貴州省遵義市2021屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)（理）試題

貴州省遵義市2021屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A=｛（2）-+/=1｝,8=｛（x,y）|y=-x｝,則AQB中元素的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2i,則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

A.1B.—1C.iD.—i

3.下列4個圖從左到右位次是四位同學(xué)甲、乙、丙、丁的五能評價雷達圖：

在從他們四人中選一位發(fā)展較全面的學(xué)生，則應(yīng)該選擇

A.甲B.乙C.丙D.T

4.已知向量萬萬為相互垂直的單位向量，若2=屈-力，則向量&與向量1的夾角為（）

A.--B.--C.-D.-

3663

5.若正數(shù)滿足x+2y-2刈=0,則x+2y的最小值為（）

A.9B.8C.5D.4

6.下列選項中，為“數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列”的一個充分不必要條件的是（）

A.%=4用+。,1（，后2）B.―的（“22）

C.數(shù)列｛%｝的通項公式為%=2〃-3D.%-4=4+i-%(此2)

7.已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

11

C2乃c.24c8乃rc-

A.8------B.4------C.8------D.8—24

333

8.將函數(shù)f(x)=sin2x+石cos2x的圖象向右平移看個單位后得到函數(shù)產(chǎn)g(x)的圖如則

下列說法埼送的是()

A.y=g(x)的圖象的一條對稱軸為x=wB.y=g(x)在0卡上單調(diào)遞增

c.y=g(x在o,g上的最大值為2D.y=g(x)的一?個零點為"

o

x2-2x,0<x<2

9.已知函數(shù)/(》)=<則八9)二()

2f(x-2),x>2

A.16B.8C.-8D.-16

10.數(shù)列｛%｝的前”項和S"=A(3"-1),(A*O),若改為3和/的等差中項(k,/eb),則紐=

al

()

A.3B.9C.27D.與A的取值有關(guān)

22

11.雙曲線±-±=1上一點尸到右焦點F?距離為6,4為左焦點，則N￡P(guān)鳥的角平分線與

927

x軸交點坐標為()

A.(-1,0)B.(0,0)C.(1,0)D.(2,0)

12.Vxe(0,go),不等式拉，-3-%—M》20恒成立，則。的最大值為()

A.-2B.0C.1-ID.-M3

二、填空題

13.已知卜-9的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大,則該二項式展開式

中各項系數(shù)和為一.

x-y+2>0

14.設(shè)變量x，y滿足約束條件x+y-420,則目標函數(shù)Z=吆的取值范圍為.

X

2x-y-5<0

15.直線>=米-4+1與圓V+y2=4交于AB兩點，則I陰最小值為.

16.如圖，正方形A8C3中，AB=2近,點E為A￡>中點，現(xiàn)將A￡)￡C沿EC折起形成四棱

錐P-ABCE,則下列命題中為真命題的是.

B

①設(shè)點。為AC中點，若MCfPM,則在折起過程中，P、M、B、O四點可能共面;

②設(shè)。。與EC交于點F,則在折起過程中AC與P尸可能垂直;

③四棱錐尸-A3CE體積的最大值為生叵.

5

三、解答題

TT

17.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=§.

(I)若6+c=2,且a=6,求AABC的面積；

(2)若b=2c,求sinC.

18.2020年遵義市高中生詩詞大賽如期舉行，甲、乙兩校進入最后決賽的第一環(huán)節(jié).現(xiàn)從

全市高中老師中聘請專家設(shè)計了第一環(huán)節(jié)的比賽方案：甲、乙兩校從6道不同的題目中隨機

抽取3道分別作答，己知這6個問題中，甲校選手只能正確作答其中的4道，乙校選手正確

作答每道題目的概率均為：，甲、乙兩校對每道題的作答都是相互獨立，互不影響的.

(1)求甲、乙兩校總共正確作答2道題目的概率；

(2)請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩校哪所學(xué)校獲得第一環(huán)節(jié)勝利的可能性更大？

19.如圖，在四棱錐P—A8CD中，四邊形48CD為菱形，PA=P8=&,ABYPD.

(1)證明：AD=BD；

(2)若A￡>=PE>=2,求二面角A—PD-C的正弦值.

