2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽試卷參考答案

1、2022 年福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽2022（福建省賽區(qū)）預(yù)賽試卷參考答案（考試時(shí)間：20225229：0011：30160）一、填空題（10660）1f (x) 3cos(xsin(x)（ 0）的最小正周期為 f (x在區(qū)間6300，上的最大值為。23【答案】 23【解答】f (x)3cos(x)sin(x)3cos(x)sin(x)63662 3cos(x ) cos(x ) 4cos(x ) ，且 f (x) 的最小正周期為 。666 2 ， f (x) 4cos(2 x x ， 時(shí)， 2x，626663， 2x ，即x 0時(shí)，f (x)在區(qū)間0上取最大值2。3，166212已知集合Axx23

2、x20 xx 3 ，若A B ，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為?！敬鸢浮?(1)2【解答】Ax1 x 2。由 1 a ，得ax 3a 1 0 。 a 0時(shí)，B xx x3x 3。滿(mǎn)足 A B 。a 0ax10 x (31a10 ，B xx 3 x 3 A B 。x3x3a a 0ax10 x (31a1 0 ，B x31 x 3A B ，得3 1 1x3x3a a 0 。a2a 1。a 的取值范圍為(1)。22函數(shù)f(x) x2 lnxx2 2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為?！敬鸢浮?1【解答】 f(x)2xlnxx2x x(2ln x3)。220 x e 3 f (x 0 x e 3 f (x 0 。2222f(x)

3、在區(qū)間(0e3 )上為減函數(shù)，在區(qū)間(e3)上為增函數(shù)。22331又0 x2時(shí)，lnx110，f (x) x2(lnx1)20；22 33f (e2e3(1)20f(e2e2 20。2 函數(shù) f(x1或：ylnxy1圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。x2如圖，在正方體ABCD ABC D 中，二面角B ACD的大小為?！敬鸢浮?1201 1111C【解答設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1。作BE AC于E，連結(jié)DE。DC111由正方體的性質(zhì)知， A DC A BC 。11AB DE AC ， BED為二面角B ACD的平面角，11BE DE 11232，BD 。D232AB22 cos BED 213232 323232 323

4、2（第 （第 4 題）D1C1 二面角B ACD的大小為。A11AC 、BD 交于點(diǎn)O BEO 60 BED 120 。DEB1CAB5 ABCD AB 2 BC 3 CD 4 DA 5 AC BD 。AD AB AD AB BC CD。AB BC CD 為基底向量。則AD2AD2 ( AB BC CD)2 ，CCAD2AD2 AB2BC2CD22ABBC2ABCD2BCCD。25 4 9 16 2(AB BC ABCD BC CD)，AB BC AB CD BC CD 2 。AC BD (AB BC) (BC CD) AB BC AB CD BC CD BC BC 2 9 7 。BDx2已知

5、直線(xiàn)l過(guò)橢圓C：y2 1的左焦點(diǎn)F且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)。O為坐標(biāo)原x22點(diǎn)，若OAOB，則點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為。6【答案】63【解答】 F(10)x ABxty1。 x ty 1由 x2，得(t2 2)y2 2ty10 2 y2 110A(x1)，B(x1y y21 t2 2，y y 1 2。t2 2由OA OB ，得(t2 1)2tx x yy (ty 1)(ty 1)y y (t2 1)y yt(y y )1t1 0 。1 21 211 21 211t2 2t2 2 (t2 1)2t2 t2 20t2 。21t21 126 點(diǎn)O到直線(xiàn)AB1t21 12633已知zC若關(guān)于x的方程x2

6、2zxi 0（i 為虛數(shù)單位有實(shí)數(shù)根則復(fù)數(shù)z 的34模z 的最小值為?！敬鸢浮?1【解答】z abi（abRx x0是方程x2 2zxi 0的一個(gè)實(shí)數(shù)根。343x2 2(a bi)x 3 i 0 。0043 x2 2ax 0 004。 2bx01 011133b2 1由得，x，代入，得2a0，3b24ab10，a 。04b23b2 1452513535 z 2成立。 a2 b2()2 b2 b2 1b1616b2888時(shí)等號(hào)5z1。2552555（a ，b 或a ，b ，即z (25 i)。2552555555555將16 本相同的書(shū)全部分給4 個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少有一本書(shū)，且各班所得書(shū)的數(shù)互

