2024屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第十一章11.2數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案文含解析新人教版202305191125

2024屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第十一章11.2數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案文含解析新人教版202305191125第二節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入【知識重溫】一、必記7個知識點(diǎn)1．復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的①________和②________.若③________，則a＋bi為實數(shù)，若④________，則a＋bi為虛數(shù)，若⑤______________，則a＋bi為純虛數(shù)．2．復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?⑥____________(a，b，c，d∈R)．3．共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?⑦_(dá)_______(a，b，c，d∈R)．4．復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面．⑧________叫做實軸，⑨________________叫做虛軸．實軸上的點(diǎn)都表示eq\o(○,\s\up1(10))________；虛軸上的點(diǎn)都表示?________；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示?________________.復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的?________組成的集合是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以?________為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對應(yīng)的．5．復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝?____________.6．復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝?____________.(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝?____________.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝?____________.(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝?__________________(c＋di≠0)．7．復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、必明2個易誤點(diǎn)1．判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義．2．利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．()(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．()(4)原點(diǎn)是實軸與虛軸的交點(diǎn)．()(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．()(6)復(fù)數(shù)z＝－1＋2i的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)在第四象限．()二、教材改編2．復(fù)數(shù)eq\f(5,i－2)的共軛復(fù)數(shù)是()A．i＋2B．i－2C．－2－iD．2－i3．當(dāng)eq\f(2,3)<m<1時，復(fù)數(shù)m(3＋i)－(2＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限三、易錯易混4．z＝(3＋2i)(2－5i)，則復(fù)數(shù)z的虛部為()A．16B．－11C．－11iD．－165．[2021·寶雞質(zhì)檢]若復(fù)數(shù)eq\f(a＋3i,1－2i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝()A．－2B．4C．－6D．6四、走進(jìn)高考6．[2020·天津卷]i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(8－i,2＋i)＝________.eq\x(考點(diǎn)一)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念[自主練透型]1．[2020·全國卷Ⅲ]復(fù)數(shù)eq\f(1,1－3i)的虛部是()A．－eq\f(3,10)B．－eq\f(1,10)C.eq\f(1,10)D.eq\f(3,10)2．[2020·浙江卷]已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則a＝()A．1B．－1C．2D．－23．[2021·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測]若復(fù)數(shù)eq\f(1＋2ai,2－i)(a∈R)的實部和虛部相等，則實數(shù)a的值為()A．1B．－1C.eq\f(1,6)D．－eq\f(1,6)4．[2021·安徽省考試試題]eq\o(z,\s\up6(－))是z＝eq\f(1＋2i,1－i)的共軛復(fù)數(shù)，則eq\o(z,\s\up6(－))的虛部為()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)悟·技法求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算[自主練透型]5．[2020·全國卷Ⅰ]若z＝1＋i，則|z2－2z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．26．[2020·山東卷]eq\f(2－i,1＋2i)＝()A．1B．－1C．iD．－i7.[2021·河南省豫北名校質(zhì)量考評]復(fù)數(shù)eq\f(\r(3)－\r(2)i,\r(2)＋\r(3)i)＝()A.eq\f(2\r(6),5)－iB.eq\f(2\r(6),5)－eq\f(1,5)iC．－1D．－i8.[2021·太原市高三年級模擬試題]設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z·(2＋i)＝5，則|z－i|＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4悟·技法復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．