構(gòu)，即每一行放3個(gè)正方形，只有一種展開圖；第

四種：“1-3-2”結(jié)構(gòu)，即第一行放1個(gè)正方形，第二行放3個(gè)正方形，第三行放2個(gè)正方形.

2.C

【解析】

試題解析：將圖1折成正方體后點(diǎn)A和點(diǎn)3為同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)，故此AB=1.故選C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查的是展開圖折成幾何體，判斷出點(diǎn)A和點(diǎn)B在幾何體中的位置關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

3.D

【詳解】

解：RSACB繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是圓錐，主視圖是等腰三角形.

故選D.

首先判斷直角三角形ACB繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是圓錐，再找出圓錐的主

視圖即可.

4.A

【分析】

直接利用直線、射線、線段的性質(zhì)分析得出答案.

【詳解】

A.兩條線段可以比較大小，故此選項(xiàng)正確.

B.直線沒有長度，無法比較，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.直線與射線沒有長度，無法比較，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.射線沒有長度，無法比較，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了直線、射線、線段，正確掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】

根據(jù)射線能夠向一方延伸、直線能夠向兩方延伸和線段不能延伸進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：結(jié)合圖形，根據(jù)直線、射線和線段的延伸性，可判斷：

A、直線AB和射線CO不相交，沒有交點(diǎn)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、直線AB和射線C￡)一定能夠相交，本選項(xiàng)正確；

C、射線AB與線段CD不相交，沒有交點(diǎn)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、直線AB與線段8不相交，沒有交點(diǎn)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了直線、射線和線段的延伸性，屬于基礎(chǔ)題型.

6.C

【詳解】

解：根據(jù)題意可得：AC+AD+AB+CD+CB+DB=29,

即(AC+CB)+(AD+DB)+(AB+CD)=29,

3AB+CD=29,

???圖中所有線段的長度都是正整數(shù)，

當(dāng)CD=1時(shí)，AB不是整數(shù)，

當(dāng)CD=2時(shí),AB=9,

當(dāng)CD=3時(shí)，AB不是整數(shù)，

當(dāng)CD=4時(shí)，AB不是整數(shù)，

當(dāng)CD=5時(shí)，AB=8,

當(dāng)CD=8時(shí)，AB=7,

又；AB>CD,

/.AB只有為9或8.

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)間的距離.

7.C

【分析】

根據(jù)比較線段的長短進(jìn)行解答即可.

【詳解】

由圖可知，A'B'>AB,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了比較線段的長短，解題的關(guān)鍵是正確比較線段的長短.

8.B

【分析】

本題要根據(jù)過平面上的兩點(diǎn)有且只有一條直線的性質(zhì)解答.

【詳解】

根據(jù)兩點(diǎn)確定一條宜線.

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了“兩點(diǎn)確定一條直線”的公理，難度適中.

9.B

【分析】

由CB=4a”，求得CD=3cm,再根據(jù)。是AC的中點(diǎn)即可求得AC的長

【詳解】

；C,。是線段A8上兩點(diǎn)，CB=4cm,DB=1cm,

：.CD=DB-BC=1-4=3(cm),

?.?。是AC的中點(diǎn)，

.'.AC=2CD=2x3=6(cm).

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題考察線段的運(yùn)算，根據(jù)圖形確定線段之間的數(shù)量關(guān)系即可正確解答.

10.A

【分析】

根據(jù)題意，得第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)Ai處，即在離原點(diǎn)的長度為gx4,第二次從Ai點(diǎn)跳

動(dòng)到A?處，即在離原點(diǎn)的長度為(g)入4,找到跳動(dòng)n次的規(guī)律即可.

【詳解】

由于OA=4,所以第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)Ai處時(shí)，OAi=gOA=/x4=2,

同理第二次從Ai點(diǎn)跳動(dòng)到A?處，離原點(diǎn)的(g)2x4處，

同理跳動(dòng)n次后，離原點(diǎn)的長度為(y)“4=費(fèi)，

則2020次跳動(dòng)后的點(diǎn)與。點(diǎn)的距離是擊

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題是一道找規(guī)律的題目，考查了兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)題意表示出各個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的規(guī)

律是解題關(guān)鍵.

