全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷(理科專用)

2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上?？忌J(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形

碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目〃與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知集合4={以*<2},B={R3—2X>0},貝lj

A.Q8=|x|x<|j-B.A^\B=0

c.408=［木<|■:D.AUB=R

2.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了"塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為X1，xz,…，

X",下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

A.Xl,X2,…，X”的平均數(shù)B.Xl,X2,Xn的標(biāo)準(zhǔn)差

C.X1,X2,X”的最大值D.Xi,X2....X。的中位數(shù)

3.下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是

A.i(l+i)2B.i2(l-i)C.(1+i)2D.i(l+i)

4.如圖，正方形ABC。內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形

的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

1

A.-

4

5.已知F是雙曲線C：x2-a=l的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3).則AAPF的

面積為

1123

A.§B.5C.-D.萬(wàn)

6.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體

中，直接43與平面MNQ不平行的是

x+3y<3,

7.設(shè)x,y滿足約束條件x-y>t則z=x+y的最大值為

y>0,

A.0B.1C.2D.3

8..函數(shù)丁=上四■的部分圖像大致為

1-COSX

9.已知函數(shù)/(x)=lnx+ln(2-x),則

A./(x)在(0,2)單調(diào)遞增B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱D.y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，。)對(duì)稱

10.如圖是為了求出滿足3"-2">1000的最小偶數(shù)”，那么在。*和匚二|兩個(gè)空白框中，可以分別填入

/輸出〃/

A.A>1000和n=n+lB.A>1000和n=c+2

C.AS1000和n=n+lD.4<1000和n=n+2

11.△ABC的內(nèi)角A、8,C的對(duì)邊分別為a、b、c。已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=&,則

C=

兀兀兀兀

A.—B.-C.-D.一

12643

22

12.設(shè)A、8是橢圓C：一V+上v-=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足NAMB=120。，則m的取值范圍

3m

是

A.(0,l]U[9,+co)B.((),向U[9,+oo)

C.(0,l]U[4,+co)D.((),6]U[4,+8)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量。=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與。垂直，則m=.

14.曲線丁=%2+，在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為.

X

jlTI

15.已知aw(0,—),tana=2,則cos(a——)=。

24

16.已知三棱錐S-48C的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，SC是球。的直徑。若平面SGAJ_平面5CB,SA=ACf

SB=BC,三棱錐S-48C的體積為9,則球。的表面積為。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：60分。

17.（12分）

記5n為等比數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和，已知S2=2,S3=-6.

（1）求｛?！保耐?xiàng)公式；

（2）求分,并判斷S+1,Sn,5/2是否成等差數(shù)列.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，48〃8,且NBAP=NCDP=90

(1)證明：平面PABJ■平面PAD；

Q

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAP。=90,且四棱錐P-ABCD的體積為屋求該四棱錐的側(cè)面積.

19.（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)

零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸10.110.010.0

9.959.969.969.929.98

214

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.210.110.010.010.0

9.919.229.95

63245

經(jīng)計(jì)算底痣116“97―七rj"""1刀6中5l~i磨16-一.…⑵

1616

Z（i—8.5）2*18.439,￡（玉_于）?_8.5）=-2.78,其中x,為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=1,2,…,16.

/=!i=l

（1）求（七①（1=1,2,…,16）的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)

行而系統(tǒng)地變大或變小（若|川＜0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（亍-3s,元+3s）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的

生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

（i）從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？

（ii）在叵-3s,元+3s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸

的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.（精確到0Q1）

才（七一元）（丫一刃

附：樣本（1,％）（i=l,2,…的相關(guān)系數(shù)「=。'T，V0.008?0.09.

20.(12分)設(shè)48為曲線C：y=二上兩點(diǎn)，A與8的橫坐標(biāo)之和為4.

4

(1)求直線AB的斜率；

(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線A8平行，且AM18M,求直線AB的方程.

21.(12分)

己知函數(shù)/(X)=e"(e*-a)-a2x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)20,求a的取值范圍.

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(9為參數(shù))，直線/的參數(shù)方程為

［y=sm/

+4%為參數(shù)).