(2)復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義[互動講練型][例1](1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)，則i·z＝()A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i(2)[2020·全國卷Ⅱ]設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，則|z1－z2|＝________.悟·技法復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)．(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．提醒：|z|的幾何意義：令z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2)，由此可知表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義；|z1－z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1，z2的兩點(diǎn)之間的距離.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．[2021·石家莊市高三年級階段性訓(xùn)練題]已知i是虛數(shù)單位，且z＝eq\f(1－i,i)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．[2021·石家莊市重點(diǎn)高中高三畢業(yè)班摸底考試]若復(fù)數(shù)z滿足2z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝3－i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．3第二節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入【知識重溫】①實部②虛部③b＝0④b≠0⑤a＝0且b≠0⑥a＝c且b＝d⑦eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－d))⑧x軸⑨y軸除去原點(diǎn)⑩實數(shù)?純虛數(shù)?實部不為0的虛數(shù)?點(diǎn)?原點(diǎn)?eq\r(a2＋b2)?(a＋c)＋(b＋d)i?(a－c)＋(b－d)i?(ac－bd)＋(ad＋bc)i?eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)【小題熱身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×2．解析：eq\f(5,i－2)＝eq\f(－52＋i,2－i2＋i)＝eq\f(－10－5i,5)＝－2－i，其共軛復(fù)數(shù)為－2＋i，故選B.答案：B3．解析：m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，∵eq\f(2,3)<m<1，∴3m－2>0，m－1<0，∴其對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．答案：D4．解析：依題意，z＝(3＋2i)(2－5i)＝6－15i＋4i＋10＝16－11i，故復(fù)數(shù)z的虛部為－11.故選B.答案：B5．解析：∵eq\f(a＋3i,1－2i)＝eq\f(a＋3i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(a－6,5)＋eq\f(2a＋3,5)i是純虛數(shù)，∴eq\f(a－6,5)＝0且eq\f(2a＋3,5)≠0，∴a＝6，故選D.答案：D6．解析：解法一依題意得eq\f(8－i,2＋i)＝eq\f(8－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(15－10i,5)＝3－2i.解法二設(shè)eq\f(8－i,2＋i)＝x＋yi，其中x，y∈R，則(2＋i)(x＋yi)＝8－i，即(2x－y)＋(2y＋x)i＝8－i，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝8，,2y＋x＝－1，))解得x＝3，y＝－2，即eq\f(8－i,2＋i)＝3－2i.答案：3－2i課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1．解析：利用復(fù)數(shù)除法法則得eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(1＋3i,10)，所以虛部為eq\f(3,10)，選D.答案：D2．解析：因為a－1＋(a－2)i是實數(shù)，所以a－2＝0，所以a＝2.故選C.答案：C3．解析：因為eq\f(1＋2ai,2－i)＝eq\f(1＋2ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－2a,5)＋eq\f(1＋4a,5)i，所以由題意，得eq\f(2－2a,5)＝eq\f(1＋4a,5)，解得a＝eq\f(1,6)，故選C.答案：C4．解析：z＝eq\f(1＋2i,1－i)＝eq\f(1＋2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－1＋3i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，則eq\o(z,\s\up6(－))＝－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，所以eq\o(z,\s\up6(－))的虛部為－eq\f(3,2)，故選C.答案：C考點(diǎn)二5．解析：∵z＝1＋i，∴z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i＋i2－2－2i＝－2，∴|z2－2z|＝|－2|＝2.故選D.答案：D6．解析：解法一eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(2－2－5i,5)＝－i，選D.解法二利用i2＝－1進(jìn)行替換，則eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(－2×－1－i,1＋2i)＝eq\f(－2i2－i,1＋2i)＝eq\f(－i1＋2i,1＋2i)＝－i，選D.答案：D7．解析：由題意可知，eq\f(\r(3)－\r(2)i,\r(2)＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)－\r(2)i\r(2)－\r(3)i,\r(2)＋\r(3)i\r(2)－\r(3)i)＝eq\f(－5i,5)＝－i，故選D.答案：D8．解析：z＝eq\f(5,2＋i)＝eq\f(52－i,2＋i2－i)＝eq\f(52－i,5)＝2－i，所以z－i＝2－2i，則|z－i|＝eq\r(22＋－22)＝2eq\r(2)，故選A.