開學(xué)摸底考（提升篇）模擬測試B卷（教師版）-2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)同步單元雙基雙測AB卷(滬教版)

2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)同步單元雙基雙測AB卷（滬教版）

開學(xué)摸底考（提升篇）模擬測試B卷

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.如圖，在。ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD,且AE、BD交于點F,SAI）EF：SA.W

2.如圖，在AABC中，AD是中線，G是重心，過點G作EFIIBC,分別交AB,AC于點

E,F,若AC=18,則AF的長為（）

3.在AABC中，。是4B中點，E是AC中點，若ZkAOE的面積是3,則AABC的面積是

（）

A.3B.6C.9D.12

4.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a#0）的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)

論：①abc<0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0；④a-b2m（am+b）（m為實數(shù)）；⑤4ac

-b2<0.其中錯誤結(jié)論的個數(shù)有（）

5.古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題:

點G將一線段MN分為兩線段MG，GN,使得其中較長的一段MG是全長MN與較

短的段GN的比例中項，即滿足些=空=苴二1,后人把避二1這個數(shù)稱為“黃

MNMG22

金分割”數(shù)，把點G稱為線段MN的“黃金分割”點.如圖，在AABC中，已知

AB=AC=3,8C=4,若。，E是邊8c的兩個“黃金分割”點，則AADE的面積

為（）

A.10-475B.36-5C.5-2^D.20-875

2

第H卷（非選擇題）

二、填空題

6.在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中，繞著其對角線的交點旋轉(zhuǎn)90度,

能夠和原圖形完全重合的有種.

7.如圖，在△A8C中，/A=100度，如果過點8畫一條直線/能把△ABC分割成兩個

等腰三角形，那么/C=度.

4?Q

8.關(guān)于拋物線＞3公（&為常數(shù)），下來結(jié)論一定正確的是（填

序號即可）.

①開口向上；②頂點不可能在第三，四象限；③點加信+機,％）,可%-見名）是拋物

線上的兩點，則%＞為：④k取任意實數(shù)，頂點所在的曲線為y=Y.

9.一次函數(shù)產(chǎn)1-5x經(jīng)過點（0,）與點（）,0）,y隨x的增大而.

AZ）2

10.如圖，在AABC在，DEHBC,——=一，S^=S,則四邊形BDEC的面積

DB3ADE

為.

11.有一條拋物線，三位學(xué)生分別說出了它的一些性質(zhì):

甲說：對稱軸是直線x=2；

乙說：與x軸的兩個交點距離為6；

丙說：頂點與x軸的交點圍成的三角形面積等于9,請你寫出滿足

上述全部條件的一條拋物線的解析式:

12.若拋物線經(jīng)過點(一6,5)(2,5),則其對稱軸是

112

13.如圖，線段AB交x軸于點C,且BC=—AC,點A在雙曲線丫=——(x>0)±,

2x

若AOAC的面積為4,則&的值為

14.將拋物線y=2f+3向右平移5個單位，那么平移后所得的新拋物線的表達式是

15.如圖，AABC是等腰直角三角形，且AC=8C=2,AO是4A5c的中線，過

點。作CELAT)交AO于點尸，交A3于點￡，則EF的長為.

16.若△ABCs^DEF,相似比為3：2,則對應(yīng)面積的比為.

17.如圖，己知AABC中，DE//BC,連接BE，AADE的面積是ABDE面積的：，

則S&ADE*S△ABC--------------------?

18.如圖，將直線h沿著AB的方向平移得到直線12,若/1=50。，則N2=

19.在直角坐標系中，把四邊形ABCD以原點。為位似中心放縮，得到四邊形

A'B'C'D'.若點A和它的對應(yīng)點A'的坐標分別為(2,3)，(6,9),則

四邊形ABCD的面積

四邊形的面積―-----

三、解答題

20.某游樂園要建造一個直徑為20m的圓形噴水池，計劃在噴水池周邊安裝一圈噴水

頭，使噴出的水柱距池中心4m處達到最高，最大高度為6m.如圖，以水平方向為x軸，

噴水池中心為原點建立直角坐標系.

(1)若要在噴水池的中心設(shè)計一個裝飾物，使各方向噴出的水柱在此匯合，則這個裝飾

物的高度為多少，請計算說明理由.

(2)為了增加噴水池的觀賞性，游樂園新增加了一批向上直線型噴射的噴水頭，這些噴水

頭以水池為圓心，分別以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米為半徑呈圓形放置，為了保

證噴水時互不干擾，防止水花四濺，且所有直線噴水頭射程高度均為一致，則直線型噴

水頭最高噴射高度為多少米？(假設(shè)所有噴水頭高度忽略不計).

