河南省信陽市2021-2022學(xué)年中考數(shù)學(xué)測試模擬試卷（一）含答案

河南省信陽市2021-2022學(xué)年中考數(shù)學(xué)測試模擬試卷（一）

一、選一選（每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）

1.-23的相反數(shù)是（）

A.-8B.8C.-6D.6

【答案】B

【解析】

【詳解】；—23=-8,-8的相反數(shù)是8,??.—23的相反數(shù)是8,

故選B.

2.碳納米管的硬度與金剛石相當(dāng)，卻擁有良好的柔韌性，可以拉伸，我國某物理所己研制出直

徑小于05fmi的碳納米管，已知/〃機(jī)=0.000000001相，則將0.5/im這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.5x1010B.0.5x109C.5x10?D.5x109

【答案】A

【解析】

【分析】0.5納米=0.5x0.000000001米=0.0000000005米小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表

示，一般形式為axl0?,在本題中a為5,n為5前面0的個(gè)數(shù)

【詳解】0.5納米=0.5x0.0000000米故選D

=0.000000米

=5xl（）r°米

故選A

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法，難度沒有大

3.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（）

主視圖左視圖

俯視圖

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【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：三個(gè)視圖發(fā)現(xiàn)，應(yīng)該是由一個(gè)正方體在一個(gè)角上挖去一個(gè)小正方體，且小

正方體的位置應(yīng)該在右上角，故選B.

考點(diǎn)：由三視圖判斷幾何體.

4.下列計(jì)算正確的是（）

A.a6^-a2=a3B.a*a4=a4C.（a3）4=a7D.（-2a）,

2=—!_

4/

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：直接利用同底數(shù)累的乘除運(yùn)算以及幕的乘方運(yùn)算法則和負(fù)指數(shù)幕的性質(zhì)分別化

簡得出答案.

詳解：A、a^a^a4,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤：

B、a?a4=a5,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、（a3）4=a12,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、（-2a）-2=——＞故此選項(xiàng)正確；

4a

故選D.

點(diǎn)睛：此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算以及某的乘方運(yùn)算和負(fù)指數(shù)幕的性質(zhì)，正確掌握運(yùn)

算法則是解題關(guān)鍵.

5.如圖是邊長為10C機(jī)的正方形鐵片，過兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下四種剪法中，裁剪線

長度所標(biāo)的數(shù)據(jù)（單位：cm）沒有正確的（）

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【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：正方形的對角線的長是10&a14.14,所以正方形內(nèi)部的每一個(gè)點(diǎn)，到正

方形的頂點(diǎn)的距離都有小于14.14.

故選:A.

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，勾股定理.

6.某專賣店專營某品牌的襯衫，店主對上一周中沒有同尺碼的襯衫情況統(tǒng)計(jì)如下:

尺碼3940414243

平均每天數(shù)量（件）1012201212

該店主決定本周進(jìn)貨時(shí)，增加了一些41碼的襯衫，影響該店主決策的統(tǒng)計(jì)量是（）

A.平均數(shù)B.方差C.眾數(shù)D.中位數(shù)

【答案】C

【解析】

【分析】銷量大的尺碼就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

【詳解】由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)至多的數(shù)，故影響該店主決策的統(tǒng)計(jì)量是眾數(shù).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義.

7.如圖，有甲、乙兩種地板樣式，如果小球分別在上面滾動(dòng)，設(shè)小球在甲種地板上最終停留在

黑色區(qū)域的概率為P”在乙種地板上最終停留在黑色區(qū)域的概率為P2,則（）

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、F

、

i圖

像/

3k

（甲）（乙）

A.Pi>P2B.Pi<P2C.P|=P2D.以上都有

可能

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)甲和乙給出的圖形，求出黑色區(qū)域在整個(gè)地板中所占的比值，再根據(jù)其比值即

可得出結(jié)論.

