普通高等學校2023年招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學模擬演練【含答案】

全國統(tǒng)一考試數(shù)學模擬演練

一、單選題

1.己知集合A,B滿足.4B；1.23；,若h8,且［」及用，［/，&川表示兩個不同的“AB互襯對”,

則滿足題意的“AB互襯對”個數(shù)為（）

A.9B.4C.27D.8

2.已知二=1、'i，則下列說法正確的是（）

22

A?二‘+:-|=0B.；--；-|=0

C.；-r41>0D.二,.二.I0

3.若整數(shù)N被p整除后余數(shù)為q,則表示為、q"忖，則科S）或、是

〃"M/6）"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知向量，"（121）,|1,1,1）,則4在不上的投影向量為（）

444

B.I——.—?一

1333

"II""262&2廳

（333）（333J

5.我國古人智慧體現(xiàn)在建筑學上的成就頗多，著名的太和殿的一角中所體現(xiàn)了中國古人智慧中的“七

踩斗拱”技術(shù)，內(nèi)分為“頭”和“拱”.具體介紹為“七踩斗拱有頭翹一件，頭昂后帶翹頭一件，昂后

帶六分頭一件.螞蚱頭后帶菊花頭一件，撐頭木后帶麻葉頭一件；正心瓜拱、正心萬拱各一件，外拽

單材瓜拱、單材萬拱各兩件，廂供一件.”若從“翹頭、六分頭、菊花頭、麻葉頭”中選擇1個，從

“單材瓜拱、單材萬拱、正心瓜拱、正心萬拱、廂供一件”中選擇2個，則“單材瓜拱”與“麻葉

頭”同時被選上的概率為（）

A.11B.1C,1D.12

84141084

6.若/（、卜、山"…|（（”>0）在（0，］）上有且只有兩個零點，則，。的取值范圍為（）

\3/

7.^(X-2)4(XJ+3XJ-0IJfa|(x-2)+aj(x-2)2，貝!1-^~()

1234

A.-B?二C,二D.-

5555

8.已知q二七'hc'，c-°，試比較a,b,c的大小關(guān)系為()

'In2

A.b>(,>uB.b>a>cC.(>a--hD.c>b>a

二、多選題

9.有關(guān)平面向量的說法，下列錯誤的是()

A.若77，,b',c，則61

B.若，與E共線且模長相等，則Kh

C.若且力與坂方向相同，則4〉不

D.A入伍”(〃；)，，恒成立

10.已知/>>0,e-恒成立，則下列說法正確的是()

bb

A.若〃?(O.e),則aj(().?，)B.aInh-1

C.”恒成立D.?"的最大值為］

b2e

11.在平面直角坐標系xOy中，A為坐標原點，出2Q),點列P在圓<+；+j上，若對于

▼〃《、?，存在數(shù)列k；，a6,使得二:"’=："】，則下列說法正確的是()

I191-1

A.上；為公差為2的等差數(shù)列

B.卜，為公比為2的等比數(shù)列

C..70472"'

D.{&；前n項和1).2-

12.已知".、)=《”，x(x)為/(')導函數(shù)，八R,八0,則下列說法正確的是()

A./(“為偶函數(shù)

B.當a?2且awO時，恒成立

C.的值域為［I』

D.與曲線「￡’無交點

a

三、填空題

13.在對于一些敏感性問題調(diào)查時，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復，因此需要特別的調(diào)查方法.調(diào)

查人員設(shè)計了一個隨機化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的50個黑球和50個白球，每個

被調(diào)查者隨機從該裝置中抽取一個球，若摸到黑球則需要如實回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若

摸到白球則如實回答問題二：你是否在考試中做過弊.若100人中有52人回答了“是”，人回答了

“否”.則問題二”考試是否做過弊"回答“是”的百分比為（以10（）人的頻率估計概率）.

14.若對于e.c],?-|I.，，），使得不等式?/〃（x?11，（2023"小恒成

立，則實數(shù)x的范圍為.

15.已知GVA,過點P（I.O）傾斜角為60的直線/交（'于/、"兩點（d在第一象限內(nèi)），過點,4

作i軸，垂足為〃，現(xiàn)將C所在平面以x軸為翻折軸向紙面外翻折，使得乙一一「一。，則

幾何體以8。外接球的表面積為.

