揚(yáng)州大學(xué)高等代數(shù)課件北大三版-第七章線性變換

第七章線性變換線性變換線性變換的定義與性質(zhì)線性變換的矩陣表示線性變換的核與值域線性變換的幾何意義01線性變換線性變換的定義線性變換是向量空間中的一種映射，它將一個(gè)向量映射到另一個(gè)向量，同時(shí)保持向量的加法和標(biāo)量乘法的線性性質(zhì)。線性變換可以用矩陣表示，其矩陣是變換前后向量之間的關(guān)系矩陣。線性變換是可逆的，即存在逆變換，可以將映射后的向量還原為原始向量。線性變換不改變向量的長(zhǎng)度和夾角，只改變向量的方向和大小。線性變換的矩陣表示具有一些重要的性質(zhì)，如矩陣的行列式等于1或-1，矩陣的跡等于特征值的和等。010203線性變換的性質(zhì)線性變換的應(yīng)用01在幾何學(xué)中，線性變換可以用來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)和變化，如平移、旋轉(zhuǎn)和縮放等。02在物理學(xué)中，線性變換可以用來(lái)描述波動(dòng)、振動(dòng)和電磁場(chǎng)等物理現(xiàn)象。在工程學(xué)中，線性變換可以用來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)、控制和信號(hào)處理等問(wèn)題。0302線性變換的定義與性質(zhì)線性變換是向量空間中的一種映射，它將一個(gè)向量映射到另一個(gè)向量，同時(shí)保持向量的加法和標(biāo)量乘法的運(yùn)算性質(zhì)。線性變換可以用矩陣表示，其矩陣是線性變換下的一組基向量的坐標(biāo)變換矩陣。線性變換的定義線性變換的一般形式為$T(x)=Ax$，其中$A$是一個(gè)矩陣，$x$是一個(gè)向量。線性變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式線性變換的定義線性變換的加法性質(zhì)是指，如果$T_1$和$T_2$是兩個(gè)線性變換，那么$T_1+T_2$也是一個(gè)線性變換。線性變換的加法性質(zhì)線性變換的數(shù)乘性質(zhì)是指，如果$lambda$是一個(gè)標(biāo)量，那么$lambdaT$也是一個(gè)線性變換。線性變換的數(shù)乘性質(zhì)線性變換的零元性質(zhì)是指，零映射$T(x)=0$是一個(gè)線性變換。線性變換的零元性質(zhì)線性變換的性質(zhì)線性變換的數(shù)乘運(yùn)算標(biāo)量與線性變換的數(shù)乘是指將標(biāo)量乘以線性變換的矩陣，得到一個(gè)新的線性變換。線性變換的轉(zhuǎn)置運(yùn)算線性變換的轉(zhuǎn)置是指將原向量空間的基向量映射到新向量空間的基向量上，得到一個(gè)新的矩陣。線性變換的加法運(yùn)算兩個(gè)線性變換的加法是指將兩個(gè)向量分別代入兩個(gè)線性變換中，再將結(jié)果相加。線性變換的運(yùn)算03線性變換的矩陣表示將線性變換與矩陣一一對(duì)應(yīng)，通過(guò)矩陣的乘法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)線性變換的過(guò)程。線性變換的矩陣表示將線性變換的系數(shù)矩陣表示為矩陣形式，其中行表示輸入向量，列表示輸出向量。線性變換的矩陣表示方法通過(guò)矩陣表示，可以更方便地研究線性變換的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律。線性變換的矩陣表示的意義矩陣表示的定義線性變換的矩陣表示具有可加性和數(shù)乘性線性變換的矩陣表示滿足可加性和數(shù)乘性，即對(duì)于兩個(gè)線性變換的和或數(shù)乘，其矩陣表示可以通過(guò)相應(yīng)的矩陣加法或數(shù)乘運(yùn)算得到。線性變換的矩陣表示具有一致性對(duì)于同一個(gè)線性變換，其不同的矩陣表示是等價(jià)的，即可以通過(guò)有限次初等行變換或列變換相互轉(zhuǎn)化。線性變換的矩陣表示具有唯一性對(duì)于任意一個(gè)線性變換，其矩陣表示是唯一的，即一旦確定了輸入向量和輸出向量的順序，該線性變換的矩陣表示就是唯一的。矩陣表示的性質(zhì)03線性變換的矩陣表示的乘法運(yùn)算對(duì)于兩個(gè)線性變換的乘積，其矩陣表示對(duì)應(yīng)于矩陣的乘法運(yùn)算。01線性變換的矩陣表示的加法運(yùn)算對(duì)于兩個(gè)線性變換的矩陣表示，其加法運(yùn)算對(duì)應(yīng)于矩陣的加法運(yùn)算。02線性變換的矩陣表示的數(shù)乘運(yùn)算對(duì)于一個(gè)線性變換的數(shù)乘運(yùn)算，其矩陣表示對(duì)應(yīng)于數(shù)乘運(yùn)算。矩陣表示的運(yùn)算04線性變換的核與值域設(shè)線性變換為T，對(duì)于某非空集合V中的元素x，若x經(jīng)過(guò)T變換后得到的結(jié)果為0，則稱x為T的核。核的定義核是線性變換下的一個(gè)重要概念，它反映了變換后結(jié)果為0的元素集合的特征。核中的元素滿足線性組合性質(zhì)，即對(duì)于任意標(biāo)量k和v，若k*v屬于核，則k*v也是核的元素。核的性質(zhì)核的定義與性質(zhì)值域的定義設(shè)線性變換為T，對(duì)于某非空集合V中的元素x，經(jīng)過(guò)T變換后得到的非零結(jié)果構(gòu)成的集合稱為T的值域。值域的性質(zhì)值域反映了線性變換后可能得到的所有結(jié)果的集合特征。值域中的元素滿足線性組合性質(zhì)，即對(duì)于任意標(biāo)量k和值域中的元素v，若k*v屬于值域，則k*v也是值域的元素。值域的定義與性質(zhì)核與值域的關(guān)系對(duì)于任意線性變換T，其核與值域的并集等于全集V，即核和值域是全集V的兩個(gè)互補(bǔ)子集。核與值域互為補(bǔ)集對(duì)于某些特定的線性變換，其值域可能包含核，也可能被核包含，或者與核互不相交。這種包含關(guān)系取決于線性變換的具體定義和性質(zhì)。核與值域的包含關(guān)系05線性變換的幾何意義線性變換可以視為將一個(gè)向量空間映射到另一個(gè)向量空間的線性映射。它保持向量的加法和標(biāo)量乘法的幾何性質(zhì)，即線性變換滿足結(jié)合律、分配律和單位元存在性。線性變換可以通過(guò)矩陣表示，矩陣的行是原坐標(biāo)系下的向量，列是新坐標(biāo)系下的向量。線性變換在幾何上的解釋010203在解決空間方程時(shí)，線性變換可以用來(lái)將方程簡(jiǎn)化為更易于處理的形式。通過(guò)線性變換，可以將復(fù)雜的非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程，從而更容易求解。在解決物理問(wèn)題時(shí)，線性變換也常被用來(lái)將物理量從一種坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一種坐標(biāo)系。線性變換在解空間方程中的應(yīng)用矩陣是線性變換的數(shù)學(xué)表示，通過(guò)矩陣可以描述和操