經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)

(教改)?？平?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)

四川電大余夢(mèng)濤

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是廣播電視大學(xué)財(cái)經(jīng)、管理各專業(yè)的一門統(tǒng)設(shè)必修課，也是一門重要的基礎(chǔ)

課。該課程計(jì)劃學(xué)時(shí)為90,其中電視課36學(xué)時(shí)，5學(xué)分，內(nèi)容包括一元函數(shù)微積分、概率論和矩

陣代數(shù)等三部分。教材采用“經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”(周兆麟編)和李林曙等編的《跟我學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》(均

由高等教育出版社出版)，另外還配有《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)CAI課件》和《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)速查卡》等輔

助教學(xué)媒體。為了幫助同學(xué)更好地學(xué)習(xí)、掌握教學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容，下面給出本門課程的具

體要求。

(-)基本要求

第1章函數(shù)

1、基本要求

(1)、理解函數(shù)概念，了解函數(shù)的兩要素-----定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系。會(huì)判斷兩函數(shù)是否相同。

(2)、掌握求函數(shù)定義域的方法，會(huì)求函數(shù)數(shù)值。會(huì)確定函數(shù)值域。

(3)、了解函數(shù)的屬性，掌握函數(shù)奇偶性的判別，知道它的幾何特點(diǎn)。

(4)、了解復(fù)合函數(shù)概念，會(huì)對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解如已知/(g(x))或g(/(x))

求出/(x)和g(x)。知道初等函數(shù)的概念。

(5)、了解分段函數(shù)概念，掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法。

(6)、理解常數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)(正弦、余弦、正切和余切)。

(7)、了解需求、供給、成本、平均成本、收入和利潤(rùn)等經(jīng)濟(jì)分析中常見的函數(shù)。

(8)、會(huì)列簡(jiǎn)單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。

2、重點(diǎn)

函數(shù)概念、定義域求法、函數(shù)的奇偶性，兒類基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和經(jīng)濟(jì)分析中常見的

函數(shù)。

第2章一元函數(shù)微分學(xué)

1、基本要求

(1)、知道極限概念(數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限)，知道極限存在的充分必要條件；

lim/(x)=Au>limf(x)-A

X-^XQXT/I

且lim/(x)=A

(2)、了解無窮小量的概念，知道無窮小與無窮大的關(guān)系以及有界變量乘無窮小仍為無窮小

的性質(zhì)，如

limxsin—=0

x

(3)、掌握極限的四則運(yùn)算法則和兩個(gè)重要極限:

..sina(x)

lim---------=1t

a(x)TOa(x)

lim(1+」一)"")=e

夕(X)

lim(1+=e

o(x)->0

(4)、掌握極限的計(jì)算方法

(5)、了解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。

(6)、理解導(dǎo)數(shù)定義，會(huì)求曲線的切線。知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

(7)、了解微分概念，即dy=y'dx。會(huì)求函數(shù)的微分。

(8)、會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)。

2、重點(diǎn)

極限概念及計(jì)算方法，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)定義及基本公式，可導(dǎo)與

連續(xù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，隱函數(shù)求導(dǎo)法則，二階導(dǎo)數(shù)

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、基本要求

(1)、掌握函數(shù)的單調(diào)性的判別方法，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(2)、了解函數(shù)極值的概念，掌握極值存在的必要條件和極值點(diǎn)的判別方法。分清函數(shù)的極

值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系，會(huì)求函數(shù)的極值。

(3)、掌握求邊際成本、邊際平均成本、邊際收入和邊際利潤(rùn)的方法。會(huì)求需求彈性。

(4)、了解最值概念，熟練掌握經(jīng)濟(jì)分析中的平均成本最低、收入最大和利潤(rùn)最大等應(yīng)用問

題的解法。

2、重點(diǎn)

函數(shù)的極值及其應(yīng)用問題。

第四章一元函數(shù)積分學(xué)

1、基本要求

(1)、理解原函數(shù)弓不定積分概念，弄清兩者之間的關(guān)系。會(huì)求當(dāng)曲線的切斜率已知時(shí)，滿

足一定條件的曲線方程。知道不定積分與導(dǎo)數(shù)(微分)之間的關(guān)系。

(2)熟練掌握不定積分的性質(zhì)

￡(，f(x)dx)=f(x),djf(x)dx=f(x)dx

jf'(x)dx=f(x)+c,jdf(x)=f(x)+c

(3)熟記不定積分基本公式

(4)熟練掌握不定積分的計(jì)算方法：熟練掌握的直接積分法八第換元積分法(湊微分法)

分部積分法。

分部積分公式為：

^uvdx=uv-Ju/dx或^udv=uv-^vdu

會(huì)求被積分函以下類型的不定積分和定積分:

^xneaxdx,sinaxdx,Inxdx,cosaxdx

(5)了解定積分的定義，設(shè)f(x,y)在[a,b]上連續(xù)，存在F(x),使得F\x)=/(x)