1丫=1一,

(1)若a=-l,求C與/的交點(diǎn)坐標(biāo)：

(2)若C上的點(diǎn)到/的距離的最大值為J萬(wàn)，求a.

高中數(shù)學(xué)高考專題復(fù)習(xí)06立體幾何(解答題)

1.【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】如圖，直四棱柱A8CM囚GOi的底面是菱形，A4i=4,AB=2,ZBAD=60°,

E,M,N分別是8C,BBi,A。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CQE；

(2)求二面角A-M4-N的正弦值.

2.【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】如圖，長(zhǎng)方體的底面ABCO是正方形，點(diǎn)E在棱AAi上,

BE±ECt.

(1)證明：BE,平面ESG；

(2)若AE=A|E,求二面角B-EC-G的正弦值.

3.【2019年高考全國(guó)III卷理數(shù)】圖1是由矩形AQE8,RMABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中

AB=\,BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿A3,BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)QG,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABCJ_平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

4.【2019年高考北京卷理數(shù)】如圖，在四棱錐P-ABC。中，PA，平面ABC。,8,A3〃BC,PA=AO=CD=2,

PF1

BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且一=-.

PC3

(1)求證：。_1平面尸4)；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

(3)設(shè)點(diǎn)G在PB上，且上=2.判斷直線4G是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由.

PB3

5.[2019年高考天津卷理數(shù)】如圖，平面ABC。，CF//AE,AD//BC,AD±AB,

AB=AD=\,AE=BC=2.

(1)求證：BE〃平面AOE；

(2)求直線CE與平面8DE所成角的正弦值；

(3)若二面角七一5。-歹的余弦值為:，求線段CE的長(zhǎng).

6.【2019年高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABC—45G中，D,E分別為BC,AC的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：(1)AIBI〃平面。ECi；

(2)BEl.CtE.

7.【2019年高考浙江卷】如圖，已知三棱柱ABC—4與￡,平面4ACG，平面A8C,NA3C=90°,

ZBAC=30。,AA=A。=AC,E,F分別是AC,A.B,的中點(diǎn).

(1)證明：EF±BC；

(2)求直線EF與平面4BC所成角的余弦值.

Cl

8.【2018年高考全國(guó)I卷理數(shù)】如圖，四邊形A5CD為正方形，分別為的中點(diǎn)，以DF為

折痕把△OFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且P尸上BF.

(1)證明：平面平面ABED；

(2)求0P與平面ABED所成角的正弦值.

9.【2018年高考全國(guó)n卷理數(shù)】如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB=BC=2五,PA=PB=PC=AC=4,O

為AC的中點(diǎn).

(1)證明：POJ_平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱上，且二面角C為30。，求PC與平面所成角的正弦值.

10.【2018年高考全國(guó)m卷理數(shù)】如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形A8CD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直,

M是CD上異于C，O的點(diǎn).

(1)證明：平面4WO,平面四0C;

(2)當(dāng)三棱錐"-AfiC體積最大時(shí),求面與面MCD所成二面角的正弦值.

11.【2018年高考江蘇卷】如圖，在正三棱柱ABC-A冏G中，AB=A4=2,點(diǎn)P,。分別為A同，BC的中

點(diǎn).

(1)求異面直線8尸與AG所成角的余弦值；

(2)求直線CG與平面AQC所成角的正弦值.

12.【2018年高考江蘇卷】在平行六面體ABC。-A4G。中，AA]=AB,AB]±B]C,.

求證：(1)平面4片。；

(2)平面48片4，平面.

13.【2018年高考浙江卷】如圖，已知多面體A3C45G,A】A,BiB,GC均垂直于平面A3C,ZABC=120°,

AA=4,CiC=l,AB=BC=B\B=2.

(1)證明:AS上平面AiSG；

(2)求直線AG與平面ABBi所成的角的正弦值.

14.【2018年高考北京卷理數(shù)】如圖，在三棱柱ABC-A4G中,CCJ平面ABC,D,E,F,G分別為儀，

AC,AG，網(wǎng)的中點(diǎn)，A8=BC=石，AC=AA]=2.

(1)求證：AC_L平面8EF；

(2)求二面角-G的余弦值；

(3)證明：直線尸G與平面8。相交.

