專題05 因式分解（解析版）-2022中考數(shù)學高頻考點

2/2高頻考點：因式分解一、因式分解意義【高頻考點精講】1．分解因式的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式。因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項式的表現(xiàn)形式。例如：【熱點題型精練】1．（2020?河北中考）對于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，從左到右的變形，表述正確的是（）A．都是因式分解 B．都是乘法運算 C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），從左到右的變形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，從左到右的變形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法運算．答案：C．2．（2021?衢州模擬）下列等式從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）A．a(chǎn)（a+3）＝a2+3a B．a(chǎn)2+4a﹣5＝a（a+4）﹣5 C．a(chǎn)2+6a+9＝（a+3）2 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4解：A．是整式的乘法，不是因式分解，原變形錯誤，故此選項不符合題意；B．沒有把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式的積的形式，原變形錯誤，故此選項不符合題意；C．把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式的積的形式，是因式分解，原變形正確，故此選項符合題意；D．是整式的乘法，不是因式分解，原變形錯誤，故此選項不符合題意；答案：C．二、提公因式法【高頻考點精講】1．提公因式法：如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。2．具體方法：（1）當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的．（2）如果多項式的第一項是負的，一般要提出“﹣”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)，提出“﹣”號時，多項式的各項都要變號．3．基本步驟：（1）找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；（2）提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；（3）提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同．【熱點題型精練】3．（2021?衡陽中考）因式分解：3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b）．解：3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b），答案：3a（a﹣3b）．4．（2021?福建模擬）把多項式a2﹣9a分解因式，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)（a+3）（a﹣3） B．a(chǎn)（a﹣9） C．（a﹣3）2 D．（a+3）（a﹣3）解：a2﹣9a＝a（a﹣9）．答案：B．5．（2021?吉林模擬）分解因式：3x3﹣9x2＝3x2（x﹣3）．解：3x3﹣9x2＝3x2（x﹣3）．答案：3x2（x﹣3）．三、運用公式法【高頻考點精講】1．如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2．概括整合：（1）能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反。（2）能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)（或式）的積的2倍?！緹狳c題型精練】6．（2021?杭州中考）因式分解：1﹣4y2＝（）A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y） C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）解：1﹣4y2＝1﹣（2y）2＝（1﹣2y）（1+2y）．答案：A．7．（2020?河北中考）若＝8×10×12，則k＝（）A．12 B．10 C．8 D．6解：方程兩邊都乘以k，得（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，∴80×120＝8×10×12k，∴k＝10．經(jīng)檢驗k＝10是原方程的解．答案：B．8．（2021?威海模擬）將下列多項式分解因式，結(jié)果中不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故A選項不合題意；B、x（x﹣2）+（2﹣x）＝（x﹣2）（x﹣1），故B選項不合題意；C、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故C選項不合題意；D、x2+2x+1＝（x+1）2，故D選項符合題意．答案：D．9．（2021?內(nèi)蒙古中考）因式分解：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．10．（2021?菏澤中考）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝﹣a（a﹣1）2．解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）＝﹣a（a﹣1）2．答案：﹣a（a﹣1）2．11．（2021?菏澤中考）已知xy＝2，x﹣3y＝3，則2x3y﹣12x2y2+18xy3＝36．解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）＝2xy（x﹣3y）2，∵xy＝2，x﹣3y＝3，∴原式＝2×2×32＝4×9＝36，答案：36．12．（2021?無錫中考）分解因式：2x3﹣8x＝2x（x﹣2）（x+2）．解：2x3﹣8x，＝2x（x2﹣4），＝2x（x+2）（x﹣2）．13．（2021?內(nèi)江中考）分解因式：3a3﹣27ab2＝3a（a+3b）（a﹣3b）．解：原式＝3a（a2﹣9b2）＝3a（a+3b）（a﹣3b），答案：3a（a+3b）（a﹣3b）．四、十字相乘法1．x2+（p+q）x+pq型式子這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）2．a(chǎn)x2+bx+c（a≠0）型式子這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．【熱點題型精練】14．（2021?青島模擬）把x2﹣4x+C分解因式得（x﹣1）（x﹣3），則C的值為（）A．4 B．3 C．﹣3 D．﹣4解：根據(jù)題意得：x2﹣4x+C＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，則C＝3．答案：B．15．（2021?濟南模擬）分解因式：2x2﹣2x+＝2（x﹣）2．解：原式＝2（x2﹣x+）＝2（x﹣）2．答案：2（x﹣）2．16．（2021?湖南模擬）分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9＝（x﹣3）（4x+3）．解：x2+3x（x﹣3）﹣9＝x2﹣9+3x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+3）+3x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+3+3x）＝（x﹣3）（4x+3）．答案：（x﹣3）（4x+3）．17．（2021?洛陽模擬）分解因式：x2+3x﹣10＝（x﹣2）（x+5）．解：原式＝（x﹣2）（x+5），答案：（x﹣2）（x+5）五、因式分解的應(yīng)用【高頻考點精講】利用因式分解解決求值問題．利用因式分解解決證明問題．3．利用因式分解簡化計算問題．【熱點題型精練】18．（2021?寧波中考）若實數(shù)x滿足x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣7x2+4x+2023的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴2x3﹣7x2+4x+2023＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020＝2x×0﹣3×0+2020＝0+0+2020＝2020，答案：A．19．（2021?成都中考）若x﹣y＝，xy＝﹣，則x2﹣y2＝0．解：∴，∴（x﹣y）2＝3，∴x2﹣2xy+y2＝3，∴，∴，∴（x2﹣y2）2＝（x2+y2）2﹣4x2y2，＝，∴x2﹣y2＝0，答案：0．20．（2021?內(nèi)蒙古模擬）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的兩個根，則代數(shù)式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值為23．解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的兩個根，∴a2﹣a﹣3＝0，b2﹣b﹣3＝0，即a2＝a+3，b