一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系（解析版）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊《重難點(diǎn)題型-高分突破》（人教版）

專題1.3一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系（3個考點(diǎn)八大題型）【題型1由根的判別式判斷方程根的情況】【題型2由方程方程根的情況求字母的取值范圍】【題型3由根的判別式證明方程求根的必然情況】【題型4由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式（直接）】【題型5由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式（代換）】【題型6由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式（降次）】【題型7構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】【題型8已知方程根的情況判斷另一個根】【題型1由根的判別式判斷方程根的情況】1．（2023春?南崗區(qū)校級期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情況是（）A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．無實(shí)數(shù)根 C．有一個實(shí)數(shù)根 D．有兩個不等的實(shí)數(shù)根【答案】D【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，∴一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：D．2．（2023?平頂山二模）定義運(yùn)算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，則方程x※1＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．無實(shí)數(shù)根 D．只有一個實(shí)數(shù)根【答案】A【解答】解：由新定義得：x2+x﹣1＝0，∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．3．（2023?柘城縣二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個實(shí)數(shù)根【答案】A【解答】解：∵Δ＝22﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，∴一元二次方程x2+2x﹣5＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．4．（2023?桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情況為（）A．無實(shí)數(shù)根 B．只有一個實(shí)數(shù)根 C．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個不等的實(shí)數(shù)根【答案】A【解答】解：2x2﹣5x+6＝0，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根．故選：A．5．（2023?東城區(qū)一模）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情況是（）A．無實(shí)根 B．有實(shí)根 C．有兩個不相等實(shí)根 D．有兩個相等實(shí)根【答案】C【解答】解：∵x2﹣（k+3）x+2k+1＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+1）＝k2+6k+9﹣8k﹣4＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∵（k﹣1）2≥0，∴Δ＝（k﹣1）2+4≥4＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)根．故選：C．6．（2023?新鄭市模擬）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 D．無法確定【答案】B【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣1）＝m2+8＞0，∴一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．7．（2023?三門峽一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情況（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個實(shí)數(shù)根【答案】A【解答】解：∵（x﹣1）2＝x+3，∴x2+1﹣2x＝x+3，∴x2﹣3x﹣2＝0，∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0．∴原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故答案選：A．8．（2023春?瑞安市期中）關(guān)于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情況，下列說法中正確的是（）A．有兩個實(shí)數(shù)根 B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 D．無實(shí)數(shù)根【答案】A【解答】解：∵Δ＝k2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴方程有兩個實(shí)數(shù)根．故選：A．【題型2由方程方程根的情況求字母的取值范圍】9．（2023?洛陽二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的值為（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≤4 D．k＜4【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+4x+k＝0有兩個實(shí)數(shù)根，∴△≥0，即Δ＝16﹣4k≥0，解得k≤4．故k的取值范圍為：k≤4；故選：C．10．（2023?濟(jì)源一模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≤1B．m≤﹣1C．m＜﹣1 D．m≥﹣1且m≠0【答案】B【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+m+5＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ≥0，即42﹣4×1×（m+5）≥0，解得m≤﹣1，故選：B．11．（2023?東莞市校級一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值（）A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k＞1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＞0，所以k＞﹣1且k≠0．故選：D．12．（2023春?洞頭區(qū)期中）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（）A．﹣36 B．﹣9 C．9 D．36【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，解得c＝9，故選：C．13．（2023?