15.【2018年高考天津卷理數(shù)】如圖，AZ)〃BC且4￡＞=2BC,A￡＞，CO,EG〃AE＞且EG=AO,CD//FG

且CD=2FG,OG_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

(1)若M為C尸的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN〃平面CDE；

(2)求二面角E—BC—尸的正弦值；

(3)若點(diǎn)P在線段OG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60。，求線段DP的長(zhǎng).

16.【2017年高考全國(guó)I卷理數(shù)】如圖，在四棱錐P-ABCO中，AB//CD,且N84P=NCQP=90.

(1)證明：平面附8J_平面BAD；

(2)若%=PZ)=4B=OC,ZAPD=90，求二面角A-PB-C的余弦值.

17.【2017年高考江蘇卷】如圖，在三棱錐A-BCD中，ABLA。，BC1.BD,平面43。，平面BCQ,點(diǎn)E,

尸(E與A,。不重合)分別在棱4。，上，且EFL4D

求證：(1)EF〃平面48C；

(2)AD±AC.

18.【2017年高考江蘇卷】如圖，在平行六面體A8CEM/iGA中，A4iJ_平面ABC。，S.AB=AD=2,A4i=

5ZBAD=120°.

(1)求異面直線48與4G所成角的余弦值；

(2)求二面角B-AQ-A的正弦值.

19.【2017年高考山東卷理數(shù)】如圖，兒何體是圓柱的一部分，它是由矩形A3CD(及其內(nèi)部)以A3邊所

在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是0/7的中點(diǎn).

(1)設(shè)P是CE上的一點(diǎn)，且APLBE,求NC8P的大?。?/p>

(2)當(dāng)A8=3,4)=2時(shí)，求二面角E-AG-C的大小.

20.【2017年高考全國(guó)n理數(shù)】如圖，四棱錐P-ABC。中，側(cè)面PAQ為等邊三角形且垂直于底面A8CD,

A8=6C=2AO,N8AQ=ZABC=90°,E是尸。的中點(diǎn).

2

(1)證明：直線CE〃平面"8；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線與底面ABCC所成角為45°，求二面角M—AB—。的余弦值.

21.【2017年高考全國(guó)III理數(shù)】如圖，四面體ABCQ中，AABC是正三角形，△ACQ是直角三角形，ZABD=

ZCBD,AB=BD.

D

(1)證明：平面ACC平面ABC；

(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-

C的余弦值.

22.【2017年高考浙江卷】如圖，已知四棱錐P-ABCQ,是以AO為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,

CDLAD,PC=AD=2DC=2CB,E為尸。的中點(diǎn).

(1)證明：CE〃平面PA8；

(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

23.[2017年高考北京卷理數(shù)】如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABCD為正方形，平面PAOL平面ABCD,

點(diǎn)M在線段尸8上，PD〃平面MAC,PA=PD=y[6>AB=4.

(1)求證：M為PB的中點(diǎn);

(2)求二面角2-PD-A的大??；

(3)求直線MC與平面所成角的正弦值.

24.【2017年高考天津卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P/BC中，以，底面ABC,NB4C=90°.點(diǎn)。,E,N分

別為棱以，PC,BC的中點(diǎn)，M是線段AO的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

(1)求證：MN〃平面B￡>E；

求二面角C-EMW的正弦值;

已知點(diǎn)〃在棱用上，且直線NH與直線8E所成角的余弦值為立，求線段AH的長(zhǎng).

(3)

21

8

2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

題號(hào)一二三總分

得分

一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4={X|/-3X-4<0},B={-4,1,3,5},則4nB=（）

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.[1,3}

2.若z=l+2i+i3,則|z|=（）

A.0B.1C.V2D.2

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正

方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值

為（）

A.-B.'C.四D.①

4242

4.設(shè)。為正方形ABC。的中心，在。，A,B,C,。中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（）

5.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度單位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條

由此散點(diǎn)圖，在10久至40久之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率），和溫度x的回歸方程類