21.如圖，在8X4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都是格點(小

正方形的頂點)，完成下列畫圖.

(1)畫出△ABC的重心P.

(2)在已知網(wǎng)格中找出所有格點。，使點。與△ABC的其中兩個頂點構(gòu)成的三角形的

面積與aABC的面積相等.

22.已知R/AABC中，ZACB=90°,NC48=30。(如圖).以線段4?為邊向外作

等邊三角形AM,點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AO于點尸.

(1)求證：四邊形8CFD為平行四邊形;

(2)連接CO,交AB于點M.

①若AB=6,求的長；

111

②作垂足為N,求證:-------1-------=-------

BCADMN

23.二次函數(shù)圖象的頂點坐標是(3,5),且拋物線經(jīng)過點A(1,3).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)寫出它的開口方向，對稱軸、頂點坐標和最值.

24.當(dāng)拋物線y=ad+0x+c(a、b、c為常數(shù)，cWO)與x軸交于A,B兩點時，以AB

為邊作矩形A8CZ),使點C、點。落在直線)，=c上，我們把這樣的矩形ABC。叫做該拋

物線的“相約矩形”.

(1)①拋物線y=f—2x—3的“相約矩形”的周長為.

②當(dāng)拋物線y=f—2x+c(c為常數(shù))不存在“相約矩形”，則c的取值范圍是

(2)已知拋物線,=必2+法+3經(jīng)過點(2,0),當(dāng)該拋物線的“相約矩形”是正方形

時，求出該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式.

(3)對于函數(shù)y=or?-2x+2a(a為常數(shù)).

①當(dāng)該函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點時，求出交點的坐標；

②我們把平面直角坐標系中橫、縱坐標都為整數(shù)的點稱為“好點”，當(dāng)拋物線

y=a?—2x+2a(“為常數(shù)，a>0)的“相約矩形”內(nèi)部(包括矩形邊界)恰有8個“好點”

時，直接寫出。的取值范圍.

25.如圖，已知A(3,0),B(0,?)(-3<a<0),以A8為一邊在AB上方作正方形

ABCD,點E與點A關(guān)于)，軸對稱，直線EC交)，軸于點F,連接。￡

(1)求直線E尸所對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)判斷CE與DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

參考答案

1.A

【解析】

【分析】

由條件可證明ADEFs/kBAF,結(jié)合面積比可求得相似比，可求得答案.

【詳解】

???四邊形ABCD為平行四邊形，

，DE〃AB,

.,.△DEF^ABAF,

.S——DE24

SMBFAB25

/.-D-E-—2,

AB5

故選：A.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題

的關(guān)鍵.

2.C

【解析】

【分析】

A.pAQ2DG2

如圖，運用平行線分線段成比例定理列出比例式：—=——=「；=二，根據(jù)AC=18,

ACAD3DG3

求出AF即可解決問題.

【詳解】

?.?G是△ABC的重心，

；.AG=2DG,AD=3DG；

?；EF〃BC,

.AFAGIDG2

"~AC~^D~3DG-35

VAC=18,

.\AF=12.

故選C.

【點睛】

該題主要考查了三角形重心的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；

牢固掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可求出答案.

【詳解】

解：?.?。是AB中點，E是AC中點，

是△ABC的中位線，

：.DE=-BC,DE//BC,

2

.$戰(zhàn)DE=（三）2=1

s故BCBC4'

??8c=4S△4。E=12,

故選：D.

【點睛】

本題考查了相似三角形的面積問題，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】

由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根

據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.

【詳解】

解：①由拋物線可知：a>0,c<0,

對稱軸x—--V0,

2a

Ab>0,

/.abc<0,故①正確；

②由對稱軸可知：----=-1,

2a

；?b=2a,

?.?x=l時，y=a+b+c=O,

，c+3a=0,

.*.c+2a=-3a+2a=-a<0,故②正確；

③(1,0)關(guān)于x=-1的對稱點為(-3,0),

.?.x=-3時，y=9a-3b+c=0,故③正確；

④當(dāng)x=-1時，y的最小值為a-b+c,

?'?x=m時，y=am2+bm+c,

am2+bm+c>a-b+c,

EPa-b<m(am+b),故④錯誤;

⑤拋物線與x軸有兩個交點，

???△>(),

即b2-4ac>0,

4ac-b2<0,故⑤正確；

故選A.