20.已知函數(shù)/(x)=e*-gx2-(7"+l)x-/”lnx,(zneR),g(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若g(x)在((),+8)上單調(diào)遞增，求用的取值范圍；

(2)證明：存在機>0,使得/⑶在(l,e)上有唯一零點.

3

21.已知直線4：y=k(x-2),l2：y=-三(x+2),4與/，交點軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)點尸(1,〃?)是曲線C上的點，E,F是曲線C上的動點，且滿足直線PE斜率與直線尸F(xiàn)斜

率和為0,求直線EF的斜率.

22.如圖是美麗的三葉草圖案，在以。為極點，0r軸為極軸的極坐標系中，它由弧HM，

弧MN，弧NH組成.已知它們分別是方程為0=4sin(e+q),p=4sin(^-y),o=-4sin。的

(2)設(shè)點P是由點H,M,N所確定的圓C上的動點，直線L：夕=?(2€/?),求點P到L的

距離的最大值.

23.已知函數(shù)/(x)=&+2x+l-|x-/n|的最大值為4(其中機>0).

(1)求用的值;

114

（2）若/+/??+/=〃?，求—^+言+―的最小值.

ab-c

參考答案

1.B

【分析】

集合A表示圓上的點，集合8表示直線上的點，聯(lián)立方程判斷根的個數(shù)即得交集元素的個

數(shù).

【詳解】

依題意，集合A表示圓f+丁=1上的點，集合8表示直線丁=-%上的點，

v.2,v2=1

故集合ACI3中元素表示直線與圓的交點，聯(lián)立>一，

y=-x

得2/=1,方程有兩個根，故直線與圓有兩個交點，故集合ACB中有2個元素.

故選：B.

2.A

【分析】

由復(fù)數(shù)的除法運算法則求出z,即可得出結(jié)論.

【詳解】

?二=m=半2=l+i,，z的虛部為1.

1+z1-Z-

故選:A.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【詳解】

通過雷達圖不難發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)沒有偏弱，發(fā)展比較全面，其余同學(xué)都有不足的地方，故選B

4.C

【分析】

結(jié)合平面向量的夾角公式以及平面向量的數(shù)量積的定義即可求解.

【詳解】

ac①(役-可y/i(a)2-a-b垂)

cos(a,c)=1-n-7=1，：=/==——

同同IxJ(舟_討,3時-2物.5+何2

所以：(a,c)=Y>

O

故選：C.

5.D

【分析】

將已知條件化簡得到;+1=1,然后將x+2y變換成(X+2)>(1+3,然后化簡整理結(jié)合

2yx2yx

均值不等式求解即可.

【詳解】

由x+2y-2孫=0,有x+2y=2盯，所以［+,=1,

2yx

則(工+2'>1=(工+2J)?(/+!)=2+廣+222+2,^-乂2=4,

［二=々31

當且僅當2yx，即廣)時，等號成立.

--八\x=2

x+2y-2xy=01

故選：D.

6.C

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的中項性質(zhì)以及通項公式，結(jié)合充分必要條件的概念逐項分析即可.

【詳解】

2

對于A：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列=2a,=an+］+的(〃-)，

??.A選項為“數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列”的一個充要條件，故A錯誤；

對于B：易知B選項為“數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列”的一個既不充分也不必要條件，故B錯誤；

對于C：Van=2n-3,；.an+l=2(/?+l)-3=2n-l,/.an^-a?=2,

???數(shù)列｛叫是等差數(shù)列，反之若｛叫為等差數(shù)列，則。向-。,,=(

此時“不一定為2,所以必要性不成立,

.-.C選項為“數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列''的一個充分不必要條件，故c正確;

對于D：若數(shù)歹IJ｛%｝是等差數(shù)歹IJ,則a?+2-a?+i=a“一明

a”+2.a,=-a?,t成立,

反之當4=1,?2=2,%=4,4=5時，滿足?！?2-。”=a.+i-a”T，

但｛叫不是等差數(shù)列,

；.D選項為“數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列”的一個必要不充分條件，故D錯誤.

故選：C.