則f/(x)dx="x)l：=F(b)-F(a)

(6)了解不定積分和定積分的性質(zhì)，尤其是：

￡f(x)dx=0

^f(x)dx=-^f(x)dx

[f(x)dx=[f[x}dx+jf(x)dx

(7)熟練掌握不定積分的計(jì)算方法：熟練掌握的直接積分法八第一換元積分法(湊微分法)分

部積分法。

分部積分公式為：

uv'dx=uvP-fuv'dx或fudv=uvI：一fvdu

(8)知道無窮限積分的收斂性，會(huì)求無窮限積分。

(9)、知道變上限的定積分概念，知道。00=1/。辿是/1⑺的原函數(shù)。即

“(x)=/(X)

(10)、記住奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)。即/(尤)是奇函數(shù)，則有

￡f(.x}dx=0

若/(X)是偶函數(shù)，則有￡fWdx=2￡f(x)dx=2￡f(x)dx

(2)、重點(diǎn)

原函數(shù)與不定積分概念，不定積分的性質(zhì)，不定積分基本公式，不定積分、的直接積分法,

第一換元積分法(湊微分法)，分部積分法。定積分的計(jì)算。

第五章定積分的應(yīng)用

1、基本要求

(1)掌握用不定積分和定積分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)或其增量的方法。

已知邊際成本c'(a),固定成本c0，則

C(q)=]C(q)dq+Co

=[C'(t)dt+co(c0=C(0))

AC=,R，Q)dt

已知邊際收入R(q),貝IJ：

R(q)=,R<q)dq=

AT?=力

已知Z/(q)(或C'(q),R'(q))和固定成本,則:

L(q)=^L'(q)dq-c0=￡L\t}dt-c0

AL=pL'(t)dt

(2)、掌握定積分計(jì)算簡(jiǎn)單的平面圖形的面積的方法。

(3)、掌握簡(jiǎn)單的微分方程的求解方法。

2、重點(diǎn)

積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。

第6章數(shù)據(jù)處理

1、基本要求

1.了解總體、樣本、均值、加權(quán)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)和中位數(shù)等概念，會(huì)作頻數(shù)直

方圖和頻率直方圖。

2.掌握均值、加權(quán)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、眾數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算方法。

2^重點(diǎn)

均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和中位數(shù)等概念及計(jì)算方法。

第7章隨機(jī)事件與概率

1、基本要求

1.理解或了解一些基本概念。主要包括：

(1)知道隨機(jī)事件的概念，了解概率概念及性質(zhì)；

(2)知道事件的包含、相等以及和、積、差，了解事件互不相容和對(duì)立事件等概念；

(3)會(huì)解簡(jiǎn)單古典概型問題；

(4)了解條件概率概念；

(5)理解事件獨(dú)立概念。

2.握概概率的加法公式和乘法公式，掌握有關(guān)事件獨(dú)立性的計(jì)算。

2、重點(diǎn)

事件的包含、相等以及和、積、差、互不相容和對(duì)立事件等概念；事件獨(dú)立概念，概率的

加法公式和乘法公式，掌握有關(guān)事件獨(dú)立性的計(jì)算。

第8章隨機(jī)變量與數(shù)字特征

1、基本要求

1.理解或了解一些基本概念

⑴了解離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及其概率分布的性質(zhì)；

⑵了解二項(xiàng)分布、泊松分布的概率分布列或密度，記住它們的期望與方差，會(huì)計(jì)算二項(xiàng)分布

的概率；

⑶了解均勻分布；

(4)理解正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記住其期望與方差；

(5)了解隨機(jī)變量期望和方差的概念及性質(zhì)。

3.熟練掌握一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題；掌握隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算方法

2、重點(diǎn)

1、離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及其概率分布。

2、二項(xiàng)分布、泊松分布的概率分布列或密度，記住它們的期望與方差，會(huì)計(jì)算二項(xiàng)分布的概

率；

3、均勻分布；

4、正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記住其期望與方差；

5、隨機(jī)變量期望和方差的概念及性質(zhì)。

6,熟練掌握一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題；掌握隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算方法

第9章矩陣

1、基本要求

(1)、理解矩陣、行陣、列陣、零陣和矩陣相等等概念。

(2)、熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等運(yùn)算。

矩陣乘法還有以下特點(diǎn)：

i.不滿足交換律，即AB=BA一般不成立(滿足AB=BA的兩個(gè)矩陣A,B稱為可

交換的)。

ii.不滿足消去律，即由AC=BC及CHO得不到A=B。當(dāng)C可逆

時(shí)，AC=BC=>A-B

iii.AwO,5wO,可能有AB=O。

(3)、了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角形矩陣和對(duì)稱矩陣的定義和性質(zhì)。