型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx

6.已知圓/+y2—6x=o,過(guò)點(diǎn)（1,2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.設(shè)函數(shù)/'（X）=C0S（3X+$在［一兀,用的圖象大致如圖，則/（X）的最小正周期為（）

8.設(shè)出0。34=2,貝114一。=()

9.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的n=（）

A.17B.19C.21D.23

a2

10.設(shè)｛ci"｝是等比數(shù)列，且％+。2+。3=1，a2+3+?4=>則a6+a7+a8=()

A.12B.24C.30D.32

11.設(shè)Fi，尸2是雙曲線C：/-9=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|=2,則的面

積為()

A.；B.3C.-D.2

22

12.已知A,SC為球0的球面上的三個(gè)點(diǎn)，OOi為44BC的外接圓.若。01的面積為4兀,AB=BC=AC=

。。1，則球O的表面積為()

A.64?rB.487rC.367rD.32兀

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

2x4-y—2<0,

13.若x,y滿足約束條件無(wú)一y-lNO,貝舊=x+7y的最大值為.

',y+1>0,

14.設(shè)向量五=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若五13,則m=.

15.曲線丫=伍》+刀+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

n

16.數(shù)列｛a夕滿足%+2+(-l)an=3n-1,前16項(xiàng)和為540,則%=.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,。四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約

定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于￡>級(jí)品，廠家

每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件,

乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這

種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)28173421

(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接

加工業(yè)務(wù)？

18.△4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知B=150。.

(1)若a=V3c.b=2V7,求仆ABC的面積；

(2)若+y/3sinC=孝，求C.

19.如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角

形，P為。。上一點(diǎn)，/.APC=90°.

(1)證明：平面PABJ■平面PAC；

(2)設(shè)。0=或，圓錐的側(cè)面積為日兀，求三棱錐P-48C的體積.

20.已知函數(shù)/(x)=e*-a(久+2).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

2

21.已知A,8分別為橢圓氏京+y2=1?>1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，布.旗=8.P為直線x=6

上的動(dòng)點(diǎn)，幺與E的另一交點(diǎn)為C,與E的另一交點(diǎn)為￡>.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Q的參數(shù)方程為二;靠;'(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸

建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為4pcos0-16Psm0+3=0.

(1)當(dāng)k=l時(shí)，Q是什么曲線？

(2)當(dāng)々=4時(shí)，求G與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

23.已知函數(shù)/(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(1)畫(huà)出y=f(x)的圖象；

(2)求不等式/(x)>/(X+1)的解集.

y.

1

o1

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={幻％2-3%-4<0}=(-1,4),B={-4,1,3,5),

則4CB={1,3},

故選：D.

求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A,再由交集運(yùn)算得答案.

本題考查交集及其運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)復(fù)數(shù)的定義化簡(jiǎn)原式，并通過(guò)模長(zhǎng)公式求解即可.

【解答】

解：z=l+2i+i3=l+2i—i=l+i,

22

A\z\=Vl+I=y/2-

故選：C.

3.【答案】C

【解析】解：設(shè)正四棱錐的高為力，底面邊長(zhǎng)為小側(cè)面三角形底邊上的高為”,

h2=-ah'

則依題意有：2

Hi—)，

因此有方2一G)2==4(}_2(?)—1=0=￡=宇(負(fù)值舍去)；

故選：C.

先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論.

本題主要考查棱錐的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了古典概型概率問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)古典概率公式即可求出.

【解答】

解：。，A,B,C,。中任取3點(diǎn)，共有盤=10,

其中共線為A,O,C和3,O,。兩種，

故取到的3點(diǎn)共線的概率為P=W，

故選：A.

5.【答案】D

【解析】解：由散點(diǎn)圖可知，在10久至40式之間，發(fā)芽率y和溫度x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)在一段對(duì)數(shù)函數(shù)的曲線

附近，

結(jié)合選項(xiàng)可知，y=a+4nx可作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型.

故選：D.

直接由散點(diǎn)圖結(jié)合給出的選項(xiàng)得答案.