【詳解】解：由圖甲可知，黑色區(qū)域的面積相當(dāng)于6塊方磚，共有16塊方磚，

黑色區(qū)域在整個(gè)地板中所占的比值為：—

168

在甲種地板上最終停留在黑色區(qū)域的概率Pl=3f;

O

由圖乙可知，黑色區(qū)域的面積相當(dāng)于3塊方磚，共有9塊方磚,

31

???黑色區(qū)域在整個(gè)地板中所占的比值為：一二一,

93

???在乙種地板上最終停留在黑色區(qū)域的概率P=-,

23

31

?一>一,

83

API>P2；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何概率，用到的知識點(diǎn)為：幾何概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

8.小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件：①AB=BC,②N/8C=90。,

@AC=BDf④中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使。48co為正方形（如圖），現(xiàn)有下列四種選

法，你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是（）

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DC

A.①②B.（2X3）C.①③D.②④

【答案】B

【解析】

【詳解】A、?.?四邊形Z8C。是平行四邊形，

當(dāng)①43=8。時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，

當(dāng)②N/8C=90。時(shí)，菱形/8CD是正方形，故此選項(xiàng)正確，沒有合題意；

B、?.?四邊形48co是平行四邊形，

，當(dāng)②NN8C=90。時(shí)，平行四邊形4BCr。是矩形，

當(dāng)③力。=8。時(shí)，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形N88是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意;

C、I?四邊形是平行四邊形，

當(dāng)①43=3。時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，

當(dāng)③/C=8。時(shí)，菱形N8C。是正方形，故此選項(xiàng)正確，沒有合題意；

D、四邊形N8CQ是平行四邊形，

當(dāng)②N/8C=90。時(shí)，平行四邊形488是矩形，

當(dāng)④時(shí)，矩形Z88是正方形，故此選項(xiàng)正確，沒有合題意.

故選B.

9.如圖是甲、乙兩車在某時(shí)段速度隨時(shí)間變化的圖象，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

小速度（米秒）

A.乙前4秒行駛的路程為48米

B.在0到8秒內(nèi)甲的速度每秒增加4米/秒

C.兩車到第3秒時(shí)行駛的路程相等

D.在4至8秒內(nèi)甲的速度都大于乙的速度

【答案】C

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【解析】

【詳解】A.根據(jù)圖象可得，乙前4秒行駛的路程為12x4=48米，正確；

B.根據(jù)圖象得：在0到8秒內(nèi)甲的速度每秒增加4米秒/,正確；

C.根據(jù)圖象可得兩車到第3秒時(shí)行駛的路程沒有相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.在4至8秒內(nèi)甲的速度都大于乙的速度，正確；

故選C.

10.如圖，將矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使點(diǎn)M,N分別在AB,AD邊上滑動(dòng)，若MN=6,

PN=4,在滑動(dòng)過程中，點(diǎn)A與點(diǎn)P的距離AP的值為（）

A.4B.2拒C.7D.8

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：如圖所示，取MN中點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)A、E、P三點(diǎn)共線時(shí)，AP,利用勾股定理及直

角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半分別求出PE與AE的長，由AE+EP求出AP的值即

可.

詳解：如圖所示，取MN中點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)A、E、P三點(diǎn)共線時(shí)，AP,

根據(jù)勾股定理得：PE=V32+42=5>

在RSAMN中，AE為斜邊MN上的中線，

.,.AE=yMN=3,

則AP的值為AE+EP=5+3=8.

故選D.

點(diǎn)睛：此題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股

定理是解本題的關(guān)鍵.

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二、填空(每小題3分，共15分)

11.分解因式：x2y-xy2=

【答案】xy(x-y)

【解析】

【詳解】原式刊(x-j).

故答案為孫(x-y).

x-2<0

12.沒有等式組lx—1的最小整數(shù)解是.

------<X

[2

【答案】x=0.

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)解沒有等式組的方法可以解答本題.

x-2<0①

由沒有等式①，得爛2,

由沒有等式②，得x>-l

故原沒有等式組解集是-l〈xW2,

x—240

...沒有等式組Qx-1的最小整數(shù)解是x=0,

----<X

2

故答案為x=0.

點(diǎn)睛：本題考查解一元沒有等式的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元沒有等式組的方法.