答案：A考點(diǎn)三例1解析：(1)由題意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故選B.(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝eq\r(3)＋i，∴a＋c＝eq\r(3)，b＋d＝1，則(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z1－z2|＝eq\r(a－c2＋b－d2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋d2－2ac＋2bd)＝eq\r(8－－4)＝2eq\r(3).答案：(1)B(2)2eq\r(3)變式練1．解析：z＝eq\f(1－i,i)＝eq\f(1－i－i,i－i)＝－1－i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝－1＋i，則eq\o(z,\s\up6(－))在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(－1,1)，所以eq\o(z,\s\up6(－))在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選B.答案：B2．解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，∵2z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝3－i，∴2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－i，∴a＝1，b＝－1，z＝1－i，∴|z|＝eq\r(2)，故選C.答案：C第三節(jié)隨機(jī)抽樣【知識重溫】一、必記3個知識點(diǎn)1．簡單隨機(jī)抽樣(1)簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個①________地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會②________，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．(2)最常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有兩種——③________法和④______________法．(3)一般地，抽簽法就是總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，⑤______________后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本．(4)隨機(jī)數(shù)表法就是利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．(5)簡單隨機(jī)抽樣有操作簡便易行的優(yōu)點(diǎn)，在總體個數(shù)不多的情況下是行之有效的．2．系統(tǒng)抽樣(1)一般地，假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，我們可以按下列步驟進(jìn)行系統(tǒng)抽樣：(ⅰ)先將總體的N個個體編號．有時可直接利用個體自身所帶的號碼，如學(xué)號、準(zhǔn)考證號、門牌號等；(ⅱ)確定分段間隔k，對編號進(jìn)行分段．當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝⑥________；(ⅲ)在第1段用⑦_(dá)_______確定第一個個體編號l(l≤k)；(ⅳ)按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l⑧________得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號⑨________，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個樣本．(2)當(dāng)總體中元素個數(shù)較少時，常采用簡單隨機(jī)抽樣，當(dāng)總體中元素個數(shù)較多時，常采用⑩________.3．分層抽樣(1)分層抽樣的概念：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)當(dāng)總體是由?________的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣的方法．(3)分層抽樣時，每個個體被抽到的機(jī)會是?________的．二、必明2個易誤點(diǎn)1．認(rèn)清簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三者間的區(qū)別與聯(lián)系，是正確選擇抽樣方法的前提．2．在系統(tǒng)抽樣中，應(yīng)先確定分段間隔，然后再確定入樣個體編號間的關(guān)系．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)在簡單隨機(jī)抽樣中，某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關(guān)，第一次被抽到的可能性最大．()(2)從100件玩具中隨機(jī)拿出一件，放回后再拿出一件，連續(xù)拿5次，是簡單隨機(jī)抽樣．()(3)系統(tǒng)抽樣適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體．()(4)要從1002個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學(xué)生，這樣對被剔除者不公平．()(5)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．()(6)某校即將召開學(xué)生代表大會，現(xiàn)從高一、高二、高三共抽取60名代表，則可用分層抽樣方法抽?。?)二、教材改編2．老師在班級50名學(xué)生中，依次抽取學(xué)號為5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的學(xué)生進(jìn)行作業(yè)檢查，這種抽樣方法是()A．隨機(jī)抽樣B．分層抽樣C．系統(tǒng)抽樣D．以上都不是3．一個公司共有N名員工，下設(shè)一些部門，要采用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法從全體員工中抽取樣本量為n的樣本．如果某部門有m名員工，那么從該部門抽取的員工人數(shù)是________．三、易錯易混4．某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應(yīng)在這三個年齡段分別抽取人數(shù)為()A．33,34,33B．25,56,19C．30,40,30D．30,50,205．利用簡單隨機(jī)抽樣從含有8個個體的總體中抽取一個容量為4的樣本，則總體中每個個體被抽到的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,4)四、走進(jìn)高考6．