11.D

【詳解】

【分析】先求AC,再根據(jù)點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，求出CD,再求BD.

【詳解】因?yàn)椋珹B=IOcm,BC=4cm,

所以，AC=AB-BC=10-4=6(cm)

因?yàn)?，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，

所以，CD=3cm,

所以，BD=BC+CD=3+4=7(cm)

故選D

【點(diǎn)撥】本題考核知識(shí)點(diǎn)：線段的中點(diǎn)，和差.解題關(guān)鍵點(diǎn)：利用線段的中點(diǎn)求出線段長度.

12.A

【分析】

根據(jù)線段的性質(zhì)，平行公理及推理，垂線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)分析判斷.

【詳解】

解：①兩點(diǎn)之間，線段最短，故錯(cuò)誤；

②若AC=BC,且A,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，故錯(cuò)誤；

③同一平面內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故正確；

④經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故錯(cuò)誤.

正確的共1個(gè)

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行公理及推論，線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離以及垂線，熟記基礎(chǔ)只記

題目，掌握相關(guān)概念即可解題.

13.C

【分析】

根據(jù)N￡>CE+NACE=90。，NDCE=NDAC,確定NZMC+NACE=90。即NAEC=90。，取AC

的中點(diǎn)凡當(dāng)B、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)，BE最小，根據(jù)勾股定理求解即可

【詳解】

,/ZACB=90°,

/.ZDC￡+ZAC￡=90°,

ZDCE=ZDAC,

.../D4C+NACE=90。即NAEC=90。，取AC的中點(diǎn)F,當(dāng)B、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)，BE最小,

VZACB=90°,BC=3,AB=5,

：.AC=4,

：.AF=CF=EF=2,

BF=dcF+BC。=722+32=岳

.\BE=BF-EF=y/13-2,

故選C

【點(diǎn)撥】本題考查/勾股定理，直角三角形的判定，斜邊上的中線等于斜邊的一半，兩點(diǎn)之

間線段最短原理，取AC的中點(diǎn)凡準(zhǔn)確構(gòu)造兩點(diǎn)之間線段最短原理是解題的關(guān)鍵.

14.B

【詳解】

解：由于頂點(diǎn)。處，共有3個(gè)角，所以NAOC不可以用NO來表示，故B錯(cuò)誤.故選B.

15.D

【分析】

利用有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角以及射線的定義以及直線的性質(zhì)分別分析得

出答案.

【詳解】

A.有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.一條射線就是一個(gè)周角，錯(cuò)誤；

C.如果線段A8=8C,那么8叫做線段AB的中點(diǎn)，三點(diǎn)不一定在同一直線上，故C選項(xiàng)錯(cuò)

誤；

D.兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)，正確.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了角、射線的定義以及直線的性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.D

【詳解】

解：根據(jù)文字語言，畫出示意圖，如下：

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查方向角的概念，掌握概念正確作圖是解題關(guān)鍵.

17.B

【分析】

根據(jù)題意分別求出Na、NB關(guān)系，做出判斷即可.

【詳解】

解：A.Na、互余，不合題意；

B.根據(jù)根據(jù)同角的余角相等可得Na=/p,符合題意；

C.Za=60°,ZP=75°,不合題意；

D.Za=45°,Zp=60°,不合題意.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了互為余角的意義.掌握同角的余角相等是解題的關(guān)鍵.

18.B

【詳解】

試題解析：OEA.AB,

:.ZAOE=90,

又-ZBOD=45°,

.\ZAOC=45°,

：./COE=ZAOC+ZAOE=45°+90°=135°.

故選B.

19.A

【分析】

山AE是/DAC的平分線且AE〃友:易得NB=NZME=NE4C=NC,由/8=30。即可得出

正確答案.

【詳解】

AE是NDAC的平分線且AE〃8C

ZB=NDAE=ZEAC=ZC

ZB=30°,

ZC=30°.

故選A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的定義及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到角之間的等量

關(guān)系.

20.C

【分析】

根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得到Z2,再根據(jù)Nl=N2求解/BOD,根據(jù)對(duì)頂角相等可得NAOC的度

數(shù).

