2023-2024學(xué)年上海市黃浦新區(qū)高二上冊12月月考數(shù)學(xué)模擬測試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市黃浦新區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)模擬試題一、填空題(本大題共有12小題，滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.1．過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為.2．在正方體中，與平面所成角的大小為.3．以為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4．若是直線的一個(gè)法向量，則直線的傾斜角為.5．在空間四邊形中，，且，若分別為的中點(diǎn)，則.6．已知正四棱錐的底面邊長是2，側(cè)棱長是，則該正四棱錐的全面積為．7．已知，若圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍是.8．過點(diǎn)且與直線的夾角大小為的直線的一般方程為.9．已知異面直線所成角為，過空間一點(diǎn)有且僅有條直線與所成角都是，則的取值范圍是.10．已知為正實(shí)數(shù)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，且與交于軸外一點(diǎn)，若，與軸圍成一個(gè)等腰三角形，則的所有可能的取值集合為.11．已知點(diǎn)，A是直線上一點(diǎn)，單位向量是的一個(gè)法向量，設(shè)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．在一張畫有直角坐標(biāo)系的足夠大的白紙上，畫兩個(gè)圓，，并將這兩個(gè)圓內(nèi)部涂成紅色，過原點(diǎn)畫一條斜率為的直線，沿著將該紙剪成兩張紙，若兩張紙上紅色部分的面積相等，則的取值集合為.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13．設(shè)是空間中給定的2023個(gè)不同的點(diǎn)，則使得成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2023個(gè) D．4046個(gè)14．已知均為實(shí)數(shù)，且不同時(shí)為零，不同時(shí)為零，則“”是“關(guān)于的方程組有無數(shù)組解”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要15．若一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，且圓錐的體積恰好等于半球的體積，則該圓錐的軸截面的頂角的余弦值為（

）A． B． C． D．16．若點(diǎn)既是的中點(diǎn)，又是直線與的交點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程是（

）A． B．C． D．三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．已知常數(shù)，設(shè)直線，直線.(1)若，求的值；(2)若與平行，求與的距離.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是函數(shù)的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，以為圓心的圓與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn).(1)求證：的面積為定值；(2)設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)。若，求圓的方程.19．如圖，在底面是菱形的四棱錐中，底面，，是棱上一點(diǎn)，且.(1)求二面角的大??；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？證明你的結(jié)論.20．如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，底面.(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若點(diǎn)在平面上的投影恰好是的重心，求線段的長.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.如圖，動(dòng)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)（均在軸上方），且.(1)求曲線的方程；(2)當(dāng)為曲線與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(3)是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得直線始終經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.1．【分析】由直線平行設(shè)直線為，將點(diǎn)代入求參數(shù)，即可得方程.【詳解】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)代入，解得，則所求直線方程為.故2．【分析】找到即為與平面所成角，求出大小.【詳解】由于⊥平面，故即為與平面所成角，因?yàn)?，所以，故與平面所成角為.故3．【分析】根據(jù)題意求出圓心坐標(biāo)和半徑即可得解.【詳解】由題意知圓心為，半徑為，則以為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為.4．【分析】由直線的法向量得其斜率，進(jìn)而利用反三角函數(shù)得到其傾斜角.【詳解】因?yàn)槭侵本€的一個(gè)法向量，所以直線的斜率為2，則直線的傾斜角為.故答案為.5．【分析】取，，的中點(diǎn)，，，由中位線的性質(zhì)可得，，再由勾股定理即可求得.【詳解】分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，，，則，，.又，即..故答案為.6．12【分析】根據(jù)正四棱錐的特點(diǎn)，可知側(cè)面是全等的等腰三角形，求出斜高可得側(cè)面積，結(jié)合底面積可得全面積.【詳解】如圖在正四棱錐S﹣ABCD中，O為底面正方形的中心，E為BC的中點(diǎn)，連接OE，SO，SE，則SO⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以BC⊥SO，在三角形ABC中，O，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥AB，又因?yàn)锳B⊥BC，所以BC⊥OE．又OE∩SO＝O，所以BC⊥平面SOE，因?yàn)镾E?平面SOE，所以SE⊥BC，即SE為側(cè)面SBC的斜高，三角形SBE為直角三角形，所以SE＝＝2．所以該正四棱錐的全面積S全＝SABCD+4×SSBC＝2×2+4×＝4+8＝12．故答案為12．本題主要考查正棱錐全面積的求法，應(yīng)熟記面積求解公式，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).7．【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由圓的方程，可得圓心為，半徑為3，若圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓心到直線的距離小于，直線的一般式方程為，則，解得，則的取值范圍是.