正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

計(jì)算機(jī)

在材料科學(xué)中的應(yīng)用

宮本奎山東理工大學(xué)1課時(shí)：

理論12學(xué)時(shí)，上機(jī)操作20學(xué)時(shí)。教材：

《計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)與工程中的應(yīng)用》，曾令可葉衛(wèi)平主編，武漢理工大學(xué)出版社；參考書：《AutoCAD制圖軟件》，全國(guó)專業(yè)技術(shù)人員計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力考試專家委員會(huì)編寫，遼寧人民出版社；《試驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析》

陳魁著，清華大學(xué)出版社出版。21正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)1.1正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原理1.2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本方法1.3多指標(biāo)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的分析方法1.4水平不同的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)1.5有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)1.6正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析3引言在科學(xué)研究、產(chǎn)品設(shè)計(jì)與開發(fā)和工藝條件的優(yōu)選過程中，為了揭示多因素對(duì)實(shí)驗(yàn)和計(jì)算結(jié)果的影響，一般都需進(jìn)行大量的多因素組合條件的試驗(yàn)。付出的代價(jià)高，有時(shí)甚至使試驗(yàn)無法完成。在研制新材料時(shí)，常常需優(yōu)選組分配比、工藝參數(shù)等，需要進(jìn)行大量的試驗(yàn)，才能最后選定一種或幾種符合要求的材料組分。4傳統(tǒng)的方法：費(fèi)時(shí)，浪費(fèi)大量的人力、物力?，F(xiàn)代的方法：只需要有限次的實(shí)驗(yàn)就可得到滿意的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法：優(yōu)選法、正交設(shè)計(jì)法。優(yōu)選法主要用于只有一個(gè)因素影響某一事物的特性或性能的情況。正交設(shè)計(jì)法是解決多因素影響某一事物的特性或性能的情況。國(guó)內(nèi)外均非常重視正交法試驗(yàn)的研究和應(yīng)用。日本——家喻戶曉，中國(guó)處于領(lǐng)先地位。51.1

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原理（1）正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本思想定義：利用規(guī)格化的正交表，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)出試驗(yàn)方案，有效地分析試驗(yàn)結(jié)果，提出最優(yōu)配方和工藝條件，進(jìn)而設(shè)計(jì)出可能更優(yōu)秀的試驗(yàn)方案的一種科學(xué)的方法。通過下邊一個(gè)例子來說明正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法的基本想法。6[例1]為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇三個(gè)有關(guān)因素進(jìn)行條件試驗(yàn)：反應(yīng)溫度(A)、反應(yīng)時(shí)間(B)、用堿量(C)，它們的試驗(yàn)范圍：A：80-90℃B：90-150分鐘C：5-7％試驗(yàn)?zāi)康模焊闱宄蛩谹、B、C對(duì)轉(zhuǎn)化率有什么影響，哪些是主要的，哪些是次要的，從而確定最適宜的生產(chǎn)條件，即溫度、時(shí)間及用堿量各為多少才能使得轉(zhuǎn)化率高。制定試驗(yàn)方案。7對(duì)因素A、因素B和因素C，在試驗(yàn)范圍內(nèi)均選了三個(gè)水平：A：Al＝80℃，A2＝85℃，A3=90℃B：Bl＝90分，B2＝120分，B3=150分C：Cl＝5％，C2＝6%，C3＝7%

這是個(gè)三因素三水平的條件試驗(yàn)，通常有兩種試驗(yàn)進(jìn)行方法：

（?。┤嬖囼?yàn)法取三因素所有水平之間的組合，即AlBlC1，A1BlC2，A1B2C1，……，A3B3C3，共有33=27次試驗(yàn)。用圖表示就是圖1立方體的27個(gè)節(jié)點(diǎn)。這種試驗(yàn)法叫做全面試驗(yàn)法。

8圖1全面試驗(yàn)法取點(diǎn)

全面試驗(yàn)對(duì)各因素與指標(biāo)間的關(guān)系剖析得比較清楚。但試驗(yàn)次數(shù)太多。特別是當(dāng)因素?cái)?shù)目多，每個(gè)因素的水平數(shù)目也多時(shí)。試驗(yàn)量大得驚人。如選六個(gè)因素，每個(gè)因素取五個(gè)水平時(shí)，如做全面試驗(yàn)，則需56＝15625次試驗(yàn)。如果應(yīng)用正交實(shí)驗(yàn)法，只做25次試驗(yàn)就行了。而且在某種意義上講，這25次試驗(yàn)代表了15625次試驗(yàn)。9（ⅱ