主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二

次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用.

5.A

【分析】

作AFLBC,根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)黃金分割點的定義求出BE、

CD的長度，得到△"）石中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.

【詳解】

解：過點A作AFLBC,

VAB=AC,

ABF=—BC=2,

2

在Rt△ABR,AF=yjAB2-BF2=^32-22=，

???D是邊BC的兩個“黃金分割”點，

.CDy/5—1anCDy/i—1

.?----=--------即-----=--------,

BC242

解得CD=2指一2，

同理BE=26—2，

VCE=BC-BE=4-(2A/5-2)=6-275，

7.DE=CD-CE=4>/5-8.

ASAABC=^x￡)￡'xAF=^x^475-8^x75=10-475，

故選：A.

【點睛】

本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及三角形的面積公

式，求出DE和AF的長是解題的關(guān)鍵。

6.1

【分析】

根據(jù)題意，該四邊形的對角線互相垂直平分且相等.

【詳解】

解：因為四邊形繞著它的對角線的交點旋轉(zhuǎn)90°,能夠與它本身重合，說明對角線互相垂

直平分且相等，

在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中，滿足條件的只有正方形，

故答案為：L

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)及與特殊四邊形的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.解題時要根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

解答.

7.20

【分析】

設(shè)過點B的直線與AC交于點D,則4ABD與ABCD都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)，得出NADB=NABD=40。，ZC=ZDBC,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得NC=20。.

【詳解】

解：如圖，設(shè)過點8的直線與AC交于點則△A3。與△38都是等腰三角形，

VZA=100°,

???N4O8=NA8O=40。，

?:CD=BD,

：?NC=NDBC,

???ZADB=ZC+ZDBC=2ZC,

A2ZC=40°,

AZC=20o,

故答案為：20.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握這些性

質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵.

8.①②④

【分析】

①根據(jù)系數(shù)即可判斷；②由尸如42Q.依+?Q2=4（了_左）2+%2即可判斷；③將兩點代入

JJJD

即可判斷大小；④由頂點坐標即可求得.

【詳解】

4cxQ4

CD,**y=—x2——kx+—k~a=1>0,?'.開口向上，故①正確；

42O4

②丫:1/一^"+彳公=—（x—左）2+公，頂點坐標為（k,k2）,k2>0,縱坐標始終不可能

小于0,.?.頂點不可能在第三，四象限，故②正確；

44

③將M,N兩點分別代入解析式，y,=-（k+m-k）2+k2--m2+k2,

44

=

y2—{k—m++k~~—m~+k~,X=為,故③錯誤；

④拋物線頂點坐標為（k,k?）,.?.左取任意實數(shù)，頂點所在的曲線為y=f,故④正確；

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查拋物線圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，難度適中，熟練掌握二

次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

1m,

9.1,臧小

【解析】

【分析】

先分別計算自變量為0時的函數(shù)值和函數(shù)值為0所對應(yīng)的自變量的值，然后根據(jù)一次函數(shù)的

性質(zhì)回答增減性.

【詳解】

當(dāng)x=0時，y=l-5x=l；

當(dāng)y=0時，1一5%=0,解得了=!，

所以一次函數(shù)y=l—5X經(jīng)過點（0,1）和點

因為％=—5<0，

所以y隨x的增大而減小.

故答案為：1,—>減小.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)：k>o,y隨工的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k<o,y

隨》的增大而減小，函數(shù)從左到右下降.由于產(chǎn)乙與y軸交于（0,》），當(dāng)z?>o時，（0,。）

在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)6<o時，（0,》）在y軸的負半軸上，直線與

y軸交于負半軸.

10.42.

【詳解】

..AD2.AD22

VDE/7BC,.".△ADE^AABC,

,~DB~3'"AB-3+2-5

S'OE_(AOy8__4_

??SAABC=50,

SA^C_AB'"SMBC~25

四邊形BDEC的面積=SAABC￡ADE=50-8=42.

考點：相似三角形的判定與性質(zhì).

11.y=_；(x-2)2+3或y=g(x_2『_3

【解析】

【分析】

因為對稱軸是直線x=2,與x軸的兩個交點距離為6,所以x軸的兩個交點的坐標為(-1,0),

(5,0),

因為頂點與x軸的交點圍成的三角形面積等于9,可得頂點的縱坐標為±3,得頂點坐標為

(2,3)或(2,-3),

所以利用頂點式求的拋物線的解析式即可.