7、不相同，則不同的分配方法種數(shù)為（用數(shù)字作答）【答案】 216【解答】 將16 分解成4 個(gè)互不相同的正整數(shù)的和有9 種不同的方式：1612310，161249，161258，161267，161348，16 13 5 7 ，16 1 4 5 6 ，16 2 3 4 7 ，16 2 3 5 6 。 符合條件的不同分配方法有9A 44 216 種。(xRf(0)1008xRf(x4) f(x2(x1)，f(x12) f(x)6(x5)，則f(2016) 。2016【答案】504【解答】對(duì)任意xR，f(x4) f(x)2(x1)，f(x12) f(x)f(x12) f(x8)f(x8) f(x4)f

8、(x4) f(x) 2(x 8) 1 2(x 4) 1 2(x 1) 6x 30 6(x 5)又 f (x 12) f (x) 6(x 5)，f(x12) f(x) 6(x5)。f (2016) f (2016) f (2004)f (2004) ff (12) f (0) f(0)62009619976510086(20095)168100810081008。2f (2016) 504。20162x yz 17【答案】174xz yz的最大值為。x2 y2 z2217【解答】 x2 16 z2 216xz，當(dāng)且僅當(dāng)x 4z時(shí)等號(hào)成立，17171711717111717y2 z217 2yz，

9、當(dāng)且僅當(dāng)y z時(shí)等號(hào)成立。117161162117 x2 y2 z2 (x2 174xz yz17z2y2 z2 2xz2yz(4xz yz。171716171741x2 y2 z2立。，當(dāng)且僅當(dāng)x z，y z，即xyz 41：17 時(shí)等號(hào)成171721717174xz yz的最大值為。17x2 y2 z22注：本題利用待定系數(shù)法。將z2 拆成兩項(xiàng) z2 和(1 )z2 。由x2 z2 2 xz，11221y2 (1 )z2 2yz ，以及，得 。由此得到本題的解法。117二、解答題（共 5 小題，每小題 20 分，滿(mǎn)分 100 分。要求寫(xiě)出解題過(guò)程）已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和S 2 （n N *

10、。nnn求 an的通項(xiàng)公式a；n設(shè)bn 1 an1n(n1)是數(shù)列bn的前n 項(xiàng)和，求正整數(shù)k ，使得對(duì)任意n N * 均有T T ；kn設(shè)cn (1 anan 1)(1)n 1，R 是數(shù)列cn的前nnN* Rn 成立，求 的最小值。（1）由Sn 2an2，得n 2an 2。兩式相減，得n 2an 2a 。n an 1 2an，數(shù)列an為等比數(shù)列，公比q 2 。由又S1 2a12，得a1 2a1 2 ，a1 2 。 a 2n 。 5分n111 n(n1)（2）b1 。n2nn(n1)n(n1)2nb1 0 ，b20 ，b30 ，b40。當(dāng)n 5n(n1) (n1)(n2) (n1)(n2)0，

11、得當(dāng)n5 n(n1) 為2n2n 12n 12nn 5 n(n 1) 5(5 1) 1。2n251 n(n1)n n 5 時(shí)， bnn n(n1)21 0 。T T12 T T ，T34T T。56。 對(duì)任意n N* 均有T4T 。故k 4。 10分n（3） can 12n 12(11) 15n(1an)(1n )(1 2n )(12n 1)2n 12n 11(12n 1 R2 (11)(1(12n 11) 2(11) 2 2。n35592n 1 132n 1 132n 1 1 對(duì)任意nN*Rn 成立， 2 。 的最小值為2 。 20分33f (x) ln(axbx2（a 0。y f (x在點(diǎn)

12、 (1)y x，求a b 的值；f (x) x2 x恒成立，求ab的最大值?！窘獯穑?）f(x)a 2x。ax b依題意，有f (1)a a 2a 1 b 2 。 f (1)ln(ab)11 a 1 ，b 2。5分（2）g (x) f (xx2 xg(x) ln(ax b x g (x) 0。 a 0g(x)定義域(b)，ax 使得bb 1e b 1 baa b 。000aag(x0) ln(ax0b) x0ln(ax0b)(b)(b 1) baaa 1 0 g (x) 0矛盾。 a 0時(shí)，g(x)0不恒成立，即a 0不符合要求。10分a(x a b ) a 0時(shí)，g(x)a1ax ba（ax