）簡(jiǎn)單對(duì)比法

即變化一個(gè)因素而固定其他因素。如固定Bl、Cl，使A變化：↗A1，B1C1→A2，↘A3

(好結(jié)果)；

如得出結(jié)果A3最好，則固定A于A3，C于Cl，使B變化：↗B1，A3C1→B2(好結(jié)果)，↘B3；

如得出結(jié)果以B2為最好，則固定B于B2

，A于A3，使C變化：↗C1，

A3B2→C2(好結(jié)果)，↘C3；

試驗(yàn)結(jié)果以C2最好。因此，可認(rèn)為最好的工藝條件為A3B2C2。10這種方法一般也有一定的效果，但缺點(diǎn)很多。首先這種方法的選點(diǎn)代表性很差，如按上述方法進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)點(diǎn)完全分布在一個(gè)角上，而在一個(gè)很大的范圍內(nèi)沒有選點(diǎn)。因此這種試驗(yàn)方法不全面，所選的工藝條件A3B2C2不一定是27個(gè)組合中最好的。其次，用這種方法比較條件好壞時(shí)，是把單個(gè)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)拿來，進(jìn)行數(shù)值上的簡(jiǎn)單比較，而試驗(yàn)數(shù)據(jù)中必然要包含著誤差成分，所以單個(gè)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單比較不能剔除誤差的干擾，必然造成結(jié)論的不穩(wěn)定。簡(jiǎn)單對(duì)比法的最大優(yōu)點(diǎn)就是試驗(yàn)次數(shù)少，例如六因素五水平試驗(yàn)，在不重復(fù)時(shí)，只用5+(6-1)×(5-1)＝5+5×4＝25次試驗(yàn)。11圖2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)圖例

考慮兼顧這兩種試驗(yàn)方法的優(yōu)點(diǎn)，從全面試驗(yàn)的點(diǎn)中選擇試驗(yàn)點(diǎn)，使試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)分布得很均勻，能反映全面情況。但又希望試驗(yàn)點(diǎn)盡量地少。為此，作出如圖2所示的設(shè)計(jì)，試驗(yàn)點(diǎn)用“?”表示?？煽吹剑?個(gè)平面中每個(gè)平面上都恰好有三個(gè)點(diǎn)，而每個(gè)平面的每行每列都有一個(gè)點(diǎn)，而且只有一個(gè)點(diǎn)，圖2中總共九個(gè)點(diǎn)。12

此試驗(yàn)方案中，試驗(yàn)點(diǎn)的分布很均勻，試驗(yàn)次數(shù)也不多。當(dāng)因素?cái)?shù)和水平數(shù)都不太大時(shí)，可通過作圖的辦法來選擇分布很均勻的試驗(yàn)點(diǎn)。但因素?cái)?shù)和水平數(shù)很多時(shí)，作圖的方法難以行得通。試驗(yàn)工作者在長(zhǎng)期的工作中總結(jié)出一套辦法，創(chuàng)造出所謂的正交表。按照正交表來安排試驗(yàn)，既能使試驗(yàn)點(diǎn)分布得很均勻，又能減少試驗(yàn)次數(shù)，而且計(jì)算分析簡(jiǎn)單，能夠清晰地闡明試驗(yàn)條件與指標(biāo)之間的關(guān)系。

用正交表來安排試驗(yàn)及分析試驗(yàn)結(jié)果，這種方法叫正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法。13（2）正交性原理正交性原理：“均衡搭配”和“整齊可比”

均衡搭配：是指用正交表所安排的試驗(yàn)方案，能均衡地分散在水平搭配的各種組合方案之中，因而其試驗(yàn)組合條件具有代表性，容易選出最優(yōu)方案。整齊可比：為了對(duì)某一因素（如A）比較其各水平（A1、A2、A3）的作用，從中找出優(yōu)秀結(jié)果，其余因素水平（B1、B2、B3；C1、C2、C3；???）出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)相同，以便最大限度地排除其它因素的干擾，使這一因素具有可比性。A2B1，C1B2，C3B3，C2A1B1，C3B2，C2B3，C1A3B1，C2B2，C1B3，C314（3）正交表介紹（?。┱槐淼男问郊按?hào)表的縱列數(shù)(可安排因素的最多個(gè)數(shù))表示每一個(gè)因素的水平個(gè)數(shù)表的橫行數(shù)(需做試驗(yàn)的次數(shù))正交表代號(hào)Ln(mk)15L18(2×37)（混合水平