故答案為.8．或【分析】首先分斜率是否存在分類討論，然后設(shè)出相應(yīng)的直線方程，求出相應(yīng)的方向向量，將直線的夾角轉(zhuǎn)換為向量的方向向量的余弦來求直線方程中的參數(shù)即可得解.【詳解】由題意直線的方向向量為，若斜率不存在，則直線方程為，其方向向量為，夾角的余弦值為，符合題意，若斜率存在，設(shè)為，則直線方程為，其方向向量為，則夾角的余弦值為，則一般式方程為或.故或.9．【分析】將直線平移交于點(diǎn)，并作及其外角的角平分線；根據(jù)過空間一點(diǎn)有且僅有條直線與所成角都是，可知方向上有兩條，方向上不存在，由此可得范圍.【詳解】將直線平移交于點(diǎn)，設(shè)平移后的直線為，過點(diǎn)作及其外角的角平分線，則；在方向，要使過空間一點(diǎn)的直線，且與所成角都是的直線有兩條，則；在方向，要使過空間一點(diǎn)的直線，且與所成角都是的直線不存在，則；綜上所述.故答案為.10．【分析】設(shè)兩直線的傾斜角為，分與兩種情況，得到方程，求出答案,【詳解】設(shè)直線與直線的傾斜角為，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以均為銳角，因?yàn)橹本€，與軸圍成一個(gè)等腰三角形，則有以下兩種情況，（1）時(shí)，，所以，因?yàn)?，解得，?）時(shí)，，所以，因?yàn)?，解?故11．【分析】求出，設(shè)，，則，根據(jù)得到，由計(jì)算出.【詳解】設(shè)直線的一個(gè)法向量為，則，設(shè)，滿足且，所以，設(shè)，則，，，根據(jù)題意可得，故，故，即，解得，，∵，∴，.故12．【分析】根據(jù)題意，分析直線的方程以及兩個(gè)圓的圓心可得兩圓的圓心不會(huì)同時(shí)在直線上，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，可得兩圓的圓心在直線的兩側(cè)且兩圓圓心到直線的距離相等或兩圓的圓心在直線的兩側(cè)且直線與兩圓都相離或相切，列方程組可求得的值.【詳解】根據(jù)題意，直線為過原點(diǎn)且斜率為的直線，則直線的方程為，即，，其圓心為，半徑為，，其圓心為，半徑為，兩圓的圓心不會(huì)同時(shí)在直線上，若兩張紙上陰影部分的面積相等，則有2種情況：①兩圓的圓心，在直線的兩側(cè)且兩圓圓心到直線的距離相等，則有，解得，②兩圓的圓心，在直線的兩側(cè)且直線與兩圓都相離或相切，則有，解得，綜上，的取值集合為.故答案為.13．B【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，表達(dá)出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】設(shè)，則，，，，，，所以滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：B.14．B【分析】若，方程組消元可能無解，也可能無數(shù)多解；反之可證成立.【詳解】由方程組消元得，若，方程為，當(dāng)時(shí)，方程有無數(shù)多解，但當(dāng)時(shí)，方程無解；若關(guān)于的方程組有無數(shù)組解，則，可得，所以“”是“關(guān)于的方程組有無數(shù)組解”的必要不充分條件.故選：B.15．C【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，則球的半徑也為，由題意可得求得，從而可求出母線長，然后利用余弦定理可求得答案【詳解】幾何體的軸截面如圖所示，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，則球的半徑也為，因?yàn)閳A錐的體積恰好等于半球的體積，所以，得，所以，設(shè)圓錐的軸截面的頂角為，則，故選：C.16．C【分析】將兩直線方程相減可得過兩直線交點(diǎn)的直線方程，再將代入化簡可求出直線的斜率，從而可求出線段的垂直平分線的方程.【詳解】直線與直線的方程相減可得，，把點(diǎn)代入可得，所以，所以線段的垂直平分線的方程是，即，故選：C17．(1)(2)【分析】（1）由已知結(jié)合直線垂直的條件求解即可；（2）結(jié)合直線平行的條件先求出，然后結(jié)合平行線間的距離公式求解即可.【詳解】（1）由題意知的法向量為，的法向量為，若，則；（2）若與平行，則或，當(dāng)時(shí)，直線，直線，兩直線重合，舍去，當(dāng)時(shí)，則直線，直線，則與的距離為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)可得圓的方程，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出的面積即可證明；（2）由條件得出原點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以直線與直線垂直，由斜率之積為-1求得，從而得到圓C的方程.【詳解】（1）設(shè)圓心為，圓過原點(diǎn)，，圓方程為，令，得，令，得，為定值；（2）垂直平分線段，，直線的方程是，，解得或（舍），則圓的方程為.19．(1)(2)存在，證明見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，即可證明，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；（2）設(shè)在棱上存在點(diǎn)，且，使得平面，利用空間向量法求出的值，即可判斷.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，在底面為菱形的四棱錐中，底面，，所以為等邊三角形，，，又，所以，以為原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，又為銳角，所以，則二面角的大小為；（2）設(shè)在棱上存在點(diǎn)，且，使得平面，則，解得，所以，，，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，平面，，解得，則在棱上存在一點(diǎn)，此時(shí)為的中點(diǎn)，使得平面.20．(1)證明見解析(2)(3)1【分析】（1）連接，根據(jù)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，再由底面，得到，然后利用線面垂直的判定定理證明；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用求解；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，易得的重心為，再由求解.【詳解】（1）解：連接，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面；?），為的中點(diǎn)，底面，取的中點(diǎn)，則，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，則，解得；（3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則的重心為，，則，則線段的長為1.21．(1)(2)(3)存在，定點(diǎn)為【分析】（1）設(shè)，根據(jù)已知條件列方程，化簡求得曲線的方程.（2）設(shè)，根據(jù)已知條件求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得直線的斜率，進(jìn)行求得直線的方程.（3）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，化簡