本題考查回歸方程，考查學(xué)生的讀圖視圖能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：由圓的方程可得圓心坐標(biāo)C(3,0),半徑r=3；

設(shè)圓心到直線的距離為d,則過(guò)。(1,2)的直線與圓的相交弦長(zhǎng)=23—d2,

當(dāng)d最大時(shí)|AB|最小，當(dāng)直線與CO所在的直線垂直時(shí)4最大，這時(shí)d=\CD\=7(3-I)2+(2-0)2=2癥,

所以最小的弦長(zhǎng)|AB|=2J32-(2或型=2，

故選：B.

由相交弦長(zhǎng)|4B|和圓的半徑r及圓心C到過(guò)。(1,2)的直線的距離d之間的勾股關(guān)系，求出弦長(zhǎng)的最小值，即

圓心到直線的距離的最大時(shí)，而當(dāng)直線與C。垂直時(shí)d最大，求出d的最大值，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)的最小值.

本題考查直線與圓相交的相交弦長(zhǎng)公式，及圓心到直線的距離的最大時(shí)的求法，屬于中檔題.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是函數(shù)的周期的求法，運(yùn)用排除法是迅速解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

由圖象觀察可得最小正周期小于與，大于雪，排除A,。；再對(duì)照選項(xiàng)B,C求得3,代入/(-與)=0計(jì)算,

即可得到結(jié)論.

【解答】

解：由圖象可得最小正周期小于九一(一書(shū)=子，大于2X("9=華，排除A,D；

由圖象可得/(-?)=cos(—?3+勺=0,

yyo

即為——3+巳=kTl+三，kEZ9(*)

962

若選8,即有3=要=孩，由一?X￥+%="+或可得k不為整數(shù)，排除B；

若選C,即有3=1=|,由一等可得k=-l，成立.

349262

故選：C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

直接根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出.

【解答】

解：因?yàn)槌觥?4=2,則log34a=2,則4a=32=9

則戶=*=孑

故選:B.

9.【答案】C

【解析】解：n=1,S=0,

第一次執(zhí)行循環(huán)體后，5=1,不滿足退出循環(huán)的條件，n=3；

第二次執(zhí)行循環(huán)體后，5=4,不滿足退出循環(huán)的條件，n=5；

第三次執(zhí)行循環(huán)體后，S=9,不滿足退出循環(huán)的條件，n=7；

第四次執(zhí)行循環(huán)體后，5=16,不滿足退出循環(huán)的條件，n=9；

第五次執(zhí)行循環(huán)體后，5=25,不滿足退出循環(huán)的條件，n=ll；

第六次執(zhí)行循環(huán)體后，5=36,不滿足退出循環(huán)的條件，n=13；

第七次執(zhí)行循環(huán)體后，S=49,不滿足退出循環(huán)的條件，n=15；

第八次執(zhí)行循環(huán)體后，5=64,不滿足退出循環(huán)的條件，n=17；

第九次執(zhí)行循環(huán)體后，5=81,不滿足退出循環(huán)的條件，n=19；

第十次執(zhí)行循環(huán)體后，5=100,不滿足退出循環(huán)的條件，n=21；

第十一次執(zhí)行循環(huán)體后，5=121,滿足退出循環(huán)的條件，

故輸出“值為21,

故選：C.

由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量n的值，分析循環(huán)中各變量值的變

化情況，可得答案.

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】解：｛冊(cè)｝是等比數(shù)列，且由+&2+。3=1，

則。2+=q(&++。3)，即q=2,

55

???a6+a7+a8=q(a1+a2+a3)=2x1=32>

故選：D.

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.

本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】B

【解析】解：由題意可得a=1,b=V3>c=2,

二I&F2I=2c=4,

???IOPI=2,

???△PF1F2為直角三角形，

???PF11PF2，

222

A|PF1|+|PF2|=4C=16,

-\\PF1\-\PF2\\=2a=2,

22

|PF1|+|PF2|-2|PF1|-|PF2|=4,

???|PFII“PF2|=6,

：?△PF/2的面積為S=11^11?\PF2\=3,

故選：B.

先判斷△PF1F2為直角三角形，再根據(jù)雙曲線的定義和直角三角形的性質(zhì)即可求出.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，雙曲線的定義，三角形的面積，屬于中檔題.