[2017·江蘇卷]某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取________件．eq\x(考點(diǎn)一)簡單隨機(jī)抽樣[自主練透型]1．下列抽樣試驗中，適合用抽簽法的有()A．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗B．從某廠生產(chǎn)的同一批次的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗D．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗2．利用簡單隨機(jī)抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本．若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為eq\f(1,3)，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,14)C.eq\f(1,4)D.eq\f(10,27)3．[2021·貴陽市適應(yīng)性考試]為了保障人民群眾的身體健康，在預(yù)防新型冠狀病毒期間，貴陽市市場監(jiān)督管理局加強(qiáng)了對市場的監(jiān)管力度，為了考察生產(chǎn)口罩的某工廠生產(chǎn)的600個口罩是否合格，利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣測試，先將600個口罩進(jìn)行編號，編號分別為001,002，…，599,600，再從中抽取60個樣本，如下提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若從表中第6行第6列開始向右依次讀取3個數(shù)據(jù)，則得到的第5個樣本編號為()A．578B．324C．535D．522悟·技法解決簡單隨機(jī)抽樣應(yīng)注意的問題(1)一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．(2)在使用隨機(jī)數(shù)表時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去.考點(diǎn)二系統(tǒng)抽樣[自主練透型]4．[2021·湖南永州模擬]現(xiàn)從已編號(1～50)的50位同學(xué)中隨機(jī)抽取5位以了解他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況，用選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5位同學(xué)的編號可能是()A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5D．2,10,18,26,345．[2021·湖北重點(diǎn)中學(xué)模擬]某校高三年級共有30個班，學(xué)校心理咨詢室為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到30，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取5個班進(jìn)行調(diào)查，若抽到的編號之和為75，則抽到的最小的編號為________．6．[2019·全國卷Ⅰ]某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為1,2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗．若46號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是()A．8號學(xué)生B．200號學(xué)生C．616號學(xué)生D．815號學(xué)生悟·技法1.系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對應(yīng)的號碼就是一個等差數(shù)列，首項就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號碼．2．系統(tǒng)抽樣時，如果總體中的個數(shù)不能被樣本容量整除時，可以先用簡單隨機(jī)抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行.考點(diǎn)三分層抽樣[自主練透型]7．[2018·全國卷Ⅲ]某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________．8．[2021·五省六校(K12聯(lián)盟)聯(lián)考]某中學(xué)有高中生960人，初中生480人，為了了解學(xué)生的身體狀況，采用分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取容量為n的樣本，其中高中生有24人，那么n＝()A．12B．18C．24D．369．[2021·重慶中山外國語學(xué)校模擬]如餅圖，某學(xué)校共有教師120人，從中選出一個30人的樣本．其中被選出的青年女教師的人數(shù)為()A．12B．6C．4D．3第三節(jié)隨機(jī)抽樣【知識重溫】①不放回②都相等③抽簽④隨機(jī)數(shù)表⑤攪拌均勻⑥eq\f(N,n)⑦簡單隨機(jī)抽樣⑧加上間隔k⑨(l＋2k)⑩系統(tǒng)抽樣?差異明顯?均等【小題熱身】1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√2．解析：因為抽取學(xué)號是以eq\f(50,10)＝5為公差的等差數(shù)列，故采用的抽樣方法應(yīng)是系統(tǒng)抽樣．答案：C3．解析：由題意知每個個體被抽到的概率是eq\f(n,N)，∵某部門有m個員工，設(shè)這個部門抽取了x個員工，又采用了等比例分層抽樣的方法．∴eq\f(n,N)＝eq\f(x,m)，∴x＝eq\f(nm,N).答案：eq\f(nm,N)4．解析：因為12528095＝255619，所以抽取人數(shù)分別為25人，56人，19人，故選B.答案：B5．解析：總體個數(shù)為N＝8，樣本容量為M＝4，則每一個個體被抽到的概率為P＝eq\f(M,N)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，故選A.答案：A6．解析：∵eq\f(樣本容量,總體個數(shù))＝eq\f(60,200＋400＋300＋100)＝eq\f(3,50)，∴應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．答案：18課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1．解析：A，D中的總體中個體總數(shù)較多，不適宜抽簽法，C中甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量有區(qū)別，也不適宜抽簽法，故選B.答案：B2．解析：由題意知eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，∴n＝28.∴P＝eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).答案：B3．