【詳解】

根據(jù)題意得，拋物線與x軸的兩個交點的坐標為(-1,0),(5,0),頂點坐標為(2,3)或

(2,-3),設(shè)函數(shù)解析式為。-2)2+3或y=a(x-2)2-3，

.1

把點(一1,0)代入y=a(x-2)-+3得Q二一耳，

把點(5,0)代入丁=。(了一2)2-3得。=^，

...滿足全部上述條件的一條拋物線的解析式為y=--(X-2)2+3或y=--(x-2)2-3.

【點睛】

本題主要考查拋物線的性質(zhì)，理解題意是解題的關(guān)鍵.

12.x=-2.

【分析】

根據(jù)己知條件知，該拋物線經(jīng)過的點(-6,5),(2,5)的縱坐標相同，所以這兩點關(guān)于對

稱軸對稱.

【詳解】

解：???某拋物線經(jīng)過點(-6,5),(2,5),

...這兩點關(guān)于對稱軸對稱，

-6+2

x=---------=-2,

2

即x=-2；

故答案是：x=-2.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.拋物線y=ax2+bx+c(a/))的對稱軸方程是

13.3.

【分析】

分別作AOLx軸于點￡>,軸于點E,設(shè)A(a,b),求得"的值，通過平行線分線段

成比例性質(zhì)，求得3點的坐標，再運用待定系數(shù)法求得k的值.

【詳解】

分別作軸于點，8^，》軸于點￡,如圖，

則BE//AD,

設(shè)A(a,b),則A￡>=-OD-a,

12

?.?點A在雙曲線廣——(x>0)上，

x

ab--12,

S?OAD=；x|OZ>AO|=^x\-ab\=6,

???△CMC的面積為4,

,OC_4_2

貝lj0C=2CD,

'OD~6~3

,JBE//AD,BC=—AC,

2

.BECEBC

"AD~CD~AC~2'

：.BE=-AD=--b,CE=-CD,

222

13

OE=OC-CE=2CD——CD=-CD,

22

3

DE=CE+CD=-CD,

2

：.OE=DE=-CD=-a,

22

B(-a,--b),

22

k

?.?點3在雙曲線產(chǎn)一(&￥0,x>0)上,

x

:.k=_ci,—b=—cib=3.

2I2J4

故答案為：3.

【點睛】

本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，平行線的

分線段成比例定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

14.y=2（x-5『+3

【分析】

按“左加右減括號內(nèi)，上加下減括號外”的規(guī)律平移即可得出所求函數(shù)的解析式.

【詳解】

由題意得

平移后所得的新拋物線的表達式是y=2（x-5）2+3.

故答案為：y=2（x-5『+3.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，其規(guī)律是:將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)="（x/）2+k（a,

b,c為常數(shù)，存0）,確定其頂點坐標（〃，k）,在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“〃值正右移，負左移；k

值正上移，負下移”.

475

15.

15

【分析】

取BE的中點G,連接DG,利用勾股定理以及面積法分別求得AD、CF、DF、AF的長，根

據(jù)三角形中位線定理得到DG〃CE,DG=-CE,EF=x,由△ADG~^AFE,利用相似三

2

角形的性質(zhì)列式計算即可求解.

【詳解】

如圖，取BE的中點G,連接DG,

*/AO是△ABC的中線，

.?.CD」BC=1,

2

AD^y]AC2+CD2=>/22+12

?JCEA.AD,

：.-CDxAC=-ADxCF,

22

.“CDxAC2小

??Cr=-------------=-------,

AD5

,點D、G分別是BC、BE的中點,

1

；.DG〃CE,DG=-CE,

2

設(shè)砂=x,

DG=-(CF+EF)=-(+X),

225

：DG〃CE,

??.△ADG?AAFE,

DGAD逐5if275

???EE一Ab—4蓬—4，即2(5')_5^

5x4

解得：x=士叵，

15

，-475

故答案為：

15

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)建輔助線，

證明AADG~Z\AFE是關(guān)鍵.

16.3：2

【解析】

【分析】

根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算.

【詳解】

VAABC^ADEF,相似比為3：2,

3

.?.對應(yīng)面積的比為(一)2=9：4,

2

故答案為9:4.

【點睛】

本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

17.1:9

【解析】

【分析】

根據(jù)等高的兩三角形的面積之比等于對應(yīng)邊之比得出喘=(,求出*=；，根據(jù)相似三

角形的判定得出AADEsaABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可.