7.A

【分析】

依題意畫出幾何體的直觀圖，結(jié)合圖形可知該幾何體為棱長為2的正方體中挖去一個圓錐,

根據(jù)體積公式計算可得；

【詳解】

解：由三視圖可知，該幾何體為棱長為2的正方體中挖去一個圓錐，故其體積為：

V=23--zrxl2x2=8-—,

33

8.A

【分析】

將“X)利用輔助角公式化簡，再利用圖像變換關(guān)系，求出g(x)的解+析式，最后利用三角

函數(shù)的性質(zhì)判斷各個選項即可.

【詳解】

TT71

解：/(x)=2sin(2x+—),則g&)=2sin(2x+二)，

36

對選項A,因為g(2)=2sin(2x2+J)=2sinf*2,故A錯誤；

121263

對選項B,^^)-^+2k7r<2x+^<^+2k7r,keZ.m--+kTi<x<^+kTt,kGZ.

rr

所以y=g(x)在o,-上單調(diào)遞增，故B正確；

對選項C,因為所以JvZr+gwg,

所以《4sin(2x+g)41,14g(x)42,g(x)_=2,故C正確；

26

對選項D,g(")=2sin(2x竺+J)=2sin;r=O,故D正確.

12126

故選：A.

9.D

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)可得/(9)=16/(1),從而可求/(9)的值.

【詳解】

/(9)=2/(7)=4/(5)=8/(3)=16/(1)=-16,

故選：D.

10.C

【分析】

利用等比數(shù)列前〃項和的一般形式S,=Aq"-A,結(jié)合等差中項的知識可得兼=/+3,再求

區(qū)即可.

%

【詳解】

詳細分析:〃=1，4=S1=2A

n>2,an=S“_S"A(3"-1)-A(3"-'-1)=2Ax3"一，且“二1也符合，

所以｛?！埃枪葹?的等比數(shù)列，由4為3和/的等差中項知2k=/+3,

所以9=如=/=27.

q%

故選:C.

11.D

【分析】

記交點坐標為D,利用角平分線定理，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可.

【詳解】

FDh

SAPDF3'*DF.DF,

解：記交點坐標為D,用面積法=------，化簡可得角平分線定理：”=聚，

S*3的“PFiPF?

由雙曲線定義知PK=2a+PF2=6+6=12,所以交點到左焦點距離是右焦點距離2倍,

由于左焦點(-6,0),右焦點(6,0),D坐標(x,0),x+6=2(6-x),可得答案為(2,0)

故選：D

12.A

【分析】

化簡不等式為-(x+日-3)-1..〃+2,構(gòu)造函數(shù)H(t)=e'-t-\,求導(dǎo)利用函數(shù)的單調(diào)性求

得函數(shù)的最小值，判斷核對零點，然后求解。的最大值即可.

【詳解】

解：原不等式可化為eA+l,u''—(x+lnx-3)—\..a+2,

構(gòu)造H(f)=dT-l,H\t)=e'-\,令d-l=0,可得r=0,f<0時，H\t)<0,f>0時，H'(t)>0,

所以"(O)=。是函數(shù)的最小值，所以a(t)..o,

當且僅當r=0時等號成立，

r=x+hw-3有零點，所以a+2,0,即“W-2.

故選：A.

13.212

【分析】

由題意利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得“，令x=l,從而求得二項式展開式中各項系數(shù)和.

【詳解】

解：(3x-9)"的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)C：最大，

."./!=12,

令x=l,所以該二項式展開式中各項系數(shù)和為2%

故答案為：2々

【分析】

由題意，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象得到目標函數(shù)過點A時，取得最大值,

目標函數(shù)過點C時，取得最小值，即可求解.

【詳解】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示.2=空吆=2+上，設(shè)％=)，則我的幾何意義是

XXX

可行域內(nèi)的點到定點D(0,0)的斜率，由圖像可知CD的斜率最小，AD的斜率最大.

y=2x-5\x=3

即C(3,l)此時％

y=-x+4[y=13

[y=x+2\x=1

由.，得。，即41,3),此時％=3,

[y=-x+4[y=3

17

即一4A43,則一Vk+245,

33

7

BP-<z<5.

_「7一

故答案為：-，5

15.2及

【分析】

求出直線丫=依-4+1過定點A(1,1),然后結(jié)合圓的性質(zhì)分析出當直線與0A垂直時，弦長

最短，然后結(jié)合垂徑定理即可求解.