解析：第6行的第6個數(shù)開始的三位數(shù)分別為808,436,789,535,577,348,994,837,522，…，符合條件的編號分別為436,535,577,348,522，…，第5個樣本數(shù)據(jù)為522.答案：D考點(diǎn)二4．解析：抽樣間隔為eq\f(50,5)＝10，故選B.答案：B5．解析：系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為eq\f(30,5)＝6.設(shè)抽到的最小編號為x，則x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.答案：36．解析：將1000名學(xué)生分成100組，每組10人，則每組抽取的號碼構(gòu)成公差為10的等差數(shù)列{an}，由題意知a5＝46，則an＝a5＋(n－5)×10＝10n－4，n∈N*，易知只有C選項滿足題意．故選C.答案：C考點(diǎn)三7．解析：因為客戶數(shù)量大，且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異，所以最合適的抽樣方法是分層抽樣．答案：分層抽樣8．解析：由分層抽樣知eq\f(n,960＋480)＝eq\f(24,960)，解得n＝36，故選D.答案：D9．解析：青年教師的人數(shù)為120×(1－40%－30%)＝36，所以青年女教師為12人．故青年女教師被選出的人數(shù)為12×eq\f(30,120)＝3.故選D.答案：D第四節(jié)用樣本估計總體【知識重溫】一、必記3個知識點(diǎn)1．頻率分布直方圖(1)通常我們對總體作出的估計一般分成兩種．一種是用樣本的①________估計總體的分布．另一種是用樣本的②________估計總體的數(shù)字特征．(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示③________，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的④________表示．各小長方形的面積總和⑤________.(3)連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．隨著⑥________的增加，作圖時所分的⑦_(dá)_______增加，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為⑧________________，它能夠更加精細(xì)地反映出總體在各個范圍內(nèi)取值的⑨________.(4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便．2．眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)⑩________的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在?________位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的?________.(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即eq\x\to(x)＝?__________.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該?________.3．樣本方差，標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，eq\x\to(x)是?________.標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方．通常用樣本方差估計總體方差，當(dāng)樣本容量?________總體容量時，樣本方差越接近總體方差．二、必明1個易誤點(diǎn)不要把直方圖錯認(rèn)為條形圖，兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻率/組距，連續(xù)隨機(jī)變量在某一點(diǎn)上是沒有頻率的．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率．()(2)頻率分布直方圖中各個長方形的面積之和為1.()(3)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．()(4)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．()(5)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大．()二、教材改編2．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是()A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．平均數(shù)為2，方差為2.4D．中位數(shù)為3，方差為2.83．已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．三、易錯易混4．把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，則在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻率是()A．0.05B．0.25C．0.5D．0.75．若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為________．四、走進(jìn)高考6．[2019·全國卷Ⅱ]演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù)B．平均數(shù)C．方差D．極差eq\x(考點(diǎn)一)樣本的數(shù)字特征[自主練透型]1．[2018·江蘇卷]已知5位裁判給某運(yùn)動員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為________．2．[2021·甘肅、青海、寧夏聯(lián)考]從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總?cè)缦拢荷砀?100,110](110,120](120,130](130,140](140,150]頻數(shù)535302010由此表估計這100名小學(xué)生身高的中位數(shù)為(結(jié)果保留4位有效數(shù)字)()A．119.3B．119.7C．123.3D．126.73．[2021·惠州市調(diào)研考試試題]某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取了100個產(chǎn)品為樣本．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的方差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差為()A．8B．15C．16D．32悟·技法眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義及計算公式(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明地描述，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動的大?。?2)平均數(shù)、方差的公式推廣．