【詳解】

解：???△ADE的面積是ZkBDE面積的

2

.AD1

,.---=—,

BD2

.AD1

??---=一，

AB3

VDE/7BC,

.,.△ADE^AABC,

.=(A。)2=(1)2=1

''SMBC~AB—3-9，

故答案為1：9.

【點睛】

本題考查了三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運用性質(zhì)進行推理和計

算是解此題的關(guān)鍵，注意：①等高的兩三角形的面積之比等于對應(yīng)邊之比，②相似三角形的

面積之比等于相似比的平方.

18.50°

【分析】

根據(jù)平移的性質(zhì)得出/,///2,進而得出N2的度數(shù).

【詳解】

解：???將直線4沿著AB的方向平移得到直線4，

Z,///2,

?.?/1=50。，

.?.N2的度數(shù)是50°.

故答案為：50°.

【點睛】

本題考查了平移的基本性質(zhì)及平行線性質(zhì).平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和

大??；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等.

1

19.-

9

【解析】

分析：根據(jù)題意得到四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為L根據(jù)相似三角形的

3

性質(zhì)計算即可.

詳解：???點A和它的對應(yīng)點A'的坐標分別為(2,3),(6,9),

，四邊形ABCD以原點0為位似中心擴大3倍，得到四邊形A'B'C'D',

即四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比為!，

3

.四邊形ABCD的面積1

"四邊形A'B'C'D'的面積=9'

故答案為：一.

9

點睛：本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系、相似圖形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10143

20.(1)—；(2)——

324

【分析】

(1)直接利用頂點式求出二次函數(shù)解析式進而得出答案；

(2)根據(jù)對稱軸為x=4,可得當(dāng)x=4.5時可達到最高噴射高度，代入即可求解.

【詳解】

(1)由題意可得：當(dāng)x>0時，拋物線解析式為：y=a(x-4)2+6,

把(10,0)代入得0=a(10-4)2+6

解得：a=-，，

6

故拋物線解析式為：y=--(x-4)2+6；

6

令x=0,解得y二號

故這個裝飾物的高度為與m；

(2)?.,當(dāng)x>0時，拋物線的對稱軸為x=4

由題意可得當(dāng)x=4.5時可達到最高噴射高度，

,一143

當(dāng)x=4.5時，y=——

24

答：直線型噴水頭最高噴射高度為二14二3米.

24

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出拋物線解析式是解題關(guān)鍵.

21.(1)見解析；(2)見解析

【分析】

(1)重心是三角形的中線的交點，作△A8CO的中線CE,8F交于點P,點尸即為所求;

(2)根據(jù)等高模型解決問題即可.

【詳解】

解：(1)如圖【中，點P即為所求，

圖2

【點睛】

本題考查了重心，等高模型，掌握重心的定義和畫圖方法是解題關(guān)鍵.

22.(1)證明見解析；(2)①BM=2:②證明見解析.

【分析】

(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得44。=//血＞=/。=60°,再根據(jù)直角三角形的性

質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)可得NC￡3=NCBE=NABC=60°,然后根據(jù)平行線的判

定可得CF//BD,BC//FD,最后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證：

(2)①先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得處"=生，再根據(jù)(1)已求

AMAD

BC=-AB=-AD,從而可得也=生=’,然后根據(jù)線段的和差即可得;

22AMAD2

②先根據(jù)平行線的判定可得,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得

g=四，四=里,從而可得出+”^網(wǎng)+0=1,由此即可得證.

BCACDACABCDAACCA

【詳解】

(1);八鉆。是等邊三角形

：?AD=AB=BD，ZBAD=ZABD=ZD=60°

在R/AABC中，ZC4B=30°

/.ZABC=60°

???點E是線段A3的中點

:.CE=BE=AE=-AB

2

.?.△BCE是等邊三角形

ZCEB=ZCBE=ZABC=60。，BC=CE

二ZABD=NCEB=60°

：.CFUBD

NCBD+ND=ZCBE+ZABD+ZD=60°+60°+60°=180°

BC//FD

四邊形BCFD為平行四邊形；

(2)①如圖，連接CO，交AB于點M

BC//FD

:.4cM~^ADM

.BMBC

"AM~AD

VBC=CE^-AB,AB=AD

2

.BMBC

"AM~AD~2

*/AB=BM+AM=6

：.BM=-AB=2；

3

②如圖，作MN_LAC,垂足為N

VZACB=90°.ZCAD=ABAC+ZBAD=300+60°=90°,MNA.AC

，BC//MN//DA

?*.4AMN~AABC，ACA/TV~AC￡X4

.MN_ANMN_CN

"BC~AC,DA~CA

?MN?MN——AN?CN——_A_N___+_C__N_——AC——J,

,BCDAACCAACAC

?__1__?___1_=___1_

"BCADMN'

