111函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂ppt

1°使學(xué)生掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)這一重要概念的內(nèi)涵與外延；2°使學(xué)生學(xué)會(huì)用定義證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性。3°通過學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂、冪級(jí)數(shù)收斂性的根本方法。第十一章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：

§11.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念三、一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)二、一致收斂的定義四、一致收斂級(jí)數(shù)的判別方法一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，我們稱是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，并稱是這一級(jí)數(shù)的次局部和。如果對(duì)中的一點(diǎn)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，我們就說函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，否那么就說它在點(diǎn)發(fā)散。如果對(duì)中任何一點(diǎn)，級(jí)數(shù)收斂，就說函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上收斂〔即在每一點(diǎn)都收斂〕。這時(shí)，對(duì)每一點(diǎn)級(jí)數(shù)有和，記此和為，即可見，是上的函數(shù)。例如級(jí)數(shù)在內(nèi)收斂，其和為。這就說明，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)的收斂問題實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)函數(shù)的收斂問題。因此，我們就可以應(yīng)用已學(xué)過的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)來考察函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題。二、一致收斂的定義引例例1它的每一項(xiàng)都在上連續(xù)，其次局部和為。很明顯有級(jí)數(shù)的和在不連續(xù)，因此，它不是上的連續(xù)函數(shù)。這個(gè)例子還告訴我們，上述級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都在上可導(dǎo)，但它的和函數(shù)在不可導(dǎo)。結(jié)論問題例2考察函數(shù)序列，其中。對(duì)任何故但這說明：在本例中，雖然但這就提出了一個(gè)問題：設(shè)級(jí)數(shù)在上收斂于又設(shè)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)在上連續(xù)。對(duì)于求導(dǎo)和求積，也有類似的問題，要答復(fù)這些問題，必須引進(jìn)非常重要的概念：一致收斂定義1設(shè)有函數(shù)列〔或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的局部和序列〕。假設(shè)對(duì)任給的，存在只依賴于的正整數(shù),使時(shí)，不等式〔對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，此式也可寫為〕對(duì)上一切都成立，那么稱在上一致收斂于幾何解釋:

(如圖)當(dāng)n>N時(shí),曲線總位于曲線之間.如前面例1.證明級(jí)數(shù)在[0,1]上不一致收斂.證:取正數(shù)對(duì)無(wú)論多么大的正數(shù)N,因此級(jí)數(shù)在[0,1]上不一致收斂.說明:對(duì)任意正數(shù)r<1,級(jí)數(shù)在[0,r]上一致收斂.事實(shí)上,因?yàn)樵赱0,r]上任給

>0,欲使只要因此取只要即級(jí)數(shù)在[0,r]上一致收斂.例3解余項(xiàng)的絕對(duì)值定義2設(shè)如果就稱在上一致收斂于。一致收斂的定義還可以用下面的方式來表達(dá)：例4在一致收斂。例5討論在的一致收斂性。例6以例1的函數(shù)列,為例,因?yàn)楣室嗉?因此在上不一致收斂.還可看到在也不是一致收斂的，到它在任意一個(gè)區(qū)間(是小于1的任一正數(shù))卻是一致收斂的,這是因?yàn)橥砜芍谌我粎^(qū)間(為小于1的任一正數(shù))一致收斂,但在非一致收斂.這說明了一致收斂與所討論的區(qū)間有關(guān),當(dāng)在某一區(qū)間一致收斂時(shí),它當(dāng)然在含這區(qū)間內(nèi)的任一區(qū)間一致收斂,但在含這個(gè)區(qū)間的較大的區(qū)間上卻不一定一致收斂.另一方面,這兩個(gè)例子也說明了雖然在內(nèi)的任一閉區(qū)間上一致收斂,但在區(qū)間卻不一定一致收斂.當(dāng)在內(nèi)任一閉區(qū)間上一致收斂時(shí),稱在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.因此在一致收斂一定內(nèi)閉一致收斂,但反之不然.但從在內(nèi)閉收斂,卻可得到它在區(qū)間也收斂,這是因?yàn)閷?duì)上每一點(diǎn),恒可取內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)間包含這個(gè)點(diǎn),于是在這閉區(qū)間上的收斂性就得到它在這個(gè)點(diǎn)收斂.這正是由于一致收斂是整體性質(zhì)而收斂是局部性質(zhì)的緣故.例7在非一致收斂..

定理

函數(shù)列在上一致收斂的充要條件為,對(duì)任給的,可得正整數(shù),使時(shí),不等式對(duì)任意的正整數(shù)和上任意的都成立三、一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)

定理1假設(shè)在上,函數(shù)列的每一項(xiàng)都連續(xù),且一致收斂于,那么其極限函數(shù)也在上連續(xù).