(4)、理解矩陣可逆與逆矩陣概念，了解可逆矩陣和逆矩陣的性質(zhì)。熟練掌握用初等行變換法求

逆矩陣的方法。

⑷)一

(5)、熟練掌握矩陣的初等行變換法。熟練掌握用初等行變換求矩陣的秩、逆矩陣、階梯形矩陣、

行簡(jiǎn)化階梯形矩陣等方法。

(6)、了解矩陣秩的概念，熟練掌握其求法。

(7)、記住以下結(jié)論：

(A+8)T=A，+8，

{ABY=BTAT

(kA)'1kAr

(AT)T=A

(AT=A

(AB)-1=

(AT)T=(AT)T

(kA)-1=-A-l(k^O')

k

2、重點(diǎn)

矩陣概念，矩陣乘法運(yùn)算，可逆矩陣及逆矩陣求法，矩陣的秩，初等行變換。

第10章線性方程組

1、基本要求

(1)、了解線性方程組的有關(guān)概念：n元線性方程組、線性方程組的矩陣表示、系數(shù)矩陣、增

廣矩陣、0解、非。解、一般解和特解。

(2)、理解并熟練掌握線性方程組的有解判定定理。設(shè)線性方程組

AX=b,A=(Ab)，則AX=b有解的充分必要條件是

秩(A)=秩(A)

(3)、熟練掌握齊次線方程組AX=0的有關(guān)結(jié)論和解法。

(4),熟練掌握非齊次線性方程組AX=b的有關(guān)結(jié)論和解法。

2、重點(diǎn)

線性方程組，有解判定定理和解法。

考試采用閉卷筆試，卷面滿分為100分，60分為及格，考試時(shí)間為120分鐘。

一元函數(shù)微積分(含基礎(chǔ)知識(shí))、矩陣代數(shù)各部分所占分?jǐn)?shù)的比與它們?cè)诮虒W(xué)內(nèi)容中所占課時(shí)的

百分比大致相當(dāng)，一元函數(shù)微積分(含基礎(chǔ)知識(shí))約占60%,矩陣代數(shù)約占20%,概率統(tǒng)計(jì)約占

20%o試題類型分為單項(xiàng)選擇題、填空題和解答題。單項(xiàng)選擇題的形式為四選一，即在每題的四個(gè)

備選答案中選出一個(gè)正確答案；填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計(jì)算過程和推理過程；解

答題包括計(jì)算題、應(yīng)用題或證明題，解答題要求寫出文字說明、演算步驟或推證過程。三種題型

分?jǐn)?shù)的百分比為：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題和填空題40%,解答題60%(包括證明題，分?jǐn)?shù)約占5%)。

(二)例題分析

一、函數(shù)

例題

例1求函數(shù)y=粵02的定義域。

A/2-X

解ln(x-1)的定義域是x〉l,的定義域是x42,但由于萬工在分母上，因此

x02。故函數(shù)》=華2的定義域就是上述函數(shù)定義域的公共部分，B|11<x<2o

A/2-X

(1)理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系/的含義：/表示當(dāng)自變量取值為x時(shí)，因變量y的取值為/(幻。

例如，對(duì)于函數(shù)>=_/'(》)=/+]11苫+2',/表示運(yùn)算：

()2+ln()+2()

于是，/(1)=12+lnl+2'=3,/(2)=22+ln2+22=8+ln2o

例2設(shè)/(x)=x+l，求/(/6)+1)。

解由于/(x)=x+l,說明了表示運(yùn)算：()+1,因此

/(/(%)+1)=(/(%)+1)+1=f(x)+2

再將/(x)=x+l代入，得

/(/(x)+l)=(x+l)+2=x+3

(2)會(huì)判斷兩函數(shù)是否相同。

從函數(shù)的兩個(gè)要素可知，兩個(gè)函數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)他們的定義域相同，對(duì)應(yīng)規(guī)則相同，而與自

變量或因變量所用的字母無關(guān)。

例3下列函數(shù)中，哪兩個(gè)函數(shù)是相等的函數(shù)：

A./(*)=7?與8?)=卜|

x1-1

B./3=』與8(制="+1

解A中的兩個(gè)函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)規(guī)則也相同，故它們是相等的函數(shù)；B中的兩個(gè)函數(shù)定

義域不同，故它們是不相等的函數(shù)。

(3)了解分段函數(shù)概念，掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法.

fx-1X>1

例4設(shè)/(x)=.一,求函數(shù)的定義域及/(2),/(0)。

[VI-Xx<l

解函數(shù)的定義域是(-co,8),/(2)=2-1=1,/(0)=VTZ0=l?

