制作淮北礦業(yè)集團(tuán)公司中學(xué)紀(jì)迎春

授課教師：紀(jì)迎春1.2離散型隨機(jī)變量的期望與方差1.2離散型隨機(jī)變量的期望與方差1.2離散型隨機(jī)變量的期望與方差1.2離散型隨機(jī)變量的期望與方差1.2離散型隨機(jī)變量的期望與方差1.2離散型隨機(jī)變量的期望與方差一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為

x1，x2，……，xi，…，

ξ取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…)的概率P(ξ＝xi)＝pi，則稱下表為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡(jiǎn)稱為ξ的分布列．由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＝1．一.復(fù)習(xí)提問(wèn)離散型隨機(jī)變量的分布列和性質(zhì)一.復(fù)習(xí)提問(wèn)二項(xiàng)分布如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是（設(shè)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)ξ）稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記

某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：在n次射擊之前，雖然不能確定各次射擊所得的環(huán)數(shù)，但可以根據(jù)已知的分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)．根據(jù)這個(gè)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，他在n次射擊中，預(yù)計(jì)有大約P(ξ＝4)×n＝0.02n次得4環(huán)，P(ξ＝5)×n＝0.04n次得5環(huán)，……P(ξ＝10)×n＝0.22n次得10環(huán)．n次射擊的總環(huán)數(shù)約等于4×0.02×n＋5×0.04×n＋…＋10×0.22×n＝(4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22)×n，從而，n次射擊的平均環(huán)數(shù)約等于4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22＝8.32．能否估計(jì)出該射手n次射擊的平均環(huán)數(shù)？類似地，對(duì)任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，即已知各個(gè)P(ξ＝i)(i＝0，1，2，…，10)，則可預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù)是Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋…＋10×P(ξ＝10)．我們稱Eξ為此射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的期望，它刻劃了隨機(jī)變量ξ所取的平均值，從一個(gè)方面反映了射手的射擊水平．一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為

則稱Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱為期望．設(shè)η＝aξ＋b，其中a，b為常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．因?yàn)镻(η＝axi＋b)＝P(ξ＝xi)，i＝1，2，3，…所以，η的分布列為一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為

則稱Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱為期望．設(shè)η＝aξ＋b，其中a，b為常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．因?yàn)镻(η＝axi＋b)＝P(ξ＝xi)，i＝1，2，3，…所以，η的分布列為于是Eη＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＋…＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…)＋b(p1＋p2＋…+pn＋…)＝aEξ＋b．即E(aξ＋b)＝aEξ＋b．例1籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分ξ的期望．解：因?yàn)镻(ξ＝1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.3，所以Eξ＝1×P(ξ＝1)＋0×P(ξ＝0)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7．例2隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)ξ的期望．解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)ξ的概率分布為所以

例3有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15％．對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品，但抽查次數(shù)最多不超過(guò)10次．求抽查次數(shù)ξ的期望(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)．解：抽查次數(shù)ξ取1～10的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中每次抽取一件檢查的試驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k－1次取出正品而第k次(k＝1，2，…，9)取出次品的概率P(ξ＝k)＝0.85k-1×0.15，(k＝1，2，…，9)；需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率P(ξ＝10)＝0.859．由此可得ξ的概率分布如下：根據(jù)以上的概率分布，可得ξ的期望Eξ＝1×0.15＋2×0.1275＋…＋10×0.2316＝5.35．服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望

又是怎樣的？

設(shè)在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，η是一次試驗(yàn)中此事件發(fā)生的次數(shù)，令q＝1－p，則P(η＝0)＝q，P(η＝1)＝p，

Eη＝0×q＋1×p＝p，由此猜想，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，該事件平均發(fā)生np次，即若ξ～B(n，p)，則Eξ＝np．證明：所以若ξ～B(n，p)，則Eξ＝np．

例4一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分．學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)．求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望．

解：設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中選擇了正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是ξ和η，則ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，所以，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英