13.如圖，己知△N8C,按以下步驟作圖：①分別以B,C為圓心，以大于38c的長為半徑

作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M,N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D,連接CD.若CD=AC,44=50°,

則N/C8的度數(shù)為()

■N

A.90°B.95°C.105°D.110°

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【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NC/M=NZ=50°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

NZ)C4=80°,根據(jù)題目中作圖步驟可知，垂直平分線段8C,根據(jù)線段垂直平分線定理可

知BZACQ,根據(jù)等邊對等角得到根據(jù)三角形外角性質(zhì)可知/8+N3C6NCD4,

進(jìn)而求得N8CZ)=25。，根據(jù)圖形可知N/C8=N4CZ)+/8CQ,即可解決問題.

【詳解】，：CD=AC,4=50°

：.ZCDA=ZA=50°

'：ZCDA+ZA+^DCA=\S0°

Z￡>G4=80°

根據(jù)作圖步驟可知，MN垂直平分線段8c

：.BD=CD

：.ZB=ZBCD

'：NB+NBCD=NCDA

：.2ZBCD=50°

：.NBCD=25。

N/C8=N4CD+N8CQ=80°+25°=105°

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線定理以及三角形

外角性質(zhì)，熟練掌握各個(gè)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

14.如圖，在。ABCD中，AD=2,AB=4,ZA=30°,以點(diǎn)A為圓心，AD的長為半徑畫弧交

AB于點(diǎn)E,連接CE,則陰影部分的面積是▲(結(jié)果保留兀).

DC

EB

【答案】3」乃

3

【解析】

【詳解】過D點(diǎn)作DF_LAB于點(diǎn)F.

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DC

VAD=2,AB=4,ZA=30°,

JDF=AD*sin30°=l,EB=AB-AE=2.

，陰影部分的面積=平行四邊形ABCD的面積一扇形ADE面積一三角形CBE的面積

,,30x4x221,1

=4x1------------x2xl=3——7T.

36023

故答案為：——.

3

15.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AE=2,點(diǎn)F在AD上，

將AAEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A，恰好落在BC的垂直平分線上時(shí)，折痕EF的長

為.

D、_______________￡

SAEB

【答案】4或4百.

【解析】

【分析】①當(dāng)AFV/AD時(shí)，由折疊的性質(zhì)得到A，E=AE=2百，AF=AT,ZFA'E=ZA=90°,

過E作EH±MN于H,由矩形的性質(zhì)得到MH=AE=2也,根據(jù)勾股定理得到

AH=dAE2-HE2=5根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；②當(dāng)AF>gAD時(shí)，由折疊的

性質(zhì)得到A，E=AE=2ji,AF=AT,ZFA,E=ZA=90°,過A，作HG〃BC交AB于G,交CD于

H,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DH=AG,HG=AD=6,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】①當(dāng)AF<〃AD時(shí)，如圖1,將AAEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A"恰好落

在BC的垂直平分線上，

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則A'E=AE=2#,AF=A'F,NFA'E=NA=90°,

設(shè)MN是BC的垂直平分線，

則AM=；AD=3,

過E作EH_LMN于H,

則四邊形AEHM是矩形，

，MH=AE=2#,

A(H=^A'E2-HE2=V3，

;.A，M=6，

?.?MFZ+A'M『A'F2,

/.(3-AF)2+(百)2=AF2,

；.AF=2,

:.EF7AF、AE2=4

②當(dāng)AF>^AD時(shí)，如圖2,將AAEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A飴好落在BC的

NFA'E=NA=90°,

設(shè)MN是BC的垂直平分線,

過A，作HG〃BC交AB于G,交CD于H,

則四邊形AGHD是矩形，

，DH=AG,HG=AD=6,

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.*.A,H=A'G=yHG=3,

.*?EG=ylA'E2-A'G2=A/3，

DH=AG=AE+EG=3也,

；?AT=^HF2+A'H2=6,

?*-EF=ylA'E2+A'F2=46，

綜上所述，折痕EF的長為4或46,

故答案為4或4百.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換-折疊問題，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大^共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟)

16.化簡并求值：(m+1)-+(m+1)(m-1),其中m是方程x'+x-1=0的一個(gè)根.