2.掌握函數(shù)奇偶性的判別，知道它的幾何特點(diǎn)；

判斷函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，可以用定義去判斷，即

(1)若/(—x)=/(x),則/(X)為偶函數(shù)；

(2)若f(—x)=-/⑴,則“X)為奇函數(shù)。

也可以根據(jù)一些已知的函數(shù)的奇偶性，再利用“奇函數(shù)土奇函數(shù)、奇函數(shù)X偶函數(shù)仍為奇函數(shù)：

偶函數(shù)土偶函數(shù)、偶函數(shù)X偶函數(shù)、奇函數(shù)X奇函數(shù)為偶函數(shù)”的性質(zhì)來判斷。

例5下列函數(shù)中，()是偶函數(shù)。

A.f(x)-x3sinxB./(x)=x'+l

C./(x)=ax-a~xD./(x)=x1sinx

解根據(jù)偶函數(shù)的定義以及奇函數(shù)義奇函數(shù)是偶函數(shù)的原則，可以驗(yàn)證A中/和sinx都是奇

函數(shù)，故它們的乘積/(x)=x3sinx是偶函數(shù)，因此A正確。既然是單選題，A已經(jīng)正確，那

么其它的選項(xiàng)一定是錯(cuò)誤的。故正確選項(xiàng)是A。

3.了解復(fù)合函數(shù)概念，會(huì)對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解：

例6將復(fù)合函數(shù)y=cos[ln(2x+1)]分解成簡(jiǎn)單函數(shù)。

解y=cosw,M=Inv,v=2x+1?

4.知道初等函數(shù)的概念，牢記常數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)(正弦、

余弦、正切和余切)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)及圖形。

基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)及圖形微積分常要用到，一定要熟練掌握。

5.了解需求、供給、成本、平均成本、收入和利潤(rùn)函數(shù)的概念。

6.會(huì)列簡(jiǎn)單應(yīng)用問題的函數(shù)表達(dá)式。

例7生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為1萬元，每生產(chǎn)…個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為20元，若該產(chǎn)品出售

的單價(jià)為30元，試求：

(1)生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本；

(2)售出X件該種產(chǎn)品的總收入；

(3)若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)是多少？

解(1)生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本為C(x)=10000+20x：

平均成本為C(x)=坦S+20o

x

(2)售出x件該種產(chǎn)品的總收入為R(x)=30x。

(3)生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)為

L(x)=R(x)-C(x)

=30x-(10000+20x)

=10x-10000.

二、極限與連續(xù)

例i當(dāng)無。0時(shí)，/(*)=匕如互，又/(X)在％=0處連續(xù)，求)(v。

X

11+2v

解；Vlim/(.r)=lim-^

x->0x->0%

..(1-Jl+2x)(1+Jl+2尤)

-=lim---------------.----------------

M1+Jl+2x)

=lim-------/一

…o1+V1T2X

=-1

.*.f(O)=-l

例2當(dāng)X時(shí)，/(幻=空匹，又/(x)在x=0處連續(xù)，求f(0)。

X

解：;

「▲/、「sin2x

limf(x)=lim----------

x—>0x—>0%

sin2x__

=lim----------.2=2

…。2x

/.f(0)=2

例3當(dāng)Rf+8時(shí)，下列變量中，()為無窮小量。

(A)Inx(B)Sin%(C)(D)e'-1

XX+1

解：;

...IQ-SinA：c

A.limInx=oo,B.lim----------=O

X->4-00X->4-00X

2

C.lim-----=ooZ).lim(e"—1)=oo

X—>4-00X-|-]X—>4-00

答案:(B)

例4當(dāng)X-0時(shí)，下列變量中()為無窮小量。

(A)ex-1(B)COSX

(C)2"(D)Inx

解：；

A.lim(e'-1)=OB.limcosx=1

0x->0

C.lim2v=\D.limInx=oo

x->0x->0+

答案：(A)

例5函數(shù)

fx2+lX>2

1/c當(dāng)xf2時(shí)，f(x)極限存在,

x+ax<2

貝lja=o

limf(x)=lim(x+a)=2+a

xf2-12一

解..lim，(x)=limM+1)=5

12+.92+

2+a=5a=3

例6下列結(jié)論正確的是()o

ixQinx

(A)lim(l+—)=e(B)lim-------=1

a。xisx

i

1.一

(C)limxsin—=0(D)lim(l+%)*=e

x->0xx—>oo

答案：(C)

例7設(shè)

/'(x)=12x+l°.，貝lja=()時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)。

[a+20<;

解：f(O)=l

lim/(x)=lim(a+2)=a+2

Xf0-x->0"

limf(x)=lim(2x+1)=1

x->0+Xf0+

a+2=la="l

(A)0(B)1(C)2(D)-1

答案：(D)

例8數(shù)列1,0,-1,1,0,-1,.....(

(A)收斂于-1(B)收斂于1

(C)收斂于0

答案：(D)

例9求極限

X2—5x+6

1.lim

.￥->3x-3

解：原式

(x—2)(x—3)[.