）有7列是3水平的（7個(gè)因素是3水平）；有1列是2水平的（1個(gè)因素是2水平）。用它來安排試驗(yàn)，做18個(gè)試驗(yàn)最多可以考察一個(gè)2水平因素和7個(gè)3水平因素。L8(27)（同水平）7為正交表列的數(shù)目（最多可安排的因素?cái)?shù)）2為因素的水平數(shù)8為正交表行的數(shù)目（試驗(yàn)次數(shù)）示例16（ⅱ）正交表的分類及特點(diǎn)：分類：同水平正交表和混合水平正交表列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1234111322211133123412215223363212713138232293331列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12345111221232211322222441212512112631122721111842121表L9(34)正交表表L8(41×24)正交表17正交表的特點(diǎn)：（1）每一列中各數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)都一樣多。（2）任何兩列所構(gòu)成的各有序數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣多。所以稱之為正交表。例如：L9(34)(見表1.1)。各列中的l、2、3都各自出現(xiàn)3次；任何兩列，例如第3、4列，所構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)從上向下共有九種，既沒有重復(fù)也沒有遺漏。其他任何兩列所構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)也是這九種各出現(xiàn)一次。這反映了試驗(yàn)點(diǎn)分布的均勻性。18列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1231111212232124221列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112表L8（27）表L4（23）其它常用正交表：19列號(hào)列號(hào)1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)L8(27)的交互列表20安排原理:安排試驗(yàn)時(shí)，只要把所考察的每一個(gè)因子任意地對(duì)應(yīng)于正交表的一列(一個(gè)因素對(duì)應(yīng)一列，不能讓兩個(gè)因素對(duì)應(yīng)同一列)，然后把每列的數(shù)字“翻譯”成所對(duì)應(yīng)因素的水平。這樣，每一行的各水平組合就構(gòu)成了一個(gè)試驗(yàn)條件(不考慮沒安排因子的列)。在行數(shù)為mn型的正交表中(m，n是正整數(shù))，行數(shù)(試驗(yàn)次數(shù))＝Σ(每列水平數(shù)-1)+1，即n=Σk(m-1)+1。（4）用正交表安排試驗(yàn)21如L8(27)：

8＝7×(2-1)+l

利用上述關(guān)系式可以從所要考察的因素水平數(shù)來決定最低的試驗(yàn)次數(shù)，進(jìn)而選擇合適的正交表。如5個(gè)3水平因素及一個(gè)2水平因素的試驗(yàn)次數(shù)：

5×(3-1)+1×(2-1)+1＝12（次）

這就是說，要在行數(shù)不小于12，既有2水平列又有3水平列的正交表中選擇，L18(2×37)適合。22

例2在提高鈦酸鋁陶瓷強(qiáng)度的研究中，考慮如下四個(gè)因素：燒結(jié)溫度（A）、保溫時(shí)間(B)、外加ZrO2(WT)%(C)、外加SnO2(WT)%(D)，因素水平如下所示，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)試驗(yàn)，以優(yōu)化工藝參數(shù)。因素水平燒結(jié)溫度（℃）保溫時(shí)間(h)外加ZrO2(WT)(%)外加SnO2(WT)(%)11460130215003513154057323（a）僅考察A、B、C三因素的作用效果，則對(duì)3因素3水平的試驗(yàn)次數(shù)：3×(3-1)+1＝7(次)可考慮選用L9(34)。因素A、B、C可任意地對(duì)應(yīng)于L9(34)的某三列，如放前三列，表頭和實(shí)驗(yàn)安排如下：

表頭：列號(hào)1234因素ABC24列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1A2B3C4試驗(yàn)號(hào)水平組合111321A1B1C3221112A2B1C1331233A3B1C2412214A2B2C2522335A2B2C3632126A3B2C1713137A1B3C1823228A2B3C2933319A3B3C3實(shí)驗(yàn)安排：25(b）如果四個(gè)因素都考慮，而不考慮交互作用。（i）試驗(yàn)費(fèi)用高，希望少做試驗(yàn)，可仍取L9(34)。

表頭設(shè)計(jì)如右上表，實(shí)驗(yàn)方案右下表。列號(hào)1234因素ABCD列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1A2B3C4D水平組合11132A1B1C3D222111A2B1C1D133123A3B1C2D341221A2B2C2D152233A2B2C3D363212A3B2C1D271313A1B3C1D382322A2B3C2D293331A3B3C3D126

（ii）試驗(yàn)費(fèi)用不太大，此時(shí)可選用L18(2×37)為宜。表頭設(shè)計(jì)如下（A、B、C、D放在2—8列中任四列均可）：列號(hào)12345678因素ABCD