【詳解】

直線、=履-2+1過定點過“(1,1),因為點在圓的內(nèi)部，且0加=鬧=夜，由圓中

弦的性質(zhì)知當直線與0M垂直時，弦長最短，此時結(jié)合垂徑定理可得AB=2，^『=2夜,

故答案為：2及

16.③

【分析】

根據(jù)異面直線的判斷方法可得PB,MO為異面直線，故可判斷①的正誤.

假設(shè)AC與垂直，則可得PA=PC,矛盾，從而可判斷②的正誤.

當平面PECL平面ABCE時，四棱錐P-A8CE體積取得最大，據(jù)此可求體積的最大值.

【詳解】

平面PM0即為平面PAC,又B"C,故P8,MO為異面直線，

從而P、M、B、O不可能在同一平面內(nèi)，故①錯誤.

若AC與尸尸垂直，因為ACJ.8D,PFQBD=F,則AC_L平面PB尸，

而POu平面PBF,故AC_LPO,而。為AC的中點，

故R4=PC,但PA=gAZ)=1?C,矛盾，故②錯誤.

當平面PEC，平面ABCE時，四棱錐尸-ABCE體積取得最大，

此時過戶作PG_LEC,交EC于G,設(shè)PG=h.

因為平面PECn平面4?CE=EC,PGu平面PEC,故PG_L平面ABCE,

故四棱錐P-ABCE的高為PG=從

故在RtZ^PCE,由PEPC=ECh,可得人=2叵，

5

故V/=gxg(應(yīng)+20)x2&x*e=勺4，故③正確.

故答案為：③.

p

【分析】

(1)根據(jù)余弦定理求解出be的值，再根據(jù)三角形的面積公式求解出,AM；

(2)根據(jù)B+C=,結(jié)合正弦定理進行邊化角，由此求解出C的值，從而sinC的值可求.

【詳解】

詳細分析：(1)由余弦定理知a2=b2+c2-2Z?ccosA，

a2=(h+c)2-2hc(l+cosA),

(6)2=22-2次[1+cos|J,解得be=g,

cii

S人ARC=—besinA——x—x—=—,

AA11。223212

故的面積為3；

12

27r

(2)?:b=2c,由正弦定理得sinB=2sinC,又B+c",

sin-c]=2sinC,即^-cosC+—sinC=2sinC,

I3)22

..—cosC——sinC,

22

sinC=-.

2

18.(1)七；(2)甲校獲得第一環(huán)節(jié)勝利可能性更大.

【分析】

（1）由題意可得甲、乙共答對兩道題的可能有，甲校1道乙校I道；甲校2道乙校0道計

算概率可得答案；

（2）設(shè)甲校正確作答的題數(shù)為X,由X的取值及相應(yīng)的概率可得X的分布列，計算出E（X）、

D（x），設(shè)乙校正確作答的題數(shù)為Y,由丫取值及相應(yīng)的概率可得y的分布列，計算出E（y）,

。（丫）與E（X）、D（x）作比較可得答案.

【詳解】

（1）由題意可知，甲、乙共答對兩道題的可能有，

甲校1道乙校1道；甲校2道乙校0道，所求概率

pc：C小21

尸=-^尸。3

（2）設(shè)甲校正確作答的題數(shù)為X,則X的取值分別為1,2,3,

22}3

r'C1CC23CC°1

P(X=l)=^p-=-tP(X=2)=-^4-=-,P(X=3)=-^^=-,

C65c%5C65

則X的分布列為:

X123

131

p

555

131

E(X)=lx-+2x-+3x-=2,

555

D(X)=(l-2)2xl+(2-2)2x|+(3-2)2x1=|,

設(shè)乙校正確作答的題數(shù)為匕則y取值分別為0,1,2,3,

尸(y=0)=:，P(r=D=^x|x(l)2=|,p(y=2)=c>(|)2x1=i

JrJJ7JJ7

2Q

尸（丫=3）=（§）3=藥,

則y的分布列為：

Y0123

1248

P

279927

i24Ro2

???E(y)=0x——+lx—+2x—+3x——=2.(或???y~8(3,—)，AE(r)=3x-=2)

27992733

I242?212

D(D=(0-2)2X—+(l-2)2x-+(2-2)2x-+(3-2)2x—=-(或0(丫)=3、彳*彳=；),

2799273333

由E(X)=E"),o(x)<o(y)可得，甲校獲得第一環(huán)節(jié)勝利可能性更大.