=lim------------------=lim(x-2)=1

x->3x—3XT3

「2n2+l

2.hm—；-------

2

X->83n-2?+3

解：原式

2+

~T2

=lim———“c

x->8.233

3——+不

nrr

品（工-；’）

解：原式

x+1—2x—1

=lim=limlim------=一

Xf1(x—l)(x+Di(x-l)(x+l)…ix+12

「sin3x

4.lim-------

XT。X

解：原式

sin3x

=lim?3=3

Xf03x

—COSJC

5.lim

x—?O工2

解：原式

2sin2—sin—..

lim------21im(----------)2.—=—

10X.10x42

2

6.limfl—kx^)x

x->o

解：原式

__

=lim[l+(—履)]"=e~k

x->0

7.lim(l+2)，

▲eX

2-.2

解：原式=lim(l+-)2=r

xrOJ

..—5x+6

8.lim-----；--------

x->3x~—9

原式=lim，"_2)(*_3)=lim^—

解:

原'x-3(%_3)(%+3)x-3%+36

1.Jl+龍-1

9.lim--------------

10x

解:原式

=lim他三獸叵起..1+x—111

=11m.-----=lim,——=—

i。x(Jl+x+l)x->0x(Vl+x+1)XTOJI+X+12

10.lim(l+—)2x+5

*f8x

解：原式

=lim(l+-)2v.lim(l+-)5=lim(l+-)v2.l=e2

x—>00Xx—>00XXf8X

ILlim2nsin—

n->oo2"

解：原式

.x

sin——

=lim-----.x=x

28X

2〃

2x3+1

12.lim

Xf85A:2+3

解：原式

2+4

=l「im——X=oo

A-XO53

sin(x2-4)

13.lim

XT2x-2

解：原式

sin(x2-4)

=lim------------.(x+2)

2

32x_4

sin(x2-4)

=lim------------.lim(x+2)

x2_4x->2

=4

三、導(dǎo)數(shù)與微分

例1求曲線y="在x=l處的切線

的方程。

解：y'=e'，yLi=e

又x=1時(shí)，y=e

?'.切線方程為:y-e=e(x-l)

即：y=ex

例2設(shè)需求函數(shù)為q=1000eW/25。其中q為需求量，p為價(jià)格。

試求：

(1)需求量q對(duì)價(jià)格p的彈性；

(2)當(dāng)價(jià)格p=10時(shí)，求需求彈性值，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。

解：(1)需求量q對(duì)價(jià)格p的彈性為

q=1()()()/°必。

g'=100(k<,,25p(-0.125)

???需求量q對(duì)價(jià)格p的彈性為:

〃=p.一q'

q

lOOOe~0」25p(o.i25)

=—0.125p

=p-lOOOe《⑵。

(3)當(dāng)p=10時(shí)，需求量q對(duì)價(jià)格p的彈性

20=T25

(負(fù)號(hào)表示需求量q是價(jià)格的單調(diào)減函數(shù))。其經(jīng)濟(jì)意義為：在價(jià)格p=10

的基礎(chǔ)上，若價(jià)格提高(減少)1%,需求量將減少(增加)1.25%。

例3:下列結(jié)論中()是正確的。

A.f(x)在x=x0處連續(xù)，則f(x)在X。處可導(dǎo)。

B.f(x)在x=x0處極限存在，則f(x)在X。處有定義

C.f(x)在X。處有定義，則f(x)在X。處有極限

D.f(x)在X。處不連續(xù)，則f(x)在xo處不可導(dǎo)

答案：(D)

例4試在曲線2》=江求一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的切線方程平行于直線y=1x-\.

解：已知直線的斜率為k=2。

又由線在任一點(diǎn)的切線斜率為k=y'=（x~y=2x

要使切線平行于已知直線，就要求斜率相等，即2x=2,

?，?x=l,y=l2=l

2

故曲線>=不在（1,1）點(diǎn)的切線平行于已知直線y=2x?l。

例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：

X-

(1)y=—j=----,求dy。

Vx+1

解：

_(號(hào)，(&+1)--(6+1)，2x(4+1-.古

(77+1)2-(五+1)2

+1)—x2_3x2-t-Axyfx

2y(五+1--2&V7+1-

,,.3x2—4xy[x.

:.dy=yax=———~產(chǎn)-------ax

“2V7(VX+I)2

(2)y=ex+x4x,求y.。

解：

_i_13

y'=(eA)'+(xVx),=(exy+(x^y

(3)求y,\x=o。

解:

y,=e*+2.r-i(__+2x—iy=(2—2x)e-x'+2x-'

7

.3"2(iL=2e-七

(4)y=eaxsinbx,求y'。

解：

y'=eax.(ax)'sinbx+eax.cosbx.(bx)'=eax.asinbx+ea'.cosbx.b

=eax(asinbx+bcosbx)

.i

sin—

(5)y=3',求y'。

解：

sin—1sin—11

y'=3A.ln3.(sin—)'=3X.lnx.cos—

xxx

sin—]1In31sin—

=3,ln3.cos—?(一一-)=——-(cos-).3、

XXXX

(6)y=ln[cos(^')]求y'(0)

y'=---7-7-(cosex)'=-----1――(—sinex).(eA)'

cos(e)cos(e)

