概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程課件12概率的定義及其計(jì)算

概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程課件12目錄contents概率的定義概率的計(jì)算概率的性質(zhì)隨機(jī)事件及其概率古典概型與幾何概型01概率的定義概率是一個(gè)從樣本空間到實(shí)數(shù)的映射，滿足非負(fù)性、規(guī)范性、完全可加性和有限可加性。它用于描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性程度。概率的公理化定義公理化定義將概率定義為滿足特定條件的實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。非負(fù)性指概率值不能是負(fù)數(shù)，規(guī)范性指必然事件的概率為1，完全可加性指兩兩互斥事件的概率之和等于它們所包含的基本事件的概率，有限可加性指有限個(gè)兩兩互斥事件的概率之和等于它們所包含的基本事件的概率。具體描述概率的公理化定義概率的統(tǒng)計(jì)定義通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中某一事件出現(xiàn)的頻率來定義概率。當(dāng)頻率趨于穩(wěn)定時(shí)，該頻率即為該事件的概率。具體描述統(tǒng)計(jì)定義基于實(shí)際實(shí)驗(yàn)和觀察結(jié)果來估計(jì)概率。通過在相同條件下重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀察某一事件發(fā)生的次數(shù)，并計(jì)算其頻率。當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，頻率會(huì)趨于穩(wěn)定，這個(gè)穩(wěn)定的頻率可以作為該事件的概率值。概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的其他定義除了公理化和統(tǒng)計(jì)定義外，概率還可以通過其他方式定義，如相對(duì)頻率、經(jīng)驗(yàn)概率、主觀概率等。具體描述相對(duì)頻率定義將概率定義為某一事件在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中相對(duì)于其他事件出現(xiàn)的相對(duì)頻率。經(jīng)驗(yàn)概率基于歷史數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)來估計(jì)概率。主觀概率則基于個(gè)人信念或?qū)＜遗袛鄟碓u(píng)估某一事件發(fā)生的可能性程度。這些定義各有特點(diǎn)和適用范圍，可以根據(jù)具體問題和情境選擇合適的概率定義。概率的其他定義02概率的計(jì)算互斥事件的概率加法公式如果兩個(gè)事件是互斥的，即兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，那么這兩個(gè)事件的概率之和等于它們包含的基本事件數(shù)之比。完備事件的概率加法公式如果兩個(gè)事件是完備的，即它們包含了樣本空間中所有的樣本點(diǎn)，那么它們的概率之和等于1。概率的加法公式如果兩個(gè)事件是獨(dú)立的，那么它們的概率之積等于它們包含的基本事件數(shù)之積。獨(dú)立事件的概率乘法公式如果事件A在事件B發(fā)生的條件下發(fā)生，那么P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。條件概率的乘法公式概率的乘法公式03條件概率與獨(dú)立事件的關(guān)系如果事件A和事件B是獨(dú)立的，那么P(A|B)=P(A)。01條件概率的定義條件概率是指在某個(gè)已知事件B發(fā)生的條件下，另一個(gè)事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。02條件概率的性質(zhì)條件概率具有一些重要的性質(zhì)，如非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性等。條件概率03概率的性質(zhì)概率的取值范圍在0到1之間，即0≤P≤1。其中，概率為0表示事件不可能發(fā)生，概率為1表示事件一定發(fā)生。概率的取值具有規(guī)范性，即對(duì)于任何事件A，有P(A)=1?P(A')。其中，A'表示事件A的補(bǔ)集。概率的取值具有可加性，即對(duì)于兩個(gè)互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。概率的取值范圍概率的乘法性質(zhì)對(duì)于任意兩個(gè)事件A和B，有P(A∩B)=P(A)×P(B∣A)。其中，P(B∣A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。概率的加法性質(zhì)對(duì)于任意兩個(gè)事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(A∩B)。其中，A∩B表示事件A和事件B的交集。概率的指數(shù)性質(zhì)對(duì)于任意事件A，有P(A^n)=P(A)^n。其中，A^n表示事件A發(fā)生n次。概率的運(yùn)算性質(zhì)連續(xù)型隨機(jī)變量的期望值和方差分別定義為E(X)=∫?∞∞xp(x)dx和D(X)=∫?∞∞x2p(x)dx?[E(X)]2。其中，E(X)表示隨機(jī)變量X的期望值，D(X)表示隨機(jī)變量X的方差。概率的連續(xù)性是指在連續(xù)型隨機(jī)變量的條件下，概率密度函數(shù)具有連續(xù)性。即隨機(jī)變量X在任意區(qū)間[a,b]上的概率為該區(qū)間長(zhǎng)度乘以概率密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分值。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)具有非負(fù)性，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有p(x)≥0。同時(shí)，概率密度函數(shù)在全實(shí)數(shù)域上的積分值為1，即∫?∞∞p(x)dx=1。概率的連續(xù)性04隨機(jī)事件及其概率

隨機(jī)事件的定義隨機(jī)事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。必然事件在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件。不可能事件在一定條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件。0到1之間，包括0和1。概率的取值范圍兩個(gè)互斥事件的概率之和等于它們各自概率的和。概率的加法原則兩個(gè)事件相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合概率等于各自概率的乘積。概率的乘法原則隨機(jī)事件的概率如果一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率，則稱這兩個(gè)事件獨(dú)立。獨(dú)立性定義獨(dú)立性的判斷獨(dú)立性的性質(zhì)通過計(jì)算事件的聯(lián)合概率和邊緣概率來判斷。如果兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們的和事件與積事件的概率可以通過各自的概率計(jì)算得出。030201隨機(jī)事件的獨(dú)立性05古典概型與幾何概型古典概型是一種概率模型，其中樣本空間中的樣本點(diǎn)是有限的，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等。定義$P(A)=frac{m(A)}{n}$，其中$m(A)$是事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，$n$是樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)。概率計(jì)算公式古典概型在日常生活、游戲、彩票等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。應(yīng)用場(chǎng)景古典概型的概率計(jì)算定義幾何概型是一種概率模型，其中樣本空間是一個(gè)幾何圖形，樣本點(diǎn)的位置和大小由該幾何圖形決定。概率計(jì)算公式$P(A)=frac{S(A)}{S(Omega)}$，其中$S(A)$是事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形的面積或體積，$S(Omega)$是樣本空間對(duì)應(yīng)的幾何圖形的面積或體積。應(yīng)用場(chǎng)景幾何概型在物理、工程、金融等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。幾何概型的概率計(jì)算幾何概型與古典概型的比較相同點(diǎn)