【點睛】

本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形

的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題(2)②，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

23.(1)y=--(x-3)2+5；(2)開口向下，對稱軸為直線x=3,當(dāng)x=3時函數(shù)的最大值

2

為5；

【分析】

(1)設(shè)頂點式y(tǒng)=a(x-3)2+5,然后把A點坐標代入求出a即可得到拋物線的解析式；

(2)根據(jù)二次函數(shù)解析式，即可得到開口方向，對稱軸、頂點坐標和最值.

【詳解】

(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-3)2+5,

將A(1,3)代入上式得3=a(1-3)2+5

，解得a=-,

2

二拋物線的解析式為y=--(x-3)2+5,

2

(2)根據(jù)y=-：(x-3)2+5,可得拋物線開口向下，對稱軸為直線x=3,頂點坐標為(3,

5),當(dāng)x=3時函數(shù)的最大值為5.

【點睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根

據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物

線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點

或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)

其解析式為交點式來求解.

32133

24.(1)①14；②c—1或c=0；(2)y=—x?------1+3或3?=-----x2H—x+3；(3)①(0,

101022

[88

0),(y/2,0)或(-，0)；②—<aW—.

8333

【分析】

(1)①設(shè)拋物線y=x2-2x-3與無軸的交點橫坐標分別為幻、X2,解一元二次方程根即可

求出|XLX2|,即“相約矩形”的長，即可求出周長；②拋物線存在“相約矩形”，必須滿

足兩個條件：I.拋物線與x軸有兩個交點，II.拋物線不經(jīng)過原點：

(2)由拋物線的“相約矩形”是正方形，可知：拋物線與x軸的另一個交點為(5,0)或

(-1,0),分別代入即可求出拋物線解析式；

(3)①函數(shù)2a("為常數(shù))的圖象與x軸只有一個交點，分兩種情況：a=0,

“#0；分別求出交點坐標；

②分四種情形，分別畫出圖形，構(gòu)建不等式組解決問題即可.

【詳解】

解：(1)①設(shè)拋物線y=/-2x-3與x軸的交點橫坐標分別為樸及，則xi=3、x2=-l

.'.XI-X2=3-(-1)=4

y=x2-2x-3與y軸的交點(0,?3)

.??周長=4+4+3+3=14

故答案為：14.

②：拋物線y=9-2x+c(c為常數(shù))不存在“相約矩形”，

二拋物線y=/-2x+c(c為常數(shù))與x軸沒有兩個交點，或經(jīng)過原點

...A=(-2)2-4C40,解得：c》l；

當(dāng)經(jīng)過原點時c=0

或c-O.

故答案為：或片0.

(2)?.?拋物線丁=℃2+法+3經(jīng)過點(2,0),旦拋物線的“相約矩形”是正方形,

拋物線^=62+必+3與》軸的另一個交點為(5,0)或(一1,0).

將(2,0),(5,0)或(2,0),(-1,0)分別代入,=℃2+瓜+3得

33

CI---a=—

'4。+2。+3=04a+2b+3=0102

或，，解得.或《

25。+5。+3=0伍-"3=0,2173

h=----b=—

1012

32133

.??該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為：y=—?一一x+33或丁=一2/+—x+3.

■101022

(3)①???函數(shù)y=ax2-2x+2a(a為常數(shù))的圖象與x軸只有一個交點,

二可以分兩種情況：

當(dāng)。=0時，函數(shù)產(chǎn)一2%與x軸只有一個交點：(0,0).

當(dāng)aWO時，△=(一2)2—4〃?2。=0,解得％=2^.,%=一2^.

當(dāng)a=時，y=^^x2-2x+V2，令)=0,得多立^x之一2x+后=0，解得％=馬=V2，

222

此時，拋物線與x軸的交點為(、巧，0)；

當(dāng)°=一①時，y=_也/_2%_拒，令尸0,得一立/一2尤一夜=(),解得

222

%=%=~\[2，

此時，拋物線與x軸的交點為(-0,0).

綜上所述，當(dāng)函數(shù)^=如2一2》+2。3為常數(shù))的圖象與1軸只有一個交點時，交點的坐標

為(0,0)，(0，0