阿克蘇市一模）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（）A． B． C．k＜且k≠2 D．且k≠2【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得k﹣2≠0且Δ＝22﹣4（k﹣2）×3≥0，解得k≤且k≠2，故選：D．14．（2023?貴陽模擬）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0沒有實(shí)數(shù)根，則k的值可以是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．2【答案】A【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0無實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣4）2+4k＜0，∴k＜﹣4，∴四個選項(xiàng)中，只有A選項(xiàng)符合題意．故選：A．【題型3由根的判別式證明方程求根的必然情況】15．（2023春?蜀山區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．（1）求證：無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．【答案】（1）見解答；（2）﹣1.5．【解答】（1）證明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）＝4k2+1﹣4k+4k+4＝4k2+5＞0，∴無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，由x1+x2﹣4x1x2＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，解得：k＝﹣1.5．16．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（2）若a和b是這個一元二次方程的兩個根，且a2+b2＝9，求m的值．【答案】（1）證明見解答過程；（2）m＝1或m＝﹣3．．【解答】（1）證明：在關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0中a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1，所以Δ＝m2+4m+4﹣4m+4＝m2+8，無論m取何值，m2+8＞0，所以，無論m取何值，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：因?yàn)閍和b是這個一元二次方程的兩個根，所以a+b＝m+2，ab＝m﹣1，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（m+2）2﹣2m+2＝m2+2m+6＝（m+1）2+5＝9．解得m＝1或m＝﹣3．17．（2023?門頭溝區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果此方程的一個根為1，求k的值．【答案】（1）略；（2）k的值為0或2．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由題意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0，整理，得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2，∴k的值為0或2．18．（2023?金溪縣模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．?（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩根分別是等腰△ABC兩邊AB、AC的長，其中BC＝10，求k值．【答案】（1）見解答；（2）k＝9或k＝10．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）（x﹣k﹣1）＝0，解得：x1＝k，x2＝k+1．當(dāng)?shù)妊鰽BC的腰長為10時，∴k＝10或k+1＝10，∴k＝9，解得：k＝9或k＝10．19．（2023?長安區(qū)校級一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的一個根為x＝0，且m為正數(shù)，求m的值．【答案】（1）見解答；（2）m＝2．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵該方程的一個根為x＝0，∴m2﹣4＝0，解得m＝±2，∵m是正數(shù)，∴m＝2．20．（2022秋?東城區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)該方程的判別式的值最小時，寫出m的值，并求出此時方程的解．【答案】（1）見解答；（2）x＝﹣2或x＝1．【解答】（1）證明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：m＝0時，判別式的值最小，把m＝0代入方程，x2+x﹣2＝0，（x+2）（x﹣1）＝0，∴x＝﹣2或x＝1．【題型4由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式（直接）】21．（2023?紅橋區(qū)模擬）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的兩個根分別為x1，x2，則x1+x2的值等于（）A．﹣4 B．4 C．﹣12 D．12【答案】A【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣12＝0的兩根分別為x1，x2，∴x1+x2＝﹣＝﹣4，故選：A．22．（2023?五華縣校級開學(xué)）設(shè)一元二次方程x2﹣12x+3＝0的兩個實(shí)根為x1和x2，則x1x2＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：x2﹣12x+3＝0，∴a＝1，b＝﹣12，c＝3，x1x2＝＝3，故選：D．23．（2023?六盤水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的兩根，則x1+x2+2x1x2的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得：x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，所以x1+x2+2x1x2＝﹣4+2×3＝2．故選：D．24．（2023?長豐縣模擬）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則m+n﹣mn的值是（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1【答案】A【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴m+n＝2，mn＝﹣3，∴m+n﹣mn＝2+3＝5，故選：A．【題型5由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式（代換）】25．（2023?南山區(qū)三模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由題意得x1+x2＝﹣＝4，x1x2＝＝3，∴＝＝，故選：C．26．（2023?濰城區(qū)二模）若x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的兩根，則的值為（）A．19 B．9 C．1 D．﹣1【答案】A【解答】解：∵x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的兩根，∴x1+x2＝3，x1?x2＝﹣5，∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9+10＝19．