【答案】原式=2.

【解析】

【詳解】試題分析：求出m2+m=l,算乘法，再合并同類項(xiàng)，代入求出即可.

試題解析：丫?!！是方程x?+x-1=0的一個(gè)根，/.m2+m=l.IMi^=m2+2m+l+m2-l=2m2+2m=2.

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算一化簡求值；一元二次方程的解.

17.某中學(xué)初二年級抽取部分學(xué)生進(jìn)行跳繩測試.并規(guī)定：每分鐘跳90次以下的為沒有及格；

每分鐘跳90?99次的為及格;每分鐘跳100-109次的為中等；每分鐘跳110-119次的為良好;

每分鐘跳120次及以上的為.測試結(jié)果整理繪制成如下兩幅沒有完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)圖中信

息，解答下列各題：

等級人數(shù)占所抽取

人數(shù)百分比統(tǒng)計(jì)圖

(1)參加這次跳繩測試的共有一人;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

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（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，"中等”部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是一；

（4）如果該校初二年級的總?cè)藬?shù)是480人，根據(jù)此統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請你估算該校初二年級跳繩成績

為“"的人數(shù).

【答案】（1）50人；（2）見解析；（3）72°；（4）96人.

【解析】

【詳解】試題分析：（1）利用條形統(tǒng)計(jì)圖以及扇形統(tǒng)計(jì)圖得出良好的人數(shù)和所占比例，即可得

出全班人數(shù)；

（2）利用（1）中所求，條形統(tǒng)計(jì)圖得出的人數(shù)，進(jìn)而求出答案：

（3）利用中等的人數(shù)，進(jìn)而得出"中等”部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；

（4）利用樣本估計(jì)總體進(jìn)而利用""所占比例求出即可.

試題解析：解：（1）由扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可得：

參加這次跳繩測試的共有：20+40%=50（人）；

（2）由（1）的的人數(shù)為：50-3-7-10-20=10,

如圖所示：

（3）“中等”部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是：—x360°=72°,

50

（4）該校初二年級跳繩成績?yōu)椤薄钡娜藬?shù)為：480x—=96（人）.

50

答：該校初二年級跳繩成績?yōu)?”的人數(shù)為96人.

考點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖

18.如圖，AB是。O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過D作CD_LOA交弦AB于點(diǎn)E,交O0于

點(diǎn)F,且CE=CB

（1）求證：BC是00的切線；

（2）連接AF,BF,求NABF的度數(shù).

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【答案】（1）見解析（2）30°

【解析】

【詳解】分析：（1）連結(jié)OB,如圖，由CE=CB得至UNCBE=/CEB,由CDJ_OA得到

ZDAE+ZAED=90°,利用對頂角相等得NCEB=/AED,貝ijNDAE+NCBE=90。，加上

ZOAB=ZOBA,所以NOBA+NCBE=90。，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到BC是。0的切

線；

（2）連結(jié)OF,OF交AB于H,如圖，由DF_LOA,AD=OD,根據(jù)等腰三角形的判定得FA=FO,

而OF=OA,所以AOAF為等邊三角形，則ZAOF=60°,于是根據(jù)圓周角定理得

ZABF=vZAOF=30°.

詳解：（1）證明：連結(jié)OB,如圖，

VCE=CB,

/.ZCBE=ZCEB,

VCD1OA,

.,.ZDAE+ZAED=90°,

而NCEB=ZAED,

.?.ZDAE+ZCBE=90°,

VOA=OB,

.*.ZOAB=ZOBA,

/.ZOBA+ZCBE=90°,即NOBC=90°,

AOB1BC,

，BC是。O的切線：

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(2)解：連結(jié)OF,OF交AB于H,如圖，

VDF1OA,AD=OD,

/.FA=FO,

而OF=OA,

...△OAF為等邊三角形，

；.NAOF=60°,

.\ZABF=yZAOF=30°.