（c）如果考慮A、B、C三個(gè)因素，且考慮它們兩兩的交互作用，此時(shí)選用L27(313)及交互列表，表頭設(shè)計(jì)如下：列號(hào)1234567891011因素AB(A×B)1(A×B)2C(A×C)1(A×C)2(B×C)1(B×C)2返回27

例3在研究“水電站高窗廠房熱壓自然通風(fēng)”時(shí)，提出了自然通風(fēng)時(shí)計(jì)算車間溫度Tn的公式如下：式中：Tw----為室外空氣溫度(℃)；Q----車間余熱量；M----室外空氣特性參數(shù)，M=2gρ2wcpT2w；N----建筑門窗的特性參數(shù)；

η----熱壓通風(fēng)系數(shù)。1.2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本方法Tn-TwTw1ηNQ2M1/3=28

具體步驟：第一步明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定考核指標(biāo)試驗(yàn)?zāi)康模罕纠}是探索使熱壓通風(fēng)系數(shù)η最大時(shí)，車間幾何尺寸的最優(yōu)化方案?？己酥笜?biāo)：是η值，η值越大，車間自然通風(fēng)效果就愈佳。第二步挑因素，選水平，制定因素水平表。本實(shí)驗(yàn)中，認(rèn)為熱壓通風(fēng)系數(shù)η主要受高窗廠房的建筑特征影響，主要因素如下：

η=f(F1,F2,H2,L,K2,a)

每個(gè)因素取兩水平，列出因素水平表(見書中表1.3，p5)。29

第三步選擇合適的正交表

選擇原則：首先，要求表中水平個(gè)數(shù)與被考察的水平個(gè)數(shù)完全一致；其次，要求正交表的縱列數(shù)等于或大于被考察因素的個(gè)數(shù)。

必須考慮的因素：(1)據(jù)試驗(yàn)?zāi)康模_定試驗(yàn)時(shí)要考慮的因素。(2)確定因素的水平數(shù)，重要的因素水平多一些，其余的少一些。(3)估計(jì)試驗(yàn)條件、代價(jià)等，考慮試驗(yàn)次數(shù)。(4)依因素水平數(shù)，選取正交表。30例中：水平數(shù)為2，因素為6。試驗(yàn)次數(shù)(行數(shù))＝Σ(每列水平數(shù)-1)+l=6×(2-1)+1=7

所以選取的正交表為L(zhǎng)8（27），符合正交表的選擇原則。第四步用正交表安排實(shí)驗(yàn)采用“因素順次上列，水平對(duì)號(hào)入座”，實(shí)驗(yàn)計(jì)劃表如下所示，并列出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。31表1.4

L8（27）試驗(yàn)計(jì)劃及結(jié)果分析表列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1A2B3C4D5E6FG試驗(yàn)條件η11111111A1B1C1D1E1F11.5721112222A1B1C1D2E2F21.9431221122A1B2C2D1E1F20.9241222211A1B2C2D2E2F11.5452121212A2B1C2D1E2F10.8662122121A2B1C2D2E1F21.3772211221A2B2C1D1E2F11.3382212112A2B2C1D2E1F11.37K15.975.746.214.685.235.815.34K24.935.164.696.225.675.095.53極差ΔR1.040.581.521.540.440.720.1932

第五步計(jì)算分析試驗(yàn)結(jié)果，選取優(yōu)化方案1、看-看（直觀分析法）由表1.4直接找出最優(yōu)的方案，第2號(hào)實(shí)驗(yàn)條件，即A1、B1、C1、D2、E2、F2。2、算一算①計(jì)算每一因素同一水平所導(dǎo)致結(jié)果之和（K1、K2、K3）。②計(jì)算每一因素同一水平所導(dǎo)致結(jié)果之和的平均值（k1、k2、k3）。（注：本題中由于結(jié)果較簡(jiǎn)單，此步驟省略）③計(jì)算每個(gè)因素各水平導(dǎo)致結(jié)果之和的極差。

極差是指一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。33因素與K值的關(guān)系圖3、畫出因素與指標(biāo)關(guān)系圖即趨勢(shì)圖