于是當(dāng)時(shí)這樣便證明了定理.證明由于在上一致收斂與,故對(duì)可得(是一個(gè)僅與有關(guān)確實(shí)定的項(xiàng)數(shù),它與上的無(wú)關(guān)),使對(duì)上任一點(diǎn),顯然也有再由在點(diǎn)連續(xù)性,可得,使時(shí)說明:(1)定理1說明,對(duì)一致收斂的級(jí)數(shù),極限運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算可交換,(2)假設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí),定理結(jié)論不一定成立.例如,級(jí)數(shù)在區(qū)間[0,1]上處處收斂,而其和函數(shù)在x=1處不連續(xù).定理2

設(shè)在上一致收斂于,每一都在上連續(xù),那么亦即極限號(hào)與積分號(hào)可以互換.又函數(shù)列也在上一致收斂于證明由定理對(duì)任給的,可得,使時(shí)現(xiàn)由于及連續(xù),故它們?cè)谏系姆e分存在,并且當(dāng)時(shí)又假設(shè)將積分上限換為,那么當(dāng)時(shí)上式仍舊成立.這樣便證明了定理2.說明:假設(shè)級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí),定理結(jié)論不一定成立.例如,級(jí)數(shù)它的局部和因此級(jí)數(shù)在[0,1]上收斂于S(x)=0,所以但是①對(duì)級(jí)數(shù)①定理結(jié)論不成立的原因:級(jí)數(shù)①的余項(xiàng)可見級(jí)數(shù)①在[0,1]上不一致收斂,此即定理2結(jié)論對(duì)級(jí)數(shù)①不成立的原因.①定理3假設(shè)在上函數(shù)列的每一項(xiàng)都有連續(xù)導(dǎo)數(shù),收斂于,一致收斂于,那么亦即也就是極限號(hào)與求導(dǎo)數(shù)號(hào)可以交換.又此時(shí)在上也是一致收斂的.證明由于一致收斂于,故連續(xù),由定理2由于左邊的導(dǎo)數(shù)存在,故存在且,又從及定理2即得的一致收斂性.定理4假設(shè)在上級(jí)數(shù)的每項(xiàng)都連續(xù),且一致收斂于也在上連續(xù).定理5設(shè)在上一致收斂于,并且每一都在上連續(xù),那么亦即和號(hào)可以與積號(hào)交換.又在上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也一致收斂于定理6假設(shè)在上,的每一項(xiàng)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且一致收斂于,又收斂于,那么,亦即且一致收斂于.四、一致收斂級(jí)數(shù)的判別方法定理7假設(shè)對(duì)充分大的，恒有實(shí)數(shù)，使得對(duì)上任意的都成立，并且數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，那么在上一致收斂。證明由的收斂性，對(duì)任給的，可得使時(shí)對(duì)上一切的我們有由一致收斂的柯西充要條件即得定理的結(jié)論。例.證明級(jí)數(shù)在(－∞,+∞)上一致收斂.證:而級(jí)數(shù)收斂,由維爾斯特拉斯判別法知所給級(jí)數(shù)在(－∞,+∞)上一致收斂.說明:維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級(jí)數(shù)的一致收斂性,而且能判別其絕對(duì)收斂性.當(dāng)不易觀察到不等式可利用導(dǎo)數(shù)求例如,級(jí)數(shù)用求導(dǎo)法可得收斂,因此原級(jí)數(shù)在[0,+∞)上一致收斂.例.

證明函數(shù)對(duì)任意x有連續(xù)導(dǎo)數(shù).解:顯然所給級(jí)數(shù)對(duì)任意x都收斂,且每項(xiàng)都有連續(xù)導(dǎo)數(shù),而逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)②在(

,

)上一致收斂,故由定理3可知②再由定理1可知定理8〔阿貝爾判別法〕假設(shè)在上一致收斂，又對(duì)中每一固定的，數(shù)列單調(diào)。而對(duì)任意的和中每個(gè)有那么在上一致收斂。由的一致收斂性，對(duì)任意給定的，得，使時(shí)恒有固定由上式的單調(diào)性，利用阿貝爾引理得到再?gòu)囊恢率諗康目挛鞒湟獥l件即得。定理9〔狄利克雷判別法〕設(shè)的局部和在上一致有界，又對(duì)內(nèi)每一，數(shù)列單調(diào)，并且函數(shù)列在上一致收斂于零，那么在上一致收斂。證明設(shè)，那么對(duì)上任意和任意的正整數(shù)恒有因此，利用阿貝爾引理再由一致收斂于零即得。例8假設(shè)絕對(duì)收斂，那么和在內(nèi)都是絕對(duì)收斂和一致收斂的級(jí)數(shù)。例9假設(shè)收斂，那么在上一致收斂。例10假設(shè)單調(diào)地趨于零，那么