16.已知橢圓C：過點-3可的直線1斜率范圍為卜.一苧p[Vi+?）,過（o.o）向1

作垂線，垂足為P,Q為橢圓上一點，E為橢圓右焦點，則?2/夕|的最小值為.

四、解答題

17.人類探索浩瀚太空的步伐從未停止，假設(shè)在未來，人類擁有了兩個大型空間站，命名為“領(lǐng)航者

號”和“非凡者號”.其中“領(lǐng)航者號”空間站上配有2搜“M2運輸船”和1搜“T1轉(zhuǎn)移塔”，“非凡

者號”空間站上配有3搜“T1轉(zhuǎn)移塔”.現(xiàn)在進行兩艘飛行器間的“交會對接”.假設(shè)“交會對接”在

M年中重復了n次，現(xiàn)在一名航天員乘坐火箭登上這兩個空間站中的一個檢查“領(lǐng)航者號”剩余飛行器

情況，記“領(lǐng)航者號”剩余2搜“M2運輸船”的概率為幾，剩余1搜“M2運輸船”的概率為弘.其

中宇航員的性別與選擇所登錄空間站的情況如下表所示.

男性宇航員女性宇航員

“領(lǐng)航者號”空間站380220

“非凡者號”空間站120280

20.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

n=a+b+c+d

(I)是否有99.9%的把握認為選擇登錄空間站的情況與性別相關(guān)聯(lián)；

(2)若k為函數(shù)/(.”=」極小值的。倍，求即“+/與即.，+“一的遞推關(guān)系式.

inxe

18.對于數(shù)列4-1e’，"(N，的前n項和，在學習完''錯位相減法”后，善于觀察的小周同學

發(fā)現(xiàn)對于此類“等差X等比數(shù)列”，也可以使用“裂項相消法”求解，以下是她的思考過程：

①為什么丁―I一-—可以裂項相消？是因為此數(shù)列的第n,n+1項有一定關(guān)系，即第n項的

〃(〃+I)no+l

后一部分與第n+l項的前一部分和為零

②不妨將““亡，〃.N.也轉(zhuǎn)化成第n,n+l項有一定關(guān)系的數(shù)列，因為系數(shù)不確定，所以運

用待定系數(shù)法可得“一(川+,通過化簡左側(cè)并與右側(cè)系數(shù)對應相等

即可確定系數(shù)

③將數(shù)列'?表示成］/，(〃+1)+打”形式，然后運用“裂項相消

法”即可！

聰明的小周將這一方法告訴了老師，老師贊揚了她的創(chuàng)新意識，但也同時強調(diào)一定要將基礎(chǔ)的“錯

位相減法”掌握.

(1)(鞏固基礎(chǔ))請你幫助小周同學，用“錯位相減法"求的前n項和5,,；

(2)(創(chuàng)新意識)請你參考小周同學的思考過程，運用“裂項相消法”求的前n項和5,,.

19.已知底面為正方形的四棱柱dBCDT'B'C'O，r'_4,E,F,H分別為才少,CD,

的中點，三角形5皿的面積為4,P為直線FH上一動點且g=入

1\PH

(1)求證：當入「I時，BP±AC；

(2)是否存在入，使得線段BP與平面伙丫夾角余弦值為L

6

20.已知在三角形ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的三邊，若

siriA+6$i/B+3sin2C-66xinAsinBsin("

(1)求NC的大?。?/p>

(2)求"的值.

3b

21.已知在AABC中，以B為坐標原點，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,且a=4,若

?/>+((0\R16.

(1)求A點的軌跡方程C；

(2)已知坐標原點為0,若過點P]80)的兩條直線與C分別交于M,N兩點，設(shè)力(一儲)，

A(t..r.),兩直線斜率分別為人，A且4A，1,連接M,N交x軸于點Q,AOMQ,AOMN面積分別為

5,S,求3』S的最大值.

22.已知函數(shù)l)e<nI,v)-(v\)bnhxI

(1)若a=l,b=2,試分析/(11和i)的單調(diào)性與極值；

(2)當a=b=l時，/(')、的零點分別為i,'.；v,,口，從下面兩個條件中任選一個證

明.(若全選則按照第一個給分)

求證：①/-1nxt''；

②C<LF.2.

1.c

2.C

3.C

4.A

5.C

6.A

7.D

8.B

9.A,B.C

10.A,C,D

11.C,D

12.A,D

13.54"o

14.(1.0]

15.13n

35

16.

