第二章拉普拉斯變換

主要內(nèi)容第一節(jié)拉普拉斯變換簡介第二節(jié)拉普拉斯變換的性質第三節(jié)拉普拉斯反變換第四節(jié)用拉普拉斯變換解線性微分方程

拉普拉斯變換(LaplaceTransform)（簡稱拉氏變換）是一種解線性微分方程的簡便運算方法。第一節(jié)

拉普拉斯變換簡介原函數(shù)(OriginalFunction)象函數(shù)(ImageFunction)

一、拉普拉斯變換的定義

設時間函數(shù)

,則

的拉普拉斯變換定義為一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充要條件是：(1)在t<0時，

(2)在t≥0的任一有限區(qū)間內(nèi)，是分段連續(xù)的；(3)當t→﹢∞時，的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即如果復變函數(shù)是時間函數(shù)的拉氏變換，則稱為的拉氏逆變換，或拉氏反變換。記為：二、典型時間函數(shù)的拉氏變換

單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、單位加速度函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、以及冪函數(shù)等。常用的時間函數(shù)有：（一）單位脈沖函數(shù)1圖2-1-1單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)(UnitImpulseFunction)也稱為函數(shù)或稱狄拉克函數(shù)(DiracFunction)，其變化曲線如圖2-1-1，數(shù)學表達式為：其拉氏變換為

函數(shù)具有如下重要性質任意連續(xù)函數(shù)（二）單位階躍函數(shù)

圖2-1-2單位階躍函數(shù)

10t

單位階躍函數(shù)(UnitStepFunction)又稱位置函數(shù)通常用或1(t)來表示。其變化曲線如圖2-1-2所示。數(shù)學表達式為的拉氏變換為（三）單位斜坡函數(shù)其拉氏變換為

單位斜坡函數(shù)(UnitRampFunction)又稱速度函數(shù)，其變化曲線如圖2-1-3所示。

圖2-1-3單位斜坡函數(shù)數(shù)學表達式為（四）單位加速度函數(shù)其拉氏變換為

單位加速度函數(shù)（UnitAccelerationFunction）又稱拋物函數(shù)(ParabolicFunction)，其變化曲線如圖2-1-4。數(shù)學表達式為r(t)圖2-1-4單位加速度函數(shù)0t其拉氏變換為

（五）指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)(ExponentialFunction)分為指數(shù)增長函數(shù)和指數(shù)衰減函數(shù)。變化曲線如圖2-1-5所示。數(shù)學表達式為r(t)=eat

(指數(shù)增長函數(shù))r(t)=e-at

(指數(shù)衰減函數(shù))其中a>0。

圖2-1-5指數(shù)函數(shù)0r(t)t1其拉氏變換為

（六）正弦函數(shù)

正弦函數(shù)（SineFunction）的數(shù)學表達式為

(t≥0)式中，為正弦函數(shù)的角頻率。其拉氏變換為

（七）余弦函數(shù)余弦函數(shù)（CosineFunction）的數(shù)學表達式為

(t≥0)(八)冪函數(shù)冪函數(shù)（PowerFunction）的數(shù)學表達式為(t≥0,n>-1且為整數(shù))其拉氏變換為

單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)及單位加速度函數(shù)分別是冪函數(shù)

當n=0、

n=1

及

n=2時的特例。注:歐拉公式一、線性性質(Linearity)第二節(jié)拉普拉斯變換的性質

線性性質指同時滿足疊加性和齊次性

。

疊加性(AdditivityProperty)：指當幾個激勵信號同時作用于系統(tǒng)時，總的輸出響應等于每個激勵單獨作用所產(chǎn)生的響應之和。如，則。

齊次性(HomogeneityProperty)：指當輸入信號乘以某常數(shù)時，響應也倍乘相同的常數(shù)。如：，則。

則

若有

，a和b為常數(shù)例2-2

求。解：二、延時定理（Time-ShiftTheorem）

若有，對任意實數(shù)a

,則三、周期函數(shù)的拉氏變換

若函數(shù)

是以T

為周期的周期函數(shù),即

，則有四、復數(shù)域位移定理(Complex-ShiftingTheorem)若

，對于任意常數(shù)a(實數(shù)或復數(shù))，有五、時間尺度改變性質(ChangeofTimeScale)

時間尺度改變性質又稱相似定理或稱尺寸變換特性(ScalingProperty)或稱壓擴特性(CompandingProperty)。若，a是任意常數(shù)，則六、微分性質(DifferentiationProperty)

f(0)為時間函數(shù)f(t)在t=0處的初始值。注意，本書假設f(0-)=f(0+)=f(0)

。推論若，則特別地，當時，有七、積分性質(IntegrationProperty)

其中推論若則當初始條件為零時，八、初值定理(InitialValueTheorem)

若，且存在，則

九、終值定理(FinalValueTheorem)

解：由初值定理和終值定理得例2-8

已知（a>0），求。十、復微分定理(Complex-DifferentiationTheorem)

則若十一、復積分定理(Complex-IntegrationTheorem)

則若十二、卷積定理(ConvolutionTheorem)

兩函數(shù)f1(t)和f2(t)的卷積定義為卷積滿足以下性質：

（1）交換律

（2）結合律

（3）分配律

拉氏變換的卷積定理：

則第三節(jié)拉普拉斯反變換

已知象函數(shù)，求其原函數(shù)的變換稱作拉氏反變換（InverseLaplaceTransform），記為：，并定義為通常求拉氏反變換的方法有：(1)查表法(3)部分分式法(2)有理函數(shù)法一般象函數(shù)可以表示成如下的有理分式式中，和分別為F(s)的極點和零點，它們是實數(shù)或共軛復數(shù)，且n>m。根據(jù)極點種類的不同，將上式化為部分分式之和，有以下兩種情況。一、F(s)無重極點的情況

當F(s)無重極點時，即只有各不相同的單極點（DistinctPoles）。F(s)總是能展開為下面簡單的部分分式之和：

因此,

式中，ci為待定常數(shù)，稱為F(s)在極點pi處的留數(shù).例2-11

已知,試求原函數(shù)。解：將F(s)寫成部分分式形式式中于是，有二、F(s)有重極點的情況

假設F(s)有r個重極點(MultiplePoles)

p1，其余極點均不相同，則F(s)可表示為…

式中

,為重極點對應的待定系數(shù),求法如下：

其余系數(shù)的求法與第一種情況所述的方法相同，即因此，F(xiàn)(s)的拉氏反變換為

例2-12

已知，試求原函數(shù)f(t)。解：將F(s)寫成部分分式形式，有

式中，c11,c12,c13為三重極點s=-2所對應的系數(shù)，根據(jù)公式式計算c2,c3為單極點對應的系數(shù)，根據(jù)公式計算

于是其象函數(shù)可寫為