=—ex.tgex

(7)y+xey=1,求y(o)。

解：這是隱函數(shù)，方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)。

y'+(xev)'=l

y'+ey+xey.y'-0

y'(l+xey)=-ey

,ey

：.y=---------

\+xey

又,.,x=0時(shí)，代入原方程y=l

?*-yI,r=0=-e

~~1+0e

(8)ex+y-xy=1,求y。

解；這是隱函數(shù)，方程兩端同時(shí)對(duì)X求導(dǎo)。

2x+2y.y'-(1-y+xy')+3=0

2x+2y-y'-y—xy'+3=0

y'(2y—x)=y—2x—3

,=2-2￡^3

2y-x

,riy-2x-3

ay=yax=-----------ax

2y-3

y=xe

(11)x求y"

解：求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，先求一階導(dǎo)數(shù)，再求二階導(dǎo)數(shù)。

y,=x,ex+x(exY=ex+xex

=(1+x)ex

y"=[(1+x)ex\=1?e*+(1+x)ex

=(2+x)ev

（12）y=尤cos尤求y"

解：

yr=cosx+x-(cosx)f

=cosx-x-sinx

yn=[cosx-x-sinx]

=-sinx-(1.sinx+x-cosx)

=-2sinx-xcosx

例6：下列等式中()是正確的。

A.―Jdx=d(，2一)

JB.Inxdjc=d(—)

x

1,1、

c.-------dx=d(——)

Xx

D.sinxdx=d(cosx)

答案：D

三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

例1在指定區(qū)間［—10,10］內(nèi)，函數(shù)y=（）是單調(diào)增加的。

A.sinxB.e-vC.x2D.ln（x+20）

解這個(gè)題目主要考察同學(xué)們對(duì)基本初等函數(shù)圖形的掌握情況。因它們都是比較簡(jiǎn)單的函數(shù),

從圖形上就比較容易看出它們的單調(diào)性。

A中sinx是正弦函數(shù)，它的圖形在指定區(qū)間［—10,10］內(nèi)是波浪形的，因此不是單調(diào)增加函數(shù)。

B中e-*是指數(shù)函數(shù)，（er）'=-er<0,故它是單調(diào)減少函數(shù)。

2

c中r"是幕函數(shù)，它在指定區(qū)間［-io,io］內(nèi)的圖形是拋物線，因此不是單調(diào)增加函數(shù)。

根據(jù)排除法可知正確答案應(yīng)是1）。

也可以用求導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證：在指定區(qū)間［—10,10］內(nèi)，只有（ln（x+20））'=—5—〉0

x+20

故y=ln(x+20)是單調(diào)增加函數(shù)。

正確的選項(xiàng)是D。

(2)函數(shù)/(x)=x—Inx的單調(diào)增加區(qū)間是()。

解用求導(dǎo)數(shù)的方法，因

f'(x)=(x-Inx)'=1-工

x

令/(X)=1—L>0,則X>1,則函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(L+OO)。

X

2.了解一些基本概念。

(1)了解函數(shù)極值的概念，知道函數(shù)極值存在的必要條件，知道函數(shù)的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別

與聯(lián)系；

(2)了解邊際概念和需求價(jià)格彈性概念；

3.熟練掌握求經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用問題(如平均成本最低、收入最大和利潤(rùn)最大等)，會(huì)求幾

何問題中的最值問題。掌握求邊際函數(shù)的方法，會(huì)計(jì)算需求彈性。

例2經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題

1.生產(chǎn)某種產(chǎn)品令臺(tái)時(shí)的邊際成本(7(4)=2.54+1000(元/臺(tái))，固定成本500元，若已知

邊際收入為R'(q)=2q+2000,試求

(1)獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量；

(2)從最大利潤(rùn)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)再生產(chǎn)100臺(tái)，利潤(rùn)有何變化？

解這是一個(gè)求最值的問題。

(1)L'=R'-C'

=29+2000-(2.5^+1000)

=-0.5^+1000

令〃=0,求得唯一駐點(diǎn)4=2000。因?yàn)轳v點(diǎn)唯一,且利潤(rùn)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為2000

時(shí)，可使利潤(rùn)達(dá)到最大。

(2)在利潤(rùn)最大的基礎(chǔ)上再增加100臺(tái)，利潤(rùn)的改變量為

AL=￡：：(-0.5q+1000)dq

2100

=(-12+1000幻=-2500

42000

即利潤(rùn)將減少2500元。

2.設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為

C(q)=石q2+3q+io()(萬元)

其中4是產(chǎn)量，單位：臺(tái)。求使平均成本最小的產(chǎn)量。并求最小平均成本是多少？

……K、C(q)1c100

平均成本C(q)=-----=—q+3n-----

q25q

Gq）」

25q-

解得田=50(臺(tái))，^2=-50(舍去)

因有意義的駐點(diǎn)唯一，故q=50臺(tái)是所求的最小值點(diǎn)。當(dāng)產(chǎn)量為50臺(tái)時(shí)，平均成本最小。

最小平均成本為

?50）=［上q+3+圖］方5。=7（萬元）

3.生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定費(fèi)用是1000萬元，每多生產(chǎn)1臺(tái)該種產(chǎn)品，其成本增加10萬元，又知對(duì)

該產(chǎn)品的需求為q=120-2p(其中q是產(chǎn)銷量，單位：臺(tái);0是價(jià)格,單位:萬元).求

(1)使該產(chǎn)品利潤(rùn)最大的產(chǎn)量；

(2)該產(chǎn)品的邊際收入.