34

4、根據(jù)極差R的大小排出因素主次順序由于RD（1.54）>RC（1.52）>RA（1.04）>RF（0.72）>RB（0.58）>RE（0.19）所以，因素的主次順為:D>C>A>F>B>E5、初選最優(yōu)水平組合：比較K1、K2（或者k1、k2）選取為D2、C1、A1、F1、B1、E2。6、終選最優(yōu)水平組合：根據(jù)直觀分析和計(jì)算分析，并參照實(shí)際情況選取最優(yōu)生產(chǎn)條件。第六步驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)（從略）。35例4根據(jù)資料和相關(guān)情況，確定了材料的組成為Na2O，K2O，CaO，SiO2，其各因素的水平表見表1.5，希望從表中選出一種組成，使它具有某種最佳抗折強(qiáng)度。表1.5材料的成分序號(hào)SiO2Na2OK2OCaO172.07.268.1612.68274.06.767.6611.68376.06.267.1610.6836列號(hào)試驗(yàn)號(hào)A（SiO2）B（Na2O

）C（K2O

）D（CaO

）實(shí)驗(yàn)結(jié)果111117.2636212227.2582313337.2456421237.2001522317.3130623127.2560731327.2558832137.1988933217.3086k(1,J)7.255807.239837.239477.29507k(2,J)7.256377.256677.255637.25667k(3,J)7.254407.270077.271477.21483ΔR0.001970.030240.032000.08024表1.6Na2O-K2O-CaO-SiO2材料實(shí)驗(yàn)計(jì)算表37返回因子和水平與評(píng)分的關(guān)系圖381.1.3多指標(biāo)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的分析方法例4某廠5t冷風(fēng)沖天爐，在現(xiàn)有的設(shè)備條件和原料供應(yīng)情況下，探索較好的生產(chǎn)條件，以達(dá)到三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)：鐵水溫度在1400℃以上，熔化速度在5t/h左右，焦碳與鐵水的比例約在1:12。

列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1A2B3C4D實(shí)驗(yàn)方案111111111212221222313331333421232123522312231623122312731323132832133213933213321L9（34）為了達(dá)到這三個(gè)指標(biāo)，選出4個(gè)有影響的因子，每個(gè)因子定3個(gè)水平，情況見表1.7(p10)。A、B為沖天爐結(jié)構(gòu)參數(shù)，C、D為工藝參數(shù)。選正交表L9（34）。39列號(hào)試驗(yàn)號(hào)ABCD1234試驗(yàn)方案試驗(yàn)指標(biāo)綜合評(píng)分鐵水溫度(℃)熔化速度(t/h)總焦鐵比1:X11111A1B1C1D114085.31:11.7221222A1B2C2D213975.21:13.2731333A1B3C3D314095.61:12.3642123A2B1C2D314095.21:11.9652231A2B2C3D114054.91:12.5962312A2B3C1D214125.11:13.02173132A3B1C3D214155.41:13.32483213A3B2C1D314135.31:12.21293321A3B3C2D114195.11:13.5331、綜合評(píng)分法（因素、水平P10，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)見p11）40列號(hào)試驗(yàn)號(hào)A1B2C3D4綜合評(píng)分K115323544總分120K236284652K369603924k1510.711.714.7總平均分為：120/9=13.3k2129.315.317.3k32320.013.08.0ΔR1810.73.69.3表1.8

結(jié)果分析—綜合評(píng)分主次關(guān)系（△R）：A→B→D→C最優(yōu)方案（K）：

A3B3C2D241圖1.2因子和水平與評(píng)分的關(guān)系圖最優(yōu)方案（圖形關(guān)系）：

A3B3C2D2422、綜合平衡法綜合平衡法是先分別將各個(gè)指標(biāo)按單指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算分析，再將各指標(biāo)的分析結(jié)果進(jìn)行綜合平衡，以得到“最優(yōu)”試驗(yàn)方案。實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析見后表(圖)。43平均鐵水溫度(℃)平均熔化速度(t/h)總焦鐵比1:XABCDABCDABCDK1421442324233423216.115.915.715.31:37.21:36.91:36.91:38.7K2422642154225422415.215.415.515.71:37.41:37.91:38.61:39.5K3424742404229423115.815.815.916.11:39.01:38.81:38.11:36.4k114051411141114115.45.35.25.11:12.41:12.31:12.31:12.6k114091405140814085.15.15.25.21:12.51:12.61:12.91:13.2K114161413141014105.35.35.35.41:13.61:12.91:12.71:12.1ΔR118330.30.20.10.30.60.60.61.1表1.9實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果44返回451.1.4水平不同的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)例如某一試驗(yàn)的因子、水平是：A：A1，A2，A3，A4；B：B1，B2；C：C1，C2；D：D1，D2；E：E1，E2；有兩種方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案。1、是直接用不同水平混合型的正交表如：L8（4×24），L16（4×29）等。46用L8（4×24）正交表，即：列號(hào)試驗(yàn)號(hào)A1B2C3D4E5試驗(yàn)方(ABCDE)1111111111121222212222321122211224222112221153121231212632121321217412214122184211242112472、采用“擬水平法”。擬水平法就是將水平一律補(bǔ)齊為相同水平再加以解決的方法。即是將B、C、D、E各因子重復(fù)原水平都補(bǔ)成4水平，具體步驟如下。A：A1，A2，A3，A4；B：B1，B2，B1，B2；C：C1，C2，C1，C2；D：D1，D2，D1，D2；E：E1，E2，E1，E2；然后，再用L16（45）正交表進(jìn)行分析討論(P216)。返回48L16（45）

