安徽省合肥市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023年春季學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè).全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知四邊形是平行四邊形，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，?故選：A2.若向量，滿足：，，且，則與的夾角是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題目條件直接利用平面向量數(shù)量積公式即可求解.【詳解】設(shè)向量與的夾角是，，因?yàn)?，，所以，又所?故選：D．3.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理得到三邊長(zhǎng)的比值，再利用余弦定理即可求得答案.【詳解】在中，，則，設(shè)，則.故選：C4.如圖是我國(guó)古代米斗，它是隨著糧食生產(chǎn)而發(fā)展出來的用具，是古代官倉(cāng)、糧棧、米行等必備的用具，早在先秦時(shí)期就有，到秦代統(tǒng)一了度量衡，漢代又進(jìn)一步制度化，十升為斗、十斗為石的標(biāo)準(zhǔn)最終確定下來.若將某個(gè)米斗近似看作一個(gè)正四棱臺(tái)，其中兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為30cm、60cm，且米斗的容積為，則該米斗的側(cè)棱長(zhǎng)為（）A. B. C.20cm D.25cm【答案】B【解析】【分析】由臺(tái)體體積公式可求臺(tái)體的高，進(jìn)而可求側(cè)棱長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)正四棱臺(tái)的高為h，依題意，，解得，故側(cè)棱長(zhǎng)為，故選：5.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理以及大邊對(duì)大角即可求解．【詳解】因?yàn)椋瑒t由正弦定理可得：，又，且，所以或．故選：．6.已知某圓錐的母線長(zhǎng)為2，記其側(cè)面積為，體積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，圓錐的底面半徑為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，結(jié)合圓錐的側(cè)面積和體積公式求得的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，由題意知母線長(zhǎng)為則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)，故選：C7.在中，設(shè)是的外心，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，由此利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量模以及數(shù)量積的運(yùn)算律可推出，，從而，再根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意是的外心，故，又，所以，則，所以，同理可得，故，所以，由于為內(nèi)角，故，故選：B8.如圖，矩形中，，，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則（）．A. B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】把用表示后再由數(shù)量積的定義計(jì)算．【詳解】，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是用表示，然后根據(jù)向量數(shù)量積定義計(jì)算．二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的虛部為 B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．【詳解】由，得，則，的虛部為，故錯(cuò)誤；，故正確；，故正確；，故錯(cuò)誤．故選：．10.設(shè)向量，則（）A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量平行坐標(biāo)表示可判斷A；根據(jù)向量垂直的向量表示判斷B；求出向量的坐標(biāo)，可求得其模，求出，判斷C；根據(jù)投影向量的定義可判斷D.【詳解】由題意向量，則，故不平行，A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即，B正確；因?yàn)椋瑒t，故，C錯(cuò)誤；在上的投影向量為，D正確，故選：BD11.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則是鈍角三角形C.若，則為等腰三角形D.若，則符合條件的有兩個(gè)【答案】ABD【解析】【分析】利用則，進(jìn)而利用正弦定理即可判斷選項(xiàng)A；利用正弦定理角化邊得，利用余弦定理得，即可判斷B；利用正弦定理邊化角整理得，可得或，即可得出結(jié)論判斷C；正弦定理求得，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦定理得，整理得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，因?yàn)?，所以，即為鈍角，所以是鈍角三角形，故B正確；對(duì)于C，由，由正弦定理可得，即，所以或，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，為銳角，所以存在滿足條件的有兩個(gè)，D正確.故選：ABD12.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B.C.角A的最大值為 D.面積的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】由平面向量的數(shù)量積計(jì)算可得A，由余弦定理可得B，由基本不等式及余弦定理可判斷C，結(jié)合條件可得，由項(xiàng)判定的范圍即可.【詳解】由，故A正確；由余弦定理結(jié)合A項(xiàng)可得，故B正確；由上結(jié)合基本不等式及余弦定理有故，而，單調(diào)遞減，所以由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，故C正確；由上可得，又，所以，故D錯(cuò)誤故選：ABC三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知正外接圓的半徑為，則正的周長(zhǎng)為__________.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求得正三角形邊長(zhǎng)，即得答案.【詳解】由題意可設(shè)正的邊長(zhǎng)為a，則，故，故正的周長(zhǎng)為9，故答案為：914.已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為32，則這個(gè)球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】由題意求出底面正方形邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，求出球的半徑，即可得答案.【詳解】由題意知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為32，故正四棱柱的底面積為8，則底面正方形邊長(zhǎng)為，又因?yàn)檎睦庵捏w對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，故外接球半徑為，故這個(gè)球的表面積為，故答案：15.設(shè)是不共線的兩個(gè)向量，.若三點(diǎn)共線，則k的值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得向量共線，由此利用向量共線定理可列出向量等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，故,則，使得，又，故，則，解得，故答案為：16.滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩(shī)人王勃詩(shī)句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而流芳后世.如圖，小明同學(xué)為測(cè)量膝王閣的高度，在膝王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12，在它們的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A，滕王閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測(cè)得滕王閣頂部C的仰角為30°，由此估算滕王閣的高度為__________.（精確到）.【答案】57【解析】【分析】解直角，求得，繼而解，由正弦定理求出，最后解直角，即得答案.【詳解】在中，，（）在中，，，故，即，所以（米），故答案為：57四?解答題：本題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的類型列出相應(yīng)的不等式組，即可求得答案；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，列出相應(yīng)的不等式組，求得答案.【小問1詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，故，解得；小問2詳解】由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故，解得，即的取值范圍是.18.已知向量滿足.（1）求及的值；（2）求向量與夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可求得，根據(jù)向量模的計(jì)算即可求得；（2）求出的值，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【小問1詳解】因?yàn)椋?，即；；【小?詳解】由題意得，故19.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）求A；（2）若，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)可得，再求出A；（2）根據(jù)，利用正弦定理邊化角可得，再利用余弦定理求出，最后求出周長(zhǎng)即可.【小問1詳解】在中，，由正弦定理得，因?yàn)?，則，即，即，而，即，所以，故；【小問2詳解】因?yàn)椋?，又，所以，即，所以，所以的周長(zhǎng)為.20.如圖，在中，點(diǎn)、滿足，，點(diǎn)滿足，為的中點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線.（1）用、表示；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由結(jié)合平面向量的減法化簡(jiǎn)可得出關(guān)于、的表達(dá)式，再由可得出關(guān)于、的表達(dá)式；（2）由、、三點(diǎn)共線知，存在，使得，進(jìn)而可得出，利用平面向量的基本定理可求得的值.【小問1詳解】解：因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故.【小問2詳解】解：因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，所以，存在，使得，即，所以，，又因?yàn)?，且、不共線，所以，，所以，，故.21.如圖，四邊形是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，是圓柱的母線，，是上的動(dòng)點(diǎn).（1）求圓柱的側(cè)面積；（2）求四棱錐的體積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圓柱底面半徑為r，進(jìn)而求出結(jié)果；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出，再利用體積公式求出結(jié)果.【小問1詳解】如圖：連接BD，在中，，，，由余弦定理，得，所以，設(shè)圓柱底面半徑為r，由正弦定理，得，所以，故圓柱的側(cè)面積；【小問2詳解】由（1）知，中，，，由余弦定理，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)椋?，所以四棱錐的體積，，故四棱錐的體積的最大值為.22.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為