點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定定理：半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某

線是圓的切線，己知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.也考查了

圓周角定理和垂徑定理.

19.為倡導(dǎo)"低碳生活"，常選擇以自行車作為代步工具，如圖1所示是一輛自行車的實(shí)物圖.車

架檔AC與CD的長分別為45cm,60cm,且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm，點(diǎn)A,C,E

在同一條直線上，且NCAB=75。，如圖2.

(1)求車架檔AD的長；

(2)求車座點(diǎn)E到車架檔AB的距離.

(結(jié)果到1cm.參考數(shù)據(jù)：sin750="0.966,"cos75°=0.259,

【答案】(1)75cm(2)63cm

【解析】

【詳解】解：(1)在RtZXACD中，AC=45,CD=60,AD="5?+60?=75,

二.車架檔AD的長為75cm.

(2)過點(diǎn)E作EF_LAB,垂足為點(diǎn)F,

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距離EF=AEsin75°=(45+20)sin750=62.7835=63.

，車座點(diǎn)E到車架檔AB的距離是63cm.

(1)在RtAACD中利用勾股定理求AD即可.

(2)過點(diǎn)E作EFJ_AB,在Rtz^EFA中，利用三角函數(shù)求EF=AEsin75°,即可得到答案.

20.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，A、C分別在坐標(biāo)軸上，

1k

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,2),直線y=--X+3交AB,BC分別于點(diǎn)M,N,反比例函數(shù)y=—的

2x

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)P在y軸上，且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

4

【答案】(1)y=—；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,4)或(0,-4).

x

【解析】

【分析】(1)求出OA=BC=2,將y=2代入y=-;x+3求出x=2,得出M的坐標(biāo)，把M的坐

標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出答案.

(2)求出四邊形BMON的面積，求出OP的值，即可求出P的坐標(biāo).

【詳解】(1)VB(4,2),四邊形OABC是矩形，

Z.OA=BC=2.

將y=2代入y=-/x+33得：x=2,AM(2,2).

k

把M的坐標(biāo)代入y=—得：k=4,

x

4

???反比例函數(shù)的解析式是y=之；

x

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（2）S四邊形BMON=S矩形0ABe-S&AOM-S’ON=4X2—2X—X4=4.

VAOPM的面積與四邊形BMON的面積相等,

/.--OPAM=4

2

VAM=2,

；.0P=4.

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0,4）或（0,-4）.

21.某班為參加學(xué)校的大課間比賽，準(zhǔn)備購進(jìn)一批跳繩，已知2根A型跳繩和1根B型跳繩共

需56元，1根A型跳繩和2根B型跳繩共需82元.

（1）求一根A型跳繩和一根B型跳繩的售價(jià)各是多少元？

（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買50根跳繩，如果A型跳繩的數(shù)量沒有多于B型跳繩數(shù)量的3倍，那么A型

跳繩至多能買多少條？

【答案】（1）一根A型跳繩售價(jià)是10元，一根B型跳繩的售價(jià)是36元；（2）A型跳繩至多能

買37條

【解析】

【分析】（1）設(shè)一根A型跳繩售價(jià)是x元，一根B型跳繩的售價(jià)是y元，根據(jù)：“2根A型跳

繩和1根B型跳繩共需56元，1根A型跳繩和2根B型跳繩共需82元”列方程組求解即可；

（2）設(shè)購進(jìn)A型跳繩m根，根據(jù)“A型跳繩的數(shù)量沒有多于B型跳繩數(shù)量的3倍”確定m的取

值范圍.

【詳解】解：（1）設(shè)一根A型跳繩售價(jià)是x元，一根B型跳繩的售價(jià)是y元，

根據(jù)題意，得：

2x+y-56

x+2y=82

答：一根A型跳繩售價(jià)是10元，一根B型跳繩的售價(jià)是36元;

（2）設(shè)購進(jìn)A型跳繩m根，

依題意得：m<3（50-m）,

解得：m<37.5,

而m為正整數(shù)，

所以m值=37.