列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12345111111212222313311414422521212622172348243931310324113311234213414144231543216441491.1.5有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)1、交互作用定義因子之間對(duì)試驗(yàn)結(jié)果(指標(biāo))的聯(lián)合搭配作用--由實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)來判斷。2、當(dāng)因子間存在交互作用時(shí)，如何采用正交表來安排試驗(yàn)以及如何對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析呢？50

（1）當(dāng)因子間存在交互作用時(shí)，其交互作用應(yīng)看成一個(gè)新的因子，記作A×B。同樣，若A、B、C三個(gè)因子間存在交互作用時(shí)，新的因子應(yīng)記作A×B×C。（2）當(dāng)因子間存在交互作用時(shí)，用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)和結(jié)果分析時(shí)，也要考慮交互作用對(duì)指標(biāo)的影響。交互作用作為一個(gè)新的因子，要占正交表的一列。交互作用應(yīng)該排在哪一列上，可查二列間交互作用表。下面我們簡(jiǎn)要介紹一下如何來查二列間交互作用表。51列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112L8（27）的正交表

列號(hào)()1A2B3A×B456B×C7(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)L8(27)的交互列表C（3)對(duì)有交互作用的各因子，使用正交表時(shí)，要進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)。如5個(gè)因子A、B、C、D、E，每個(gè)因子是2水平，其中A與B、B與C都有交互作用，其它無交互作用。用L8（27）正交表，按其交互列表，其交互列的排列如下所示。52根據(jù)前面的結(jié)論，它的表頭設(shè)計(jì)為：ABA×BCDB×CE1234567（4）對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析討論（略）。注意：

(A×B)1--指的是同一水平的搭配，即A1B1或A2B2。(A×B)2--指的是不同水平的搭配，即A1B2或A2B1。返回531.1.6正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析方法1、定義簡(jiǎn)單來說，把試驗(yàn)數(shù)據(jù)分解為各個(gè)因素的波動(dòng)和誤差波動(dòng)，然后，將它們的平均波動(dòng)進(jìn)行比較，分析其所引起試驗(yàn)結(jié)果間的差異，這種方法稱為方差分析。一種對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)分析方法。2、為什么要采用方差分析方法？采用直觀分析方法不能區(qū)分每個(gè)因素各水平對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果間的差異，究竟是由于因素水平不同引起的，還是由于試驗(yàn)誤差引起的，同時(shí)，對(duì)影響試驗(yàn)結(jié)果的各因素的重要程度，不能給以精確的數(shù)量估計(jì)，也不能提供一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，用來判斷考察因素的作用是否顯著。54例如：T8鋼淬火試驗(yàn)（4因素2水平）如下表所示：因素水平A溫度(℃)B時(shí)間(min)C冷卻液D操作方法180015油D1282011水D2其中，A與B有交互作用，測(cè)試淬火硬度，硬度越大越好。選用L8（27）表頭設(shè)計(jì)，即：ABA×BCe(誤差)E(誤差)D12345673、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析55列號(hào)試驗(yàn)號(hào)A(℃)1B(min)2A×B3C4e(誤差)5E(誤差)6D7硬度硬度-551111111150-521112222594312211225614122221158352121212550621221215837221122147-88221211252-3表1.13正交設(shè)計(jì)方差分析偏差56列號(hào)試驗(yàn)號(hào)A(℃)1B(min)2A×B3C4e(誤差)5E(誤差)6D7硬度硬度-55Ⅰ32-12-12-4-5-7Ⅱ-8-777-102m13/41/2-3-3-1-5/4-7/4m2-2-7/47/47/4-1/401/2T111/89/8-19/8-19/8-3/8-5/8-9/8T2-11/89/819/819/83/85/89/8Ⅰ294144144162549Ⅱ26449494910473/4—25/8=121/853/4—25/8=81/8193/4—25/8=361/8193/4—25/8=361/817/4—25/8=9/825/4—25/8=25/853/4—25/8=81/8續(xù)表1.13注:Ⅰ、Ⅱ分別為同級(jí)水平結(jié)果誤差和；m1、