12.【答案】A

【解析】解：由題意可知圖形如圖：O。1的面積為4兀，可得。遇=2,則

|幽=ABsin60°,“01=當(dāng)AB,

AB=BC=AC=。。1=2V3.

外接球的半徑為：R=JA0：+。0盛=4,

球O的表面積：4x42xJi=647r.

故選：A.

畫(huà)出圖形，利用已知條件求出。01，然后求解球的半徑，即可求解球的表

面積.

本題考查球的內(nèi)接體問(wèn)題，球的表面積的求法，求解球的半徑是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】1

2%+y—240,

【解析】解：X,y滿足約束條件x-y—l20,,

（y+1>0,

不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

由仁芝_二,°，可得做1,0）時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=x+7y,可得y=

1.1

一尹+產(chǎn)

當(dāng)直線y=-^x+^z，過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在），軸上截距最大，

此時(shí)z取得最大值：1+7x0=1.

故答案為：1.

先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可.

本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】5

【解析】解：向量五=(1,一1),b=(m+l,2m-4)，若五_L方,

則五?b=m+1—(2m-4)=-m+5=0，

則m—5,

故答案為：5

根據(jù)向量垂直的條件可得關(guān)于m的方程，解之可得結(jié)果.

本題考查了向量的垂直的條件和向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】y=2x

【解析】

【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查直線方程的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

求得函數(shù)y=bix+x+l的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為可得切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)，進(jìn)而得到所求切線

的方程.

【解答】

解：y=Inx+x+1的導(dǎo)數(shù)為y'=：+1,

設(shè)切點(diǎn)為(ni,n),可得k=l+\=2,

解得m=1,即有切點(diǎn)(1,2),

則切線的方程為y-2=2(x—1),即y=2x,

故答案為：y=2x.

16.【答案】7

【解析】解：由an+2+(-l)na?=3n-1,

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，有an+2-an=3n-1,

可得斯—O-n-2=3(n—2)—1,

a3—aj=3-1—1,

累加可得a”—的=3[1+34------卜(n—2)]——

71-1

[l+(n-2)]?—n-1(n-l)(3n-5).

=□---------------------------------；

224

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，an+2+an=3n-1,

可1*尋Q4+=5,CLQ+=17,@12+Qj,0=29,QI6+014=41.

可得。2+。4■1----H。16=92.

???Qi+a3H------Fa15=448.

8%+；(0+8+40+96+176+280+408+560)=448,

8al=56,即％=7.

故答案為：7.

在已知數(shù)列遞推式中，分別取〃為奇數(shù)與偶數(shù)，可得即一冊(cè)_2=3(71-2)—1與即+2+即=371—1,利用累

加法得到〃為奇數(shù)時(shí)即與的的關(guān)系，求出偶數(shù)項(xiàng)的和，然后列式求解的.

本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的前"項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.【答案】解：(1)由表格可得，甲分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的頻數(shù)為40,故頻率為盤=0.4,

乙分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的頻數(shù)為28,故頻率為喘=0.28,

故甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率分別是0.4,0.28；

(2)由表格可知甲分廠加工四個(gè)等級(jí)的頻率分別為0.4,0.2,0.2,0.2,

故其平均利潤(rùn)為(90-25)x0.4+(50-25)x0.2+(20-25)x0.2+(-50-25)x0.2=15(元);

同理乙分廠加工四個(gè)等級(jí)的頻率分別為0.28,0.17,0.34,0.21,

故其平均利潤(rùn)為(90-20)X0.28+(50-20)x0.17+(20-20)X0.34+(-50-20)X0.21=10(元)；

因?yàn)?5>10,所以選擇甲分廠承接更好.

【解析】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)得到甲乙A級(jí)品的頻數(shù)分別為40,28,即可求得相應(yīng)頻率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)分別求出甲乙的平均利潤(rùn)即可.

本題考查頻率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題.

18.【答案】解：中，B=150°,a=Wc,b=2?,

222

a+c-b3C2+C2-28V3

COSBo=------------=------—=--------，

2ac2y/3c22

??C=2.jQ,—2^3r

???S&ABC=^acsinB=1-2遮?2-1=V3.