19.(1)證明見解+析；(2)叵.

7

【分析】

(1)根據(jù)題意，取A8的中點為點。，連接PO,DO,只需證明A8_L平面尸OO,即可得到

ABYOD,進而可證A￡)=BE＞；

(2)根據(jù)題意，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，轉(zhuǎn)化為向量問題即可.

【詳解】

(1)證明：取A8的中點為點。，連接P。，DO,

?;PA=PB,：.PO1AB,

又PDcPO=P,

ABI.平面尸OQ,

又ODu平面POD,

：.ABLOD,而點。為AB的中點，

AD=BD.

(2)-.-AD=2,四邊形ABCZ)為菱形，二AO=1,

又,：PA=五,故由(1)可知：PO=\,00=^3,

PO-+DO-=PD2,：.PO±OD

故可如圖建立空間直角坐標系。-母z,

故A(1,O,O),P(O,O,1),￡>(0,>/3,0),C(-2,^,0),

A￡)=(-1,73,0),通=(—1,0,1),CD=(2,0,0),DP=(0,-^,l),

設(shè)平面AP￡)與平面CPO的法向量分別為機=(X]，x，zJ、n=(x2,y2,z2),

fh-AD=0—x.+V3y.=0_/ITrr\

則由<—=>]1v7,=>zn=V3,t1,V3,

府AP=01—X[+Z|=0'7

n-CD=02

由，_=y°=五=?,

n-DP=0-y/3y2+z2=0'>

|cos<m,n>|=m*n1+32

阿q―j3+l+3xj0+l+3一百，

/.s.m<m-,-n>=-V-2-T，

7

即二面角A-PD-C的正弦值為叵

7

20.(1)^>0；(2)證明見解+析.

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，推出『(e'T)+,"..O,令

1

G(x)=x(e'-\)+m,x>0,利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)果.

ex-x—\

(2)由(1),機>0時，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，令g(x)=0,得-JI,記

1+—

X

_I-1、..ex—x—1ex—x—1.

M=e~2XTI+「「)x-(一^「)3,令r(x)=e-x-l,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的

1H-----1H-----

XX

零點，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)果.

【詳解】

解:(1)首先xe(O,田)，g(x-)=f'M=ex-x---(+l),g'(x)=ex+^-i,

XmX

由題意，g'(x)20在(0,+8)上恒成立，即有靖+?-120,即x2(e*-l)+%N0,令

G(x)=x2(e'-l)+m,x>0,易證G(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以G(x)>G(0)=,〃，所以

m>0

x

e_x-[

(2)由⑴，相>0時，g(x)在(0，+8)上單調(diào)遞增，令g(x)=。得/刀一

X

記尸(x)=e*-：x2則尸(1)=]_；>0,

2

尸(e)=e'-e"'+；e2=e[e-2(l-e)+g)<e2(-G+；)<0,所以三/e(l,e),使

_e^—xQ—\

%與)=0,令%=]+',r(x)=^-x-l,則/*)=產(chǎn)一1,所以《幻在

(l,e)上單調(diào)遞增，所以"x)>?l)=e-2>。，所以%>>0,取,"=,叫)，貝lJg(Xo)=O，/(xo)=O,

■re。,/)時，g(x)<0；xe(x0,e)時，g(x)>0；所以/*)在(l,x0)遞減，在(%,e)遞增，又

〃%)=0,命題得證.

【點睛】

方法點睛：判斷函數(shù)y=/(x)零點個數(shù)的常用方法：(1)直接法：令/(力=0,則方程實根

的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；(2)零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間［。力］上是連續(xù)不斷的曲

線，且/(a)/S)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確

定函數(shù)的零點個數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函

數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只

有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間

主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.

x2V21

21.(1)---1---=1(XN±2)；(2)—.

432

【分析】

(1)聯(lián)立兩直線方程，消去女即可得到C的方程，但需注意XH±2；

(2)根據(jù)題意，求出點P的坐標，設(shè)直線PE,聯(lián)立橢圓方程，表示出點E,同理表示出點F,

根據(jù)斜率公式即可求解.

【詳解】

3

(1)4-y=k(x—2),I2：y=------(x+2),

4k

322

左右