故選：A．27．（2023?漢陽區(qū)校級模擬）若實(shí)數(shù)m，n滿足條件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，則的值是（）A．2 B．﹣4 C．﹣6 D．2或﹣6【答案】D【解答】解：當(dāng)m≠n時，∴m、n是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝2，mn＝﹣1，∴原式＝＝＝＝﹣6，當(dāng)m＝n時，原式＝1+1＝2，故的值是2或﹣6．故選：D．28．（2023?興慶區(qū)校級二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個根，則m2+mn+2m的值為（）A．﹣10 B．10 C．3 D．0【答案】D【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根，∴m2+2m﹣5＝0，即m2＝5﹣2m，∴m2+mn+2m＝5﹣2m+mn﹣2m＝5+mn，∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個根，∴mn＝﹣5，∴m2+mn+2m＝5﹣5＝0．故選：D．29．（2022秋?南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根分別是x1、x2，則x2+x1的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個根分別是x1，x2，∴，，∴．故選：D．30．（2023?臨沭縣一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2+4m+2n的值等于（）A．2023 B．2022 C．2020 D．2019【答案】D【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴m2+2m＝2023，m+n＝﹣2，∴m2+4m+2n＝（m2+2m）+2（m+n）＝2023+（﹣4）＝2019．故選：D【題型6由根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式（降次）】31．（2023?河?xùn)|區(qū)一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是（）A．4047 B．4045 C．2023 D．1【答案】A【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴，x1x2＝﹣2023，x1+x2＝1，∴＝，故選：A．32．（2022秋?嘉陵區(qū)校級期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的兩個根，那么多項(xiàng)式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018 B．2012 C．﹣2012 D．﹣2018【答案】A【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的兩個實(shí)數(shù)根，∴m2+m﹣3＝0，∴m2＝﹣m+3，∴m3＝m（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（﹣m+3）+3m＝4m﹣3，∴m3+4n﹣mn+2022＝4m﹣3+4n﹣mn+2022＝4（m+n）﹣mn+2019，∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，∴原式＝4×（﹣1）﹣（﹣3）+2019＝﹣4+3+2019＝2018．故選：A．【題型7構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】33．（2023?安丘市模擬）已知方程x2+2023x﹣5＝0的兩根分別是α和β，則代數(shù)式α2+β+2024α的值為（）A．0 B．﹣2018 C．﹣2023 D．﹣2024【答案】B【解答】解：∵α為方程x2+2023x﹣5＝0的根，∴α2+2023α﹣5＝0，∴α2＝﹣2023α+5，∴α2+β+2024α＝﹣2023α+5+β+2024α＝α+β+5，∵方程x2+2023x﹣5＝0的兩根分別是α和β，∴α+β＝﹣2023，∴α2+β+2024α＝﹣2023+5＝﹣2018．故選：B．34．（2023?肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2﹣2m﹣n的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【解答】解：∵m、n是一元二次方x2﹣x﹣2024＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴m+n＝1，∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的實(shí)數(shù)根，∴m2﹣m＝2024，∵m2﹣2m﹣n＝m2﹣m﹣（m+n）＝2024﹣1＝2023，故選：D．35．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）已知a、b是關(guān)于x的方程x2+3x﹣2010＝0的兩根，則a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【解答】解：∵a是關(guān)于x的方程x2+3x﹣2010＝0的根，∴a2+3a﹣2010＝0，∴a2＝﹣3a+2010，∴a2﹣a﹣4b＝﹣3a+2010﹣a﹣4b＝﹣4（a+b）+2010，∵a、b是關(guān)于x的方程x2+3x﹣2010＝0的兩根，∴a+b＝﹣3，∴a2﹣a﹣4b＝﹣4×（﹣3）+2010＝2022．故選：C．36．（2023?東港區(qū)校級一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】B【解答】解：∵m、n是一元二次方x2﹣x﹣2022＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴m+n＝1，∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的實(shí)數(shù)根，∴m2﹣m＝2022，∵m2﹣2m﹣n＝m2﹣m﹣（m+n）＝2022﹣1＝2021，故選：B37．（2023春?江岸區(qū)校級月考）設(shè)α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的兩根，則（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值為（）A．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040【答案】B【解答】解：∵α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的兩根，∴α2+2019α﹣2＝0，β2+2019β﹣2＝0，α+β＝﹣2019，αβ＝﹣2，∴α2＝2﹣2019α，β2＝2﹣2019β，∴（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）＝（2﹣2019α+2022α﹣1）（2﹣2019β+2022β﹣1）＝（1+3α）（1+3β）＝1+3（α+β）+9αβ＝1+3×（﹣2019）+9×（﹣2）＝﹣6074．故選：B．38．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的兩個根，則m2+5m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．12【答案】B【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的兩個根，∴m2+