解(1)設(shè)總成本函數(shù)為C(g),收入函數(shù)為R(q),利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q),于是

C(q)=10q+1000(萬元)

R{q)=qp=60q-g/(萬元)

1_

L(q)=R(q)-C(q)=5Qq--q~9-1000(萬元)

〃(g)=50-g=0

得到4=50(臺(tái))。

因?yàn)轳v點(diǎn)唯一，故q=50臺(tái)是所求最小值點(diǎn)。即生產(chǎn)50臺(tái)的該種產(chǎn)品能獲

最大利潤(rùn)。

1.

⑵因R(q)=60g-,q-,故邊際收入R(q)=60—g(萬兀/臺(tái))。

(3)例3確定/(%)=2%3—9%+128-3的單調(diào)區(qū)間。

解：該函數(shù)的定義域?yàn)?—8,+8)

/'(%)=6尤2-18%+12=6,-3x+2)=6(x—l)(x—2)

令0=)%('/,得％i=1,%2=2

〈

(1,2)(2,+00)

+一+

f'M

/(x)

/\/

函數(shù)f(x)在(―8,1)及(2,+00)內(nèi)單調(diào)增加，在(1,2)內(nèi)單調(diào)減少。

例4設(shè)q=100-8p為需求函數(shù)，當(dāng)需求量q=()時(shí)，總收入R最大。

A、100B、50C、200D、25

答案：(B)

例3若/)=O,則“°是f(x)的()。

A、極大值點(diǎn)B、最大

C、極小值點(diǎn)D、駐點(diǎn)

答案：(D)

例5若函數(shù)f(x)在［a,b］內(nèi)恒有jT'(x)VO,則f(x)在［a,b］上的最大值為

答案：f(a)

例6當(dāng)x=4時(shí)，y=JC2-+-px+q取得極值，則p=。

解："'=2x+p

令y=O,x=_]

——=4p=—8

2

答案：-8。

例7設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)]。的領(lǐng)域可導(dǎo)，而且/’(%())=0如果/'(X)在點(diǎn)％()的左右由正變負(fù),

則/(%)為f(x)的。

答案：極大值。

例8求函數(shù)“xQxln%的極值。

解：此函數(shù)定義域?yàn)?0,+8)

/'(x)=(xln2x),-In2x+x.21nx.—=In?x+21nx=lnx(2+lnx)

X

令f'(x)=0,即In%.(2+In%)=0

2="2

得X1=l,x

X1

(0人)2-2

e~(6J)(1,+8)

+0-0+

/'(X)

0

fix)4"2

由上表可知，函數(shù)/(x)在％=0-2處達(dá)到極大值，極大值為了(6-2)=4"2：函數(shù)/(X)

在x=l處達(dá)到極小值，極小值為f(l)=0。

例9已知生產(chǎn)某種商品(單位：千件)的成本函數(shù)為c(q)=0.坨2+]5q+22.5(單位：千元),

試求使該產(chǎn)品的平均成本最小的產(chǎn)量和最小平均成本，并求此時(shí)的邊際成本。

解：設(shè)生產(chǎn)q千件產(chǎn)品的平均成本為麗一

則

花)=儂=^^^=。.均+15+經(jīng)

qqq

qe(0,+oo)

22.5

c0=0.1

q2

令C(9)'=0,解得q=15,q=-15(舍去)

Vq=15是平均成本函數(shù)c(q)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)。

，q=15是平均成本c(q)的極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)。

即當(dāng)產(chǎn)量q=15千件時(shí)，該產(chǎn)品的平均成本最小，最小平均成本為為C7F)=18(千元)。

又：邊際成本c\q)=0.2q+15

...當(dāng)q=15時(shí)，C'(15)=18即當(dāng)產(chǎn)量為15千件時(shí)的邊際成本為18千元/千件。

例10某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)1噸產(chǎn)品成本增加60元，對(duì)這種產(chǎn)品的

市場(chǎng)需求規(guī)律為q=1000-10p(q為需求量，p為價(jià)格)，試求：

(1)成本函數(shù)，收入函數(shù)；

(2)產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大；

(3)獲得最大利潤(rùn)時(shí)的價(jià)格及需求彈性。

解(1)成本函數(shù)c(q)=Co+C](q)

.?.C(q)=2000+60q,收入函數(shù)R(q)=p.q,Vq=1000-1Op

?=100———<7

10

R(g)=(100-\q)4

=100??--o2

10

(2)利潤(rùn)函數(shù)L(q)=R(q)-C(q)