.._IOOOx(58Ox28O-l2Ox22O)：

17.(1)解:*106.67>10.828

500x500x6(X)x400

...有99.9%的把握認為選擇登錄空間站的情況與性別相關(guān)聯(lián);

⑵解”⑺端v，函數(shù)定義域,為、,⑼則八'、)I=nx百-1，

由，'(>()得XC,

由/卜)>0得x>c,由/'(xj<0得0<x<I或1<K<C,

一〃在(C,+，)上單調(diào)遞增，在(0J)和(I.c)上單調(diào)遞減,

，當K：C時，/(、)取得極小值，且f(c)=c,

?以為函數(shù)極小值的2倍，2,

Inxc

CC；C\C127

Pz~C"c^'P'*c*1+9^'=27

%育￡信號哈制0春M飛川—瞪

QlCC1Q112

當“22時〃=]消i+#3=,①

acj

P"

2X①+②,得2幾十%=；p..i+gq,|-：%.i+；=；(2區(qū)i+g..J+：

從而22+%-1=；(2區(qū)?

18.(1)解:因為a.=(”+I)2"

所以S.?%+%+4???+4=2x2,+3x2：+4x2,+…+(”+1)2*①

則25,一2x2、3x2,4x2'+…,(”+1)2"’②

所以①-②得：-$.=2x2'+|".丁?？|h，1)2**'=4+^-^--(n+l)2**'=-w2^

1—2

所以S,n-2'-'；

(2)解:因為“.=(”?1)2",設(shè)

a,?(p/j+(/)2"-[p(n+l)+9]2**1=(-pn-q-2p)2',

比較系數(shù)得：〃[,,得[”「，所以a.=(F+l)2"-(F)2i,

-＜/-2p-Iq-I

所以S'u?J?.i??./10-2|11-2?Ili-2i2)-2*1?i“?I)2’("12"丁

19.(1)證明：連接HD.B'D',

因為s.4“=148?，加N8/￡=Asin^BAE=4,

所以山/8任二I,所以N8.任:,BfJjf.AB,

又4DJ.A1'，AD^yiB^A,AD,/bu平面48CD，故//'J.平面4HC7)，

同

當入=1時，---XI,則"為中點，P在87/上，

M

???。。'1平面/86，/。＜7平面/86，；?DD'J.4C,

又AC1BD,IH)'cBD=D，DO,.BDc平面BDD'B'，

:..(1平面8￡＞。'8'，

又BP平面BDD'B'，；?BP14C；

(2)解：以。為原點，所在直線為x軸，DC所在直線為，軸，所在直線為二軸，建立空間直

角坐標系，

.?.Q(O.OQ),/h4.4.1h,￡(4.0.2),(“(0.4』,設(shè)尸(52o4),

所以8￡=((k-42),?C=(-4A4),BP^(a-4.-a-2.4),

設(shè)平面伙丫的法向量”一「,

,n-BE-0-2y■0

則，即人，令z=2，則y=l，x=2,A/i(2.121,

nZ?C1-0-X+】H0

若線段BP與平面HUE夾角余弦值為:，

O

則松《麗冷卜卜

BPnV35

|cw<flP.>1

明同3&'-4。+366

??iv22=0，

:

VA-(-62)4XU-622--78260<0，，方程無解,

不存在入，使得線段BP與平面灰丫夾角余弦值為.

6

二6s!l\in(.,，

所以〃:+662+3<,:二byfiubsinl,,

=l4iabsinC---2b3，

:/+城-iSabsinC

又而CJ-哈+/一.，

lab

所以、8“"(I

3b2a

因為即+%2廬.迎=2，當且僅當當=當，即2。=M時，取等號,

yb2aN3b2a3b2a

y/isinC?cmC，|<2,當且僅當C："",即。='時，取等號,

I6；623

所以、，Qs/〃C?「",(='=2，

3b2a

所以(；；

(2)解:由(1)可得2a3b,

所以“如=4.

動

21.(1)解：設(shè)點,4的坐標為川心v),

依題意可得8(0.0),((4,0),

則〃「r4f-v,rylx:1,

又2b+<<小R=16,則2^+cx°——=16，BPl6/>+c2-b1■112，

lac

所以16,(x-4)，+.…?/?/'■>>=112，化簡得I”?,

22

A點的軌跡為橢圓，其方程為'「7.