(2)sinA+y/3sinC=

即sin(180。-150°-C)+y/3sinC=號(hào)

化簡(jiǎn)得三cosC+—sinC=—?

222

sin(C+30。)=4，

V0°<C<30°,

???30°<C+30°<60°,

???C4-30°=45°,

AC=15°.

【解析】(1)根據(jù)題意，B=150°,通過(guò)余弦定理，即可求得c=2,a=2V3,進(jìn)而通過(guò)三角形面積公式=

-acsinB=2^3-2--=y/3.

222

(2)通過(guò)三角形三邊和為180。，將4=180。-150。-C代入sin4+遮sinC=￥，根據(jù)C的范圍，即可求得。=

15°.

本題主要考查解三角形中余弦定理的應(yīng)用，結(jié)合三角恒等變換中輔助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：（1）連接。4,OB,OC,AaBC是底面的內(nèi)接正三角形,

所以4B=BC=4C.

O是圓錐底面的圓心，所以：04=0B=0C,

所以AP=BP=CP=OA2+OP2=OB2+OP2=OC2+OP2,

所以△APB三△BPC=^APC,

由于N4PC=90°.

所以44PB=乙BPC=9。。

所以AP_LBP,CP1BP,AP,PCu平面4PC,

由于4PCCP=P,

所以BP_L平面APC,

由于BPu平面PAB,

所以：平面PAB1平面PAC.

(2)設(shè)圓錐的底面半徑為匕圓錐的母線長(zhǎng)為I,

所以/=V2+r2.

由于圓錐的側(cè)面積為百兀，

所以兀-r-y/2+r2=A/3TT,整理得(N+3)(r2—1)=0,

解得r=1.

所以AB=Jl+l-2xlxlx(-|)=V3.

由于/P2+8p2=4^2,解得ap=

則：/TBC=：X；xJ|x*x*=苧.

【解析】(1)首先利用三角形的全等的應(yīng)用求出4P，BP,CP1BP,進(jìn)一步求出二面角的平面角為直角，進(jìn)

一步求出結(jié)論.

(2)利用錐體的體積公式和圓錐的側(cè)面積公式的應(yīng)用及勾股定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：面面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力

和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型.

20.【答案】解：由題意,f(約的定義域?yàn)?-8,+8),且/(%)=婚一Q.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，=令/(x)=0,解得％=0.

二當(dāng)％E(-8,0)時(shí)，(。)<o,/(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)%€(0,+8)時(shí)，f(x)>0,/(%)單調(diào)遞增.

/(%)在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增；

(2)①當(dāng)a40時(shí)，f'(x)=e，-Q>0恒成立，/(X)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，不合題意;

②當(dāng)a>0時(shí)，令/。)=0,解得％=Ina,

當(dāng)%G(一8,加Q)時(shí)，f(x)<0,f(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)%6(仇見(jiàn)+8)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

:./(%)的極小值也是最小值為/'(ma)-a-a(lna+2)=—a(l+Ina).

又當(dāng)％T—8時(shí)，f(X)T+8,當(dāng)％T+8時(shí)，/(X)->H-OO.

???耍使/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，只耍/(仇Q)V0即可，

則1+Ina>0,可得Q〉e

綜上，若/Xx)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(%+8).

【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，/''(x)=e、-1,求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，再由導(dǎo)函數(shù)在

各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)求得原函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)aWO時(shí)，［。)=/一。>0恒成立，f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)a>0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)

可得函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)極值，結(jié)合題意由極小值小于0即可求得。的取值范圍.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求極值，考查利用函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,

是中檔題.

21.【答案】解：(1)由題設(shè)得,A(-a,0),B(a,O),G(0,l),則怒=

(a,1),GB=(a,-1)>

由布?布=8得a?-1=8,即a=3,

所以E的方程為q+y2=i.

(2)設(shè)CQi，%),。(超而，P(6,t),

若tH0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題可知，-3<n<3,

由于直線PA的方程為y=：(x+3),所以%="小+3),同理可得刈=沁2-3),

于是有3yl(小-3)=y2(x1+3)①.

由于遺+另=1,所以通=_9嗯

99

mn

將其代入①式，消去%2-3,可得27yly2=