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答：A型跳繩至多能買37條.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元方程組的應(yīng)用和一元沒有等式的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確的數(shù)量

關(guān)系是解題關(guān)鍵.

22.(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作等邊三角

形AMN,連接CN,NC與AB的位置關(guān)系為；

(2)深入探究：

如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC,點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作

等腰三角形AMN,使/ABC=/AMN,AM=MN,連接CN,試探究NABC與NACN的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由：

(3)拓展延伸：

如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC,點(diǎn)M為BC邊上異于B、C的一點(diǎn)，以AM為邊作正

方形AMEF,點(diǎn)N為正方形AMEF的中點(diǎn)，連接CN,若BC=10,CN=0,試求EF的長.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)△ABC,Z^AMN為等邊三角形，得到AB=AC,AM=AN且ZBAC=NMAN=60°

從而得到NBAC-NCAM=NMAN-NCAM,即NBAM=NCAN,證明ABAM當(dāng)ZXCAN,即可得

到BM=CN.

(2)根據(jù)△ABC,Z^AMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且/ABC=NAMN,根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)得到——=一匕，利用等腰三角形的性質(zhì)得到NBAC=/MAN,根據(jù)相似三角形

AMAN

的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)如圖3,連接AB,AN,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/ABC=NBAC=45。，/MAN=45°,根

RMAR

據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出k=F，得至UBM=2,CM=8,再根據(jù)勾股定理即可得到答案.

CNAC

【詳解】(1)NC〃AB,理由如下：

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VAABC與AMN是等邊三角形，

???AB=AC,AM=AN,NBAC=NMAN」=60。，

.*.ZBAM=ZCAN,

在AABM與AACN中，

AB=AC

<ZBAM=ZCAN,

AM=AN

AAABM^AACN(SAS),

/.ZB=ZACN=60°,

?.?ZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+60°+ZCAN=180°,

?,.ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+600+ZCAN=NBAN+ZANC=180°,

???CN〃AB；

(2)ZABC=ZACN,理由如下：

ABAMr

——=------=1且NABC=NAMN,

BCMN

AAABC-AAMN

?AB-AC

一商_灰，

VAB=BC,

/.ZBAC=y(180°-ZABC),

VAM=MN

AZMAN=y(180°-ZAMN),

VZABC=ZAMN,

AZBAC=ZMAN,

AZBAM=ZCAN,

AAABM-AACN,

?,.NABC=NACN；

(3)如圖3,連接AB,AN,

???四邊形ADBC,AMEF為正方形，

AZABC=ZBAC=45°,ZMAN=45°,

AZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC

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即NBAM=NCAN,

?:也=也=應(yīng)

BCAN

.AB_AC

??荷一不'

.,.△ABM-AACN

.BMAB

,~CN~^C

CNACV2

-----=cos45°=-----

~BMAB2

.五=血

??市―3'

；.BM=2,

/.CM=BC-BM=8,

在RtAAMC,

AM=y/AC2+MC2=7102+82=2741，

/.EF=AM=2V4T.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性

質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理、相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理等知識；本題綜合

性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.

23.如圖，矩形OABC中，點(diǎn)0為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,8）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,0）.拋

物線y=-,x2+bx+cA、C兩點(diǎn)，與AB邊交于點(diǎn)D.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（沒有與點(diǎn)C重合），點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ=CP,

連接PQ,設(shè)CP=m,Z\CPQ的面積為S.

①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并求出m為何值時(shí)，S取得值；

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4,

②當(dāng)S時(shí)，在拋物線了=-§》2+以+。的對稱軸1上若存在點(diǎn)F,使△FDQ為直角三角形，請

2

【答案】(1)y=--x+-x+S;(2)①5=3(加—5)2+”,當(dāng)m=5時(shí)，S取值；②滿足

■93102

條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為耳§,8),月(|，4)，瑪(■|,6+2不)，工弓,6-2近)，

【解析】

4

【分析】(1)將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=--x2+bx+c,即可求得拋物線的解析式；

9

(2)①先用m表示出QE的長度，進(jìn)而求出三角形的面積S