6448

(2)解:由Ak：I,則&,凝同號,

不妨令人〉勺>0,則K>Vj>0,設(shè)0(x”O(jiān)],則5>0,

由直線PW的方程為i，

消】'整理得（3+以「卜，64公1+2”認、192=0,

258；-192用24-32Z

則-8原=得「37十'”二向

3+4**

24-3”；4SX.

同理得上一3+4》

3+%

由直線"V的方程為卜=左2（、L）一,

-7,

令"0,則"十；3,

由，§2=54（.14），

n-y.-3

則”=彳^^?一IxK乂-%)=2.也一月)

312

yt2M

sc

X以心-yi)2(x1yl-x,yI)

工24726乂4幽24-32勺\檄,]

一13+4月*3+穌：--3+4A；*3+啟J

,56x48x(4V、56x48x(4,“1)

一“"25+1”：+1厲-X49-12(4Uj

56x4856x48rr

=Zx-------------------42*/=64(3

絲一,12(4-玲)際記

當且僅當-3…J時，等號成立,

22.(1)解：由己知，")一(?1)/y-1,該函數(shù)的定義域為(r.iT),

所以r(x卜e'+(x-l)c-l=xc-I,

當x<0時，r(x)<0,

令〃(x)-IVI(I>()|,所以Ij—C；tte'lI?I),

所以力'(、).()，所以函數(shù)可”二,2I在[0-，)上單調(diào)遞增，

又刀⑼二1<0,h{\]-e10,

所以存在X=M€(0J),使得加V.)=0,

當K-[().I.)時，V)-(I,當xE(j?7|時，h{V)>0,

所以當xj時，/'（K）＜0,函數(shù)〃x）在（-凡/）上單調(diào)遞減,

當“（1..+7）時，/卜）.（），函數(shù)/（x）在（卬“）上單調(diào)遞增,

又AKJ_O,其中K,C'I,

所以“I、為函數(shù)/（t）的極小值點，極小值為I,

函數(shù)/（X）沒有極大值點；

由已知義（"二（I1）3-2i1,該函數(shù)的定義域為（0.?，I,

所以乂（[I二/n,i?12=Inx*I,

xx

設(shè)11InxI,貝lj.（t）=g?'八『，

所以函數(shù)叫w=1I在（（＞,?r）單調(diào)遞增,

X

又“e）=」＜0,=＞0,

cc

所以存在x-x.,X；€（e.e2）,使得。億）=/5-,-1=0，

**fc

當0vx時，（,-＞（V）-I）,當I、E,時，g（I）,（i,

所以當0.＜\,時，＜（"＜（）,函數(shù)K（x）在（0,rj上單調(diào)遞減，

當jr＞。時，i）＞。，函數(shù)在??…）上單調(diào)遞增，

又g'k）=o,

所以一。為函數(shù)e（x）的極小值點，極小值為V--1,

函數(shù)沒有極大值點，

（2）證明：①由（1）可得，函數(shù)/（K）-（I」）C，X」在（，,工）上單調(diào)遞減,

函數(shù)/（I）在（.J+7I上單調(diào)遞增，r-（0.1）,且yI,

又八-2）--1+1＞（）.A{-l）=--（a/（2）=c--3）O,

所以函數(shù)“門有且僅有兩個零點，不妨設(shè)事＜口，

則怎€（2.I）,x,e（l.2）,

當6I時，l）//niI,該函數(shù)的定義域為（0.?，），

所以i)所，'IIfu-,

JTx

設(shè)I,則"，

X"

所以函數(shù)1在(0.?，l單調(diào)遞增，

X

又H(1)二1?0,汐|2)一/〃2-!一：/”4一！、0,

22—

所以存在卜?與，「e(l?2),使得“"IEL'0,

超

當0《K.1、時，p(r)?(>,當v>工時，p(r)：??),

所以當0限1T.時，弁'(.1卜「。，函數(shù)*(n在(0，tj上單調(diào)遞減，

當X>￡時，g(.v)>0,函數(shù)R(K)在(.r-，+“上單調(diào)遞增，

g|e)=1>0,x(e1)2c1<0,

ATIc)=e-l-e-l?-2<0,g(e:)=e:-3>0,

所以函數(shù)K(r)-(?—i1有兩個零點，不妨設(shè)3，

2:

則c<r,<ee<T4<e，

因為i,為H(K)的零點，所以(xT)依t匚I=0,

令歷X-/,則4