【詳解】

解：VZAOE=138°,

：.Z2=180°-ZAOE=180°-138°=42°,

,/Z1=Z2,

；./DOB=2/2=84°,

...NAOC=/BOD=84°,

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記

概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.A

【解析】

【分析】

根據(jù)余角的概念進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

/a的余角為90°-60°32'=29°28'

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查的是余角，如果兩個(gè)角的和等于90。，就說這兩個(gè)角互為余角.掌握余角

的定義是關(guān)鍵.

22.D

【詳解】

試題分析：30。角的補(bǔ)角=180。-30。=150。，是鈍角，結(jié)合各圖形，只有選項(xiàng)D是鈍角，所以，

能與30。角互補(bǔ)的是選項(xiàng)D.故選D.

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角.

23.B

【分析】

根據(jù)余角的定義即可求解.

【詳解】

；a-29°45',的余角等于:90°-29°45'=60°15'.故選B.

【點(diǎn)撥】此題主要考查余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知互為余角的兩個(gè)角之和為90。.

24.A

【詳解】

分析：根據(jù)平角的定義，同角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等和鄰補(bǔ)角的定義對(duì)各小題分析判

斷即可得解.

詳解：圖①，Za+Zp=1800-90°,互余：

圖②，根據(jù)同角的余角相等，Za=Zp;

圖③，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等Na=N0；

圖④，Za+Zp=180°,互補(bǔ).

故選A.

點(diǎn)撥：本題考查了余角和補(bǔ)角，是基礎(chǔ)題，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.C

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NCAD=/B=45。，根據(jù)同角的余角相等求出

NADF=/BDE,然后利用“角邊角”證明△BDE和△ADF全等，判斷出③正確；根據(jù)全等三

角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF、BE=AF,從而得到△DEF是等腰直角三角形，判斷出①正確：

再求出AE=CF,判斷出②正確；根據(jù)BE+CF=AF+AE,利用三角形的任意兩邊之和大于第

三邊可得BE+CFAEF,判斷出④錯(cuò)誤.

【詳解】

VZB=45°,AB=AC,

.".△ABC是等腰直角三角形，

?.?點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，

；.AD=CD=BD,AD±BC,NCAD=45。，

.?./CAD=/B,

VZMDN是直角，

.,.ZADF+ZADE=90°,

,/ZBDE+ZADE=ZADB=90°,

；./ADF=NBDE,

NCAD=NB

在△BDE和△ADF中，,AD=BD,

ZADF=NBDE

.,.△BDE^AADF(ASA),故③正確；

；.DE=DF、BE=AF,

又???NMDN是直角，

.?.△DEF是等腰直角三角形，故①正確；

VAE=AB-BE,CF=AC-AF,

...AE=CF,故②正確；

VBE+CF=AF+AE>EF,

；.BE+CF>EF,

故④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③；

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等的

性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題

的關(guān)鍵.

26.D

【解析】

A選項(xiàng)：

Z1+Z2=360°—90°x2=l80°；

B選項(xiàng)：

VZ2+Z3=90°,Z3+Z4=90°,

.'.Z2=Z4,

VZI+Z4=180°,

.,.Zl+Z2=180°；

C選項(xiàng)：

NABC=NDEC=90。,：.AB//DEf：.Z2=ZEFC,

VZl+ZEFC=180°,.,.ZI+Z2=180°；

D選項(xiàng)：Z1和N2不一定互補(bǔ).

故選D.

點(diǎn)撥：本題主要掌握平行線的性質(zhì)與判定定理，關(guān)鍵在于通過角度之間的轉(zhuǎn)化得出N1和N2

的互補(bǔ)關(guān)系.

27.6

【分析】

根據(jù)相對(duì)的面相隔一個(gè)面得到相對(duì)的2個(gè)數(shù)，相加后比較即可.

【詳解】

解：由正方體的展開圖的特點(diǎn)可得：2和6是相對(duì)的兩個(gè)面；3和4是相對(duì)兩個(gè)面；1和5

是相對(duì)的2個(gè)面，

V2+6=8,3+4=7,1+5=6,

所以原正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字和最小的是6.

