“楊輝三角”中的一些秘密趙

“楊輝三角”中的一些秘密二項式（a+b）n展開式的二項式系數，當n依次取1，2，3．．．時，列出的一張表，叫做二項式系數表，因它形如三角形，南宋的楊輝對其有過深入研究，所以我們又稱它為楊輝三角．楊輝《詳解九章算法》中記載的表1.楊輝三角第5行 1551第0行

12.楊輝三角與二項系數第1行 11第2行 121第3行 1331第4行 141第6行 161561第n-1行11第n行11………………………………

1520101064見書P353.楊輝三角基本性質第5行 1551第0行

1第1行 11第2行 121第3行 1331第4行 141第6行 161561第n-1行11第n行11………………………………

1520101064再探楊輝三角中世紀意大利數學家斐波那契的傳世之作《算術之法》中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年內可以繁殖成多少對兔子？4.橫看楊輝三角中各行數字

第1行1＋1＝

第2行1＋2＋1＝4＝第3行1＋3＋3＋1＝8＝第4行1＋4＋6＋4＋1＝16＝第5行1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝．．．第n行性質1222232425(1)第n行數字的和為2n．(2)前n行(含第0行)所有數的和為2n+1

–14.橫看楊輝三角中各行數字二看：2,4,8,…各行數字有何特點？一看：1，3，7，15…各行數字有何特點？三看：2，3，5，7，11…各行數字有何特點？1、第1，3，7，15，…這些行即2k-1（k是正整數）行的各個數字均為2k行除兩端的1之外都是2、當行數P是質數（素數），除去兩端的數字1以外，行數P整除其余所有的數。性質2奇數偶數5.斜看楊輝三角中各行數字的和從楊輝三角中一個確定的數的“左（右）肩”出發(fā)，向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數的和等于這個數.5.斜看楊輝三角中各行數字的和一般地，在第m條斜線上（從右上到左下）前n個數字的和，等于第

m+1

條斜線上的第

n

個數．性質3第6行 1615201561第4行 14641第5行 15101051第3行 1331

125第7行172135352171第1行 11第0行 1第2行 121……138132134第8行182856705628815.斜看楊輝三角中各數的和1，1，2，3，5，8，13，21，34，…此數列{an}滿足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)這就是著名的斐波那契數列．性質4中世紀意大利數學家斐波那契的傳世之作《算術之法》中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年內可以繁殖成多少對兔子？兔子繁殖問題也可以從楊輝三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．6.楊輝三角與“縱橫路線圖”

“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題：如圖是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？

AB

由此看來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯(lián)系707.楊輝三角與彈子游戲

在游藝場，可以看到如圖的彈子游戲，小球(黑色)向容器內跌落，碰到第一層阻擋物后等可能地向兩側跌落，碰到第二層阻擋物再等可能地向兩側第三層跌落，如是，一直下跌，最終小球落入底層，根據具體區(qū)域獲得獎品。試問：為什么兩邊區(qū)獎品高于中間區(qū)獎品？8.成果展示1、楊輝三角的第n行數字的和為2n。前n行（含第0行）所有和為2n-1，它恰好比第n行的和2n小1；2、楊輝三角的第1，3，7，15，…行，即第2K-1（k是正整數）行的各個數字均為奇數。3、當行數P是質數（素數），除去兩端的數字1以外，行數P整除其余所有的數。4、一般地，在第m條斜線上（從右上到左下）前n個數字的和，等于第

m+1

條斜線上的第

n

個數．5、數列{an}滿足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)這就是著名的斐波那契數列．9.方法總結1、運用了聯(lián)系、類比的觀點看問題；2、運用了從特殊到一般的歸納猜想與證明的思想方法；3、學會從多角度看問題:“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”；4、錘煉發(fā)現問題、提出問題、解決問題的能力。課外研究性作業(yè)：除了以上性質（蘊含的）數字之外，還有哪些好的性質？第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051……

……

……1、（04.上海春季高考）如圖，在由二項式系數所構成的楊輝三角形中，第_____行中從左至右第14與第15個數的比為2：33410.鏈接高考第1行