m2偏差平均值；表中的Ti=mi-T/8(i=1,2)；即為因素A或因素B所有水平結(jié)果硬度值偏差之和(-5)；A因素的方差SA=因素同水平[重復(fù)數(shù)×(同水平偏差平均值-總偏差平均值)2]之和。見p1957因素方差S自由度fS/fF值顯著性A(溫度)121/81121/8121/8：17/8=7.1B(時(shí)間)81/8181/881/8：17/8=4.8C(冷卻液)361/81361/8361/8：17/8=21.2*D(操作方法)81/8181/881/8

：17/8=4.8A×B(交互作用)361/81361/8361/8：17/8=21.2*SE(誤差)34/8217/8表1.14方差分析表注：自由度f=因素的水平數(shù)-1；SE(誤差)方差=e(誤差)的方差+E(誤差)的方差，其自由度為兩者之和1+1。58在Ln(mk)正交表上進(jìn)行方差分析

的步驟與格式（1）偏差平方和的計(jì)算（2）計(jì)算平均偏差平方和自由度（3）計(jì)算F值及查F分布表（4）對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)具體計(jì)算過程如后面的表中所示：59試驗(yàn)號(hào)因素試驗(yàn)結(jié)果YiYi2AB…………列號(hào)12……k11………………Y1Y1221………………Y2Y22……………m……………………nm………………YnYn2K1K11K12……K1k…………KmKm1Km2……KmkK12K112K122……K1k2…………Km2Km12Km22……Kmk2SjS1S2……SkLn(mk)正交表(r為水平重復(fù)次數(shù))60方差來源偏差平方和S自由度f平均偏差平方各S/fF值臨界值Fa顯著性ASA=S1fA=m-1SA/fA查表BSB=S2fB=m-1SB/fBA×BSA×B=S3fA×B=fA×fBSA×B/fA×B……………誤差Sefefe/fe總和STfT=n-1方差分析表注：這里m為水平數(shù)。61作業(yè)1正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本思想2如何來安排正交試驗(yàn)3P35思考題與習(xí)題:1.1，1.2，1.3返回621.2數(shù)據(jù)處理技術(shù)

1.2.1正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的插值方法1.2.2曲線擬合和最小二乘法631.2.1正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的插值方法(1)線性插值由初等幾何可知,過任意兩已知點(diǎn)(x1，y1)和(x2，y2)可作一條直線，其直線方程為：若令代入式(1.3)，則有：顯然：（1.3）即此方程過點(diǎn)（x1,y1）和（x2,y2）。通常稱為l1(x)和l2(x)為線性插值的基函數(shù)。64（2）三點(diǎn)二次插值（拋物線插值）已知任意三點(diǎn)（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3），過這三點(diǎn)的二次函數(shù)顯然與這三點(diǎn)的值有關(guān)。設(shè)該函數(shù)為同前面一樣，l1(x)、l2(x)、l3(x)稱為基函數(shù)，它們應(yīng)滿足條件：①②由此推出：它們滿足上面兩個(gè)條件，且有：65例1.4已知CO2在下面三個(gè)溫度點(diǎn)對(duì)應(yīng)的熱容見下表。求CO2在1708K時(shí)之熱容。利用上述方法求得：溫度1673K1773K1873K比容2.31362.33542.3563圖1擬合曲線66（2）拉格朗日插值公式一般，已知n個(gè)點(diǎn)x1，x2,…，xn上的函數(shù)值y1，y2，…，yn，要求作一個(gè)不高于n-1次的多項(xiàng)式：使得：由前面的結(jié)果可知：顯然，當(dāng)x=xi時(shí)，li(xi)=1；不然，li(xk)=0(k≠1)。由此，可將上式改寫成：F(xi)=yi

(i=1,2,…,n)(1.5)(1.6)(1.7)67例1.5已知某液體的粘度-溫度關(guān)系，

E330=60Pa·s，E350=30Pa·s，E375=10Pa·s，E410=5Pa·s。

求T=340K時(shí)之粘度。若取前三個(gè)值（n=3）代入推導(dǎo)出的公式，得：E340=48.5Pa·s若令n=4，則得：E340=48.05556Pa·s圖2擬合曲線681.2.2曲線擬合與最小二乘法1.2.2.1曲線擬合