①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.(ⅰ)數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；(ⅱ)數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.(3)方差的簡化計算公式．s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.考點(diǎn)二莖葉圖[自主練透型]4．[2021·廣東廣雅中學(xué)、江西南昌二中聯(lián)考]某市重點(diǎn)中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個小組，在一次階段考試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，則m＋n的值是()A．10B．11C．12D．135．[2021·陜西商洛質(zhì)檢]在一次53.5千米的自行車個人賽中，25名參賽選手成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示，現(xiàn)將參賽選手按成績由好到差編為1～25號，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取5人，已知選手甲的成績?yōu)?5分鐘，若甲被選取，則被選取的其余4名選手的成績的平均數(shù)為()A．95B．96C．97D．98悟·技法莖葉圖的應(yīng)用(1)莖葉圖中的“莖”上的數(shù)字代表十位上的數(shù)字，“葉”上的數(shù)字代表個位上的數(shù)字(若沒有則表示該數(shù)據(jù)不存在)；(2)解題時，可把莖葉圖中的數(shù)字按大小順序轉(zhuǎn)化為總體的個體數(shù)字再求解.考點(diǎn)三頻率分布直方圖[互動講練型][例1][2020·天津卷]從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個數(shù)為()A．10B．18C．20D．36悟·技法1.繪制頻率分布直方圖時的2個注意點(diǎn)(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確．(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率．2．由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計算時，需掌握的2個關(guān)系式(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù).[變式練]——(著眼于舉一反三)1．[2021·長沙市統(tǒng)一模擬考試]某學(xué)校對本校高三500名學(xué)生的視力進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，得到的頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，則估計本校高三這500名學(xué)生中視力在4.8以上(含4.8)的人數(shù)為()A．185B．180C．195D．200eq\x(考點(diǎn)四)扇形圖與折線圖[互動講練型][例2](1)[2018·全國卷Ⅰ]某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅狀圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半(2)[2021·山東濟(jì)寧模擬]如圖為某市國慶節(jié)7天假期的樓房認(rèn)購量與成交量的折線圖，小明同學(xué)根據(jù)折線圖對這7天的認(rèn)購量(單位：套)與成交量(單位：套)作出如下判斷，其中判斷正確的是()A．日成交量的中位數(shù)是26B．日成交量超過日平均成交量的有2天C．認(rèn)購量與日期正相關(guān)D．10月7日認(rèn)購量的增幅大于10月7日成交量的增幅悟·技法(1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．(2)折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的變化趨勢.[變式練]——(著眼于舉一反三)2．[2021·開封市第一次模擬考試]某省普通高中學(xué)業(yè)水平考試成績由高分到低分按人數(shù)所占比例依次分為A，B，C，D，E五個等級，A等級15%，B等級30%，C等級30%，D，E等級共25%.其中E等級為不合格，原則上比例不超過5%.該省某校高二年級學(xué)生都參加學(xué)業(yè)水平考試，先從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的考試成績進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示．若該校高二年級共有1000名學(xué)生，則估計該年級拿到C等級及以上級別的學(xué)生人數(shù)為()A．45B．660C．880D．9003．某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值(單位：℃)數(shù)據(jù)，繪制如下折線圖：那么，下列敘述不正確的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B．全年中，2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢第四節(jié)用樣本估計總體【知識重溫】①頻率分布②數(shù)字特征③eq\f(頻率,組距)④面積⑤等于1⑥樣本容量⑦組數(shù)⑧總體密度曲線⑨百分比⑩最多?最中間?中位數(shù)?eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)?相等?平均數(shù)?接近【小題熱身】1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．答案：C3．解析：5個數(shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它們的方差s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.14．解析：由題意知，在區(qū)間[10,50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為eq\f(14,20)＝0.7.答案：D5．解析：∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，∴eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)＝5，∴eq\f(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn,n)＋1＝3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.答案：