13、b 0。ax b當(dāng) b x a b g(x) 0 x a b g(x 0 。aaa， g(x)在區(qū)間(bab)上為增函數(shù)，在區(qū)間(ab)上為減函數(shù) aaa， g(x)在其定義域(b )g(ab)。aaaba bg(x0g() lna 0。aa b a a ln a 。15分 ab a2 a2 ln a 。ee設(shè)h(a) a2 a2 ln a ，則h(a 2a 2a ln a a a(1 2ln a。ee 0 a h(a0a 時(shí)， h(a) 0 。e h(a)在區(qū)間(0，e)上為增函數(shù)，在區(qū)間()上為減函數(shù)。eee h(a)的最大值為h(e) e。22e 當(dāng) a e，b eeab 取最大值為 。

14、e22eab 。20分2為的外接圓，DA是的切線(xiàn)，且ABC，EDB與的另一交點(diǎn)。點(diǎn)F 在上，且，G 是CF DA 的交點(diǎn)。求證：FCOABDFCOABDGE（第13題）【解答】在ABC 和ABD DA 是的切線(xiàn)知，BAD BCA 。又DBA ABC 。 ADB CAB 。 A B E 、C 四點(diǎn)共圓， CAB CEB 180 。5 分 ADE DEC 180 。 ECDA 。10 分， ECBFDG 。EC BF 是的兩條平行弦知CF EB 。 GC DE ， GF DB 。15 分又GA2 GF GC DA2 DB DE 。 GA2 DA2 AG AD 。20 分x2如圖，F(xiàn)、F 為雙曲線(xiàn)C

15、：y2 1的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P(x2) （ 1 ）在雙124000曲線(xiàn)C 上的右支上。設(shè)F PFx軸于點(diǎn)M(m0)yN 。12求m 的取值范圍；設(shè) 過(guò) F1，N 的直線(xiàn)l 交雙曲線(xiàn)C 于點(diǎn) D ，E兩點(diǎn)，求F2DE 面積的最大值?！窘獯穑?）依題意，F(xiàn)(50)，(50)。PFy1y 02(x5)PF 方y(tǒng)1y 00 x 520(x5) 。x 50PFx(x5)y5y 0；（第14題）PF21y00 x (x005)y5y00 0 。ym5yy m5y由點(diǎn)M(m0)在FPF 的平分線(xiàn)上，得0000。12y2 (x 5)2y2 (x 5)20000由5 m5 ，1 y2 1 x2 122。0040

16、0555 y2 (x 5)2 x2 25x 4 (x 2)2 ， y2 (x 5) 2 ( 2)2 。00400200020m55 55。m 。 5分4x4x 2x 202020 x022，得0 4 2 。x0 m的取值范圍為0，2。 10分y 0404（2）由（1）知，直線(xiàn) PM 方程為 y 04x 0 x0(x。x00 ( 1 )4y11y1x0y0坐標(biāo)為(0)。k 0。x2 4y00yl505y005y 直線(xiàn)l 方程為 y 5y1(x5)。 y 由由 x21(x5y05y0 x 得(5y2 4) y2 10 y0y10 4 y2 1 的判別式 100 y2 4(5 y2 4) 80 y2

17、 16 0 。00010y1D(x1) ，E(x1y y2105 y2 0，y y1 25 y2 40。 15分y y12。( y y )2 ( y y )2 4 y y121 2(10y05 y2 40)2 415 y2 045 y2105 y2 40由y 1，得y y0 0 ，y y 0。015 y2 01 25 y2 401245 y21245 y210 y 0，y 0 ， FF y25。1212225 y2 40設(shè)5 y2 4 t ，則t 1，t25 t25 1t5()2 t1011120S303045t t 54545。 t 1P P(21)F2302230DE面積取最大值4。 F2

18、DE 面積的最大值為4。 20分求滿(mǎn)足下列條件的最小正整數(shù)nA1， n63 個(gè)兩兩不相交的子集（它們非空且并集為集合A）A ，A， A ，A，則總存在兩個(gè)正整12363x y Ai（1 i 63 ）x y 31x 32 y ?！窘獯稹靠紤]模 63 的剩余類(lèi)，即將集合 A 劃分為如下 63 個(gè)兩兩不相交的子集：Aaa 6k ikNi 1，2，3，63。 5分iAi（1i 63）x yAi（x y ）x y 63 。y x 63 x n 。 32 y 31x 32(x 63) 31x x 3263 n 2016 。若n 2016 ，則32 y 31x n 2016 0 31x 32 y ，與31x 32 y 矛盾。 n 2016時(shí)，不滿(mǎn)足題設(shè)條件。 10分n 2016 2016 32