故答案為6.

28.（3&+3遍）.

【分析】

要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出

結(jié)果.

【詳解】

如圖所示：

△BCD是等腰直角三角形，AACD是等邊三角形，

在RtABCD中，CD=yjBC2+BD2=642cm,

BE=：CD=372cm,

在RtAACE中，AE=-JAC2-CE2=3瓜cm,

從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為（30+36）cm.

故答案為（3亞+3后）.

【點(diǎn)撥】本題考查了平面展開-最短路徑問題，關(guān)鍵是把圖②的兒何體表面展開成平面圖形,

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解題.

29.①②③

【分析】

作FG_LAB于G,證明△ABMTaGFE（AAS）,得出BM=EF,①正確；

若點(diǎn)M與A重合，則C與D重合，P與D重合，PF=3；當(dāng)M與D重合時(shí)，N與C重合，

P與C重合，EF與AC重合，CF=O；得出0<PF<3,②正確；

由等腰三角形的性質(zhì)得出/ABM=/EMB,由/ABC=/EMN=90。，得出/AMB=/BMP,

③正確；

可證△AEMs/\DMP,兩個(gè)三角形的周長的比是AE：MD,設(shè)AM=x,根據(jù)勾股定理可以

用x表示出MD的長與AMAE的周長，根據(jù)周長的比等于相似比，求出△PDM的周長=12

為定值，得出④不正確，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：作FGLAB于G,如圖所示：

則/EGF=90°,GF=BC=AB,

???四邊形ABCD是正方形，

.,.ZABC=ZA=90o,

ZABM+ZAMB=90°,

由折疊的性質(zhì)得：BM±EF,BE=ME,NEMN=NABC=90。，

ZABM+ZGEF=ZABM+ZAMB=90°,

ZAMB=ZGEF,

在4ABM和4GFE中，

NA=NEGF=90。

,ZAMB=ZGEF,

AB=GF

/.△ABM^AGFE(AAS),

；.BM=EF,①正確；

若點(diǎn)M與A重合，則C與D重合，P與D重合，PF=3；

當(dāng)M與D重合時(shí)，N與C重合，P與C重合，EF與AC重合，CF=O；

?點(diǎn)M不與A,D重合，

.,-0<PF<3,②正確；

VBE=ME,

NABM=NEMB,

VZABC=ZEMN=90°,

.?.NAMB=NBMP,③正確；

設(shè)AM=x,則MD=6-x.

由折疊性質(zhì)可知，EM=BE=6-AE,

在RSAEM中，AE2+AM2=EM2,即AE?+x2=(6-AE)2,

整理得：AE2+x2=36-12AE+AE2,

AE=—(36-x2),

12

XVZEMP=90°,

AZAME+ZDMP=90o.

VZAME+ZAEM=90°,

AZAEM=ZDMP.

又「NA=ND,

/.△PDM^AMAE.

.一尸QM的周長_MQ

一M4諭周長一次'

MD_/x.、6-x

APDM的周長=△MAE的周長?而_L2)=12.

...△PDM的周長保持不變，④不正確；

故答案為：①②③.

【點(diǎn)撥】此題考查翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形

的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全

等三角形解決問題.

30.16097

【解析】

試題分析：根據(jù)題意分析，找出規(guī)律：

第一-次：2013+(2013-1)=2x2013-1,

第二次：2x2013-1+2x2013-2=4x2013-3,

第三次：4x2013-3+4x2013-4-8x2013-7.

經(jīng)過3次這樣的操作后，直線上共有8x2013-7=16097個(gè)點(diǎn).

31.③

【分析】

根據(jù)直線與點(diǎn)的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】

①點(diǎn)A在直線BC上是錯(cuò)誤的；

②直線AB經(jīng)過點(diǎn)C是錯(cuò)誤的；

③直線AB,BC,CA兩兩相交是正確的；

④點(diǎn)B是直線AB,BC,CA的公共點(diǎn)是錯(cuò)誤的.

故答案為③.

【點(diǎn)撥】本題考查了直線、射線、線段，關(guān)鍵是熟練掌握直線、射線、線段