L(q)=]00g-(2000+60g)=-+40q-2000

L'(q)=-；q+40令L'(q)=0,則q=200

?.?在定義域內(nèi)，L(q)只有唯一的駐點(diǎn)；

.?.產(chǎn)量q=200噸時(shí)，利潤(rùn)最大。

⑶\=]00_,

利潤(rùn)最大時(shí)的價(jià)格p=100—±X200=80(元)

又.需求函數(shù)7=1000-10/?,</'=-10

.?.需求彈性

n，TOI。。P

q1000-10/?10/7-1000p-100

價(jià)格p=80元時(shí)，需求彈性7=4。

四、不定積分

例1已知

f(x)=J,?2dx>貝U尸(0)=---------------?

/'(0)=1

答案：1

例2設(shè)Jf(x)dx=]—12+c，則/(%)=

1-7%

解

小上2x

答案：Z-?

(")2

例3

答案:sinx+c

.2

例4下列函數(shù)中，（）是xsin%的原函數(shù)。

122r

(A)-COSX(B)XCC

2

c212

(C)-2cosx(D)--cosx

2

解：

cos%2)'=--.(-sin^2)(x2)'=—sinJC2.2X=xsin%2

222

答案:(D)

例5若=-e*+c,貝ij/(幻=()。

iiJ__J_

(A)—(B)——(C)-(D)-2

Xx2%-X

解：

「-~~1111-

f(x)ex=(-ex)'=-ex.(—)'=-ex.(—7)-—^ex

xxx

x

答案：(B)

例6計(jì)算下列不定積分：

1.dx

解：原式=

1,12o-1-

Jc-1(5-X92)2J(5-X2)=-1.-(5-X2)2+c=—；(5一%92/+c

2.jp-ydx(卜二dx=arctan%+c)

j—^：dx-\-^rdx=-\-Lyd(l+12)_J—=dx

解：原式J+%2，+%221+x21+x2

12

=-ln(l+x)-arctanx+c

3.Jxsin2xdx

解：

u=x,v'=sin2x

u'-l,v=fsin2xdx--gcos2x

原式=

——xcos2x-f--cos2xdx=--xcos2x+—fcos2xdx

2J222J

=—1XCOS2cXH—11rcos2cxd,2cx

222J

1c1?-

=——xcos2x+—sin2x+c

24

4.J(x+l)cos3xiZr

解：

”=x+1,v1=cos3x

u'=1,v=fcos3xcte=—sin3x

J3

原式二

；(x+l)sin3x--jsin3xdx=-(x+1)sin3x--Jsin3無d3x

=；(x+1)sin3x+—cos3x+c

sin

5.dx

4x

解：原式二

^sinyfx小=2jsin4xd4x=-2cos4x+c

2x

6.\xe~dx

解：

u—x,v*=e"

w1=1,v=\e~^xdx=--e~^x

2

，原式二

1.1r

——xe2x+-\e~2'dx=--xe~2x-e-2x^c

22J24

7.理今dx

X

解：原式:

3

i」

^yfxdx-3—dx=-x2-3.+c=2/+64+c

3

------bl

2

8.Md.

X

2?

3

解：原式=](111%)dlnx=J.Qnx)+c

解：原式二

1r__11--+11—

3333333

-J(X-2)J(X-2)—(X-2)+C=-(X-2)+C

----F1

3

?o.Jln(x+l)dx

解：

u=ln(x+l),v'=1

,1

u=----,V=X

x+1

原式=

xln(x+1)-FXdx=xln(x+1)-["+)——dx

Jx+1Jx+1

=xln(x+1)-J[1-----]dx=xln(x+1)-J1.dx+J----d(x+1)

=xln(x+1)-x+ln(x+l)+c

例7曲線y=/(X)在點(diǎn)x處的切線斜率為-x+2,且曲線過(2,5)點(diǎn)，求該曲線方程。

解：?.?曲線y=/(兀)在點(diǎn)X處的切線斜率為-X+2,...y'=-％+2.

1Y2

y-=j(-x+2)dx—X+2x+c

2

即尸一#+25T22+2*

即c=3；.曲線方程為1

V=——X2+2x+3

2

定積分

例?g￡f(x)dx

dx

答案：0

例2設(shè)f(x)是［-a,a］上奇函數(shù)，則定積分

f(x)dx=-

答案：o

dr則P'(X)=

答案：-1

i+ji2

例4設(shè)尸(％)=^e~fdt，則F1(o)=。

解：

F\x)=e-x：.F'(0)=e°=1

答案：1

例5下列定積分值為0的為()。

2

(A)(B)f2%cosxdx

35

(C)j?2(?+?)^(D)￡2(x+3x+l)Jx

答案：(C)

例6計(jì)算下列定積分

<.丁丁1一八

」+Inx

解：原式=

31e3

1r/d(lnx)=[.1J(l+lnx)

JVl+