（1）問題的提出（2）擬合的標(biāo)準(zhǔn)1.2.2.2線性擬合1.2.2.3多項(xiàng)式擬合69

在試驗(yàn)設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)計(jì)算中，需要大量的參數(shù)。這些參數(shù)有些可以通過計(jì)算得到，但大量的參數(shù)還是要通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到。實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的常常是一組離散數(shù)據(jù)序列（xi

,yi）。

如果數(shù)據(jù)序列（xi,yi）(為一般起見),i=1,2,…,m,含有不可避免的誤差（或稱“噪聲”，如圖3所示），或者無法同時(shí)滿足某特定的函數(shù)（如圖4示）,那么，只能要求所作逼近函數(shù)ψ（x）最優(yōu)地靠近樣點(diǎn)，即向量Q=（ψ(x1),ψ(x2),…,ψ(xm)）T與Y=(y1,y2,…,ym)T的誤差或距離最小。按Q與Y之間誤差最小原則作為“最優(yōu)”標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造的逼近函數(shù)，稱擬合函數(shù)。圖3含有噪聲的數(shù)據(jù)圖4無法同時(shí)滿足某特定函數(shù)的數(shù)據(jù)序列（1）問題的提出70

除了物性數(shù)據(jù)及參數(shù)需要利用數(shù)據(jù)擬合外，在試驗(yàn)中，許多模型也要利用數(shù)據(jù)擬合技術(shù)，求出最佳的模型和模型參數(shù)。如在某種材料的熱膨脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得一批數(shù)據(jù)如表1-1所示。希望用一簡(jiǎn)單公式表示這些點(diǎn)間的關(guān)系。

由數(shù)據(jù)間的關(guān)系知，這些點(diǎn)大致分布在一條直線上，因此可用線性表示為：

如何確定上述模型中的參數(shù)a，b，是相關(guān)工作者經(jīng)常要碰到的問題。由于所選取兩點(diǎn)的不同，得出的a，b值也會(huì)不同。這就需要采用某種方法從這些矛盾方程中確定參數(shù)，進(jìn)而確定一條直線或曲線，最好地逼近給定的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)，這就是曲線擬合。常用的是最小二乘法。（1）問題的提出71（2）擬合的標(biāo)準(zhǔn)——實(shí)例實(shí)驗(yàn)測(cè)得二甲醇（DME）的飽和蒸氣壓和溫度的關(guān)系，見表1-2。

由表1-2的數(shù)據(jù)觀測(cè)可得，DME的飽和蒸氣壓和溫度有正相關(guān)關(guān)系，如果以函數(shù)p=a+bt來擬合,則擬合函數(shù)是一條直線。通過計(jì)算均方誤差Q擬合得到直線方程為：

相關(guān)系數(shù)R為0.97296，平均絕對(duì)偏差SD為0.0707。

圖5DME飽和蒸汽壓和溫度之間的線性擬合

序號(hào)溫度℃蒸氣壓MPa1-23.70.1012-100.174300.2544100.3595200.4956300.6627400.880表1-2DME飽和蒸氣壓和溫度的關(guān)系(a,b)最小值而確定直線方程。（見圖5）72（2）擬合的標(biāo)準(zhǔn)——實(shí)例如果采用多項(xiàng)式（二次）擬合，通過計(jì)算下述均方誤差

擬合得二次方程為

相關(guān)系數(shù)R為0.99972，平均絕對(duì)偏差SD為0.00815,具體擬合曲線見圖1-4。比較圖5和圖6以及各自的相關(guān)系數(shù)和平均絕對(duì)偏差可知，對(duì)于DME飽和蒸氣壓和溫度之間的關(guān)系，用二次曲線擬合優(yōu)于線性擬合。

圖6DME飽和蒸氣壓和溫度之間的二次擬合

731.2.2.2線性擬合

———一元線性擬合

給定一組數(shù)據(jù)（xi,yi）,i=1,2,…,m，作擬合直線p(x)=a+bx,均方誤差為

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，Q(a,b)的極小值需滿足：

整理得到擬合曲線滿足的方程：

該方程可用消元法或克萊姆方法解出方程（如右圖所示）

（1-1）741.2.2.2線性擬合

———一元線性擬合實(shí)例1如某材料的熱膨脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得一批數(shù)據(jù)如下表所示，希望進(jìn)行擬合。解：設(shè)擬合直線ΔL(t)=a+bt

,并計(jì)算得右表所示：將數(shù)據(jù)代入法方程組（1-1）中，得到：解方程得：a=-14.0051,b=0.03473擬合直線為：擬合圖見圖7所示：

編號(hào)tΔLt·ΔLt214050